ESTIASI INTERVAL SPLINE DALA REGRESI NONPARAETRIK uhd N, I Nyo Budtr hssw S Jurus Sttstk FIPA ITS Sury El: _s@yhoo.co Dose Jurus Sttstk FIPA ITS Sury Astrks Derk odel regres opretrk y ( ε, [],,,,. Kurv regres dsusk [ ] sooth, dl rt terut d dl rug Soolev. Uuy ests ttk dperoleh dr euk Pelzed Lkelhood (PL. Utuk eyeles opts PL, pr peelt egguk pedekt Reproducg Kerel Hlert Spce (RKHS tu Gteu. Sedgk utuk persol eres sepert ests tervl (tervl kodes utuk, egguk pedekt Byes. Tetp pedekt eerluk pegethu tetk yg relt tgg d sult dph oleh yk peggu Sttstk. Dl tuls, peuls egests ttk W p deg egguk opts Lkelhood d egkostruks selg kepercy utuk kurv regres deg pedekt Sple egguk Pvotl Qutty, yg erupk geerlss regres pretrk. Ieres sttstk yg dhslk secr tetk leh udh d sederh sert udh dph oleh peggu Sttstk. Seluty derk sutu lustrs uerk odel Sple utuk edug pol huug tr uur lt deg ert d lt d Kot Sury esert tervl kodesy. Kt kuc : Regres Nopretrk, Pelzed Lkelhood, Sple, Pvotl Qutty. Pedhulu Dl Sttstk utuk egethu odel pol huug tr vrel predktor d vrel respo y dpt dguk lss regres. Asusk dt erpsg (, y egkut odel regres y ( ε,,,,. Fugs ( erupk kurv regres d ε error rdo yg dsusk erdstrus orl depede deg e ol d vrs. Apl dl lss regres etuk kurv regres dkethu secr els, k odel regres terseut dk odel regres pretrk (Hrdle,99. Seg lustrs, k pol dt cederug egkut odel ler/kudrtk/kuk, k pedekt regres yg sesu utuk dt terseut dlh regres pretrk ler/kudrtk/kuk (Budtr. Dl kehdup yt sesugguhy tdk seu dt (, y dkethu pol huugy secr els. Apl pd ksus sepert, odel pretrk tetp dpksk seg odel pol dt k k dperoleh kespul yg eyestk. Regres opretrk erupk pedekt regres yg sesu utuk pol dt yg tdk dkethu etuky tu tdk terdpt ors s llu tetg pol dt (Budtr. odel regres opretrk yg serg edpt perht dr pr peelt dlh Kerel (Hrdle,99, Sple (Wh99; Crve d Wh979; Budtr et. l.,997, Deret Fourer d Wvelets (Atods, et. l.,994. Dl pedekt regres opretrk, dt dhrpk ecr sedr etuk pedugy tp dpegruh oleh ktor suyektts peelt. Dtr odel-odel regres opretrk d ts, Sple erupk odel regres yg epuy terprets Sttstk d Vsul sgt khusus d sgt k. odel Sple dperoleh dr sutu opts Pelzed Lest Squre (PLS d elk lekselts yg tgg (Budtr4. Dspg tu Sple pu eg krkter dt/ugs yg ulus (sooth. Sple ug elk kepu yg sgt k utuk eg dt yg perlkuy eruh-uh pd su-su tervl tertetu (Co d O Sullv996; Euk,988; Budtr6. Dl regres opretrk Sple, pedug kurv regres dperoleh dr opts PLS tu Pelzed Lkelhood (PL(Crve d Wh979; Budtr et. l.,997. Peyeles opts dperoleh deg egguk etode RKHS tu Gteu. etode secr tetk relt sult,
kre eerluk pegethu tetg Alss Rel d Alss Fugsol yg tgg, sehgg sult dph d dselesk oleh pr peggu regres opretrk Sple. Nu utuk edug kurv regres yg dperoleh dr opts Lkelhood dpt ed plh yg cukup k kre secr tetk udh d sederh. Sedgk utuk egkostruks selg kepercy pd kurv regres, eerp peelt sepert Wh (983 d Budtr ( egguk pedekt Byes deg egguk pror proper sehgg secr tets cukup sult. Ak tetp k selg kepercy dperoleh deg pedekt Pvotl Qutty tdk k eltk dstrus pror, sehgg dperoleh odel yg sederh d eres Sttstk yg relt udh (Euk, 988. Berdsrk hl dts, peuls tertrk utuk epelr pedekt sple egguk opts Lkelhood d euruk tervl kodes utuk kurv regres opretrk deg pedekt Pvotl Qutty. Peerp regres sple d tervl kodes k dguk utuk egethu pol rtrt ert d d uur lt khususy d kot Sury pd thu 7.. Ests Ttk Utuk Kurv Regres Derk odel regres opretrk y ( ε, [],,,,. Betuk kurv regres dsusk tdk dkethu, terut d dl rug Soolev W p [ ], deg : W p ( p [ ] { g ; ( d < } Seluty ests ttk utuk kurv dperoleh deg egguk Opts Lkelhood. Derk sutu Bss utuk rug Sple (Budtr( eretuk : deg : λ λ {,,,,..., }, (,, λ < λ d λ, λ, λ 3 erupk ttk-ttk kots. Ttk kots erupk ttk perpdu ers yg eperlhtk terdy peruh pol prlku dr ugs Sple pd tervl-tervl yg ered. Utuk setp ugs dl rug Sple dpt dytk ed : ( k λk, ( k deg erupk kostt yg erl rel. odel regres Sple dpt dtuls ed : y ( ε. k λk ε. k Apl dsusk sest rdo ε erdstrus orl depede deg e ol d vrs, k y ug erdstrus orl deg e ( d vrs L ( y, (π. Akty dperoleh ugs Lkelhood: / Ep( ( y Ep( ( y ( / ( π Ests ttk utuk dperoleh deg eyelesk Opts Lkelhood { L( y, } R π / { ( Ep( ( y k λk } k Apl dl trsors Logrt d eggt pers ( k dperoleh ugs : Log L ( y, λ, log(π ( y k λk. k Deg pey trks, dperoleh : Log L ( y, λ, log( π ( y T, ( y T,, ( deg,,,,,, y,..., ( y, d, y (3, derk oleh : T, ( λ ( 3 4 5 6, T trks erukur λ λ λ L L O L λ λ λ Apl pers ( ddervtk prsl terhdp keud hsly dsk deg ol, ddpt :.
Log L(y, λ, [ ( y T, ( y T, ]. Deg sedkt per d eggt erupk trks deg rk peuh, k T, dperoleh ests Lkelhood utuk dlh : ˆ, [ T,, ( T ], Esttor kurv regres derk oleh :, deg : W, ( λ Terlht hw T, [ T,, W, y, T T, [ T,,, T T ( λ y. ], T ( λ y. ], T ( λ. erupk esttor ler dl oservs y d sgt tergtug pd ttk kots λ { λ, λ,..., λ }. Dl odel Sple ttk kots hrus dplh deg erg etode sepert Geerlzed Cross Vldto (GCV (Budtr d Wh983, Cross Vldto (CV (Crve d Wh979, Geerlzed u Lkelhood (GL (Wg,998, tu etode-etode yg ly. Esttor ler sgt etu dl egu eres Sttstk, sepert tervl kodes utuk kurv regres. 3. Itervl Kodes Utuk Kurv Regres Persol eres yg sgt petg dl regres Sple, dlh tervl kodes utuk kurv regres,,,...,. Utuk eperoleh ( tervl kodes, uuy dguk pedekt Byes (Wh983 ; 99 d Wg,998. Dl tuls dguk pedekt l ytu Pvotl Qutty. Kre ε ( ε,..., ε erdstrus I N(, k : y erdstrus N(,. Seluty vrel rdo N( (,[ T,, Ekspekts d Vrs dr derk oleh : E( ( I ˆ, λ erdstrus ] T.,, T, [ T,, T, T,, erturut-turut T ], Vr(,, T ( λ (, d T [ T,,, T ], T ( λ W. Kre st lerts dr dstrus orl k vrel rdo :, ( erdstrus N(, Jk dl Trsors : tu : U U (,,, λ, λ,..., λ, λ, λ,..., λ, W., ( W ( -, ω, λ, λ,..., λ ˆ ˆ k λk k ω, λ, λ,..., λ,,,...,. deg ω, λ, λ,..., λ elee dgol ke- dr trks W,. Vrel rdo U, λ, λ,..., λ erdstrus N(,. Deg U,, λ,..., λ dek λ erupk Pvotl Qutty utuk Kurv regres. Itervl Kodes pers: deg ( α dperoleh dr eyelesk P( U, λ, λ,..., λ α, R, R, d <,,...,. Pers d ts dpt dytk ed : P( ˆ α K k ˆ k λ ω, λ, λ,..., λ k
Deg sedkt per dperoleh tervl kodes α utuk, utuk,,..., P K ˆ k ˆ ˆ ( λ ω, λ, λ,..., λ K ˆ k k k λ ω, λ, λ,..., λ k k α Deg egguk kosep Itervl kodes terpedek, hrus dtetuk l (3 R d R, l( sehgg pg dr tervl pd Pers (3 terpedek. Utuk tuu, dcr peyeles opts ersyrt erkut. { l( } R, R R, R {( ω, λ, λ,..., λ } Deg syrt : ϕ( u du α, tu, (4 Φ( Φ( ( α (5 Fugs ϕ erupk dstrus prolts N(, d Φ erupk dstrus prolts Kuult N(,. Opts (4 d (5 dpt dselesk deg egguk etode Lgrge ultple. Detuk ugs Lgrge : Ω ( c ( ω, λ, λ,..., λ c [ ϕ( u du ( α ]. Seluty deg edervtk ugs terhdp d c dperoleh: Ω( c Ω( c ω, λ, λ,..., λ cϕ( Ω( c. (6 ω, λ, λ,..., λ cϕ( Ω( c Φ( Φ( ( α c. (7 (8 Pers (6 d (7 eghslk peyeles : ϕ ( ϕ(. (9 eggt pers (8 d U ~ N (, peyeles Pers (9 dlh ert y 4 6 8 4 3 4 5 uur y k, tu. Tetp pers tdk eeuh. Jd gr dperoleh tervl kodes terpedek hrus dl l d yg eeuh pers : α ϕ ( u du ϕ( u du ( Jk tgkt kodes α derk k l d dpt dlht dl tel dstrus N(,. Itervl kodes α utuk kurv regres,,,..., derk oleh Pers (3, deg d eeuh Pers (. 4. Aplks odel d Itervl Kodes Sple Pd uuy pol pertuuh lt tdklh kost tetp terd peruh pol pertuuh pd uur-uur tertetu. Sek kelhr sp uur 6 ul pertuuh lt uuy sgt pest, tetp setelh uur 6 ul pertuuhy gk perlh. Hl dpt dlht deg eodelk pol huug tr uur d ert d lt d Kot Sury deg odel sple polol tructed : p p k p λk k (, utuk erg l p yg euuk orde sple d erg yg euuk yk ttk kot. Utuk elh ttk kot optl dl odel sple dguk etode GCV. Deg egguk Progr S-Plus ddptk l GCV terkecl,5694 terd pd odel sple kudrtk deg tg ttk kot pd uur 4 ul uur 8 ul d uur 4 ul. Gr. Plot dt d sple kudrtk deg ttk kot 4, 8 d 4, GCV:.5694
Setelh dperoleh ttk ttk kot optu seluty dlkuk pedug pd odel: 3( λ λ λ 4 5 3 Secr legkp odel regres sple setelh dperoleh l l ests dr yg sgk dlh seg erkut : 3.556999.94369 -.5973.5939 8.7474 4.35834 4 Dr hsl pelh ttk ttk kot optl 4, 8, 4, dperoleh R.99687, tu R 99,68% Tel. Rgks sttstk ests preter odel sple kudrtk. ert y Koese Ests Stdev t-ht. 4 6 8 4 3.556999.647854 57.85758.94369.596 8.78995 -.5973.83648-7.579 3.35834.37463 3.8486 4.5939.4365 3.6569 5.7474.94 7.77547 Jd erdsrk Tel, dpt dspulk pul hw odel sple kudrtk deg ttk-ttk kot 4, 8 d 4 deg l GCV.5694 dlh ed seg odel pedekt utuk dt. Setelh edptk odel sple terk deg odel kudrtk tg ttk kot 4, 8 d 4 ul k dgu tervl kodes 95%. Kurv erwr ht dlh kurv sple deg ttk kot optl d kurv l erturut-turut erupk tervl kodes sple wh d ts. Gr. Itervl Kodes Sple 3 4 5 uur y 5. Kespul. Utuk eperoleh ests ttk kurv regres dl regres opretrk sple, uuy dguk opts Pelzed Lkelhood. Dspg tu dpt pul egguk opts Lkelhood yg eerk hsl relt udh.. Utuk egu tervl kodes dl regres opretrk sple, uuy dguk pedekt Byes. Pedekt Pvotl Qutty ug dpt dguk d eerk hsl yg relt sederh. 3. odel Sple kudrt sgt ed utuk dguk edug pol huug tr uur lt d ert d lt d Kot Sury. 6. Reeres Atods, A., Gregorre, G. d ckegu, W., 994, Wvelets ethods or Curve Estto, Jourl o the Aerc Sttstcl Assocto., 89, 34-353. Budtr I.N, Sur, d Soeoet, Z., 997, Weghted Sple Esttor, Bullet o the Itertol Sttstcl Istute, 5, 333-334. Budtr I.N, etode U, GL, CV d GCV Dl Regres Nopretrk Sple, lh Ilh Hpu tetk Idoes (IHI, 6, 85-9. Budtr I. N., Opts d Proyeks Dl Regres Nopretrk Sple, lh Berkl tetk d Ilu Pegethu Al (BIPA, Uversts Gdh d, 35-44. Budtr I.N, ( Regres Nopretrk d Sepretrk Sert Perke-gy klh Pecr Ut pd Ser Nsol Alu Psc Sr tetk Uversts Gdh d Yogykrt. Budtr I.N, ( Ests Pretrk d Nopretrk utuk Pedekt Kurv Regres, klh Pecr Ut pd Ser sol Sttstk V, Jurus Sttstk Fkults tetk d Ilu Pegethu Al Isttut Tekolog Sepuluh Nopeer (ITS, Sury. Budtr I.N, 4, Sple : Hstors, otvs, d Pery Dl Regres Nopretrk, klh Pecr Ut pd Koeres Nsol tetk XII, Jurus tetk Fkults tetk d Ilu Pegethu Al Uversts Udy (UNUD, Depsr. Budtr I.N, 6, Regres Nopretrk Dl Sttstk klh Pecr Ut pd Ser Nsol tetk Jurus tetk Fkults tetk d Ilu Pegethu Al Uversts Neger ksr (UN, ksr. Co, D. D. d O Sullv F.,996, Pelzed Type Esttor or Geerlzed Nopretrc Regresso, 983, Jourl o ultvrte Alyss, 56, 85-6. Crve, P. d Wh G.,979, Soothg Nose Dt wth Sple Fuctos, Nuersche thetcs, 3, 377-43.
Euk, R.L.,988, Sple Soothg d Nopretrc Regresso, rcel Deker, New York. Hrdle, W.,99, Appled Nopretrc Regresso, Crdge Uversty Press, New York. Soetgsh, (995, Tuuh Keg Ak, Lortoru Ilu Keseht Ak Uversts Arlgg Sury. Suprs I.N.,Bkr, B., d Fr, I., (, Pel Sttus Gz, Peert Buku Kedokter EGC, Jkrt. Wh G.,983, Byes Codece Itervl or the Cross Vldted Soothg Preter the Geerlzed Sple Soothg Proles, The Als o Sttstcs, 3, 378-4. Wh G.,99, Sple odels or Oservsol Dt SIA Pesylv. Wg, Y., 998, Sple Soothg odels Wth Correlted Errors, Jourl o the Aerc Sttstcl Assocto., 93, 34-348.