Bab 2. Landasan Teori. 2.1 Konsep Dasar

Bab 2 Landasan Teori Pada bab ini akan diuraikan konsep dasar dan teori graf yang berhubungan dengan topik penelitian ini, termasuk didalamnya mengenai pelabelan total tak teratur titik dan total vertex irregular strength serta hasil penelitian yang terkait. 2.1 Konsep Dasar Pada bab sebelumnya telah dibahas pengertian dari G = (V, E), yaitu sebagai suatu pasangan himpunan terhingga tak kosong V dan E. Himpunan V = V (G) disebut himpunan titik dan E = E(G) disebut himpunan sisi, dengan anggota dari E(G) adalah pasangan titik dari subhimpunan V. Banyaknya titik di G disebut order dari G, sedang banyaknya sisi disebut ukuran (size) dari G. Definisi berikut diperoleh dari [1]. Titik u dikatakan bertetangga dengan titik v apabila u dan v dihubungkan oleh sebuah sisi e = uv atau terdapat e = uv di E(G). Dalam hal ini dapat dikatakan pula bahwa titik u dan sisi e (demikian juga v dengan e) saling terkait. Sebuah titik v di G dapat terkait dengan sebuah atau beberapa sisi di G. Banyaknya sisi yang terkait dengan titik v merupakan degree atau derajat dari titik v dinotasikan dengan deg G (v). Jika seluruh titik di G berderajat k, maka graf G k regular. Sebuah graf dengan himpunan titik V (G) = {u, v, w, x, y, z} dan himpunan sisi E(G) = {uv, uy, vy, vw, wy, wx, vz} dapat dilihat pada Gambar 2.1. Graf G mem- 4

BAB 2. LANDASAN TEORI 5 punyai 6 titik dan 7 sisi, sehingga order dan ukuran dari G berturut-turut adalah 6 dan 7. Pada graf G titik u dan v bertetangga, tetapi titik u dengan w tidak bertetangga. Titik u terkait dengan sisi uy tetapi titik tidak terkait dengan sisi vy. Derajat masing-masing titik pada G adalah deg G (u) = deg G (w) = deg G (x) = 2, deg G (y) = deg G (v) = 4, dan deg G (z) = 1. Lintasan adalah graf tak kosong P = (V, E) dengan V = {x 0, x 1,..., x k } dimana x i berbeda dan E = {x 0 x 1, x 1 x 2,..., x k 1 x k } (lihat [3]). Lintasan P diatas dapat dituliskan sebagai lintasan x 0 x k. Apabila untuk setiap pasangan titik u, v G terdapat lintasan u v, maka graf G disebut terhubung. Dengan demikian lintasan adalah graf terhubung yang memiliki tepat dua titik berderajat 1 dan sisanya berderajat 2. Panjang dari lintasan P adalah banyaknya sisi pada P. Lintasan dengan panjang n, dinotasikan dengan P n. Apabila d(u) = d(v) = 1 maka titik u dan titik v merupakan titik ujung lintasan. Titik dalam (internal vertex) dari lintasan P : u v adalah titik di P yang berbeda dengan u dan v. Koleksi {P k1, P k2,..., P kn } dari lintasan u v disebut internally disjoint jika setiap pasang lintasan tidak memiliki titik bersama kecuali u dan v. Gambar 2.1: Graf G dengan beberapa subgrafnya Misalkan G(V, E), graf H merupakan subgraf dari G jika V (H) V (G) dan E(H) E(G), ditulis dengan H G. Kita dapat juga menyebutkan bahwa H termuat di G. Jika H G dengan V (H) subhimpunan sejati dari V (G) atau E(H) merupakan subhimpunan sejati dari E(G) maka H merupakan subgraf sejati dari G. Gambar 2.1 memperlihatkan H sebagai subgraf G sekaligus juga merupakan subgraf sejati. Subgraf P pada Gambar 2.2 merupakan contoh dari lintasan dengan panjang

BAB 2. LANDASAN TEORI 6 3. Gambar 2.2: Lintasan P dan Siklus C, sebagai subgraf dari G Graf C merupakan siklus, apabila C merupakan graf terhubung 2 regular. Siklus dapat dituliskan dalam bentuk barisan titik-titik dengan titik awal sama dengan titik akhir, sedemikian sehingga titik-titik yang berurutan bertetangga. Ukuran atau panjang dari siklus dinyatakan dengan banyaknya titik pada siklus atau banyaknya sisi pada siklus. Jika banyaknya sisi siklus adalah bilangan genap maka disebut siklus genap, dan jika panjang siklus tersebut ganjil maka disebut siklus ganjil. Pada Gambar 2.2, C : u, v, y, x, w, u merupakan contoh siklus ganjil dengan panjang 5. Siklus dengan panjang n, untuk n 3 dinotasikan oleh C n. Beberapa cara dapat digunakan untuk memperoleh graf yang baru dari graf yang ada. Cara-cara tersebut diantaranya dengan melakukan penjumlahan dan penggabungan. Penggabungan dua buah graf G dan H, dinotasikan dengan G H adalah sebuah graf dengan himpunan titik V (G H) = V (G) V (H) dan himpunan sisi E(G H) = E(G) E(H). Penjumlahan dua buah graf G dan H dinotasikan dengan G + H memuat G H dan semua sisi yang menghubungkan setiap titik di G dengan semua titik di H. Penjumlahan dari P 3 dan K 2, P 3 + K 2 diperlihatkan pada Gambar 2.3. 2.1.1 Amalgamasi Titik dan Amalgamasi Sisi Pada Siklus Definisi berikut ini diambil dari [4]. Misalkan {G i, x i } adalah koleksi dari graf dengan setiap graf G i memiliki sebuah titik x i yang tetap. Amalgamasi titik {(G i, x i )}

BAB 2. LANDASAN TEORI 7 Gambar 2.3: Penjumlahan dari dua buah Graf dibentuk dari gabungan graf G i dengan meleburkan titik x i. Siklus memiliki bentuk yang simetri, sehingga apabila graf G i berbentuk siklus, maka pemilihan titik x i menjadi tidak relevan. Dengan kata lain pengambilan sebarang titik x i pada setiap G i akan menghasilkan graf amalgamasi titik yang isomorfik. Gambar 2.5 memperlihatkan amalgamasi titik dari C 3 dan C 4. Amalgamasi titik dari n buah siklus dinotasikan dengan amal{c ni } n i=1, dengan n 2. Gambar 2.4: Amalgamasi titik dari C 3 dan C 4 Misalkan {G i, x i y i } adalah koleksi dari beberapa graf dengan setiap graf G i memiliki sebuah sisi (x i y i ) yang tetap. Amalgamasi sisi {(G i, x i y i )} dibentuk dari gabungan graf G i dengan meleburkan sisi x i y i. Ketika Graf G i berbentuk siklus, maka pemilihan sisi x i y i menjadi tidak relevan, karena siklus memiliki bentuk yang simetri. Gambar 2.5 memperlihatkan amalgamasi sisi dari C 5 dan C 6. Amalgamasi sisi dari n buah siklus dinotasikan dengan edgeamal{c ni } n i=1, dengan n 2. 2.1.2 Graf Theta yang diperumum Berdasarkan [5], misalkan n 3, dan P i untuk i = 1, 2,..., n adalah sebuah lintasan yang memiliki panjang l i, dimana l i = 1 untuk paling banyak sebuah i. Penyatuan titik ujung dari masing-masing lintasan, akan membentuk sebuah graf yang baru.

BAB 2. LANDASAN TEORI 8 Gambar 2.5: Amalgamasi sisi dari C 5 dan C 6 Graf baru tersebut dinamakan graf theta yang diperumum dan dinotasikan dengan Θ(l 1, l 2,..., l n ). Dengan perkataan lain graf theta Θ(l 1, l 2,..., l n ) terdiri dari n buah lintasan dengan panjang l 1, l 2,..., l n yang memiliki sepasang titik bersama, yaitu titik ujung lintasan. Graf Θ(4, 4, 5, 6) dapat dilihat pada Gambar 2.6 Gambar 2.6: Graf Θ(4, 4, 5, 6) Pada saat n = 3 graf theta yang diperumum merupakan graf theta dalam pendefinisian awal [5]. Apabila l 1 = l 2 =... = l n = a, penulisannya disederhanakan menjadi Θ(a n.) Misalkan n 3, graf theta Θ(l 1, l 2,..., l n ) dengan l i = 1 untuk suatu i, memiliki sebuah sisi yang menghubungkan kedua titik ujung lintasan, dengan kata lain merupakan graf amalgamasi sisi dari siklus

BAB 2. LANDASAN TEORI 9 2.1.3 Pelabelan Total Tak Teratur Titik dan Total Vertex Irregularity Strength Wallis [7] mendefinisikan pelabelan sebuah graf sebagai suatu pemetaan dari elemen graf terhadap himpunan bilangan (biasanya bilangan bulat positif atau bilangan bulat non negatif). Pelabelan titik adalah pelabelan dengan domain berupa titik. pemetaan berupa sisi dari graf maka dinamakan pelabelan sisi. Jika domain dari Sedangkan jika domainnya titik dan sisi dari graf maka pelabelan tersebut adalah pelabelan total. Jumlah seluruh label yang terkait dengan elemen dari sebuah graf disebut bobot. Sebagai contoh bobot dari titik v dengan pelabelan λ total terhadap graf G = (V, E) adalah, wt(v) = λ(v) + uv E λ(uv) (2.1.1) Misalkan G = (V, E). Pelabelan k total didefinisikan sebagai pemetaan, λ : V E {1, 2,..., k}. Bača, Jendrol, Miller dan Ryan [2] mendefinisikan bahwa pelabelan k total merupakan pelabelan k total tak teratur titik dari graf G jika untuk setiap titik x dan y yang berbeda maka wt(x) wt(y). Total vertex irregularity strength dari graf G atau tvs(g) adalah nilai k minimum sedemikian sehingga terdapat pelabelan k total tak teratur titik. Gambar 2.7 adalah contoh pelabelan total tak teratur titik pada C 4. Pada kedua pelabelan tersebut dapat dilihat bahwa bobot pada setiap titik berbeda. Label terbesar pada pelabelan (a) adalah 3 sedangkan label terbesar pada pelabelan (b) adalah 2, hal tersebut memperlihatkan bahwa tvs(c 4 ) 2. Apabila label yang terbesar adalah 1, maka setiap titik pada C 4 memiliki bobot

BAB 2. LANDASAN TEORI 10 Gambar 2.7: Pelabelan pada C 4 yang sama yaitu 3, sehingga ketakteraturan titik tidak terpenuhi. Dengan demikian haruslah label terbesar pada C 4 lebih besar dari 1. bahwa tvs(c 4 ) = 2. 2.2 Hasil Penelitian Sebelumnya Akhirnya dapat disimpulan Pada bagian ini disajikan hasil penelitian mengenai total vertex irregularity strength. Bača, dan rekan [2] menunjukkan batas bawah dan batas atas nilai dari total vertex irregularity strength untuk sebarang graf. Teorema 2.1. [2] Misalkan G adalah graf (p,q) dengan derajat minimum δ = δ(g) dan derajat maksimum = (G), maka p+δ +1 tvs(g) p + 2δ + 1. Selain menemukan nilai batas untuk sebarang graf, Bača dan rekan [2] juga memperoleh nilai total vertex irregularity strength untuk beberapa kelas graf. Teorema 2.2. [2] Untuk n 2, tvs(k n ) = 2. Wijaya dan rekan [8] pada tahun 2005 menunjukkan beberapa nilai tvs untuk graf bipartit lengkap. Graf G merupakan graf bipartit, jika V (G) dapat dipartisi menjadi dua buah subhimpunan U dan W yang disebut himpunan partisi sedemikian sehingga setiap sisi di G menghubungkan titik di U dengan titik di W. Jika titik di U bertetangga dengan setiap titik di W, maka G dinamakan graf bipartit lengkap K U, W. Beberapa graf yang telah ditentukan nilai tvsnya adalah K 2,n, K n,n, K n,n+1, K n,n+2 dan K n,an. Namun sebelumnya Bača dan rekan [2] telah

BAB 2. LANDASAN TEORI 11 menemukan tvs untuk graf bintang K 1,n, yang tidak lain adalah graf bipartit lengkap dengan n + 1 titik. Teorema 2.3. [8] Misal (K 1,n ) adalah bintang dengan n titik berderajat 1. Maka, tvs(k 1,n ) = n+1 2. Sejauh ini, untuk graf bipartit K m,n dengan m n baru diperoleh batas bawahnya. Teorema 2.4. [8] Jika m n tetapi (m, n) (2, 2), maka tvs(k m,n ) maks { m+n m+1, 2m+n 1 n }. Pada tahun 2008 Wijaya dan Slamin [9] memperoleh nilai tvs untuk beberapa kelas graf yang lain, yaitu graf roda (W n ), kipas (F n ), matahari (Sn) dan friendship (f n ). Graf Roda W n diperoleh dari penjumlahan C n + K 1. Nilai tvs dari graf roda dapat dilihat pada teorema berikut ini. Teorema 2.5. [9] tvs(w n ) = n+3 4 ; untuk n 3. Selain menentukan tvs untuk graf roda (W n ), Wijaya dan rekan [9] juga memperoleh nilai tvs untuk graf kipas F n. Graf kipas F n memiliki (n + 1) titik. Banyak titik berderajat 3 adalah (n 2), titik berderajat 2 sebanyak 2, dan sebuah titik berderajat n. Graf kipas F n diperoleh dari penjumlahan P n + K 1. Teorema 2.6. [9] tvs(f n ) = n+2 4 ; untuk n 3. Kelas graf lain yang telah ditemukan nilai tvsnya adalah graf matahari S n dan graf friendship f n. Graf matahari adalah graf yang diperoleh dari graf siklus C n dengan menambahkan tepat sebuah pendan (titik berderajat 1) pada setiap titik di C n. Sedangkan graf frienship f n, graf yang diperoleh dari penjumlahan nk 2 + K 1. Dua teorema di bawah ini, memperlihatkan nilai tvs dari graf matahari S n dan graf friendship f n. Teorema 2.7. [9] tvs(s n ) = n+1 2 Teorema 2.8. [9] tvs(f n ) = 2n+2 3 ; untuk n 3. ; untuk n 3.