Catatan Kuliah 11 Memahami dan Menganalisa Optimasi dengan Kendala ersamaan 1. Maksimum Kepuasan dan ermintaan Konsumen Misalkan seorang konsumen dihadapkan pada pilihan barang untuk dikonsumsi, aitu barang dan barang. Selain itu harga masing-masing barang tersebut adalah dan. Apabila anggaran ang dimiliki oleh konsumen hana sebesar B, maka secara formal persoalan optimisasi di atas dapat dinatakan sebagai : OF : Ma, s.: t + = B = ( ) ; (, > ) Fungsi Lagrange : Z = (, ) + λ B ( + ) FONC : Z = λ = (1) Z = λ = () Z = B λ = (3) Dari persamaan (1) dan persamaan () diperoleh : = = λ (4) ersamaan (4) menunjukkan bahwa untuk memperoleh kepuasan ang maksimum, seorang konsumen harus mengalokasikan anggaranna sedemikian rupa sehingga rasio dari marginal utilit terhadap harga untuk setiap komoditi adalah sama. Bentuk persamaan (4) dapat dinatakan dengan : MRS = = (5) Bentuk di atas untuk sisi kiri menggambarkan marginal rate of substitution dari barang dan ( MRS ), sedangkan sisi kanan menggambarkan rasio harga dari
kedua barang. Sehingga agar kepuasan konsumen optimal, maka haruslah MRS = sama dengan rasio harga dari kedua barang. Sementara itu jika kepuasan seseorang dianggap konstan dengan tingkat, maka dapat dinatakan bentuk sbb : (, ) = (6) Bentuk ini menggambarkan tempat kedudukan titik titik kombinasi dari dan pada tingkat ang tetap sebesar. Secara grafis dapat dinatakan sebagai : Indifferent curve d slope = = d d E Budget line slope = = d Secara matematis, dengan total differensial diperoleh : d = d + d = atau d d = (7) Dengan demikian, negative slope dari indifferent curve setara dengan ntuk masalah optimisasi di atas, SOSC na adalah : H = H = Jika diasumsikan bahwa H positif maka, MRS. > (8) Sekarang perhatikan kurva indifferent, dimana diketahui bahwa :
d = d Maka bentuk = = d d d d d d d d Ingat bahwa d d 1 d d = (9) d d d = + dan d Substitusi persamaan (1) ke persamaan (9) : d d d = + (1) d 1 d d d = d + + d d Ingat juga bahwa : (11) d d d d = dan = = (1) = = (13) Substitusi persamaan (1) dan (13) ke persamaan (11) : d 1 = d 1 = 1 = ( ) ( ) H = = (14) Jika SOSC terpenuhi maka d d >, dimana H > ; > ; >
d Karena > maka kurva indifferent adalah strictl conve. d Catatan : H > dipenuhi oleh, < dan >. Analisa Komparatif Statik Misalkan fungsi kepuasan konsumen didefinisikan sbb : ( ) OF : Ma =, s.: t + = B a) erlihatkan bahwa,, dan λ merupakan fungsi dari,, dan B b) Tentukan, Jawab :,, Fungsi Lagrange : Z = (, ) + λ B ( + ) FONC : Zλ = B = Z = λ = Z = λ = (1) Solusi bagi (1) adalah sekumpulan fungsi dimana variabel endogen merupakan fungsi dari variabel eksogen aitu : ( B ) ( ) ( ) λ = λ,, = B,, () = B,, Apabila () disubstitusi ke (1) maka : B =, λ = (3), λ = ( ) ( ) Ingat kembali bahwa (3) adalah sekumpulan fungsi implisit dengan aturan total differensial, maka dari (3) dapat dinatakan bentuk :
db d d d d = d + d λ d dλ = (4) d + d λ d dλ = Jika ingin dianalisis pengaruh satu variabel eksogen ( ) maka (4) menjadi : B, misalkan d = d = d d = db d λ + d + d = (5) dλ + d + d = Jika (5) diubah ke dalam bentuk matriks maka : λ = Kedua ruas dibagi dengan ( B) : λ 1 = Dari (7) dengan metode aturan Cramer diperoleh : 1 1 = = J 1 1 = = J (6) (7) (8) (9)
Jika ingin dianalisis pengaruh perubahan ( ) menjadi :, misalkan d = db = maka (4) d d = d d λ + d + d = λ d d λ + d + d = (1) Jika (1) diubah ke dalam bentuk matriks maka : λ = λ Kedua ruas dibagi dengan ( ): λ = λ (11) (1) 1 = λ J λ = + J J 1 T + T (13) menunjukkan bagaimana perubahan dalam mempengaruhi nilai optimal. Ada komponen dalam efek ini. ertama, T 1, ang berdasarkan (8) dapat dinatakan sebagai ( ) B. Dalam hal ini T 1 mengukur efek perubahan dalam B (budget atau income) terhadap nilai optimal, dimana itu sendiri adalah weighting factor. Karena diturunkan terhadap perubahan harga maka T 1
diinterpretasikan sebagai income effect of a price change. Saat meningkat, penurunan real income konsumen akan berpengaruh terhadap, sama halna dengan penurunan B, karenana ( ). Secara umum, natakan consumer s effective income loss dengan differensial db = d, maka db db = dan T1 = = d d (14) dimana T 1 mengukur efek perubahan dalam terhadap melalui B. Hal ini disebut dengan income effect. Jika konsumen diberikan kompensasi untuk menutupi kerugian effective income dengan pembaaran tunai ang secara numeric sama dengan db, maka karena neutralisasi income effect, komponen ke dua dari comparative static akan mengukur substitution effect dari perubahan dalam., aitu T Saat menganalisa efek perubahan dalam, asumsikan d = db =. Maka persamaan pertama dalam (4), dapat ditulis dengan : d d = d ntuk mengkompensasi konsumen, artina d = Karenana, vektor konstan dalam (1) harus diubah dari λ ke λ, dan kompensasi income menjadi : 1 λ = λ = = T J J kompensasi Sehingga (13) dapat dinatakan dalam bentuk : = T + T = + 1 kompensasi income effect substitution effect
1 = λ J T + T λ = J J 3 4