A SOLUSI NUMERIK SISTEM PERSAMAAN LINEAR. Metode Eliminsi Guss Tinu sistem persmn liner ng terdiri dri i ris dn peuh, kni,,,, erikut.......... i i i Jik =, sistem persmn linern diseut sistem homogen, sedngkn ik, diseut sistem tkhomogen. Sistem persmn liner di ts dpt dituliskn dlm entuk mtriks: i i i dn secr sederhn ditulis A dengn A i i i,, dn Sistem persmn liner di ts ug dpt dituliskn dlm entuk mtriks ng diperlus segi erikut. ~ A i i i. Tig Kemungkinn Solusi Sistem Persmn Liner.
() Memiliki solusi tunggl () Memiliki nk solusi (tkhingg) () Tidk memiliki solusi CONTOH Tentukn solusi sistem persmn liner erikut.,,. Penelesin Mtriks ng diperlus ng sesui dengn sistem persmn di ts dlh Thpn penelesinn segi erikut. () ris pertm diut tetp. ris kedu diuh sedemikin sehingg unsur mtrik ris pertm kolom kedu mendi nol. Crn segi erikut: ris kedu dikurngi oleh kli ris pertm ( ), hsiln simpn di ris kedu sehingg diperoleh mtriks ru erikut. () ris ketig diuh ug dengn cr mengurngkn ris ketig oleh ris pertm ( ), diperoleh () ris ketig diuh lgi sedemikin sehingg unsur pd ris ketig kolom kedu mendi nol. Crn, klikn ris ketig dengn kemudin tmhkn oleh ris kedu ( + ), diperoleh
() gi ris ketig oleh, diperoleh Sistem persmn liner ng sesui dengn mtriks terkhir dlh Msukkn = ke persmn, diperoleh Selnutn, msukkn = dn (secr umum) = ke persmn, diperoleh ( ) Jdi, solusi sistem persmn liner di ts dlh (,, ) = (,, ). Metode penelesin sistem persmn liner seperti di ts diseut metode eliminsi Guss. engn cr ini, peuh terkhir (dlm contoh di ts: ) ditemukn terleih dhulu, kemudin, dn. Prosesn diseut sustitusi mundur (ck sutitution). Unsur mtriks pd ris ng diut tetp ng tept erd di ts unsur ng di nol kn pd ris diwhn diseut pivot. Pd contoh di ts, ngk pd ris pertm dn ngk pd ris kedu dlh pivot. Penulisn thpn penelesin dengn metode eliminsi Guss dpt disingkt. Untuk contoh di ts dpt ditulis segi erikut.,,. : Secr umum, prosedur sistemtik untuk menelesikn sistem persmn liner menggunkn metode eliminsi Guss segi erikut. () Pstikn sistem persmn liner terseut dlm kedn stndr, kemudin tulis mtriks ng ersesuin dengnn. () Jik perlu, pertukrkn risn untuk mendptkn pivot ng cocok. () ut semu ilngn di wh pivot mendi nol. () Sekrng, ikn ris pertm dn kolom pertm. Ulngi dn pd sumtriks ng tersis. Untuk mtriks ng leih dri tig ris, selnutn ikn du ris pertm dn du kolom pertm, ulngi dn. emikin seterusn sehingg diperoleh entuk mtriks segitig ts ng diperlus. () Terkhir, tulis sistem persmn ng sesui dengn mtriks segitig ts ng diperlus. Lkukn sustitusi mundur untuk mendptkn solusin. CONTOH Pechkn sistem persmn liner erikut.
w w w Penelesin Gunkn metode eliminsi Guss mk ) :( : ) :( ) :( Sistem persmn liner ng sesui dengn mtriks terkhir dlh w ri ris terkhir diperoleh. ri persmn ke- diperoleh, dri persmn ke- diperoleh ) ( (),
dn dri persmn ke- diperoleh w engn demikin, solusi sistem persmn liner di ts dlh ( w,,, ) (,,, ). SOAL-SOAL LATIHAN. Tentukn solusi sistem persmn liner di wh ini menggunkn metode eliminsi Guss... w w w.. Hukum tegngn Kirchoff mentkn hw umlh tegngn pd sutu lintsn tertutup dlh nol. Jik prinsip ini diterpkn pd gmr rngkin di wh ini, diperoleh sistem persmn liner segi erikut. R R ) ( R I R I R I E R I R R R ) ( I R I E Gunkn metode eliminsi Guss untuk menentukn nili I, I, dn I ik dikethui: R = R = R =, R = R =, R =, E = V, E = V, dn E = V. R I RI R R R ) ( I E E R I I R R I R R E R E. eterminn; Aturn Crmer.. Menentukn eterminn eterminn didefinisikn untuk mtriks persegi. Untuk mtriks :
A c d determinnn dlh det A c d d c Perhtikn peredn penulisn mtriks dn determinn mtriks. Unsur-unsur mtriks A erd di dlm tnd kurung [ ], sedngkn unsur-unsur determinn A ditulis di dlm. CONTOH Tentukn det A ik A. Penelesin det A ( )() ()() Untuk mtriks n n: det A n n n n nn Menentukn nili determinn A di ts dpt dilkukn dengn cr erikut. Misln kit ingin mencri det A Kit kelurkn stu ris dn stu kolom mk kn diperoleh determinn dengn orde leih rendh. Misln kit kelurkn ris dn kolom ng mengndung unsur, kni unsur pd ris ke- dn kolom ke-: mk tersis M M diseut minor dri. Minor ertnd i ( ) Mi diseut kofktor dri i. Setelh mendptkn kofktor dri i, kit dpt menentukn determinnn segi erikut:
Klikn setip unsur slh stu ris (tu kolom) dengn kofktorn dn umlhkn hsiln. Untuk memudhkn mengingt, tnd dri kofktor (+ tu ) untuk setip unsur segi erikut. dst dst CONTOH Tentukn determinn A ik A Penelesin Misln kit gunkn ris pertm. Unsurn dlh,, dn. Minor dri dlh Minor dri dlh Minor dri dlh engn mengingt tnd dri kofktor dst dst mk diperoleh
det A ( ) ( ) () Hsil ng sm kn diperoleh ik kit mil ris tu kolom ng lin. Untuk mengecek, mil kolom mk diperoleh det A ( ) ( ) ( ) Metode menentukn determinn seperti ng telh kit lkukn di ts merupkn slh stu entuk dri pengemngn Lplce dri sutu determinn. Jik determinnn orde ke- tu leih, menggunkn pengemngn Lplce memerlukn wktu ng pnng. Metode ini dpt disederhnkn mellui kentn-kentn erikut:. Jik setip unsur dri stu ris tu kolom dri determinn diklikn dengn ilngn k, nili determinn diklikn dengn k.. Nili determinn sm dengn nol ik () semu unsur dlm stu ris tu kolom dlh nol, tu () du ris tu du kolom identik, tu (c) du ris tu du kolom sending/proporsionl.. Jik du ris tu du kolom dri determinn dipertukrkn, nili determinn ergnti tnd (dri + mendi tu selikn).. Nili determinn tidk eruh ik () ris ditulis segi kolom tu selikn, tu () kit menmhkn pd setip unsur slh stu ris (tu kolom), k kli dri unsur pd ris (tu kolom) lin, dengn k sutu ilngn. Selnutn, determinn dpt ditentukn menggunkn reduksi ris lm hl ini, dikn pivot sellu ernili, kemudin unsur di whn mendi nol (seperti pd eliminsi Guss untuk mtriks). Kit muli dri contoh ng pling sederhn. CONTOH Tentukn determinn Penelesin. ris pertm merupkn keliptn dri mk determinn di ts dpt ditulis mendi Selnutn, ris ke- dikurngi oleh kli ris ke-. Prosesn ditulis segi erikut Jdi, Pengemngn Lplce
. Kit cek dengn menggunkn rumus determinn : ()() ) ()(. CONTOH Tentukn. Penelesin K: Lplce n Pengemng ) ( )()} ( )() {(. Jdi,. CONTOH Tentukn determinn Penelesin ) K:(
Pengemngn Lplce, tn d determinn ergnti :( ) Pengemngn Lplce {()( ) ()( )} { ) Jdi,.. Aturn Crmer Tinu sistem persmn liner erikut. c d e f Untuk mendptkn, klikn persmn ke- dengn d dn persmn ke- dengn, kemudin kurngi persmn ke- oleh persmn ke-, mk diperoleh ed d f c engn cr serup, diperoleh f d lm notsi determinn, ce c e e d c, ed f, f ce, c d f d c f Solusi dri sistem persmn di ts secr umum dpt ditulis dn.
lm entuk mtriks, sistem persmn liner di ts ditulis c d e f Untuk mendptkn, kit tinggl gnti kolom pertm dengn unsur kolom pling knn, sedngkn untuk mendptkn, gnti kolom kedu dengn unsur kolom pling knn. CONTOH Gunkn turn Crmer untuk memechkn sistem persmn liner erikut. Penelesin lm entuk mtriks, sistem persmn liner di ts ditulis:. ( ) ()() ( ) ()() () ()() engn demikin diperoleh dn CONTOH Penelesin Gunkn turn Crmer untuk menentukn solusi sistem persmn liner erikut. () () ( )
) ( () () () () () ) ( () () engn demikin diperoleh,, SOAL-SOAL LATIHAN. Tentukn determinn erikut.... Tentukn solusi sistem persmn liner erikut menggunkn turn Crmer...