METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE

METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MASALAH STURM-LIOUVILLE oleh HILDA ANGGRIYANA M0109035 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit 2013to user i

ii

ABSTRAK Hilda Anggriyana, 2013. METODE ITERASI VARIASIONAL PADA MA- SALAH STURM-LIOUVILLE. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berdasarkan bentuk persamaan diferensialnya terdiri dari dua jenis, yaitu linear dan nonlinear. Ide pokok menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear adalah menentukan parameter eigen (λ) dan fungsi eigen (y(x)) yang bersesuaian dengan λ. Pada beberapa masalah Sturm-Liouville, penyelesaian eksak tidak mudah atau bahkan tidak dapat ditentukan, sehingga perlu ditentukan penyelesaian hampiran sebagai aternatif. Metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear. Penyelesaian hampiran yang diperoleh dengan metode iterasi variasional ditentukan dengan memformulasikan persamaan diferensial orde dua linear dan nonlinear ke bentuk fungsi koreksi y n+1 (x) = y n (x) + x 0 µ(l[y n (s)] + N[ỹ n (s)] g(s))ds, dengan L adalah operator diferensial linear dan N adalah operator diferensial nonlinear. Metode ini dinilai efisien dan akurat. Tujuan utama skripsi ini, yaitu mengkaji kembali penggunaan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear berpangkat dua. Berdasarkan pembahasan diperoleh kesimpulan bahwa metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear. Pada kasus linear penyelesaian eksak dapat diperoleh hanya dengan satu iterasi, sedangkan pada kasus nonlinear berpangkat dua peyelesaian hampiran diperoleh melaui dua iterasi. Kata kunci: metode iterasi variasional, masalah Sturm-liouville, nilai eigen, fungsi eigen. iii

ABSTRACT Hilda Anggriyana, 2013. VARIATIONAL ITERATION METHOD FOR STURM-LIOUVILLE PROBLEMS. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. By separating the variables in a heat conduction problem occurs Sturm- Liouville problems. Based on the differential equation form, there are two types of Sturm-Liouville problems, linear and nonlinear. The main idea to solve linear and nonlinear Sturm-Liouville problems are determined the (λ) parameter as eigenvalue and eigen function (y(x)). It is not easy to find an exact form solution of some Sturm-Liouville problems, so that an aproximate solutions to these problems is needed, for alternative. Variational iteration method is used to solve linear and nonlinear Sturm- Liouville problems. Aproximation solutions obtained by formulated the linear and nonlinear second order differential equation to the following correction function y n+1 (x) = y n (x) + x 0 µ(l[y n (s)] + N[ỹ n (s)] g(s))ds, where L is a linear differential operator and N is a nonlinear differential operator. These method is efective and accurate. The main purpose of this thesis are to review an applied variational iteration method to solve the linear and nonlinear second order Sturm-Liouville problems. The results shows that the exact solution of linear case obtained only by one iteration, while for nonlinear second order, approximation solutions are obtained by two iterations. Key words: variational iteration method, Sturm-Liouville problems, eigen value, eigen function. iv

MOTTO Keberhasilan dapat diraih, hal ini harus diyakini, dan untuk mencapainya harus dengan kerja keras serta doa pada Allah SWT yang selalu kontinu. (Penulis) v

PERSEMBAHAN Karya sederhana ini kupersembahkan kepada : kedua orangtuaku dan keluarga Om Joko-Tante Indah di Klaten. Terima kasih untuk doa, semangat, dan cintanya. vi

KATA PENGANTAR Segala puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari bantuan, dorongan, serta bimbingan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada 1. Bapak Drs. Sutrima, M.Si. selaku Pembimbing I dan Ibu Dra. Yuliana Susanti, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan mengarahkan dalam penyusunan skripsi ini. 2. HIMATIKA dan teman-teman mahasiswa Jurusan Matematika angkatan 2009 atas kebersamaan dan kebahagiaan yang menambah semangat penulis, serta seluruh pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pihak yang memerlukan. Surakarta, Desember 2013 Penulis vii

DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL............................ i ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv MOTTO................................... v PERSEMBAHAN.............................. vi KATA PENGANTAR........................... vii DAFTAR ISI................................ ix DAFTAR GAMBAR............................ x DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL.................... xi I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 3 1.3 Batasan Masalah........................... 4 1.4 Tujuan................................. 4 1.5 Manfaat................................ 4 II LANDASAN TEORI 5 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 5 2.1.1 Pengali Lagrange....................... 5 2.1.2 Variasi Gâteaux........................ 6 2.1.3 Kondisi Stasioner....................... 7 2.1.4 Metode Iterasi Variasional commit to. user................. 8 2.1.5 Masalah Sturm-Liouville................... 9 viii

2.1.6 Ruang Fungsi Eigen Sturm-Liouville............ 10 2.2 Kerangka Pemikiran......................... 12 III METODE PENELITIAN 13 IV PEMBAHASAN 14 4.1 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Linear............ 14 4.2 Penyelesaian Masalah Sturm-Liouville Nonlinear.......... 15 4.3 Contoh................................. 16 V PENUTUP 28 5.1 Kesimpulan.............................. 28 5.2 Saran.................................. 28 DAFTAR PUSTAKA 29 ix

DAFTAR GAMBAR 4.1 Plot Fungsi Eigen y(x) = y k (x) = C k sin(kx)............ 20 144(3+16k 4.2 Plot Fungsi Eigen y 1 (x, λ) = C k sin( 2 π 2 ) 27(1+x) 4 x)... 23 6(1+x) 3 4.3 Plot Fungsi Eigen y 2 (x, λ), 0 x 1................ 27 x

DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL µ : pengali Lagrange λ : nilai eigen y(x) : fungsi penyelesaian eksak y n (x) : fungsi penyelesaian hampiran yang diperoleh melalui n-iterasi y n+1 (x, λ) : fungsi koreksi T : operator diferensial L : operator diferensial linear N : operator diferensial nonlinear ỹ n (x, λ) : variasi terbatas δỹ n (x, λ) : variasi Gâteaux dari variasi terbatas δy n+1 (x, λ) : variasi Gâteaux dari fungsi koreksi R : himpunan bilangan real P : pangkat dari fungsi y(x) y 0 : fungsi awal λ k : nilai eigen ke-k y k : fungsi eigen dari suatu nilai eigen λ k [a, b] : interval tertutup a dan b V : ruang vektor X : ruang vektor kompleks u ε : turunan parsial terhadap ε : dot product pada R 3 R d : ruang linear berdimensi d C 1 [a, b] : himpunan fungsi yang mempunyai turunan pertama kontinu pada [a, b] H : ruang Hilbert X : ruang vektor kompleks 0 : vektor 0 f, g : hasil kali dalam dari fungsi f dan g xi

L 2 : himpunan fungsi penyelesaian (ruang Hilbert) dari masalah Sturm-Liouville y P : pangkat ke-p i : 1 atau bilangan imajiner xii

Bab I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Pada proses penyelesaian induksi panas dengan teknik pemisahan variabel muncul masalah Sturm-Liouville. Masalah Sturm-Liouville berbentuk persamaan diferensial linear yang dilengkapi syarat batas d dx [p(x) d dx y(x)] + q(x)y(x) = λr(x)y(x), (1.1) α 1 y(a) + β 1 y (a) = 0, α 2 y(b) + β 2 y (b) = 0, (1.2) dengan p(x) > 0, r(x) > 0, fungsi p(x), p (x), q(x), r(x) merupakan fungsi kontinu dalam interval tertutup [a, b], r(x) adalah fungsi bobot dan α 1, α 2, β 1, β 2 adalah konstanta real. Parameter λ merupakan nilai eigen yaitu suatu nilai yang menyebabkan masalah Sturm-Liouville mempunyai penyelesaian nontrivial dan y(x) yang bersesuaian dengan λ disebut fungsi eigen dari persamaan (1.1). Ide pokok dari masalah (1.1)-(1.2) adalah menentukan λ dan fungsi y(x) yang bersesuaian dengan λ (Haberman, [7]). Pada perkembangannya, persamaan Sturm-Liouville (1.1) dapat dikembangkan untuk kasus nonlinear. Secara khusus, berdasarkan Altintan dan Uğur [1], masalah Sturm-Liouville nonlinear diberikan oleh persamaan diferensial nonlinear y (x) + y P (x) = λy(x), x I = (0, l), (1.3) yang dilengkapi dengan syarat batas y(0) = y(l) = 0, (1.4) 1

dengan l > 0, λ > 0, P merupakan pangkat dari y(x) dan P > 1. Pada beberapa masalah Sturm-Liouville tidak mudah atau bahkan tidak dapat ditentukan penyelesaian eksaknya, sehingga diperlukan penyelesaian hampiran sebagai alternatif. Penelitian terhadap metode penyelesaian masalah Sturm- Liouville masih terus dilakukan sampai dengan saat ini. Somali dan Gokmen [12] menggunakan metode dekomposisi adomian untuk menyelesaikan masalah Sturm-Liouville. Selain itu, Altintan dan Uǧur [1] juga telah menyelesaikan masalah Sturm-Liouville menggunakan metode iterasi variasional, namun pada kasus nonlinear penyelesaian yang diperoleh mendasarkan pada metode dekomposisi adomian yang dilakukan oleh Somali dan Gokmen [12]. Metode iterasi variasional adalah metode untuk menyelesaikan suatu persamaan diferensial. Metode ini memiliki karakteristik membentuk formula iterasi yang merupakan fungsi penyelesaian dari persamaan diferensial tersebut. Formula iterasi yang merupakan fungsi penyelesaian disebut fungsi koreksi dan memuat pengali Lagrange (µ). Fungsi koreksi yang optimum dapat diperoleh dengan teori variasional yang mendasarkan pada variasi Gâteaux. Berdasarkan He [9], konsep dasar dari metode iterasi variasional yaitu diawali dengan mengambil pemisalan persamaan T y(x) = g(x), x I (1.5) dengan T merupakan operator diferensial yang bekerja pada fungsi y(x) yang berada pada suatu interval I R. Fungsi y(x) dan g(x) merupakan fungsi kontinu untuk semua x I. Dalam metode iterasi variasional, operator T dapat dinyatakan sebagai jumlahan dari operator linear (L) dan nonlinear (N), sehingga persamaan (1.5) dapat dituliskan sebagai L[y(x)] + N[y(x)] = g(x). (1.6) Dari (1.6) dapat dibentuk fungsi koreksi x y n+1 (x) = y n (x) + µ(l[y n (s)] + N[ỹ n (s)] g(s))ds. (1.7) 0 Pada (1.7), y n adalah fungsi yang diperoleh melalui n iterasi, dan ỹ n merupakan variasi terbatas yang variasi Gâteauxnya bernilai nol (δỹ n (x, λ) = 0). 2

Pada penelitian sebelumnya, Ganji et al. [5] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan Hirota-Satsuma, penyelesaian hampiran yang dihasilkan lebih akurat jika dibandingkan dengan metode dekomposisi adomian. Biazar et al. [3] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesai- kan pendekatan dari suatu sistem persamaan diferensial, pada penelitiannya disimpulkan bahwa proses penyelesaian menggunakan metode iterasi variasional sederhana atau mudah diaplikasikan dan akurat. Khaled dan Belal [10] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan persamaan oskilator nonlinear. Selain itu, Barari et al. [2] menggunakan metode iterasi variasional untuk menyelesaikan masalah syarat batas linear maupun nonlinear, sebagai hasilnya diperoleh bahwa pada masalah linear penyelesaian hampiran dapat diperoleh hanya dengan satu iterasi. Dari fakta-fakta di atas, maka metode iterasi variasional dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai jenis masalah persamaan diferensial. Masalah syarat batas Sturm-Liouville (1.1)-(1.2) dan (1.3)-(1.4) dapat dituliskan kembali ke bentuk persamaan (1.6)-(1.7). Oleh karena itu, pada pembahasan ini akan dikaji kembali mengenai penerapan metode iterasi variasional pada penyelesaian masalah Sturm-Liouville linear dan nonlinear dengan P = 2 berdasarkan Altintan dan Uğur [1]. 1.2 Perumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan dapat diambil dua perumusan masalah yaitu 1. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi variasional? 2. bagaimana menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan metode iterasi variasional? 3

1.3 Batasan Masalah Dalam penelitian ini, permasalahan dibatasi hanya pada masalah Sturm- Liouville linear dan nonlinear tipe regular dengan syarat batas tertentu, serta pada masalah nonlinear diberikan P = 2. 1.4 Tujuan Penelitian ini bertujuan untuk 1. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville linear menggunakan metode iterasi variasional, 2. menyelesaikan masalah Sturm-Liouville nonlinear menggunakan metode iterasi variasional. 1.5 Manfaat Penelitian ini diharapkan dapat menerapkan metode iterasi variasional pada penyelesaian masalah Sturm-Liouville linear maupun nonlinear. 4