15. Notasi Penjumlahan

15. Notasi Penjumlahan Dalam statistika kita sangat sering menjumlahkan bilangan yang banyak. Misalnya, kita mungkin akan menghitung harga rata-rata pasta gigi merk tertentu yang dijual di sepuluh toko yang berbeda; atau mungkin pula kita ingin mengetahui berapa kali sisi muka muncul bila tiga keping mata uang ditos beberapa kali. Perhatikan sebuah percobaan yang mengamati turunnya bobot badan selama periode 6 bulan. Data yang tercatat adalah 15, 10, 18, dan 6 kilogram. Jika nilai pertama kita lambangkan dengan x 1, yang kedua x 2, dan demikian seterusnya, maka kita dapat menuliskan x 1 = 15, x 2 = 10, x 3 = 18, dan x 4 = 6. Dengan menggunakan huruf Yunani (sigma kapital) untuk menyatakan penjumlahan, kita dapat menuliskan jumlah empat perubahan bobot tersebut sebagai: yang kita baca penjumlahan x i, i dari 1 sampai 4. Bilangan 1 dan 4 masing-masing disebut batas bawah dan batas atas penjumlahan. Oleh karena itu Begitu pula: Secara umum, lambang berarti kita menggantikan i yang berada di belakang lambang penjumlahan dengan 1 kemudian dengan 2, dan demikian seterusnya sampai dengan n, dan kemudian menjumlahkan semua suku-suku tersebut. Oleh karena itu, kita dapat menuliskan Untuk subskrip dapat digunakan huruf sembarang, walaupun tampaknya i, j, dan k lebih disukai para statistikawan. Jelaslah bahwa Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono 1

Batas bawah penjumlahan tidak harus berupa subskrip. Misalnya, jumlah sembilan bilangan asli pertama dapat dituliskan sebagai Bila kita menjumlahkan untuk semua x i yang ada, kedua batas penjumlahan sering dihilangkan, kita cukup menuliskan x i. Jika dalam percobaan diit yang disebutkan di atas hanya digunakan 4 orang, maka x i = x 1 + x 2 + x 3 + x 4. Bahkan beberapa pengarang lebih ekstrem lagi dengan tidak menggunakan subskrip dan menuliskan x untuk menyatakan jumlah semua data yang ada. Contoh 1: Jika,, dan tentukanlah: a) b) c) Penyelesaian: a) b) c) Contoh 2: Misalkan diketahui,,,,, dan Maka hitunglah: a) b) Penyelesaian: a) b) Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono 2

Tiga dalil berikut memberikan aturan dasar yang berhubungan dengan notasi penjumlahan. Dalil 1: Penjumlahan jumlah dua atau lebih peubah sama dengan jumlah masing-masing penjumlahannya. Jadi: Bukti: Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian mengelompokkan kembali, kita memperoleh Dalil 2: Jika c adalah suatu kinstanta, maka Bukti: Dengan menguraikan ruas kiri dan kemudian memfaktorkannya, kita memperoleh Dalil 3: Jika c adalah suatu konstanta, maka Bukti: Jika dalam Dalil 2, semua x i sama dengan 1, maka Contoh 3: Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono 3

Jika diketahui,,, dan, maka hitunglah nilai Penyelesaian: Contoh 4: sederhanakan Penyelesaian: Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono 4

Tidak jarang kita menghadapi data yang diklasifikasikan menurut dua kriteria. Misalnya, x ij melambangkan banyaknya gas yang dihasilkan jika suatu percobaan kimia tertentu dilakukan pada taraf suhu ke-i dan taraf tekanan ke-j. Untuk menjumlahkan data yang demikian, sangat memudahkan bila kita menggunakan notasi penjumlahan ganda. Lambang berarti pertama-tama kita menjumlahkan menurut subskrip j, dengan mengikuti aturan penjumlahan tunggal, dan kemudian melakukan penjumlahan kedua dengan i mengambil nilai dari 1 sampai m. Dengan demikian, untuk data dalam tabel berikut, tekanan 1 2 3 4 suhu 1 2 kita memperoleh Begitu pula, jika f(x i,y i ) menyatakan buku dari penerbit x i di universitas y i, maka melambangkan penjualan total buku-buku dari tiga penerbit tertentu di dua universitas tertentu. Referensi: Walpole, Ronald E. (1997). Pengantar Statistika, Edisi ke-3. Jakarta: Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama, halaman: 12-17. Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono 5

Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono 6

Referensi: Olson, Chester L. (1987). Statistics Making Sence of Data. USA: Allyn and Bacon, Inc. Wells Avenue, Newton, Massachusetts, halaman: 10-16. Matematika: MATEMATIKA STATISTIKA: NOTASI PENJUMLAHAN - sugiyono 11