Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN

Didownload dari ririez.blog.uns.ac.id BAB I PENDAHULUAN Makalah ini akan membahas tentang tabel kehidupan. Meskipun distribusi parametrik survival mempunyai kelebihan dalam hal meringkas proses kematian atau kegagalan dengan jumlah parameter yang kecil dan merupakan pokok dari fungsi matematika analisis, penggunaan beberapa model kelangsungan hidup ditampilkan pada tabel kehidupan. Distribusi dari variabel random umur kematian dapat diringkas dalam tabel kehidupan. Begitu banyak tabel yang digunakan dalam berbagai ilmu pengetahuan. Akibatnya banyak kasus dikembangkan menggunakan tabel kehidupan. Sebagai contoh, seorang insinyur menggunakan tabel kehidupan untuk mempelajari reliabilitas dari mesin yang kompleks dan sistem elektronik. Di bidang kesehatan, menggunakan tabel kehidupan untuk membandingkan keefektifan perlakuan alternatif dari penyakit serius. Ahli demografi menggunakan tabel kehidupan sebagai perkakas dalam kumpulan proyeksi. Selain itu, tabel kehidupan masih banyak digunakan di berbagai bidang yang lainnya. Dalam pembahasan ini, tabel kehidupan digunakan untuk menentukan modelmodel desain sistem asuransi untuk membantu individu dalam menghadapi ketidakpastian mengenai waktu kematian mereka. Tabel kehidupan merupakan komponen yang sangat diperlukan dari banyak model dalam ilmu asuransi. Faktanya, beberapa sarjana mulai memperkenalkan ilmu asuransi sejak tahun 1693. Pada tahun tersebut, Edmund Halley menerbitkan An Estimate of the Degrees of the Mortality of Mankind, drawn trom Various Tables of Births and Funerals at the City of Bresnau. Tabel kehidupan dinamakan Tabel Bresnau, yang terdapat di paper Halley. Sampai sekarang tabel kehidupan banyak digunakan di berbagai negara. Untuk itu mempelajari tabel kehidupan tersebut sangat penting. Tabel kehidupan menggambarkan lama hidup, mortalitas, dan harapan hidup pada interval umur tertentu. Sebuah tabel kehidupan biasanya berisi tentang tabulasi, oleh umur seseorang, dari fungsi dasar,, dan kemungkinan tambahan fungsi turunan. Dimana adalah probabilitas orang akan meninggal pada umur, adalah jumlah orang yang hidup pada umur, sedangkan adalah jumlah orang yang meninggal pada umur. Probabilitas bersyarat dan tak bersyarat dari kematian dan survival dapat diestimasi dengan menggunakan tabel kehidupan. 1

BAB II PEMBAHASAN Tabel kehidupan Meskipun distribusi parametrik survival mempunyai kelebihan dalam hal meringkas proses kematian atau kegagalan dengan jumlah parameter yang kecil dan merupakan pokok dari fungsi matematika analisis, penggunaan beberapa model kelangsungan hidup ditampilkan pada tabel kehidupan. Diberikan inisial cohort atau kelompok dengan anggota, tabel kehidupannya dimulai dari jumlah atau ukuran kelompok dari permulaan sampai waktu habis. Inisial dari ukuran kelompok disebut radix. Probabilitas bersyarat dan tak bersyaratdari kematian dan survival dapat diestimasi dengan menggunakan tabel kehidupan. Dinotasikan sebagai jumlah dari orang yang selamat (survivor) selain pada saat umur. Ketika tabel kehidupan memberikan nilai sebagai bilangan bulat, bukan berarti saat nilai kecil sebagai umur yang sangat muda sama seperti kurang dari satu tahun. Selain itu, tabel kehidupan mempunyai batas atas umur atau umur maksimum., maka =0. Probabilitas bersyarat dan tidak bersyarat dapat diekspresikan sebagai fungsi dari dengan =0,,. Nilai ini merupakan estimasi yang kuat dari probabilitas nyata. Bagaimanapun, kita tidak bisa membedakan antara probabilitas nyata dengan nilai estimasi. Kesulitan ini dapat diatasi dengan mendefinisikan untuk >0 sebagai ekspektasi jumlah orang yang selamat pada umur. Kelebihan dari definisi ini adalah untuk menghindari penggunaan notasi topi pada nilai estimasinya. Akan tetapi, sebagai catatan kita bahwa tabel kehidupan dikonstruksikan dari data yang sebenarnya. Berdasarkan seminar tentang pendidikan, diambil kesimpulan bahwa dugaan dari nilai ekspektasi disimbolkan sebagai ekspektasi jumlah orang yang selamat pada umur. Maka, = = adalah jumlah kematian pada interval (, +1), interval (, + ) adalah jumlah kematian pada 2

Probabilitas bersyaratnya atau laju kematian pada interval (, + ) dapat dihitung berdasarkan rumus tabel kehidupan = = Dengan adalah probabilitas seseorang akan meninggal pada usia tahun, probabilitas seseorang berusia tahun akan meninggal dalam waktu tahun. adalah sedangkan peluang hidupnya, =1 =1 = = ( ) = =1 =1 = = ( ) = Dengan adalah probabilitas seseorang akan bertahan hidup pada usia tahun, adalah probabilitas seseorang berusia tahun akan bertahan hidup hingga tahun kedepan. Dari persamaan = Dan persamaan = Dapat dibentuk = = Dengan = merupakan probabilitas seseorang berusia tahun akan meninggal dalam waktu tahun setelah bertahan hidup selama. Pada definisi contohnya., adalah probabilitas bayi baru lahir dan bertahan hidup sampai umur, = ( ). 3

Dapat dilihat dari persamaan Dapat dibentuk = = ( )= = ( ) yang berhubungan langsung pada tabel kehidupan dengan SDF Tabel 9.1 Ilustrasi Tabel Kehidupan untuk Hipotesis Populasi (laki-laki) 0 1000000 8456 0.00846 1 991544 515 0.00052 51 903367 5711 0.00632 2 991029 463 0.00047 52 897656 6171 0.00687 3 990565 417 0.00042 53 891485 6674 0.00749 4 990149 376 0.00038 54 884811 7227 0.00817 5 989773 340 0.00034 55 877584 7820 0.00891 6 989433 307 0.00031 56 869764 8454 0.00972 7 989126 278 0.00028 57 861310 9133 0.01060 8 988848 258 0.00026 58 852177 9862 0.01157 9 988590 245 0.00025 59 842315 10644 0.01264 10 988345 256 0.00026 60 831671 11464 0.01378 11 988089 296 0.00030 61 820207 12322 0.01502 12 987793 340 0.00034 62 807885 13230 0.01638 13 987453 402 0.00041 63 794655 14180 0.01784 14 987051 485 0.00049 64 780475 15177 0.01945 15 986566 586 0.00059 65 765298 16215 0.02119 16 985980 711 0.00072 66 749083 17293 0.02309 17 985269 862 0.00087 67 731790 18409 0.02516 18 984407 1020 0.00104 68 713381 19561 0.02742 19 983387 1173 0.00119 69 693820 20742 0.02990 4

20 982214 1286 0.00131 70 673078 21925 0.03257 21 980928 1343 0.00137 71 651153 23096 0.03547 22 979585 1401 0.00143 72 628057 24257 0.03862 23 978184 1448 0.00148 73 603800 25392 0.04205 24 976736 1478 0.00151 74 578408 26483 0.04579 25 975258 1509 0.00155 75 551925 27515 0.04985 26 973749 1541 0.00158 76 524410 28464 0.05428 27 972208 1575 0.00162 77 495946 29310 0.05910 28 970633 1613 0.00166 78 466636 30062 0.06442 29 969020 1657 0.00171 79 436574 30693 0.07030 30 967363 1713 0.00177 80 405881 31144 0.07673 31 965650 1783 0.00185 81 374737 31381 0.08374 32 963867 1855 0.00192 82 343356 31384 0.09140 33 962012 1938 0.00201 83 311972 31123 0.09976 34 960074 2036 0.00212 84 280849 30583 0.10889 35 958038 2138 0.00223 85 250266 29743 0.11885 36 955900 2245 0.00235 86 220523 28598 0.12968 37 953655 2356 0.00247 87 191925 27156 0.14149 38 951299 2478 0.00260 88 164769 25432 0.15435 39 948821 2609 0.00275 89 139337 23457 0.16835 40 946212 2765 0.00292 90 115880 21274 0.18359 41 943447 2945 0.00312 91 94606 18937 0.20017 42 940502 3138 0.00334 92 75669 16512 0.21821 43 937364 3346 0.00357 93 59157 14070 0.23784 44 934018 3574 0.00383 94 45087 11686 0.25919 45 930444 3815 0.00410 95 33401 9432 0.28239 46 926629 4073 0.00440 96 23969 7374 0.30765 47 922556 4347 0.00471 97 16595 5560 0.33504 48 918209 4632 0.00504 98 11035 4026 0.36484 49 913577 4927 0.00539 99 7009 2784 0.39720 50 908650 5283 0.00581 100+ 4225 4225 1.00000 5

Tabel 9.2 Ilustrasi Tabel Kehidupan untuk Hipotesis Populasi (perempuan) 0 1000000 6904 0.00690 1 993096 431 0.00043 51 948844 3379 0.00356 2 992665 382 0.00038 52 945465 3688 0.00390 3 992283 337 0.00034 53 941777 4026 0.00427 4 991946 299 0.00030 54 937751 4401 0.00469 5 991647 265 0.00027 55 933350 4807 0.00515 6 991382 235 0.00024 56 928543 5250 0.00565 7 991147 208 0.00021 57 923293 5730 0.00621 8 990939 188 0.00019 58 917563 6251 0.00681 9 990751 175 0.00018 59 911312 6817 0.00748 10 990576 175 0.00018 60 904495 7410 0.00819 11 990401 189 0.00019 61 897085 8029 0.00895 12 990212 204 0.00021 62 889056 8692 0.00978 13 990008 225 0.00023 63 880364 9397 0.01067 14 989783 254 0.00026 64 870967 10145 0.01165 15 989529 285 0.00029 65 860822 10939 0.01271 16 989244 321 0.00032 66 849883 11785 0.01387 17 988923 363 0.00037 67 838098 12681 0.01513 18 988560 402 0.00041 68 825417 13628 0.01651 19 988158 434 0.00044 69 811789 14627 0.01802 20 987724 460 0.00047 70 797162 15705 0.01970 21 987264 480 0.00049 71 781457 16866 0.02158 22 986784 500 0.00051 72 764591 18077 0.02364 23 986284 521 0.00053 73 746514 19353 0.02592 24 985763 543 0.00055 74 727161 20691 0.02845 25 985220 564 0.00057 75 706470 22064 0.03123 26 984656 588 0.00060 76 684406 23460 0.03428 27 984068 613 0.00062 77 660946 24867 0.03762 28 983455 639 0.00065 78 636079 26327 0.04139 29 982816 668 0.00068 79 609752 27829 0.04564 6

30 982148 705 0.00072 80 581923 29287 0.05033 31 981443 750 0.00076 81 552636 30675 0.05551 32 980693 797 0.00081 82 521961 31955 0.06122 33 979896 852 0.00087 83 490006 33090 0.06753 34 979044 915 0.00093 84 456916 34039 0.07450 35 978129 981 0.00100 85 422877 34759 0.08220 36 977148 1053 0.00108 86 388118 35206 0.09071 37 976095 1130 0.00116 87 352912 35335 0.10012 38 974965 1212 0.00124 88 317577 35102 0.11053 39 973753 1300 0.00134 89 282475 34471 0.12203 40 972453 1401 0.00144 90 248004 33420 0.13476 41 971052 1517 0.00156 91 214584 31933 0.14881 42 969535 1644 0.00170 92 182651 30021 0.16436 43 967891 1779 0.00184 93 152630 27711 0.18156 44 966112 1925 0.00199 94 124919 25053 0.20055 45 964187 2081 0.00216 95 99866 22128 0.22158 46 962106 2251 0.00234 96 77738 19031 0.24481 47 959855 2434 0.00254 97 58707 15880 0.27050 48 957421 2632 0.00275 98 42827 12802 0.29892 49 954789 2849 0.00298 99 30025 9919 0.33036 50 951940 3096 0.00325 100+ 20106 20106 1.00000 Tabel 9.1 dan 9.2 menunjukkan suatu tabel susunan kehidupan dengan populasi awal pada umur 0 setara dengan 1,000,000. Yang digambarkan pada tabel kehidu`pan untuk pria dan wanita, suatu harapan yang diurutkan berdasarkan pada proses kematian pada populasi hypothetical. Pada tabel kehidupan ditunjukkan kolom, dan untuk setiap umur. Pada gambar 9.1 titik dan untuk 0 50 merupakan gambaran populasi pria dalam Tabel 9.1. Dengan mengamati mengenai tabel kehidupan dapat dibuat 1. Secara substansial tingkat atau laju kematian bayi pada lebih besar daripada untuk 50. Tingkat atau laju kematian bayi penting untuk pengukuran kelangsungan hidup pada bayi, anak anak, dan wanita hamil karena ini berhubungan dengan berbagai macam faktor, seperti kesehatan ibu, kualitas dan perkembangan 7

pengobatan, kondisi sosialekonomi, dan pelayanan kesehatan umum. Ini juga sering digunakan sebagai indikator ukuran kesehatan pada suatu negara. 2. Pada pria usia 1 10 tahun tingkat kematian q x berkurang secara perlahan, lalu meningkat dari x sama dengan 10 sampai 20 tahun. Setelah umur 21, q x secara terusmenerus memiliki kecenderungan yang menaik secara kuadratik. Begitu juga untuk perempuan. 3. Lebih dari setengah pada populasi pria memiliki harapan bertahan hidup sampai umur 76 tahun dan lebih dari seperempat mempunyai harapan untuk bertahan hidup sampai umur 85 tahun. Sedangkan untuk perempuan sampai umur 82 dan 90 tahun. 4. Pada kedua tabel pria dan wanita tidak menunjukkan batasan umur (ω) pada populasinya. Pada baris terakhir tabel hanya menunjukkan sebuah interval terbuka x > 100. Itu karena data kematian untuk usia tua masih sangat terbatas. Tetapi untuk beberapa aplikasi perencanaan asuransi, tabel kehidupan tertutup (closed life table) ( seperti perluasan pada interval terbuka dari x > 100 sampai akhir ω untuk setiap tabel) sangatlah diperlukan. Ada beberapa cara pada tabel kehidupan tertutup; salah satu metode yang mungkin adalah mengasumsikan fungsi parametrik kematian/bertahan hidup pada interval terbuka. Misalnya pada tabel 9.3 ditunjukkan closed life table untuk populasi hypothetical menggunakan sebuah distribusi Makeham dengan A = 0.002, a = 0.1 dan R = 0.000025 untuk pria, dan R = 0.000020 untuk wanita. Meskipun pengamatan diatas berdasarkan pada tabel kehidupan hypothetical, bentuk serupa juga sering ditemukan pada tabel kehidupan modern pada populasi manusia di kehidupan nyata. Table 9.3 Tabel Kehidupan Tertutup untuk Hipotesis Populasi Laki-laki Wanita 100 4225 1862 0.44071 20106 7481 0.37206 101 2363 1668 0.70588 12625 7884 0.62446 102 695 594 0.85468 4741 3732 0.78726 103 101 94 0.93409 1009 894 0.88651 104 7 7 1.00000 115 108 0.94066 105 = 7 7 1.00000 8

Figure 9.1 0,009 Plot dari qx untuk ilustrasi populasi pada Tabel 9.1 0,008 0,007 0,006 qx 0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0,000 0 10 20 age(x) 30 40 50 Contoh 9.8 Tabel memberikan gambaran probabilitas kondisi kelangsungan hidup dari suatu populasi: 0 1 2 3 4 5 0.8 0.7 0.6 0.4 0.2 0 (a) Hitung ( ) for = 0,1,...,6 (b) Buatlah suatu tabel kehidupan untuk populasi dengan = 100.000, beri nilai dari dan (c) Hitung 4, 2, 3. Penyelesaian : (a) Gunakan persamaan (9.32) dengan (0)=1 = = ( +1) ( ) = ( +1) ( ) 9

Nilai dari ( ), = 1,...,5 dapat dihitung berulang : ( +1)= ( ) (0)=1 (1)= (0)=0.8 1=0.8 (2)= (1)=0.7 0.8=0.56 (3)= (2)=0.6 0.56=0.336 (4)= (3)=0.4 0.336=0.1344 (5)= (4)=0.2 0.1344=0.02688 (6)= (5)=0 0.02688=0 ( ) 0 1 1 0.8 2 0.56 3 0.336 4 0.1344 5 0.02688 6 0 (b) Dari (9.34) tabel kehidupan dapat dibuat : = ( ) =100.000 = (1)=100.000 0.8=80.000 = (2)=100.000 0.56=56.000 = (3)=100.000 0.336=33.600 = (4)=100.000 0.1344=13.440 = (5)=100.000 0.02688=2.688 = (6)=100.000 0=0 = = =100.000 80.000=20.000 = =80.000 56.000=24.000 = =56.000 33.600=22.400 = =33.600 13.440=20.160 10

= =13.440 2.688=10.752 = =2.688 0=2.688 0 100.000 20.000 1 80.000 24.000 2 56.000 22.400 3 33.600 20.160 4 13.440 10.752 5 2.688 2.688 6 0 - (c) Dari (9.31) kita dapat : = = = =100.000 13.440 Atau dapat juga diselesaikan dengan 4 = + + + = 20.000 + 24.000 + 22.400 + 20.160 = 86.560 Dari (9.32) kita dapat : = Atau dapat juga diselesaikan dengan = = = 33.600 2.688 = 30.912 33.600 33.600 =0.92 = = + 20.160 + 10.752 = =0.92 33.600 11

dan = = = 2.688 56.000 =0.048 Contoh 9.9 Diberikan ( )= ( ) untuk 0. Jika =100.000 dan =45.000, carilah nilai dan. Penyelesaian : Dari persamaan 9.34 = ( ) = (40) 1 45.000 = 100.000 (1+40) 45.000 100.000 = 1 (41) (41) =2,222 = ln(2,222) ln(41) Jadi untuk = (50) =100.000 =0,215 ( ), =42.941 Untuk digunakan persamaan 9.31 = 12

Sehingga diperoleh = 1 =100.000 (1+20), 100.000 1 (1+24), 1 =100.000 (21), 1 =1,912 (25), Contoh 9.10 Tentukan nilai berikut dari the male life table pada Tabel 9.1 (a) (b) (c) Penyelesaian : dari persamaan 9.32 = dan =1 a) = = 969.020 988.345 =0,9805 b) =1 =1 =1 903.367 980.928 =1 0,9209 =0,0791 13

Contoh 9.11 c) Dari persamaan 9.33 diperoleh = = = = 831.671 765.298 946.212 = 66.373 946.212 =0,0701 Dengan menggunakan Tabel 9.2 tentukan : (a) Probabilitas bahwa seorang perempuan berusia 25 akan mati dalam 10 tahun (b) Probabilitas bahwa seorang perempuan berusia 40 akan mati antara usia 55 dan 60 (c) Probabilitas bahwa seorang perempuan berusia 65 akan bertahan hidup sampai usia 95 Penyelesaian : (a) =1 =1 978.129 985.220 =1 0,9928 =0,0072 (b) (c) = = = 933.350 904.495 972.453 = 28.855 972.453 =0,0297 = 99.866 860.822 =0,1160 14

BAB III KESIMPULAN Meskipun distribusi parametrik survival mempunyai kelebihan dalam hal meringkas proses kematian atau kegagalan dengan jumlah parameter yang kecil dan merupakan pokok dari fungsi matematika analisis, penggunaan beberapa model kelangsungan hidup ditampilkan pada tabel kehidupan. Tabel 9.1 dan 9.2 menunjukkan suatu tabel susunan kehidupan dengan populasi awal pada umur 0 setara dengan 1,000,000. Yang digambarkan pada tabel kehidupan untuk pria dan wanita, suatu harapan yang diurutkan berdasarkan pada proses kematian pada populasi hypothetical. Pada tabel kehidupan ditunjukkan kolom, dan untuk setiap umur. Pada gambar 9.1 titik dan untuk 0 50 merupakan gambaran populasi pria dalam Tabel 9.1. Dengan mengamati mengenai tabel kehidupan dapat dibuat 1. Secara substansial tingkat atau laju kematian bayi pada lebih besar daripada untuk 50. Tingkat atau laju kematian bayi penting untuk pengukuran kelangsungan hidup pada bayi, anak anak, dan wanita hamil karena ini berhubungan dengan berbagai macam faktor, seperti kesehatan ibu, kualitas dan perkembangan pengobatan, kondisi sosialekonomi, dan pelayanan kesehatan umum. Ini juga sering digunakan sebagai indikator ukuran kesehatan pada suatu negara. 2. Pada pria usia 10 20 tahun tingkat kematian q x berkurang secara perlahan, dari x sama dengan 1 sampai 10. Setelah umur 21, q x meningkat dengan konstan. Begitu juga untuk perempuan. 3. Lebih dari setengah pada populasi pria memiliki harapan berrtahan hidup sampai umur 76 tahun dan lebih dari seperempat mempunyai harapan untuk bertahan hidup sampai umur 85 tahun. Sedangkan untuk perempuan sampai umur 82 dan 90 tahun. 4. Pada kedua tabel pria dan wanita tidak menunjukkan batasan umur (ω) pada populasinya. Pada baris terakhir tabel hanya menunjukkan sebuah interval terbuka x > 100. Itu karena data kematian untuk usia tua masih sangat terbatas. Tetapi untuk beberapa aplikasi perencanaan asuransi, tabel kehidupan tertutup (closed life table) ( seperti perluasan pada interval terbuka dari x > 100 sampai akhir ω untuk setiap tabel) sangatlah diperlukan. Ada beberapa cara pada tabel kehidupan tertutup; salah satu metode yang mungkin adalah mengasumsikan fungsi parametrik kematian/bertahan hidup pada interval terbuka. Misalnya pada tabel 9.3 ditunjukkan closed life table 15

untuk populasi hypothetical menggunakan sebuah distribusi Makeham dengan A = 0.002, a = 0.1 dan R = 0.000025 untuk pria, dan R = 0.000020 untuk wanita. Meskipun pengamatan diatas berdasarkan pada tabel kehidupan hypothetical, bentuk serupa juga sering ditemukan pada tabel kehidupan modern pada populasi manusia di kehidupan nyata. 16