UJI KESTABILAN ARUS LISTRIK PADA RANGKAIAN ARUS SEARAH DENGAN METODE TRANSFORMASI LAPLACE ROUTH-HURWITZ SKRIPSI Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains CHANDRA L. P. SIMBOLON 030803003 DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008
PERSETUJUAN Judul : UJI KESTABILAN ARUS LISTRIK PADA RANGKAIAN ARUS SEARAH DENGAN METODE TRANSFORMASI LAPLACE ROUTH-HURWITZ Kategori : SKRIPSI Nama : CHANDRA L. P. SIMBOLON Nomor Induk Mahasiswa : 030803003 Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA Diluluskan di Medan, 17 Agustus 2008 Komisi Pembimbing : Pembimbing II Pembimbing I Drs.Ujian Sinulingga, M.Si Dra. Mardiningsih, M.Si NIP. 131 412 312 NIP. 131 803 344 Diketahui/Disetujui Oleh Departemen Matematika FMIPA USU Ketua, Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 131796149
PERNYATAAN UJI KESTABILAN ARUS LISTRIK PADA RANGKAIAN ARUS SEARAH DENGAN METODE TRANSFORMASI LAPLACE ROUTH-HURWITZ SKRIPSI Saya mengakui bahwa Skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri kecuali beberapa kutipan dari ringkasan yang masing masing disebutkan sumbernya. Medan, 9 Agustus 2008 CHANDRA L. P. SIMBOLON 030803003
PENGHARGAAN Segala puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan rahmat-nya yang telah membimbing dan menyertai penulis selama proses pengerjaan sampai akhirnya dapat menyelesaikan Skripsi ini dengan baik. Adapun penulisaan Skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi syarat untuk mencapai gelar Sarjana Sains. Terkait dengan keberadaan penulis di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, maka penulis dalam hal ini memilih judul UJI KESTABILAN ARUS LISTRIK PADA RANGKAIAN ARUS SEARAH DENGAN METODE TRANSFORMASI LAPLACE ROUTH-HURWITZ Penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada Ibu Dra. Mardingsih, M.Si selaku Pembimbing 1 atas segala bimbingan, arahan dan kebaikan untuk meluangkan waktu, tenaga, pikiran dan bantuan pengetahuan kepada penulis. Ucapan terima kasih juga ditujukan kepada Bapak Drs. Ujian Sinulingga, MSi selaku Pembimbing 2 atas segala nasehat dan saran yang berharga dalam penyelesaian skripsi ini. Dalam penulisan skripsi ini, penulis banyak menerima bantuan, dorongan serta fasilitas dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis juga mengucapkan terima kasih kepada : 1. Bapak Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara Medan. 2. Bapak Dr. Saib Suwilo, Msc dan Bapak Drs. Henry Rani Sitepu, Msc selaku Ketua dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU yang membantu kelancaran studi penulis. 3. Seluruh Staff Pengajar Departemen Matematika FMIPA USU atas segala ilmu dan bimbingan yang telah diberikan kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. 4. Agustinus Sianturi calon S.Si, Saut Dame Hasudungan Sipayung, S.Si, Sutrisno Mariono Simamora, S.Si, Jeffrey S.Si, Tatang, Pudan S.Si, Samuel, Herman S.Si, Dewi Simbolon S.Si dan Rekan-rekan mahasisiwa Departemen Matematika stambuk 2003 atas dorongan yang diberikan kepada penulis. Teristimewa penulis mengucapkan banyak terima kasih kepada Ayahanda M. Simbolon dan Ibunda N. br Batubara yang tercinta yang senantiasa memberikan nasehat, bimbingan serta dukungan moril maupun materil kepada penulis, begitu juga kepada adik-adikku tersayang (Corry, Helen, Sri) yang turut berdoa untuk keberhasilan penulis dalam menyelesaikan perkuliahan.
Penulis menyadari bahwa Skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, oleh karena itu demi perbaikan dan penyempurnaan, penulis terbuka atas kritik dan saran yang bersifat membangun dari berbagai pihak. Mudah-mudahan Skripsi ini bermanfaat bagi para pembaca. Medan, Agustus 2008 Penulis, Chandra L. P. Simbolon
ABSTRAK Rangkaian arus listrik searah adalah rangkaian listrik dengan arah arus listriknya selalu bergerak dari kutub negatif ke kutub positif. Dan bila dinyatakan dalam model di 1 matematik adalah sebagai berikut: L + Ri + i dt = e( t). Sehingga untuk dt C menyelesaikan solusi dari persamaan tersebut banyak metode yang digunakan salah satunya adalah metode transformasi Laplace. Untuk menganalisa kestabilan dari sebuah sistem dalam hal ini adalah sistem listrik banyak juga metode yang dapat digunakan. Antara lain adalah metode persamaan karakteristik dan metode Routh-Hurwitz. Dan bila I( s) persamaan diatas ditransformasi Laplace akan menjadi LsI ( s) + RI( s) +. Cs
DAFTAR ISI Halaman Persetujuan Pernyataan Penghargaan Abstrak Abstract Daftar Isi Daftar Tabel Daftar Gambar ii iii iv v vi vii ix x Bab 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang 2 1.2 Perumusan Masalah 2 1.3 Pembatasan Masalah 2 1.4 Tujuan Penelitian 2 1.5 Manfaat Penelitian 2 1.6 Metodologi Penelitian 4 1.7 Tinjauan Pustaka 4 Bab 2 Landasan Teori 2.1 Arus Listrik 5 2.1.1 Rangkaian Arus Listrik Searah 5 2.2 Persamaan Diferensial 7 2.2.1 Persamaan Diferensial Orde Satu 7 2.2.2 Persamaan Diferensial Orde Dua 8 2.3 Integral Parsial 9 2.4 Transformasi Laplace 9 2.4.1 Defisnisi 9 2.4.2 Transformasi Laplace Balik 11 2.4.3 Teorema Nilai Awal Dan Nilai Akhir 12 2.5 Teori Kestabilan 13 2.5.1 Definisi 13 2.5.2 Fungsi Alih Dalam Wawasan Laplace 15 2.5.3 Persamaan Karakteristik 17 2.5.4 Diagram Kotak Dan Diagram Aliran Sinyal 19 2.5.5 Pengertian Variabel Dan Persamaan Keadaan 23 2.5.6 Daigram Keadaan 24 2.5.7 Analisis Kestabilan 28 Bab 3 Pembahasan 3.1 Solusi Komplementer Untuk Sistim Listrik 37 3.2 Pemakaian Transformasi Laplace Dalam Sistim Listrik 38 3.3 Contoh Kasus 42
Bab 4 Kesimpulan dan Saran 4.1 Kesimpulan 50 4.2 Saran 51 Daftar Pustaka 52 Lampiran Tabel Transformasi Khusus 53
DAFTAR TABEL Tabel Trasnformasi Laplace Khusus 53 Halaman
DAFTAR GAMBAR Halaman Gambar 2.1 Kurva 17 Gambar 2.2 Diagram Balok 17 Gambar 2.3 Jaringan Terbuka Dan Tertutup 18 Gambar 2.4 Diagram Kotak 19 Gambar 2.5 Diagram Aliran Sinyal 20 Gambar 2.6 Diagram Aliran Sinyal Untuk Turunan 20 Gambar 3.1 Rangkaian Listrik 37 Gambar 3.2 Rangkaian Listrik RLC 39 Gambar 3.7 Diagram Keadaan 47