OPERATION RESEARCH - TRANSPORTATION MODELS Presented by Group 5 E49 0
SOAL-JAWAB PEMODELAN TRANSPORTASI DENGAN STUDI KASUS DISTRIBUSI KOMODITI GANDUM, BARLEY DAN OAT DI NEGARA EROPA MENGGUNAKAN METODE NORTH-WEST CORNER DAN MODIFIED DISTRIBUTION TUGAS MATA KULIAH METODE KUANTITATIF MANAJEMEN DOSEN : Prof. Dr. Ir. BONAR M. SINAGA, MA DISUSUN OLEH : [KELOMPOK 5 E49] A.M. HERI SAKTIYANTO FEBRIANTO ARIF WIBOWO FITRIANA PURNAMASARI HARYA BUNTALA KOOSTANTO HUSNUL INSAN SAFITRI LARASATI YOGI SYAMRIADI P056132632.49E P056132742.49E P056132762.49E P056132772.49E P056132782.49E P056132922.49E P056132972.49E PROGRAM PASCASARJANA MANAJEMEN DAN BISNIS INSTITUT PERTANIAN BOGOR JANUARI 2014
MATERI PENGANTAR MODEL TRANSPORTASI Model Transportasi merupakan perluasan dari persoalan Linear Programming yaitu suatu model jaringan yang mengatur distribusi produk secara optimal dan digunakan untuk penentuan rencana biaya minimum (minimum cost) untuk transportasi (pengangkutan) single commodity dari sejumlah lokasi sumber (sources) seperti pabrik, lokasi penambangan, pelabuhan, dan sebagainya ke sejumlah lokasi tujuan (destinations) seperti gudang, pusat distribusi, wilayah pemasaran, dan sebagainya. Model Transportasi dapat juga digunakan untuk persoalan inventory controll, employment schedulling, personal assignment, dan sebagainya. Agar suatu masalah transportasi dapat dibuat model transportasi dan tabel transportasinya, maka masalah transportasi tersebut harus memiliki data mengenai tingkat supply atau kapasitas setiap lokasi sumber, tingkat demand setiap lokasi tujuan, dan biaya transportasi per unit komoditas dari setiap lokasi sumber ke lokasi tujuan. Karena hanya terdiri dari satu komoditi (single commodity), maka suatu lokasi tujuan dapat memenuhi permintaannya dari satu lokasi sumber. Tujuan dari model transportasi adalah menentukan jumlah yang dapat dikirim dari setiap lokasi sumber ke setiap lokasi tujuan yang memberikan total biaya transportasi minimum. TIPE-TIPE MODEL TRANSPORTASI Terdapat 3 tipe kasus model transportasi dimana untuk menyelesaikan pemodelan tersebut, diperlukan adanya tambahan variabel dummy sebagai berikut : Jumlah Supply (Qs) = Jumlah Demand (Qd) m Bila : i 1 a i n b j j 1 = Maka buatlah tabel/matriks model transportasi dengan mencantumkan beberapa data berikut : - Daerah asal & kapasitas produksi/supply masing-masing daerah - Daerah tujuan & kapasitas daya serap/demand masing-masing daerah - Biaya transportasi per unit untuk masing-masing rute
Dari Ke M1 M2 M3 SUPPLY (a i ) P1 X 6 X 12 8 X 13 1 P2 X 21 7 X 22 X 23 175 P3 X 31 4 X 32 5 X 33 12 275 DEMAND (b j ) 200 0 300 a i = b j 600 = 600 Jumlah Supply (Qs) > Jumlah Demand (Qd) m Bila : i 1 a i n b j j 1 Maka buatlah tabel/matriks model transportasi dengan mencantumkan beberapa data berikut : - Ciptakan variable dummy daerah tujuan, sebagai interpretasi untuk jumlah supply yg tidak ditransportasikan pada masing-masing daerah asal. - Biaya transportasi per unit menuju rute dummy ini diganti dengan biaya penyimpanan pada masing-masing daerah asal ( 0) Dari Ke M1 M2 M3 SUPPLY (a i ) P1 X 6 X 12 8 X 13 200 P2 X 21 7 X 22 X 23 175 P3 X 31 4 X 32 5 X 33 12 275 DEMAND (b j ) 200 0 300 a i > b j 6 > 600
Dari Ke M1 M2 M3 DUMMY SUPPLY (a i ) P1 X 6 X 12 8 X 13 X 14 C 14 200 P2 X 21 7 X 22 X 23 X 24 C 24 175 P3 X 31 4 X 32 5 X 33 12 X 34 C 34 275 DEMAND (b j ) 200 0 300 a i = b j 6 = 6 Jumlah Supply (Qs) < Jumlah Demand (Qd) m Bila : i 1 a i n b j j 1 < Maka buatlah tabel/matriks model transportasi dengan mencantumkan beberapa data berikut : - Ciptakan variable dummy daerah asal, sebagai interpretasi untuk jumlah demand yg tidak dapat dipenuhi pada masing-masing daerah tujuan. - Biaya transportasi per unit dari rute dummy ini diganti dengan biaya pinalti/denda akibat tidak dipenuhinya demand pada masing-masing daerah tujuan ( 0) Dari Ke M1 M2 M3 SUPPLY (a i ) P1 X 6 X 12 8 X 13 1 P2 X 21 7 X 22 X 23 175 P3 X 31 4 X 32 5 X 33 12 275 DEMAND (b j ) 200 180 300 a i < b j 600 > 680
Dari Ke M1 M2 M3 SUPPLY (a i ) P1 X 6 X 12 8 X 13 1 P2 X 21 7 X 22 X 23 175 P3 X 31 4 X 32 5 X 33 12 275 DUMMY X 41 C 41 X 42 C 42 X 43 C 43 80 DEMAND (b j ) 200 180 300 a i = b j 680 = 680 SOLUSI MODEL TRANSPORTASI Terdapat 3 metode penentuan solusi awal yang layak (Initial Basic Feasible Solution) untuk model transportasi yang sudah berada dalam kondisi seimbang, dimana jumlah supply sama dengan jumlah demand, yaitu : 1. North-West Corner Method 2. Minimum Cell Cost Method 3. Vogel s Aproximation Method CEK OPTIMALITAS Solusi yang di dapat dari ketiga metode di atas merupakan solusi yang layak tapi belum tentu merupakan solusi yang optimal. Untuk menentukan solusi optimal pada pemodelan transportasi, maka perlu dilakukan perhitungan lebih lanjut melalui cek optimalitas. Syarat Dimana m = Jumlah baris tabel transportasi n = Jumlah kolom tabel transportasi Jumlah sel yang terisi = (m + n) 1
Cek optimalitas dapat dilakukan dengan 2 metode berikut : 1. Stepping-Stone Solution Method 2. Modified Distribution Method (MODI) Pada makalah kali ini, metode yg akan digunakan adalah North-West Corner Method dengan penyempurnaan tahap demi tahap untuk memperoleh solusi optimal menggunakan metode MODI (Modified Distribution). METODE NORTH-WEST CORNER Metode North-West Corner menggunakan algoritma sebagai berikut : (1) Pengisian sel dimulai dari sudut kiri atas tabel (X ) (2) Tentukan nilai paling minimum antara a 1 & b 1 pada X, kemudian isi sebagai nilai X (3) Lakukan pengecekan jumlah supply & demand untuk X, jika jumlah supply belum terpenuhi sesuai jumlah maksimal maka pengisian sel berlanjut ke sel sebaris berikutnya (X 12 ), namun jika jumlah demand yg belum terpenuhi maka pengisian sel berlanjut ke sel sekolom berikutnya (X 21 ). (4) Ulangi langkah (2) dan (3) hingga seluruh jumlah supply dan demand terpenuhi dengan kondisi seimbang (a i = b j ). Contoh PABRIK Los Angeles Detroit New Orleans DISTRIBUTOR DENVER 0 75 40 0 75 MIAMI 70 SUPPLY (a i ) 0 1 60 80 DEMAND (b j ) 175 125 300 Total Biaya = 0(40) + 75(0) + 75(70) + (80) = 4000 + 70 + 52 + 4000 = 207
METODE MODIFIED DISTRIBUTION (MODI) Metode MODI (Modified Distribution) adalah metode untuk mendapatkan solusi optimal masalah transportasi (total biaya transportasi minimum). Metode ini bersifat eksak dan juga disebut sebagai metode multiplier, karena dalam penghitungannya menggunakan multiplier, yaitu multiplier baris (u i ) dan multiplier kolom (v j ). Metode MODI menggunakan algoritma sebagai berikut : (1) Menentukan u i dan v j dengan memperhatikan basic variable, yaitu sel (kotak) yang ada isinya dan menggunakan rumus U i + V j = C ij (2) Menentukan indeks perbaikan, yaitu dengan memperhatikan sel (kotak) yang kosong dan dengan menggunakan rumus Indeks Perbaikan (K ij ) = C ij U i V j (3) Isilah sel kosong yang mempunyai Indeks Perbaikan negatif yang dimulai dari sel kosong dengan indeks perbaikan negatif terbesar (4) Ulangi langkah (1) s/d (3), jika Indeks Perbaikan telah positif semua berarti solusi optimal telah tercapai dan tidak ada sel kosong yang harus diisi. Contoh PABRIK Los Angeles Detroit New Orleans DISTRIBUTOR DENVER 0 75 40 0 75 MIAMI 70 SUPPLY (a i ) 0 1 60 80 DEMAND (b j ) 175 125 300 Langkah-Langkah Penyelesaian (1) Hitung nilai setiap U i dan V j dengan memisalkan U 1 = 0 Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : C = U 1 + V 1 = 40 U 1 = 0 V 1 = 40 C 21 = U 2 + V 1 = 0 V 1 = 40 U 2 = 60 C 22 = U 2 + V 2 = 70 U 2 = 60 V 2 = C 32 = U 3 + V 2 = 80 V 2 = U 3 = 70 U i + V j = C ij
Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : K 12 = C 12 U 1 V 2 = 0 = 40 K 31 = C 31 U 3 V 1 = 60 70 40 = - Indeks Perbaikan (K ij ) = C ij U i V j (2) Pilih sel kosong dengan indeks perbaikan yang bernilai negatif Titik tolak perubahan adalah segi empat yang indeksnya : Bertanda negatif Angkanya terbesar Maka yg dipilih adalah sel K 31 : K 12 = C 12 U 1 V 2 = 0 = 40 K 31 = C 31 U 3 V 1 = 60 70 40 = - (3) Berikan penanda positif/negatif - Tanda positif pada sel terpilih (X 31 ) - Tanda negatif pada sel Xij terdekat yang mempunyai isi dan sebaris (X 32 ) - Tanda negatif pada sel Xij terdekat yang mempunyai isi dan sekolom (X 21 ) - Tanda positif pada sel Xij terdekat yang mempunyai isi dengan posisi sebaris atau sekolom dengan 2 Xij yang bertanda negatif sebelumnya (X 22 ) PABRIK Los Angeles Detroit New Orleans DISTRIBUTOR DENVER 0 75 40 0 60 75 MIAMI 70 SUPPLY (a i ) DEMAND (b j ) 175 125 300 V j V 1 = 40 V 2 = 80 U i 0 U 1 = 0 1 U 2 = 60 U 3 = 70 (4) Pindahkanlah alokasi dari yang bertanda negatif ke yang bertanda positif (berlawanan dengan arah jarum jam) sebanyak isi terkecil dari yang bertanda negatif
Yang bertanda negatif memiliki isi 75 (X 21 ) & (X 32 ), maka pilihlah (X 32 ). PABRIK Los Angeles Detroit New Orleans DISTRIBUTOR DENVER 0 75 25 40 0 60 MIAMI 75 125 70 80 SUPPLY (a i ) 0 1 DEMAND (b j ) 175 125 300 (5) Ulangi langkah (1), (2), (3) dan (4) hingga pada langkah (2) sudah tidak didapat lagi indeks perbaikan bernilai negatif PABRIK Los Angeles Detroit New Orleans DISTRIBUTOR SUPPLY (a i ) DENVER MIAMI 40 0 0 U 1 = 0 0 70 25 125 1 U 2 = 60 60 80 U 3 = 20 DEMAND (b j ) 175 125 300 V j V 1 = 40 V 2 = U i Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : C = U 1 + V 1 = 40 U 1 = 0 V 1 = 40 C 21 = U 2 + V 1 = 0 V 1 = 40 U 2 = 60 C 22 = U 2 + V 2 = 70 U 2 = 60 V 2 = C 31 = U 3 + V 1 = 60 V 1 = 40 U 3 = 20 Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : K 12 = C 12 U 1 V 2 = 0 = 40 K 32 = C 32 U 3 V 2 = 80 20 = Karena harga K ij sudah tidak ada yang negatif, maka distrusi tersebut sudah optimal.
Maka persamaan linear fungsi tujuan & kendalanya menjadi sebagai berikut : Fungsi Tujuan Minimum Z = (C ) X + (C 21 ) X 21 + (C 22 ) X 22 + (C 31 ) X 31 Minimum Z = 40X + 0X 21 + 70X 22 + 60X 31 Minimum Z = 40 (0) + 0 (25) + 70 (125) + 60 () Minimum Z = 4000 + 20 + 87 + 3000 Minimum Z = 182 Fungsi Kendala Pabrik (1) X + X 12 0 (2) X 21 + X 22 1 (3) X 31 + X 32 Fungsi Kendala Gudang (1) X + X 21 175 (2) X 12 + X 22 125 Kendala Non-Negatif X, X 12, X 21, X 22, X 31, X 32 0
SOAL - JAWAB SOAL Andaikan Inggris, Prancis dan Spanyol memproduksi semua kebutuhan dunia akan gandum, barley dan oat. Dibutuhkan lahan pertanian juta hektar untuk memproduksi gandum guna memenuhi permintaan dunia. Sedangkan untuk memproduksi barley dibutuhkan lahan seluas 1 juta hektar, dan untuk memproduksi oat dibutuhkan lahan seluas 40 juta hektar. Luas lahan pertanian yang dapat digunakan untuk memproduksi ketiga jenis tanaman pangan tersebut di Inggris, Prancis dan Spanyol berturut-turut 90 juta hektar, 60 juta hektar dan juta hektar. Jumlah jam kerja untuk mengerjakan 1 hektar lahan gandum di Inggris, Prancis dan Spanyol berturut-turut adalah 4, 3 dan 5. Sedang untuk mengerjakan 1 hektar lahan barley dibutuhkan 1, 5 dan 2. Dan untuk mengerjakan 1 hektar lahan oat dibutuhkan 2, 5 dan 4 jam kerja (berturut-turut di Inggris, Prancis dan Spanyol). Upah kerja perjam dalam mengerjakan lahan gandum di Inggris, Prancis dan Spanyol berturut-turut adalah $5.00, $5.00 dan $3.00. Sedangkan untuk mengerjakan lahan barley diberikan upah $5.00, $4.00 dan $5.00 per jam, dan untuk mangerjakan lahan oat adalah $4.00, $2.00 dan $4.75 per jam. Masalhnya adalah bagaimana mengalokasikan penggunaan lahan di tiap negara tersebut untuk memenuhi kebutuhan pangan dunia dan untuk meminimumkan upah kerja total yang harus dibayarkan.
JAWAB Perhitungan Upah Kerja Untuk mengerjakan lahan gandum per hektar di Inggris : 4 jam x $5.00/jam = $ 20.00 di Prancis : 3 jam x $5.00/jam = $ 15.00 di Spanyol : 5 jam x $3.00/jam = $ 25.00 Untuk mengerjakan lahan barley per hektar di Inggris : 1 jam x $5.00/jam = $5.00 di Prancis : 5 jam x $4.00/jam = $20.00 di Spanyol : 2 jam x $5.00/jam = $.00 Untuk mengerjakan lahan oat per hektar di Inggris : 2 jam x $4.00/jam = $8.00 di Prancis : 5 jam x $2.00/jam = $.00 di Spanyol : 4 jam x $4.75/jam = $19.00 Berdasarkan hasil-hasil perhitungan diatas, maka diperoleh tabel biaya transportasi seperti berikut ini : Komoditi Negara Gandum Barley Oat Inggris 20 5 8 Prancis 15 20 Spanyol 25 19 Langkah selanjutnya : Periksa dulu apakah Total Demand (Qd) dengan Total Supply (Qs) sama atau tidak Jika Qd = Qs, maka dikatakan Tabel Transportasi seimbang (equilibrium), jadi tidak perlu ada kolom dummy (tujuan dummy) maupun baris dummy (sumber dummy) Jika Qd > Qs, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan baris dummy (sumber dummy) Jika Qd < Qs, maka perlu diseimbangkan dengan menambahkan kolom dummy (tujuan dummy)
Dalam soal ini Qd = 200 dan Qs = 200, artinya tabel transportasi sudah dalam kondisi seimbang, sehingga tidak perlu ada kolom maupun baris dummy. Tentukan tabel transportasi awal dengan metode NWC (North-West Corner), sehingga diperoleh : Komoditi Negara GANDUM BARLEY OAT SUPPLY U i INGGRIS 20 40 5 8 90 U 1 = 0 PRANCIS 15 60 20 60 U 2 = 15 SPANYOL 25 40 19 U 3 = 5 DEMAND 1 40 200 V j V 1 = 20 V 2 = 5 V 3 = 14 Total Biaya = X (C ) + X 12 (C 12 ) + X 22 (C 22 ) + X 32 (C 32 ) + X 33 (C 33 ) = (20) + 40(5) + 60(20) + () + 40(19) = 3260 (Solusi layak, belum tentu optimal) Untuk menentukan solusi optimal, gunakan metode MODI (Modified Distribution). Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : C = U 1 + V 1 = 20 U 1 = 0 V 1 = 20 C 12 = U 1 + V 2 = 5 U 1 = 0 V 2 = 5 C 22 = U 2 + V 2 = 20 V 2 = 5 U 2 = 15 C 32 = U 3 + V 2 = V 2 = 5 U 3 = 5 C 33 = U 3 + V 3 = 19 U 3 = 5 V 3 = 14 Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : K 13 = C 13 U 1 V 3 = 8 0 14 = -6 K 21 = C 21 U 2 V 1 = 15 15 20 = -20 K 23 = C 23 U 2 V 3 = 15 14 = -19 K 31 = C 31 U 3 V 1 = 25 5 20 = 0
Isilah sel-sel kosong yang mempunyai indeks perbaikan negatif yang dimulai dari sel dengan negatif terbesar (X 21 ), dan diperoleh tabel transportasi berikut : Komoditi Negara GANDUM BARLEY OAT SUPPLY U i INGGRIS 20 40 90 5 8 90 U 1 = 0 PRANCIS 15 60 20 60 U 2 = 15 SPANYOL 25 40 19 U 3 = 14 DEMAND 1 40 200 V j V 1 = 0 V 2 = 5 V 3 = 5 Untuk menentukan solusi optimal, gunakan metode MODI (Modified Distribution). Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : C 12 = U 1 + V 2 = 5 U 1 = 0 V 2 = 5 C 21 = U 2 + V 1 = 15 U 2 = 15 V 1 = 0 C 22 = U 2 + V 2 = 20 V 2 = 5 U 2 = 15 C 32 = U 3 + V 2 = V 2 = 5 U 3 = 5 C 33 = U 3 + V 3 = 19 V 3 = 5 U 3 = 14 Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : K = C U 1 V 1 = 20 0 0 = 20 K 13 = C 13 U 1 V 3 = 8 0 5 = 3 K 23 = C 23 U 2 V 3 = 15 5 = - K 31 = C 31 U 3 V 1 = 25 14 0 = Isilah sel-sel kosong yang mempunyai indeks perbaikan negatif yang dimulai dari sel dengan negatif terbesar (X 23 ), dan diperoleh tabel transportasi berikut :
Komoditi Negara GANDUM BARLEY OAT SUPPLY U i INGGRIS 20 90 5 8 90 U 1 = 0 PRANCIS 15 20 60 U 2 = -4 SPANYOL 25 20 40 30 19 U 3 = 5 DEMAND 1 40 200 V j V 1 = 19 V 2 = 5 V 3 = 14 Untuk menentukan solusi optimal, gunakan metode MODI (Modified Distribution). Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : C 12 = U 1 + V 2 = 5 U 1 = 0 V 2 = 5 C 21 = U 2 + V 1 = 15 U 2 = -4 V 1 = 19 C 23 = U 2 + V 3 = V 3 = 14 U 2 = -4 C 32 = U 3 + V 2 = V 2 = 5 U 3 = 5 C 33 = U 3 + V 3 = 19 U 3 = 5 V 3 = 14 Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : K = C U 1 V 1 = 20 0 19 = 1 K 13 = C 13 U 1 V 3 = 8 0 14 = -6 K 22 = C 22 U 2 V 2 = 20 (-4) 5 = 19 K 31 = C 31 U 3 V 1 = 25 5 19 = 1 Isilah sel-sel kosong yang mempunyai indeks perbaikan negatif yang dimulai dari sel dengan negatif terbesar (X 13 ), dan diperoleh tabel transportasi berikut :
Komoditi Negara GANDUM BARLEY OAT SUPPLY U i INGGRIS 20 90 60 5 30 8 90 U 1 = 0 PRANCIS 15 20 60 U 2 = 2 SPANYOL 25 20 30 19 U 3 = 5 DEMAND 1 40 200 V j V 1 = 13 V 2 = 5 V 3 = 8 Untuk menentukan solusi optimal, gunakan metode MODI (Modified Distribution). Dari sel yang terisi diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : C 12 = U 1 + V 2 = 5 U 1 = 0 V 2 = 5 C 13 = U 1 + V 3 = 8 U 1 = 0 V 3 = 8 C 21 = U 2 + V 1 = 15 U 2 = 2 V 1 = 13 C 23 = U 2 + V 3 = V 3 = 8 U 2 = 2 C 32 = U 3 + V 2 = V 2 = 5 U 3 = 5 Dari sel yang kosong diperoleh persamaan dan nilai U i, V j sebagai berikut : K = C U 1 V 1 = 20 0 13 = 7 K 22 = C 22 U 2 V 2 = 20 2 5 = 13 K 31 = C 31 U 3 V 1 = 25 5 13 = 7 K 33 = C 33 U 3 V 3 = 19 5 8 = 6 Dalam tabel tersebut tampak indeks perbaikan untuk semua sel kosong sudah positif semua, ini berarti bahwa solusi optimal telah tercapai. Jadi total biaya transportasi mínimum sesuai dengan tabel transportasi berikut :
Komoditi Negara GANDUM BARLEY OAT SUPPLY INGGRIS 20 60 5 30 8 90 PRANCIS 15 20 60 SPANYOL 25 19 DEMAND 1 40 200 Maka persamaan linear fungsi tujuan, kendala dan total biayanya menjadi sebagai berikut : Fungsi Tujuan Minimum Z = (C 12 ) X 12 + (C 13 ) X 13 + (C 21 ) X 21 + (C 23 ) X 23 + (C 32 ) X 32 Minimum Z = 5X 12 + 8X 13 + 15X 21 + X 23 + X 32 Minimum Z = 5 (60) + 8 (30) + 15 () + () + () Minimum Z = 300 + 240 + 7 + 0 + 0 Minimum Z = 1890 Fungsi Kendala Kapasitas Produksi Negara (1) X + X 12 + X 13 90 (2) X 21 + X 22 + X 23 60 (3) X 31 + X 32 + X 33 Fungsi Kendala Permintaan Komoditi (1) X + X 21 + X 31 (2) X 12 + X 22 + X 32 1 (3) X 13 + X 23 + X 33 40 Kendala Non-Negatif X, X 12, X 13, X 21, X 22, X 23, X 31, X 32, X 33 0