7// NILAI EIGEN dan VEKTOR EIGEN Yang dipelajari.. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya. Masalah Pendiagonalan Referensi : Kolman & Howard Anton. Ilustrasi Misalkan t : R n R n dengan definisi t(x) = A.x, utk setiap x R n dengan A adalah matriks ukuran nxn. Masalah : Dapatkah ditentukan vektor x s.d.h x dan Ax sejajar? Pertanyaan ini jika dituliskan secara matematis menjadi : Dapatkah ditentukan x sedemikian hingga Ax = x, utk suatu skalar.
7// Perhatikan gambar berikut: Masalah yang dikemukakan di atas merupakan awal munculnya istilah Nilai Eigen dan Vektor Eigen Masalah diatas merupakan permasalahan yang sering muncul di bidang selain matematik, misalnya dibidang fisika (fisika nuklir dan elastisitas), teknik (elektro dan kimia), biologi, mekanika kuantum. Definisi Misalkan A adalah matriks ukuran nxn. Suatu skalar yang memenuhi persamaan A.x = x disebut nilai eigen dari matriks A, dan vektor x R n disebut vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen.
7//. Masalah Nilai Eigen dan Penyelesaiannya Masalah Nilai eigen : Masalah mencari penyelesaian persamaan A.x =.x, dimana A adalah matriks sebarang ukuran nxn (diketahui), x vektor di R n dan adalah sebarang skalar di R (dicari). Ilustrasi Misalkan Maka yang berarti dan = ½. A A x
7// Gambarnya. Ax x Definisi Jika A adalah matriks berukuran nxn, maka nilai eigen dari A adalah akar-akar dari persamaan karakteristik matriks A.
7// Definisi Misalkan A = [a ij ] adalah matriks berukuran nxn. Polinomial Karakteristik dari A adalah p() = (det(i n A)) = a a : an a a a Persamaan karakteristik dari A adalah a a a det(i n A) = Penyelesaian dari persamaan diatas disebut akar-akar karakteristik dari matriks A. : n...... :... : n n nn Catatan: Polinomial karakteristik dari matriks berukuran nxn merupakan polinomial berderajad n, dan bisa dituliskan : p() = ( - a ) ( - a ) ( - a nn ) = n + c n- + c n- + + c n
7// 6 Contoh : Misalkan Tentukan polinomial karakteristik dan akar-akar karakteristik dari A. Penyelesaian: 7 A 7 det ) ( A I p 6, p Contoh Untuk nilai eigen = : dibentuk SPL (I A)x = Jadi vektor eigen: x = /x x x Tentukan nilai eigen dan vektor eigen untuk matriks pada contoh. Penyelesaian: / v Utk nilai eigen = : dibentuk SPL (I A)x = Jadi vektor eigen: x x x = x v
7// Teorema Jika A adalah sebuah matriks berukuran nxn dan λ adalah sebuah bilangan real, maka pernyataanpernyataan berikut ini ekivalen.. λ adalah sebuah nilai eigen dari A. Sistem persamaan (λi-a)x =, mempunyai solusi nontrivial. Terdapat sebuah vektor taknol x pada R n sedemikian rupa sehingga Ax=λx. λ adalah sebuah solusi dari persamaan karakteristik det (λi-a) = Teorema Jika k adalah bilangan bulat positif, λ adalah nilai eigen dai suatu matriks A, dan x adalah vektor eigen yang terkait dengan λ, maka λ k adalah nilai eigen dari A k dan x adalah vektor eigen yang terkait dengannya. 7
7// Contoh Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari A dengan A seperti contoh. Nilai eigen dari matriks A berdasarkan contoh adalah = dan =. Maka berdasarkan Teorema, nilai eigen dari A adalah = = 8 dan = = 7 dengan vektor eigen sama seperti pada contoh. Nilai eigen dan keterbalikan (invers) Teorema: Sebuah matriks bujursangkar A dapat dibalik ( mempunyai invers) jika dan hanya jika c = bukan merupakan nilai eigen dari A. Contoh : Pada contoh matriks A mempunyai invers karena nilai eigen tidak nol. 8
7// 9 Soal latihan Dapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari soal berikut serta apakah matris tersebut mempunyai invers: 7.... D C B A 8. 7. 6. 8. D C B A Anita T. Kurniawati MASALAH PENDIAGONALAN
7// MATRIKS SIMILAR Definisi Diberikan matriks A dan B berukuran nxn. Matriks B dikatakan similar dengan matriks A jika ada matriks P sedemikian sehingga B = P - AP Misalkan Misalkan juga Maka : P A Jadi B similar dengan A. Contoh : P B P AP
7// Masalah Pendiagonalan? Diberikan matriks A ukuran nxn. Apakah ada matriks s.d.h matriks A similar dengan matriks diagonal? Definisi Suatu matriks A nxn dikatakan dapat didiagonalkan (diagonalizable) jika ada matriks s.d.h. P - AP = D, dengan D adalah matriks diagonal.
7// Teorema Suatu matriks A nxn dapat didiagonalkan (diagonalizable) jika dan hanya jika A mempunyai n vektor eigen yang bebas linier. Diketahui matriks Contoh : A Nilai eigen dari A : = dan =. Vektor eigen yang bersesuaian dengan dan adalah : dan x p Dapat dibuktikan bahwa x dan x bebas linier. Selanjutnya, A dapat didiagonalkan, dengan P x p (Lihat contoh )
7// Prosedur Pendiagonalan Matriks Misalkan A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n vektor eigen yang bebas linier. Langkah Carilah n vektor eigen yang bebas linier, misalkan v, v,, v n. Langkah Susunlah vektor-vektor v i menjadi suatu matriks P. Langkah Kalikan P - AP, maka A akan similar dengan matriks diagonal D. Contoh : Diagonalkan matriks Penyelesaian: Persamaan karakteristik: A 8 8 8 8 9 Vektor eigen yang bersesuaian dengan = : v
7// Vektor eigen yang bersesuaian dengan = - adalah Dapat dibuktikan bahwa {v, v, v } adalah bebas linier (coba cek). Selanjutnya bentuk matriks P : dan dapat dihitung bahwa, v v P AP P Teorema Jika v, v,, v k adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen,,, k, maka {v, v,, v k } adalah bebas linier. Teorema Jika A adalah matriks ukuran nxn dan mempunyai n nilai eigen real yang berbeda (tanpa pengulangan), maka A (pasti) dapat didiagonalkan.
7// Misalnya. Pada Contoh, matriks A x mempunyai nilai eigen yang berbeda, maka A dapat didiagonalkan. Pada Contoh, matriks A x mempunyai nilai eigen berbeda (dengan = - adalah pengulangan), maka A dapat didiagonalkan karena A mpy vektor eigen yang bebas linier (Teorema ) Diberikan matriks Contoh : A Persamaan karakteristik dari A : p() = ( - ) = Shg nilai eigen dari A : = dan = =. Vektor eigen yang bersesuaian dengan = : vektor yang bersesuaian dengan = : Jadi menurut Teorema, A tidak dapat didiagonalkan.
7// 6 Soal Latihan Jika mungkin, diagonalkanlah matriks berikut:.. 6 6. 6 8. D C B A