Mata Kuliah GELOMBANG-OPTIK OPTIK TOPIK I SUB TOPIK OSILASI GANDENG
C. SISTEM OSILASI DUA DERAJAT KEBEBASAN:OSILASI GANDENG Satu derajat kebebasan: Misalkan: pegas yang memiliki satu simpangan Dua derajat kebebasan: Misalkan: pegas yang memiliki dua simpangan berbeda
C. OSILASI GANDENG PEGAS k m k m k Keadaan Setimbang ψ ψ Keadaan Umum Sistem pegas gandeng, terdiri dari tiga pegas yang konstanta pegasnya sama yakni k, dan dua benda yang massanya sama juga yakni m. Sistem ini terletak pada permukaan datar tanpa gesekan.
Untuk benda m, hukum II Newton: ψ ψ m m... (.4)
Untuk benda m, hukum II Newton: ψ ψ m m... (.5)
Persamaan umum gelombang dengan... (.6)... (.7) Masukan solusi umum penyelesaian persamaan gelombang kedalam (.6) dan (.7)
Atau dalam bentuk matrik: Dengan determinan ( )( ω + a ω + a ) a a = ( ) ( ) ω a + a ω + a a a a = Persamaan kuadrat dalam ω ω Ingat Rumus abc (akar pers. Kuadrat)! ( a + a ) I, II = ± 4 ( a + a ) ( a a a a )
Jika Maka Mode tinggi Perbandingan amplitudo Mode I Mode II? A A = a ( ω a ) II
Untuk kasus Maka + Jika maka
Solusi persamaan merupakan osilasi pusat massa gerak osilasi pusat massa ini mempunyai frekuensi yang sama dengan frekuensi osilasi pegas tunggal, pegas penggandeng hanya berfungsi sebagai penyelaras gerak osilasi. Perpindahan masing-masing benda mempunyai besar dan arah yang sama ψ ψ =ψ ψ =ψ ψ
_ Jika maka
Solusi persamaan merupakan osilasi relatif ψ ψ =ψ ( ==+ ) IIIIII At cos( ) ψ =ψ ψ cos = + ( AAt ) ( ωφ ) II Gerak osilasi seluruh sistem merupakan superposisi linier dari kedua osilasi harmonik tersebut, yaitu: ψ = ψ I + ψ II
OSILASI GANDENG RANGKAIAN LC I I I C C 3 C II Osilasi Gandeng Rangkaian LC Rangkaian LC gandeng yang terdiri dari tiga kapasitor yang kapasitansinya sama yakni C, dan dua induktor yang induktansinya juga sama yakni L, seperti pada gambar. Mula-mula rangkaian ini dihubungkan dengan suatu sumber, dan setelah tercapai resonansi sumber dilepas kembali.
Hukum II Kirchoff, dalam rangkaian tertutup V = Loop I : V V V + + = L C C di Q Q L + + = dt C C Q L + + = (.8) d dq dq dt C dt C dt
d dq dq dt LC dt LC dt I + + = d I + I + I = dt L C L C I = I + I I = I - I 3 3 Dari hukum I Kirchoff Maka : d 3 dt LC LC I + I + I - I = ( ) d 3 dt LC LC LC I + + I I =... (.9)
Loop II V V V + + = 3 L C C di Q Q 3 3 L + = dt C C3 d I3 I I3 dt LC LC3 + = d I3 ( I I3 ) I3 dt LC LC3 + = + + = d I3 I I3 dt LC LC3 LC... (.)
Mode normal I =I sin( ω t- ϕ) n n n d I dt d I3 dt = ω I = ω I 3 Subsitusikan pada pers. (.9) Subsitusikan pada pers. (.) I I ω I + + 3 = LC LC LC ω I I + + 3 = LC LC LC
I I ω + + 3 = LC LC LC ω I3 I + + I3 = LC LC3 LC Dalam bentuk matrik ω L C L C L C + I3 I = 3 + ω LC3 LC LC I I + ω LC LC LC3 3 =
Determinan matrik ω ω LC3 LC LC3 LC LC LC + + = + + + LC LC3 LC LC ( ) ( ) ( ω ω ω ) + + + X = LC LC LC LC3 LC LC Ingat!!! Rumus abc ( ) ( ω ω ) A B C = Silahkan selesaikan!!!! Persamaan kuadrat
ANALISIS OSILASI HARMONIS Fungsi gangguan ψ(t) yang periodik dapat diuraikan sebagai superposisi linier dari fungsi harmonik sederhana dengan amplitudo dan frekuensi tertentu, melalui uraian deret Fourier sebagai berikut: ψ ω ω { n n } ( t) = a + a cos( n t) + b sin ( n t) n= dengan a n dan b n disebut koefisien-koefisien Fourier. T an = ψ ( t) cos( nωt ) dt T T T bn = ψ ( t ) sin ( nωt ) dt T T dengan n =,,,3,, dan ω = π T (.) (.) (.3)
Untuk gangguan ψ(t) yang tidak periodik dapat diuraikan sebagai superposisi linier dari fungsi harmonik sederhana, melalui transformasi Fourier sebagai berikut: dengan iω t ψ ( t ) = g ( ω ) e dω π iω t g ( ω ) = f ( t ) e dt π (.4) (.5) Persamaan.4 menunjukkan bahwa gangguan yang tidak periodik dapat dinyatakan sebagai superposisi linier dan fungsi harmonik dalam spektrum ω yang kontinu. Analisis energi potensial dari sistem osilasi: ψ V F d k ( ψ ) = ( ψ ). ψ = ψ (.6) Jadi, fungsi energi potensial V(ψ) yang sebanding dengan ψ,mengungkapkan gerak osilasi harmonis dari sistem tersebut.
Sebaliknya dapat ditunjukkan bahwa setiap sistem dengan fungsi energi potensial yang berharga minimum pada suatu titik tertentu (misalnya di ψ= ψ ), maka sistem tersebut akan berosilasi di sekitar titik ψ tersebut. Syarat Minimum: dv = ψ = d ψ ψ d V > dψ ψ = ψ dan (.7) Fungsi potensial V(ψ) diekspansikan kedalam deret Taylor untuk ψ= ψ maka V ( ) V( ) ( ) ( ψ ψ ) dv d V... ψ = ψ + ψ ψ + + d ψ! d ψ ψ= ψ ψ= ψ
Mengingat persamaan (.7), maka persamaan terakhir ini dapat dituliskan dalam bentuk : V ( ψ ) V ( ψ ) ( ψ ψ ) d V! dψ ψ = ψ = (.8) Tampak bahwa persamaan (.8) ini merupakan bentuk yang sama dengan persamaan (.6), ini terpenuhi bila osilasinya mempunyai simpangan (aproksimasi) yang kecil.
Thanks for your Attention!!!