6 BAB LANDASAN TEORI. Alss Numer Alss umer merup g dr peljr mutr mege pegol orms ormto proessg. Dt g der dl orms msu put ormto, d sl g dperlu dl orms elur output ormto, sedg metode pertug terseut del seg lgortm lgortm. Usur-usur poo g terdug d dlm seu dgrm lr, : Iput Iormto Algortm Output Iormto Gmr.. Dgrm lr pegol orms... Metode Numer Metode umer dl sl stu ltert per jw dlm permsl mtemt g td dpt dseles ser lss. Tuju dr metode dl mer metode g ter utu memperole jw g ergu dr persol mtemt d utu mer orms g ergu dr erg jw g dpt dperole.
7 Meurut Djojodrdjo, p dlm megerj metode umer terdpt eerp r pedet, tu:. Pedet tu peeder perumus persol segg dpt dpe ser es.. Megus dperole jw pedet dr persol g perumus es.. Gug dr edu r peme dts. Pd umum metode umer td megutm dperole jw g tept, tetp megus perumus metode g megsl jw pedet g meml sels seesr sutu l g dtetu erdsr esept dr jw es. Meurut Djojodrdjo, p proses peme persol, pd umum erlgsug dlm tg tp, tu:. Perumus ser tept dr model mtemt d model umer g ert. Peusu metode utu meme persol umer. Peerp metode utu megtug jw g dr
Gmr. Proses peme persol dlm metode umer. Metode Numer meml pegert, dr seg:. Ss, Metode Numer merup proses peeles msl mtemt meggu opers rtmet.. Se, Metode Numer merup sutu r gm meml prosedur / lgortm peeles msl g plg sesu. Model mtemt sutu sstem / proses ss td sellu dpt dseles ser lt, sedg peeles lt td sellu mud dr. Ole re tu, dperlu emmpu ertug dlm peeles mtemt. Ar-r, opers mtemt dlm volume g esr td lg merup msl, re d 8
duug teolog omputer. Il ls megp t perlu mempeljr Metode Numer. 9
9 Peggu Metode Numer utu lss, smuls, d des te pemroses d sstem tel eremg pd tp g sgt ept pd eerp tu elg. Ketersed teg pertug g sgt ept memut solus umer dr msl-msl tes g rumt, ser eooms dpt dseles. Peggu Metode Numer dlm perte dpt dggp seg ss, seg se. Prosedur g sesu uu td eet dlm mempeljr metode terseut. Ole re tu, peuls rus meeles msl meggu pedet g ered d erg sstem prt lu d pero deg erg prmeter-prmeter msl terseut. Hsl ered g ddpt mellu proses memetu dsr pero utu meml metode g soso d mesr sl-sl g seu msl ru.. Ke msl-msl lss perte melt:. Pegemg seu model mtemt utu merepresets semu rterst-rterst petg dr sstem ss.. peuru persm-persm utm dr model deg meggu uum-uum ss, sepert persm eulrum, uum ger Newto, oservs mss d oservs eerg.. solus persm-persm utm; d. terprets solus terseut. Berdsr sstem g tel dlss d model mtemt g dgu, persm-persm utm mug merup seu mpu permpersm ljr ler tu o ler, seu mpu persm-
persm trsede, seu mpu persm-persm deresl s tu prsl, seu mpu persm-persm omoge g meuju msl l ege, tu seu persm g melt tegrl tu turu. Kt mug s, tu mug td s utu meemu solus persm utm ser lt. J solus dpt drepresets dlm etu seu espres mtemt g tertutup, l dseut seu solus lt. Solus lt med solus-solus tept g dpt dgu utu mempeljr es sstem deg erg mm prmeter-prmeter. Sg, sedt sstem prts g megr e solus lt, ole re tu solus lt peggu terts. Dlm eerp msl-msl g ertpe usus, solus grs dpt dtemu utu mempeljr es sstem. Bgmpu jug, solus grs s urg urt, peggu u, dpt dmplemets j dmes msl urg tu sm deg tg, d memutu wtu g le lm. Solus-solus umer dl l-l g td dpt despres dlm etu espres-espres mtemt.. solus dpt dtemu meggu jes proses pertug tes g oo, g del seg Metode Numer. Seg oto, ggp tegrl I e d.. l dr tegrl dpt despres ser lt seg d l p, tegrl I e e e e e.
I d e d.. td meml solus lt tertutup.tegrl dpt devlus ser umer. Kre tegrl sm deg der dw urv, m l s destms deg meme-me der d w urv mejd perseg-perseg el d mem der-der perseg-perseg terseut. lt Gmr... Kre metode umer melt sejuml esr pertug rtmt mooto, peggu d populrts tel megt re pegemg d eerd omputer g sgt gus d mur rg. Metode Numer dpt dgu utu mer solus dr msl te g sgt rumt. Ket solus lt s memutu eerp sums seder dr sstem ss, solus umer td memutu sums-sums terseut. Wlupu solus umer td dpt meed pedet g ept pd es sstem ss g dseder, solus dpt dgu utu mempeljr es sstem ss g seer. Gmr. Evlus umer tegrl I.
. Itegrs Numer Solus dr msl-msl te memutu evlus seu tegrl. J ugs g dtegrl terllu rumt tu j l ugs detu pd l dsrt dr vrel depede, m te tegrs umer dgu. Pd dsr, vrs ugs g dtegrl dsums seg seu poloml seder drpd seu tervl dsrt, d llu tegrl terseut devlus seg juml der-der d w poloml g dsums drpd erg mm tervl dsrt. Seg oto, j tegrl pst sepert g terlt pd Pers.., tegrl umer dpt devlus seg Gmr. I L. A A A A8 petg tegrs umer dpt dpm deg memperlt erp serg perumus sol-sol d dlm lss terp melt turu-turu. M wjrl utu medug seelum w peme sol-sol sepert tu melt tegrl. Utu e tegrl m td d represets g mug dt dlm ugs-ugs elemeter, segg prosms mejd perlu. Sergl, msl-msl te memutu evlus dr tegrl I d..5 dm ugs dseut tegrd d d dseut lmt dr tegrs. J ugs otu, terts, d erd d tr jgu tegrs, tegrl I dpt d evlus meggu te mtemt g tersed. J merup ugs seder sepert seu ugs poloml, seu ugs espoesl, tu seu ugs trgoometr, tegrl-tegrl terel dr lulus. J
melt ugs-ugs g le rumt, sergl, tel stdr tegrl dpt dgu utu megevlus tegrl I dlm etu tertutup. J tersed espres lt tu etu tertutup utu tegrl-tegrl, m sgt errg, re espres terseut pst d td d esl g terlt dlm evlus. Seg tm, t dr eru eerp prmeter ss dr msl te pd tegrl dpt dpeljr ser mud. Espres etu tertutup tegrl I dpt dgu utu memvers eurt tegrs umer. D l p, ugs mug merup seu ugs otu rumt g sult tu td mug dtegrs dlm etu tertutup; mug detu dlm seu etu tel/dtr, dm l d tersed pd sejuml tttt dsrt pd tervl e. lmt dr tegrs mug t tets tu ugs mug dsotu tu mug mejd t terts pd eerp tt pd tervl e. pd semu sus, tegrl I dpt devlus ser umer. Gmr. Itegrl seg der d w urv.
Gmr.5 Evlus dr seu tegrl meggu jrg tu erts gr. Itegrl dr seu ugs dtr lmt-lmt d pd dsr meuju der d w urv dtr d sepert g dperlt pd Gmr.. tegrs jug del seg udrtur. Seu pedet seder, persept utu megevlus tegrl dlm Pers..5 dl deg melet ugs pd seu jrg tu erts gr d tug juml ot tu perseg g megestms der d w urv. lt Gmr.5. Hsl dr ot-ot d der dr setp ot memer seu estms dr seluru juml der d w urv ms, tegrl, I. pegestms dpt d ut, j perlu, meggu seu jrg g le. Bgmpu jug metode g dgu sgt td prts d td urt d lm sus.. Sumer-sumer Kesl D dlm tegrs umer, m d sumer-sumer esl g s. A tetp, esl-esl msu d dlm l-l dt,, td dperesr ole e rumus tegrs, segg sumer esl mpr
5 td egtu meus sepert l d dlm deress umer. Kesl pemotog, g sm deg [ p ] d.6 utu rumus-rumus g plg seder, d sutu ompost g terdr dr potog-potog g serup utu e rumus l, dl peumg esl g utm serg. Berg mm us tel dut utu memperr esl, tetp t ms mug memper perr terseut. Seu pert g ert deg dl pert mege overges. Pert me p dsl seu urut utu m lmt esl pemotog sm deg ol, j poloml-poloml g erderjt le tgg dgu ser terus meerus tu j tervl-tervl g le el d tr tt-tt dt deg lm dgu ser terus meerus. D dlm sus, d m d trpesod d d Smpso dl otooto g stmew, m overges dpt dut. Jug, esl pemult mempu pegru g ut. Seu tervl g el, errt merup pertug g uup d pemult g uup. Kesl-esl lgotm r memut overges mejd ur g ser teorts rus terjd, d d dlm prte tel ddpt w pegurg d w sutu tgt tertetu megsl esl g le esr d u megsl esl g le el. J esl pemotog mejd dpt d, m esl-esl pemult megumpul, g memts etelt g dpt dperole ole seu metode g der.
6. Rumus Newto-Cotes Rumus-rumus Newto-Cotes dl g plg umum dgu dlm metode tegrs umer. Rumus-rumus terseut erdsr meempt eml seu ugs rumt tu dt tel deg eerp ugs g mrp ugs sl g dpt dtegrs ser mud, tu, I d p m d.,.7 dm p m merup ugs g mrp ugs sl, s dml seg derjt poloml e-m p m m m m L,.8 m dm oese dr poloml ost m, m, L,, dseles sepert d p m meml l g sm pd sejuml ttp g terts. Gr.6 memperlt pedet meggu poloml seder, tu, seu ost, seu grs lurus, d seu prol.
7 Gmr.6 Tpe-tpe g ered dr pedet... Atur Perseg ugs tu dt dr jug dpt ddet meggu seu deret poloml g per g sepert g dtuju dlm Gmr.7.. Pd pedet, jgu tegrs pertm l dg mejd sejuml tervl-tervl g terts tu strp-strp g ler tp tervl dl Δ.9
8 tt-tt dsrt d dlm jgu tervl terseut ddes seg,,,...,, d deg ;,,,...,. l dr ugs pd tt dsrt dsums detu seg,,,,. Sepert g dperlt pd Gmr.7, pedet plg seder e ugs dl g poloml deg order ms, seu deret ost jels, dr Gmr.7 ugs dpt ddet mellu tervl deg l tu. J l dr dgu ms, ddet ole l pd wl setp tervl, der dw urv dlm tervl dml seg d m dr tu, tegrl I devlus seg I d. d l p, j l dgu ms, ddet ole l pd r setp tervl, der d w urv dlm tervl dml seg m dr tu, tegrl I devlus seg I d.
9 Gmr.7 Pedet ole g dr poloml erderjt d. Utu seu ugs mooto, Pers.. mered d Pers.. megg l tegrl g seer. Dlm prte, tur perseg meuju esl pemotog g esr utu ugs oler umum d, m dr tu, tur td s dgu. Bgmpu jug, metode dsj utu meglustrs osep dsr g dgu dlm tegrs umer d rumusrumus Newto-Cotes. Seu ut dlm eurt dr pedet g g ost tur perseg dpt dml deg meggu rt-rt l dr d dlm tervl sepert g dtuju pd Gmr.9 dlm sus, tegrl I devlus seg
d I. Gmr.8 Estms ts d estms w dr I. Gmr.9 Pedet ole / dlm.
.. Atur Trpezodl Atur trpezodl serg dgu dlm pls-pls te re eseder dlm megemg seu progrm omputer. Metode eruug deg pedet e ole g poloml deg order stu {p }, g deg segme-segme grs lurus sepert g dtuju pd Gmr.7. pd sus, der d w urv d dlm tervl sm deg der dr trpezod, m dr tu dm tur trpezodl. Deg megds der-der trpezod seg I,I,,I, m Gmr. I I, I,...,,..., d I.. tegrl terseut dpt devlus seg I d I L..5 Gmr. Atur Trpezodl.
Gmr. Kesl pemotog Atur Trpezodl... Kesl Pemotog dlm Atur Trpezodl Dsr esl pemotog dr tur trpezodl tel der seg E d.6 dm g pertm dr seel Pers..6 met tegrl g tept d g edu merepresets tegrl pedet g der ole tur trpezodl. Pert w d stu segme g dggp dlm tervl utu emud. lt Gmr.. Utu meuru espres g le utu esl, t meggu perpjg deret Tlor dr tetg tt teg dr jgu, : L..7! ds., seu grs dts meuju seu turu, d ugs dsums lt dlm tervl megespres. Persm.7 dpt dgu utu
,! / / d d L.8 dm -/ d / dpt dlt utu eruug deg d. deg memw elur tegrs dlm Pers..8, t dpt L L / / / / / / d.9 susttus d e Pers.7 ddpt ; L. ; L. dm l pd d dml seg ; d. T d, g edu pd seel Pers..6 dpt despres seg L L L 8 8 8. Susttus Pers..9 d. e Pers..6 d potog g turu g erorder le tgg, mejd 8 E L r L.
I meuju w esl dr tur Trpezodl per segme tu lg proposol deg d. m, esl dpt del deg megel l. Kesl dlm tur trpezodl segme, Pers..5 dpt dr deg mejuml esl-esl dr segme dvdul,,,,, -,. re jgu tegrs dg mejd segme-segme g sm, t medpt d m tu E,. dm dl tt teg tr d. Deg medesrps seu l rt-rt dr turu edu, Pers.. dpt dtuls seg,.5 E O..6 I meuju w esl dr tur trpezodl segme, Pers..5, proposol deg re - tetp... Kesl Pemotog pd Atur Perseg Prosedur g tel d dpt dgu utu megevlus esl pemotog dlm tur perseg. Kesl dpt despres, utu segme seder, seg
5 d E, utu Pers...7 d d E, utu Pers...8 dm g pertm seel dr Pers..7 d.8 met tegrl g seer d g edu merepresets tegrl pedet g der ole tur usus perseg. Perpjg deret Tlor dr setr der ole L!.9 tegrs dr Pers..9 memuul, 6 6! L L L d d. dm d. M Pers..7 memer. 6 L E. Ser sm, perpjg deret Tlor dr setr dpt despres seg L!. Itegrs dr Pers. memuul
6 d! L d 6 L, 6 L. dm - d. M Pers..8 memer E L.. 6 Pers.. d. megds w esl dr tur perseg per lg proposol e d tu. Deg meljut sepert pd sus tur trpezodl, esl dlm seu tur perseg lg dpt despres seg d E, utu Pers..7.5 E, utu Pers..8.6 dm d;m Pers..5 d.6 met l rt-rt dr turu pertm pd tt dsrt msg-msg,,, K, d,, K,,. I meuju w esl dlm tur perseg lg, Pers.. d. proposol e re tetp...5 Atur Smpso Keurt tur trpezodl dpt dut deg meuru esr lg tu me segme. gmpu jug, esl
7 pemult me deg seu peuru dlm esr lg. Cr l medpt estms g le urt dr seu tegrl dl deg meggu poloml deg order le tgg utu pedet ugs...6 Atur Smpso / Sepert g seelum tegrl I d..7 devlus meggu seu prol tu poloml erorder du utu pedet. sums w, etg tt -, -,, d,, sepert g dperlt pd Gmr., dgu utu medesrps seu poloml erderjt du, p. Deg memut poloml p.8 Gmr. Atur Smpso /. melewt tg tt g dtuju pd Gmr., ostt,, d dpt dr. Kt ml tt sl pd pd jd - d msg-msg
8 eruug deg d. peml tt sl sepert td mempegru sl r. Deg meggu uug Utu -, ; p.9 Utu, ; p. Utu, p. solus dr Pers..9 gg. dpt dtemu, tu.,, d. Der dw poloml erderjt du p d tr - d dpt ddtemu seg erut:. d d p I. Deg mesusttus utu d dr Pers.., Pers. 55 memer. I. etu dlm tur Smpso / erdsr eerd tor dlm Pers... Pert w du segme dgu utu meuru Pers... m, utu seu pls tgt dr tur Smpso /, t perlu memg
9 jgu e dlm segme-segme deg ler g sm. B segme rus merup g gep jd Pers.. dpt dpls utu elompo-elompo du segme. Itegrl dlm Pers..7 s devlus seg / j I d. I,.5 j dm I met l dr I eruug deg j juml psg segme j d der ole Pers.. deg j. Pers.. d.5 meuju e I..6,,5,...,,6,.....7 Atur Smpso /8 Dlm metode, tegrl devlus deg pedet ugs ole seu poloml erderjt tg, p, sepert g dtuju pd Gmr.. Deg megsums poloml p seg p.7 ostt,, d dpt dr. Deg memut poloml terseut melewt empt tt -, -,,,, d,. Deg megml tt sl pd pd jd -, d dpt dsums msg-msg eruug deg,, d. peml tt sl sepert td mempegru sl r. Deg meggu uug Utu -, p ;.8
Utu, p ;.9 Utu, p ;.5 Utu, p.5 8 Gmr. Atur Smpso /8. Solus dr Pers..8 smp.5 dpt dt seg ;.5 6 ;.5 6 ;.5.55 6
Der I dw polomol erderjt tg p dtr - d dpt ddtemu seg erut:. 9 5 d d p I.56 Deg mesusttus dr gg dr Pers..5 gg.55, Pers..56 memer. 8 6 6 6 5 I.57 etu 8 dlm tur Smpso /8 erdsr eerd tor 8 dlm Pers..57. Pert w tg segme dgu utu meuru Pers..57. m, utu seu pls tgt dr tur Smpso /8, t perlu memg jgu e dlm segme-segme deg ler g sm. B segme rus merup elpt jd Pers..57 dpt dpls utu elompo-elompo tg segme. Itegrl dlm Pers..7 s devlus seg,. / j j I d I.58
dm I merepreets l dr I eruug deg j juml elompo tg j segme d der ole Pers..57 deg j. Pers..57 d.58 meuju e I..59 8,,7,...,6,9,... dpt dtuju w esl pemotog dlm peggu Pers..59 deg order g sm seg tur Smpso /. tetp peggu Pers..59 memerlu segme merup elpt. m, Pers..59 jrg dgu sedr. Sergl edu tur Smpso / d /8 dgu ersm jd segme, td perlu dts sesutu. D l p, l segme gjl, tur Smpso /8 dpt dgu, msl, utu tg segme pertm d tur Smpso / dpt dgu utu segme gep ss...8 Kesl Pemotog pd Atur Smpso Sepert pd sus trpzodl, dsr esl pemotog dr tur Smpso /, melt du segme dlm tervl e, g der ole E d [ ],.6 6 dm g pertm dr ss seel Pers..6 met tegrl g seer, dm g edu merepresets tegrl pedet g der ole tur Smpso / lt Gmr.. t dpt memperlus meggu deret Tlor mege tt teg dr jgu,, tu 5!! 5! L,
.6 dm. Pers..6 dpt dgu utu megespres tegrl dr seg,! 6 5 d d L.6 dm - d msg-msg eruug deg d. deg megelur tegrs dr Pers..6, t dpt. 6 7 6 5 6 5 L L d.6 Gmr. Kesl pemotog Atur Smpso. Susttus -,, d e Pers..6 megsl
; 6 5 L.6 ;.65. 6 5 L.66 serg g edu dr ss seel dr Pers..6 dpt despres, meggu Pers..6 gg.66, mejd. 6 6. 6 6 6 5 5 L L L.67 Susttus Pers..6 d.67 e dlm Pers..6 d potog g g melt turu g le tgg drpd pemer elm
5. 9 88 6 6 6. 5 5 5 E.68 med w esl tur Smpso / per setp psg segme proposol e 5 d. M esl jd ol j merup seu poloml erorder tg, re. esl dlm tur Smso / segme, Pers..59, dpt dtemu deg mejuml esl-esl dr psg segme dvdul,,,,, -, :. 9,,5,... 5 j j E.69 deg medesrps seu l rt-rt dr turu eempt,, seg,,5,... j j.7 Pers..69 dpt despres seg erut:. 8 9 5 O E.7 I megds w esl dlm tur Smpso segme, Pers..6, proposol deg, re - tetp.
6 Deg megut pedet g sm, esl pemotog dlm seu tur Smpso /8 segme jug dpt dperlt proposol deg..5 Atur Boole Dlm metode, tegrl devlus deg pedet ugs ole seu poloml erderjt empt, p. Deg megsums poloml p seg p.7 ostt,,, d dpt dr. Deg memut poloml terseut melewt lm tt -, -, -, -,,,, d,. Deg megml tt sl pd pd jd -, -, d dpt dsums msgmsg eruug deg, -,, d. peml tt sl sepert td mempegru sl r. Deg meggu uug Utu -, Utu -, Utu, p 6 8 ;.7 p ;.7 p ;.75 Utu, p ;.76 Utu, p.77 6 8
7 Solus dr Pers..7 smp.77 dpt dt seg.78 ;.79 ; 6 6.8.8 6.8 Der I dw poloml erderjt empt p dtr - d dpt ddtemu seg erut:. 6 6 5 5 5 5 d d p I.8 Deg mesusttus dr gg dr Pers..78 gg.8, Pers..8 memer. 7 7 5 6 6 6 6 5 6 I.8 Formul Newto-Cotes utu poloml erderjt empt serg dseut deg tur Boole.
8.5. Rumus Newto-Cotes ser Umum Sepert g tel dt seelum, rumus-rumus Newto-Cotes dturu deg meggu seu poloml deg order m utu pedet ugs, m, d. p m d.,.85 dm p m m m m L..86 m Rumus-rumus tegrs umer g eruug deg m tur perseg, m tur trpezodl, m tur Smpso /, m tur Smpso /8, d m tur Boole tel dturu d Bg. d.5. Rumus-rumus g eruug deg poloml erorder le tgg jug dpt dturu. Estms esl g eruug deg rumus m sj jug dpt dturu sepert g tel dlu seelum. Seu rgs dr eerp rumus-rumus Newto-Cotes, ersm deg estms esl g eruug, der pd tel.
9 Tel. Tel eerp rumus Newto-Cotes esert estms esl..6 Kudrtur Guss Semetr metode-metode dggp memerlu evlus dr tegrd pd tervl g sm, udrtur Guss dggp memerlu evlus tegrd pd tervl tertetu, tp td sm. udrtur Guss merup metode tegrs umer g ut d eurt ju le tgg drpd rumus-rumus Newto-Cotes. Wlu egtu, udrtur Guss td egtu ergu utu megtegrs ugs g der dlm etu tel deg tervl equspe. Betu g plg terel dr udrtur Guss, del seg udrtur Guss-Legedre, meggu poloml Legedre utu pedet ugs. Metode meggu r-r poloml Legedre utu melos tt dm tegrd devlus. Dlm tegrs Guss, tegrl devlus deg meggu rumus
d. w,.87 Dm dseut tt-tt Guss, w dl oese g td detu, dseut jug wegt, d dl l usus dr, dseut jug tt Guss, dm tegrd devlus. Utu tertetu, l dr w d dpl segg rumus tept utu poloml e ts, termsu derjt. Msl utu, l dr w, w,, d dpl gr rumus memer l tept dr tegrl utu poloml gg derjt tg..6. Peru Koordt Sepert g terlt pd Pers..87, tegrs Guss memerlu jgu tegrs dr - gg. utu em ots, ggp sj, oordt sl d jgu tegrs dr e. M peru.88 Memer oordt g dormlss -, et d, et. Peru dr e mejd.89 Deg mempert w d d, tegrl sl d dpt dtuls eml seg d d d w,.9 d
J dl tt Guss dr oordt g dormlss, l g eruug deg dpt dt, meggu Pers..89, seg..9 Kre wegt, w, tetp sm, tegrl dpt devlus meggu espres ss seel Pers..9..6. Cr seu rumus Guss Pemr utm d elg tegrs Guss dl w d dlm peml seu rumus d ~ A.9 M mug merup l g js utu td meetp rgumergume g t erjr tr sm. B tegrl g melt ugsugs lt g uup del g dpt dtug utu semrg rgume d deg etelt g uup esr. D dlm sus-sus sepert tu, m ergu g t utu me pl d A g m g ersm-sm memer etelt msmum. Terut w memud t utu memr rumus g sedt le umum, w d ~ A.9 dm w dl ugs oot g dtetu el. Bl w m t memperole rumus sl g le seder.
Stu pedet epd rumus Guss sepert tu dl deg mer etelt g sempur l dl sl stu dr ugs-ugs pgt,,,..., -. I meed persrt utu meetu lg, d A. Tert, A w L d.9 Dm L dl ugs pegl Lgrgre. Argume-rgume,..., dl tt-tt ol dr poloml p g erderjt g termsu pd seu elompo g mempu st ortogolts w p pm d utu m.95 Poloml-poloml ergtug pd w. Deg dem m ugs oot terseut mempegru edu A d tetp td muul ser esplst d dlm rumus Guss..6. Rumus Guss-Legedre Rumus dperole l w. l prototp metode Guss. Sud lzm meormlss tervl, mejd -,. M poloml-poloml ortogol terseut dl poloml-poloml Legedre d P.96! d Deg P. Blg-lg dl tt-tt ol dr poloml d oese-oese terseut dl
A [ P ].97 Tel-tel g memer d A s tersed, g dsusttus ser lgsug e dlm rumus Guss-Legedre d ~ A.98 Berg st poloml Legedre dperlu d dlm pegemg sl-sl termsu g erut: P d utu,,..., -.99! P d!. P d. [ ] P mempu tt ol rl d dlm -, Pm P d utu m. P P P. [ P t P P t P ] t P P t. P d P.5 P P P.6 Perr Lzos mege esr esl pemotog utu rumus Guss-Legedre dt dlm etu
A I E ~.7 Dm I dl tegrl prosms g ddpt deg meggu rumus tt Guss. Pert w suu melt pem rumus g sm epd ugs. Perr esl elt uup telt utu ugs-ugs g l..6. Turu dr Rumus Guss Du Tt Rumus tegrs Guss du tt der dr [Pers..87 deg ],. w w d.8 Dm evlus dr eempt w, w,, d g td detu memutu peggu empt ods. Kre, rumus rus memer l g tept g poloml erorder tg d dw. Deg mems rumus gr tept utu poloml terseut,,,, d, t dpt persm-persm erut: Ket,.. w w w w d d.9 Ket,.. w w w w d d.
5 Ket,.. w w w w d d. Ket,.. w w w w d d. Kre lmt tegrs, - d smetrs setr, t rp, jug smetrs setr. deg megggp -, t dpt ljut dr Pers..9 d.: w w. Nl ser otomts memeu Pers.. d Pers.. memer, Dr stu t dpt 8966.577569 D 8966.577569.6.5 Prosedur Umum Wlupu turu dr rumus tegrs Guss du tt td rumt, turu dr seu rumus g meggu le dr du tt Guss, lum sult.
6 Bgmpu jug, prosedur umum utu meemu w d melt eerp lg erut:. Tt-tt Guss,,..., dl r-r dr poloml Legedre deg derjt, P. Poloml-poloml Legedre ortogol pd tervl [-,], segg D P P d ; m m { } d P. Dm dl seu ost g l tergtug dr. Polomlpoloml Legedre dt deg D P, P, P P P ;,,,.... Ser umum, poloml mpu g erderjt, p, dpt drepresets deg seu oms ler dr poloml Legedre seg Dm α dl ost. p α P,.5
7. Wegt w dpt dtug seg w.6 { }. P Wlupu omputs s dr d w g rumt, l-l dr d w utu erg l tel dut d der dlm tel.. Tel. Tel tt-tt Guss, wegt d estms esl. Nl-l dlm tel. ddpt dr : Rumus Guss- Legedre tt π d,,,..., w { }. P Utu tt, errt. D s poloml π terseut dl poloml pgt stu tu persm ler, tl π. Itegrs megsl
8 Yg deg ept megsl. I memut π M rgume olos dl D w Rumus Guss- Legedre tt π d,,,..., w { }. P Utu tt, errt. D s poloml π terseut dl poloml pgt du tu persm udrt, tl π. Itegrs megsl, Yg deg ept megsl, -/. I memut π / / / M rgume olos dl /, /.5775698966,.5775698966 D
9 w, Rumus Guss- Legedre tt π d,,,..., w { }. P Utu tt, errt. D s poloml π terseut dl poloml pgt tg, tl π. Itegrs megsl,, 5 5 Yg deg ept megsl, -/5. I memut π / 5 / 5 / 5 M rgume olos dl / 5,, / 5.775966698,,.775966698 D w.555555555555556,.888888888888889,.555555555555556 Rumus Guss- Legedre tt π d,,,...,
5 w { }. P Utu tt, errt. D s poloml π terseut dl poloml pgt empt, tl π d. Itegrs megsl, d,, d 5 5 5 7 5 7 Yg megsl d, /5, -6/7. I memut π 5 6 / 7 / 5 M rgume olos dl 5 5 5 5,,, 5 5 5 5.866595,.99858856,.99858856,.866595 D w.7858575,.65558656,.65558656,.7858575 Rumus Guss- Legedre 5 tt π d,,,..., w { }. P Utu 5 tt, errt 5.
5 D s poloml π terseut dl poloml pgt lm, tl π d e 5. Itegrs megsl e, d, e, d, 5 5 7 5 7 5 7 9 e 5 7 9 Yg megsl e, 5/, d -/9. I memut π 5 6 / 9 5 7 5 / 5 M rgume olos dl 5 7 5 7 5 7 5 7,,,, 6 6 6 6.9679859866,.5869568,,.5869568,.9679859866 D w.6968855689,.7868679966,.568888888888889,.7868679966,.6968855689 Rumus Guss- Legedre 6 tt π d,,,..., w { }. P Utu 6 tt, errt 6. D s poloml π terseut dl poloml pgt lm, tl π d e 5 6. Itegrs megsl
5 e, d, e, 5 7 5 7 5 7 9 d, e, d 5 7 9 5 7 9 7 9 Yg megsl d, -5/, 5/, e -5/. I memut π 6 5 / 6 5 5 / 5 5 M rgume olos dl 5 /.96955,.669866665,.86986897.86986897,.669866665,.96955 D w.79797,.6765789,.67995769,.67995769,.6765789,.79797.6.6 Estms Kesl Kesl E dlm rumus Guss tt ser le urt, rumus Guss Legedre dl {!} E ξ ; < ξ <..7 {!} Sepert g dtetp seelum, rumus tt megtegrs seu poloml deg derjt ser tept, re turu dr order,, dl ol dlm sus. Asums sl dr order g le tgg meuru tu me ser lmt deg me l, rumus Guss ser sg le urt drpd rumus Newto-Cotes.
5.7 Atur Adptve Smpso B tegrd eru-u dlm emulus mere dlm tt g ered pd tervl tegrs [,]. Seg oto, deg I d tegrd meml emrg g t terts pd, tetp ugs erelu pd tt det. Ke metode tegrs umer meggu seu jrg tt-tt ode sergm, dm, etel dr tt-tt ode mpr mem eseluru tegrs tervl. Hl termsu mpur rumus Newto-Cotes, udrtur Guss, metode Ptterso d tegrs Romerg. Ket tegrd erelu td pd eerp tt α dlm tervl [,], tt-tt ode rus dtempt d det α utu megmg l terseut. Tetp l meutut le tt-tt ode g perlu dgu pd seluru g l dr [,]. Itegrs dptve meo utu melet tt-tt ode erdsr elu etu tegrd, deg etel tt-tt ode mejd le esr d det tt-t g erelu td. Kosep dsr dr tegrs dptve djels meggu tur dptve Smpso g dseder. Utu melt le sesm megp peempt vrel tu perlu, ggp tur Smpso deg peempt ode-ode seg erut: I deg / j d I / j j j j j 6 j j j j j ~. Meggu E [ ] E j, 8
5 / 5 I I j j ξ j.8 88 j deg j < j < j ξ. Ser jels, pl j j- erdsr uur dr ξ j, g m td detu ser umum. J meru sgt esr dlm jr, jg tempt pd [,] seg ots, memperel β I d I α, β α, β α α β β α α β I α, β I I α, γ γ, β γ β α utu medesrps lgortm dptve utu megtug I d t gu des reurs. Aggp w der ε >, d t g meemu seu tegrl pedet I dm I I < ε mul deg met α d β. Htug I α,β d I α,β, j I ε.9 α, β Iα, β < llu term I α,β seg pedet tegrl dptve e α, β I. Atu sel t tegrl dptve utu I α, β sm deg juml tegrl-tegrl dptve utu I α, γ d I, γ α β /, msg-msg dtug deg tolers esl ε /. γ, β
55 Pd mplemets seer seg seu progrm omputer, pemts tm g termsu seg peldug, d estms esl s ju le rumt. Semu evlus ugs dtg ser t-t utu memst w tegrd td per devlus du l pd tt g sm. Hl memutu seu prosedur st g ptr utu l-l g rus dsmp semetr re dutu lg d pertug g dtg..8 Itegrs Numer dlm Der Du Dmes Dlm stus te d prts l, t perlu utu megevlus tegrl der deg du tu tg dmes. J seu tegrl lpt du rus devlus utu der g dtuju pd Gmr.5, t meml I q, d d, d d,. A p Dm A met der tegrs g dtuju pd Gmr.5 Pers.. dpt despres seg I X d,.
56 Gmr.5 Evlus dr seu tegrl lpt du. Dm ugs, X, dl q X, d... Utu megevlus tegrl dlm Pers.., pertm-tm t memg der tegrs mejd u segme g meml ler g sm sepjg sumu, d mejd m u segme g meml ler g sm sepjg sumu pd l tertetu dr. Lt Gmr.5. Llu t dpt meggu metode tegrs ppu g tel ddesrps dlm g seelum. Msl, udrtur Guss-Legedre g dgu, t ggp tegrl lpt du dlm etu D devlus sepert erut p I, d d.
57 I j j w j, d d w w w, j, j j. w, d. Ds, wegt w w j d tt-tt Guss d j sm sepert g der dlm tel.. Pert w tt tegrs pd setp r dsums sm. ser jels, tdl dperlu, d tedg, l terseut merup eutug meggu erg juml tt tegrs pd setp r. Itegrl dr Pers.., dm lmt tegrs u - d, t dpt meggu peru oordt sm deg g tel ddesrps dlm Pers..88 d.89..9 Volume Bed Putr Peerp tegrs dlm dg te d sel, sl stu dl utu megtug volume ed putr. Bed putr dl sutu ed g dpt dsl dr sutu grs g dputr 6 derjt megellg sutu sumu tertetu d ed terseut smetrs terdp sumu g dellg terseut. grs terseut dpt erg mm, s grs lurus mupu erup urv. J etu dg g dts ole urv, sumu, d ordt pd d dputr stu putr peu megellg sumu, m dperole seu ed putr g smetrs terdp OX. Msl V dl volume ed putr g teretu
58 Gmr.6. Volume ed putr g teretu ole ugs. Utu medpt V, pertm-tm t tju dulu seu pt sempt dlm etu dg semul. Gmr.7. Pt sempt dlm etu dg. Volume g detu ole pt terseut volume g detu ole pt perseg pjg d w, tu δv π δ.5 Tept, re ed g teretu erup slder pp. J seluru etu dg t g-g mejd sejuml pt g sepert tu, setp pt megsl slder sedr, msg-msg deg volume π δ.
59 Gmr.8 Bed putr dg mejd eerp pt slder. Volume totl, V π Kesl dlm pedet d ts dtmul ole g lus d ts perseg pjg g mee ed putr mp erud-ud sepert tgg. Tetp j δ, esl lg, segg r δ V π d.6 Volume ed putr g teretu j etu dg g dts ole urv, sumu, d ordt pd d dputr stu putr peu megellg sumu der ole V π d.7
6. Volume Bed Pdt Gmr.9 Bed pdt g dml sl stu g. Aml dg, teg lurus pd poros. Pempg tr ed d mempu lus L dg rsr Gmr. Pempg tr ed d. J d dg d smpg, m lus dg: N d lm ξ Δ.8 Δ Segg dpt dsmpul volume ed tps g tel Δ d lus L dl L. Δ lus * ler. M, volume eseluru
6 Δ Δ N L. lm.9 Volume ed d L,,, g g d F L Segg Volume d d F g g,. I dl Itegrl erulg Iterted Itegrl Volume ed pdt V d d F g g,.