Sift-Sift Perklin Sklr Mislkn dn b sklr, D dn H mtriks sebrng dengn ordo sm, mk berlku sift-sift sebgi berikut. D + H (D + H) 2. D + bd ( + b)d 3. (bd) (b)d 4. Perklin Mtriks Du buh mtriks tu lebih selin dpt dijumlhkn tu dikurngkn, jug dpt diklikn. Untuk memudh kn And dlm memhmi perklin mtriks, peljri urin berikut dengn bik. Riki dn Fer membeli lt tulis di kopersi sekolh. Riki membeli 3 buh bolpoin dn 2 buku, sedngkn Fer membeli 2 buh bolpoin dn 5 buku. Jik hrg sebuh bolpoin Rp.000,00 dn hrg sebuh buku Rp2.500,00, berpkh hrg belnjn yng hrus dibyr oleh msingmsing sisw tersebut? Permslhn tersebut dpt disjikn dlm bentuk tbel berikut. Bolpoin Buku Riki Fer 2 5 Hrg Bolpoin.000 Buku 2.500 Penyelesin dri permslhn tersebut bis diselesikn dengn menggunkn ljbr bis tu menggunkn mtriks. Dlm hl ini, permslhn tersebut kn diselesikn menggunkn mtriks, sebgi pengntr untuk memhmi perklin mtriks yng kn And peljri. Lngkh pertm dlh menuliskn model dri mslh tersebut menjdi bentuk mtriks, sehingg diperoleh: Dt bnykny bolpoin dn buku yng dibeli oleh Riki dn Fer (dinytkn oleh mtriks P), yitu P 2 5 Dt hrg bolpoin dn buku (dinytkn oleh mtriks Q), yitu Q. 000 2. 500 Elemen bris pertm dn kolom pertm mtriks P menytkn bnyk ny bolpoin yng dibeli Riki, sedngkn elemen bris pertm dn kolom pertm mtriks Q menytkn hrg bolpoin. Dengn demikin, untuk mengethui hrg beli semu bolpoin yng dibeli Riki dlh dengn cr menglikn elemen bris pertm kolom pertm mtriks P dengn elemen bris pertm kolom pertm mtriks Q. Dlm hl ini, (3)(.000). Begitu pul untuk hrg beli buku yng dibeli Riki, yitu dengn cr menglikn elemen bris pertm kolom kedu mtriks P dengn elemen bris kedu kolom pertm mtriks Q, dlm hl ini (2)(2.500). Hrg belnjn yng dibyr Riki dlh penjumlhn dri hsil kli tdi, yitu (3)(.000) + (2)(2.500) 3.000 + 5.000 8.000. Jdi, hrg belnjn Riki Rp8.000,00. Tentukn hrg belnjn yng hrus dibyr oleh Fer? Mtriks 45
Cttn Jik mtriks A dpt diklikn dengn mtriks B, belum tentu mtriks B dpt diklikn dengn mtriks A Dri urin tersebut, dpt And kethui bhw untuk mendptkn besrny hrg belnjn kedu sisw tersebut dlh dengn cr menglikn mtriks P dn Q, sebgi berikut. 000 (.000) ( 2 2. ) 8. 000 PQ 2 5 2. 500 (. 000 ) ( 5 2. ) 6. 500 Perklin tersebut dinmkn perklin mtriks. Ketentun yng hrus And ingt, yitu perklin du mtriks bis dilkukn pbil bnykny kolom pengli (mtriks pertm yitu P) sm dengn bnykny bris mtriks yng diklikn (mtriks kedu yitu Q). Dri urin dikethui bhw ordo P 2 2 dn Q 2 dn hsil kliny berordo 2. P Q R ordo hsil (2 2) (2 ) (2 ) sm Secr umum, jik mtriks P berordo m p dn mtriks Q berordo p n mk mtriks hsil kli PQ berordo m n. Definisi Definisi Perklin Mtriks Du buh mtriks A dn B dpt diklikn (ditulis AB) jik bnyk kolom pd mtriks A sm dengn bnyk bris pd mtriks B. Elemen-elemen pd mtriks AB diperoleh dri penjumlhn hsil kli elemen bris pd mtriks A dengn elemen kolom pd mtriks B. Contoh Sol 2. Dikethui mtriks-mtriks berikut. - 0-2 5 - P Q R 2 5 7 4 3 0 Tentukn:. PQ b. QR c. RP - 0 -. PQ 2 5 7 ( (-3 )) + ( ) ( ) + ( ) ( (-3 )) + ( ) ( 2 2) + ( 7) - - 2 5 - b. QR 5 7 4-3 0 ( ) + ( ) ( ) + ( (- 3 )) ( (- ) ( 0 ) ( 5 2) ( 7 4) ( 5 5 ) ( 7 ( 3 )) ( 5 ( )) 7 ( 0) 2 2 3 38 4 5 c. RP Hsil kli mtriks R dn mtriks P tidk dpt dicri kren mtriks R tidk dpt diklikn dengn mtriks P (bnyk kolom mtriks R tidk sm dengn bnyk bris mtriks P). 46 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
Contoh Sol 2.2 Dikethui mtriks-mtriks berikut. 2 5 - A, B 0, C 4 7 2 Tentukn:. AB c. A(BC) b. BA d. (AB)C 2 5 -. AB 0 ( ( )) ( -5 ) (2 2) + ( - 5 ) - - ( ( 3)) + ( ) ( 2) + ( 0 ) - - 2 5 b. BA 0 ( ) + ( ) ( ( )) ( 2 0) - 4 5 ( ) + ( ) ( ( - 5)) ( 0) 3-5 c. A(BC) - 4 BC 7 2 ( ) + ( (-3 ( - )) + (2 2) 2 7 ( ) + ( ( (-)) ( 2) 2 5 2 7 A(BC) 0 ( ) + ( ) ( ) ( ) - 5 9 ( ) + ( ) ( ) + ( ) 2 7 d. (AB)C - - 4-7 2 ( 4) + ( ) ( (- ) (- 2) ( 4) + ( ) (-3 (- ) ) + ( 2 2) - 5 9 2 7 Dri Contoh Sol 2.2, dikethui beberp sift dri perklin mtriks selin sift-sift linny. Pembhsn Sol Dikethui mtriks A dn mtriks B berordo 2 2. Hrg (A + B) 2 dlh.... A 2 + 2A B + B 2 b. A 2 + A B + A B + B 2 c. A A + 2A B + B B d. A(A + B) + B(A + B) e. A 2 + 2B A + B 2 (A + B) 2 (A + B)(A + B) A(A + B) + B(A + B) A A + B B + B A + B B A 2 + A B + B A + B 2 Oleh kren pd perklin mtriks tidk berlku sift komuttif AB BA mk hrg (A + B) 2 A(A + B) + B(A + B) Jwbn: d Sumber: Sipenmru, 984 Sift-Sift Perklin Mtriks. AB π BA Tidk komuttif 2. A(BC) (AB)C Asositif 3. A(B + C) AB + AC Distributif 4. (A + B)C AC + BC Distributif 5. k(ab) ka(b) A(kB) Asositif 6. IA AI A Perklin dengn Identits 7. (AB) t B t A t 8. (BA) t A t B t Mtriks 47
Coblh Jik dikethui A Ê 4 x - 2 ˆ Á Ë + Ê - 6 8 ˆ Á Ë - -6 Ê ˆ Á Ë - + Ê ˆ 2 3 0 3 2 4 Á Ë - tentuknlh nili x. Sumber: UMPTN, 998 5. Perpngktn Mtriks Persegi Di Kels X And telh mengenl perpngktn sutu bilngn tupun perpngktn sutu vribel. Perpngktn dlh perklin berulng dri bilngn tu vribel tersebut sebnyk bilngn pngktny. Mislkn, 2 2 2 2 tu 2 2 3 2 2 2 3 2 dn seterusny. dn seterusny. Pd mtriks pun berlku turn seperti itu. Mislkn A dlh mtriks persegi dengn ordo n n mk bentuk pngkt dri mtriks A didefinisikn sebgi berikut. A 2 A A A 3 A A 2 A A A A n A A n A A A... A Sebnyk n buh Pembhsn Sol 0 Jik A 2 3 dn I mtriks stun ordo du mk A 2 2A +... 4 0 0 0. d. 0 4 4 4 0 0 2 0 b. e. 3 4 4 4 0 c. 3 4 A 2 A A 0 0 2 3 2 3 0 8 9 I mtriks stun ordo du. 0 Berrti I 0 A 2 2A + I 0 8 9 2 0 2 3 + 0 0 0 8 9 2 0 4 6 + 0 0 0 0 4 4 Jwbn: d Sumber: UMPTN, 993 Contoh Sol 2.3 Dikethui mtriks 2 A 0. Tentukn A 2 dn A 3 b. Tentukn 2A 3 3A 2 2 2 0. A 2 A A 0 0 0 2 0 2 A 3 A A 2 0 0 0 b. 2A 3 3A 2 2 2 3 0 0 0 2 4 3 0 0 2 0 3-4 0-5 Contoh Sol 2.4 Dikethui mtriks-mtris 2 2x y B dn D 4 3 -z w Tentukn nili-nili w, x, y dn z yng memenuhi persmn 2B 2 3D. 2B 2 3D 2 B B 3D 48 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
2 2 2 x y 4 3 4 3 -z w 2 0 5 6x 3 y 20 5-3 3w 0 0 6x 3 y 40 0-3 3w Dengn memperhtikn elemen-elemen mtriks yng seletk, diperoleh 6x 0 x 0 3y 0 y 0 3 3z 40 z 40 3 3w 0 w 0 3 Nili w, x, y dn z yng memenuhi persmn 2B 2 3D dlh w 0 3, x 0, y 0 3 dn z 40 3. Tes Pemhmn 2.3 Kerjknlh sol-sol berikut di buku ltihn And.. Crilh hsil opersi mtriks berikut.. - 5 3 4 0 + 4-2 -7 b. 5 3-5 3 4 2 7 9 2 5 0 c. 3-2 2 + 3-5 4 d. 2 3 0 2 2. Crilh mtriks X, yng memenuhi 4-2 5 3 4 + 2 X 7-4 5 2-3. Crilh nili w, x, y, dn z pd persmn berikut. x 2 - w 3 + 5 4 y 2 8-7 z 4. Dikethui mtriks-mtriks - 3 2 A, B 2 0-2, dn C 3-2 2 Tentukn nili :. A B d. B t A t b. (B + C)A e. A(BC) c. (3A)(2B) 5. Dikethui mtriks-mtriks P 2 0, Q 2-0 dn R 2 - Tentukn nili:. 2P + Q 2 3R c. P 2 Q 2 b. (P Q)(P + Q) d. (P Q)(P + Q) P 2 + Q 2 D. Determinn dn Invers Mtriks Penglmn mempeljri subbb sebelumny kn di pergun kn dlm mempeljri determinn dn invers mtriks pd subbb ini.. Determinn Mtriks Persegi Pd bgin sebelumny, And telh mengenl mtriks persegi, yitu mtriks yng bnyk brisny sm dengn bnyk kolomny. Pembhsn mteri determinn mtriks persegi yng dibhs di buku ini dibtsi hny smpi mtriks 3 3. Mtriks 49
Coblh x - Jik A 2x + 3 x mk jumlh semu nili x, sehingg A 27 dlh... Sumber: SPMB, 976. Determinn Mtriks 2 2 Mtriks berordo 2 2 yng terdiri ts du bris dn du kolom. Pd bgin ini kn dibhs determinn dri sutu mtriks berordo 2 2. Mislkn A b dlh mtriks persegi ordo 2 2 dengn bentuk A. c d Definisi Determinn mtriks A di definisikn sebgi selisih ntr perklin elemenelemen pd digonl utm dengn perklin elemen-elemen pd digonl sekunder. Determinn dri mtriks A dinotsikn dengn det A tu A. Nili dri determinn sutu mtriks berup bilngn rel. Berdsrkn definisi determinn sutu mtriks, And bis mencri nili determinn dri mtriks A, yitu: det A A c digonl sekunder b d b c d bc d digonl utm Contoh Sol 2.5 Tentukn nili determinn dri mtriks-mtriks berikut P 2 3-2 3z Q R 0-0 y - y det P -2 3 ( 2 0) ( 3) 0 3 3 0 det Q (3 ) ( ( 2)) 3 + 2 5 det R - 2 3z ( 2z ( y)) ( 0y 3z) 2yz + 30yz 32yz -0 y - y Contoh Sol 2.6 2 0 4 Dikethui mtriks A. -3 Hitunglh nili-nili yng memenuhi det A 0. det A 0 det A 2 0 4 ((2 0) ) ( 3 4) 2 2 0 + 2-3 Oleh kren det A 0 mk 2 2 0 + 2 0 2 5 + 6 0 kedu rus dikli 2 ( 2)( 3) 0 2 0 tu 3 0 2 tu 3 Jdi, nili yng memenuhi det A 0 dlh 2 dn 3. 50 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
b. Determinn Mtriks 3 3 Pd bgin ini, And kn mempeljri determinn mriks berordo 3 3. Mislkn A mtriks persegi berordo 3 3 dengn bentuk 2 3 A 2 22 23 3 32 33 Untuk mencri determinn dri mtriks persegi berordo 3 3, kn digunkn sutu metode yng dinmkn metode Srrus. Adpun lngkhlngkh yng hrus And lkukn untuk mencri determinn mtriks berordo 3 3 dengn metode Srrus dlh sebgi berikut:. Slin kembli kolom pertm dn kolom kedu mtriks A di sebelh knn tnd determinn. 2. Hitunglh jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl utm dn digonl lin yng sejjr dengn digonl utm (liht gmbr). Coblh Jik det t - 2-3 0, -4 t - tentukn nili t yng memenuhi persmn tersebut. Nytkn jumlh hsil kli tersebut dengn D u 2 3 2 2 22 2 22 3 32 33 3 32 D u 22 33 + 2 23 3 + 3 2 32 3. Hitunglh jumlh hsil kli elemen-elemen pd digonl sekunder dn digonl lin yng sejjr dengn digonl sekunder (lihr gmbr). Nytkn jumlh hsil hrg tersebut dengn D s. 2 3 2 2 22 2 22 3 32 33 3 32 D s 3 22 3 + 32 23 3 + 33 2 2 4. Sesui dengn definisi determinn mtriks mk determinn dri mtriks A dlh selisih ntr D dn D yitu D D. u s u s 2 3 2 det A 2 22 2 22 3 32 33 3 32 ( 22 33 + 2 23 3 + 3 2 32 ) ( 3 22 3 + 32 23 3 + 33 2 2 ) Contoh Sol 2.7-3 4 2 Dikethui mtriks A 2 3. Tentukn nili determinn mtriks A. 0 - -3 4 2-3 4 det A 2 0-0 [( 3 ( )) + (4 3 ) + (2 2 0)] [( 2) + (0 3 ( 3)) + ( 2 4)] (3 + 2 + 0) (2 + 0 8) 2 Jdi, nili determinn mtriks A dlh 2. Mtriks 5
2. Invers Mtriks Persegi Pd bgin D., And telh mempeljri determinn dri sutu mtriks persegi. Konsep determinn tersebut kn dipergunkn untuk mencri invers dri sutu mtriks. Pembhsn dibtsi hny untuk mtriks persegi ordo 2 2. Ketik di SMP, And telh mempeljri opersi hitung pd bilngn. Pd st mempeljri konsep tersebut, And dikenlkn dengn istilh invers (keblikn) bilngn. Sutu bilngn jik diklikn dengn inversny kn menghsilkn unsur identits. Send dengn hl tersebut, dlm ljbr mtriks pun berlku ketentun seperti itu. Ketik And menglikn sutu mtriks dengn mtriks inversny, kn dihsilkn identits, yng dlm hl ini dlh mtriks identits. Sebgi ilustrsi bgi And, perhtiknlh perklin mtriks-mtriks berikut. -3 - -2 - Mislkn A dn B mk 5 2 5 3 AB - 3 - -2-5 2 5 3 6 5 3 3-0 + 0-55 6 0 0 I 2 Perklin AB menghsilkn I 2 (mtriks identits berordo 2 2) Mislkn P - 7 2 4 dn Q 2 4 7 mk -7 2-2 PQ -4 4-7 -7 + 8 4-4 0 I -4 + 4 8-7 0 2 Perklin PQ menghsilkn I 2. Berdsrkn perklin-perklin tersebut, d hl yng hrus And ingt, yitu perklin mtriks A dn mtriks B menghsilkn mtriks identits (AB I ) Ini menunjukkn mtriks B merupkn mtriks invers dri mtriks A, yitu B A tu bis jug diktkn bhw mtriks A merupkn invers dri mtriks B, yitu A B. Begitu pul untuk perklin mtriks P dn mtriks Q berlku hl serup. Dengn demikin, didptkn definisi dri invers mtriks. Definisi Definisi Invers Mtriks Mislkn A dn B dlh du mtriks yng berordo 2 2 dn memenuhi persmn AB BA I 2 mk mtriks A dlh mtriks invers dri mtriks B tu mtriks B dlh mtriks invers dri mtriks A. 52 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
Contoh Sol 2.8 Dikethui mtriks-mtriks berikut. A - -2-2 2 0 C B 0 D - -2 Tentukn:. Apkh mtriks B merupkn invers dri mtriks A? b. Apkh mtriks C merupkn invers dri mtriks D?. Mtriks B merupkn invers dri mtriks A jik memenuhi persmn AB I - -2 2 - + 2-2 + 2 0 AB - - I - 2-0 Oleh kren AB I mk mtriks B merupkn invers dri mtriks A. b. Mtriks C merupkn invers dri mtriks D jik memenuhi persmn CD I CD - 2 0 0-2 -- 4 0 + 2-5 2 π I 0-2 0 + -2 Oleh kren CD π I mk mtriks C bukn invers dri mtriks D. Setelh And memhmi definisi invers mtriks, selnjut ny kn diperlihtkn kepd And penurunn rumus invers mtriks ordo 2 2 sebgi berikut. Mislkn A b c d dn B p q r s. Jik B A, bgimn hubungn ntr elemen-elemen pd mtriks A dn elemen-elemen pd mtriks B? Untuk menjwbny, And muli dri B A, dengn demikin AB I. b p q 0 c d r s 0 p + br q + bs 0 cp + dr q + ds 0 Berdsrkn konsep kesmn du mtriks, And peroleh p + br... () q + bs 0... (3) cp + dr 0... (2) cq + ds... (4) Dengn menyelesikn sistem persmn liner () dengn (2) dn (3) dengn (4), diperoleh d -b p q d - bc d - bc -c r s d - bc d - bc Dengn demikin, d -b p q B A d - bc d - bc r s -c d b ( ) -c d - bc d -bc Mtriks 53
Cttn Rumus Invers Mtriks Berordo 2 2 A terdefinisi jik det A π 0, rtiny sutu mtriks A mempunyi invers jik determinn mtriks A tersebut tidk sm dengn nol d b Jdi, B A, dengn d bc π 0 ( ) -c d b Oleh kren d bc det A, mk A det A -c Mislkn A, invers dri A dlh A, yitu c d d b A, dengn det A π 0 det A -c Coblh Jik M 2 dlh invers mtriks - 4, 5 2 3 tentukn M x y Contoh Sol 2.9 Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut.. D b. W 5 2-7 4 22. det D 3 6 3() ( 7)( 6) 33 42 9-7 6 6 6 - - D 9 9 det D 7 3-9 7 3 7 3 - - 9 9 2 - - 9 3 7 - - 9 3 5 b. det W 2 ( 22 ) - 4( 5) 2 4 22 22-5 W detw -4 22-5 22-5 -4-4 2 2 2 Contoh Sol 2.20 Tentukn invers dri mtriks-mtriks berikut, jik d. 2 6 3. A b. B 5 4 2. Periks nili determinn dri mtriks A. det A 2 () 5(2) 5 Oleh kren det A 0 mk mtriks A memiliki invers 2 A 2 det A -5-5 54 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs
b. Periks nili determinn dri mtriks B det B 6 3 6(2) 4(3) 0 4 2 Oleh kren det B 0 mk mtriks B tidk memiliki invers Sift-Sift Invers sutu Mtriks Mislkn A dn B dlh mtriks sebrng yng memiliki invers, AB dn BA jug memiliki invers mk berlku hubungn berikut.. (AB) B A 2. (BA) A B Untuk lebih memhmi sift-sift invers mtriks tersebut, peljrilh contoh-contoh berikut. Contoh Sol 2.2 Dikethui mtriks-mtriks berikut. 0-2 A dn B 2-3 5 Tentukn:. A f. BA b. B g. (AB) c. A B h. (BA) d. B A i. Ap kesimpuln yng diperoleh? e. AB. det A 0 () 2(0) 2 0 A 0 0 det A -2-2 -2 b. det B - 2 (5) ( 3)(2) -3 5 5 2 B 5 2 5 2 det B 3 3 3 c. A B 0 5 2 5 0-2 0-2 3-0 + 3 4 - d. B A 5 2 0 5 4 0 2 3-2 0 e. AB 0-2 2-3 5 9 2 5 -+ 0 2 + 0-2 - 3 4 + 5-2 -5 9 5 2-7 3 Cttn Mtriks yng tidk memiliki invers (determinnny nol) disebut mtriks singulr. Mtriks yng memiliki invers (determinnny tidk sm dengn nol) disebut mtriks nonsingulr Pembhsn Sol + Jik invers A 0 - b dlh A 0 mk konstnt b dlh.... 4 d. b. 2 e. c. + A 0 A det A 0 2 0-2 0 - b Oleh kren A 0 mk Dengn demikin, b - - - - - 2 2 2 Jdi, nili konstnt b dlh 2 Jwbn: b Sumber: SMPB, 2007 Mtriks 55
Pembhsn Sol Dikethui 2 3 4 dn B - 6-5. 5 4 - Nili dri ( AB)... 2-6 6 5 AB 3 4 5 4 4 3 2 3 (AB) det ( ) -2 4 3 4 6-2 4-3 - 2-2 4-2 2-2 - Jdi, (AB) 2 2-2 - Jwbn: e 2 2-2 Sumber: UMPTN, 995 f. BA - 2 0-3 5 2 -+ 4 0 + 2-3 + 0 0 + 5 7 5 g. det AB - 2-5 9 (9) ( 5)(2) 9 2 (AB) 9 2 det AB 5 5 9 2 5 h. det BA 3 (5) 7 (2) 7 5 5 2 (BA) 5 2 5 2 det BA -7 3-7 3-7 3 i. Berdsrkn hsil dri poin smpi h, kesimpuln yng didpt dlh. (AB) B A 2. (BA) A B 3. (AB) (BA) Contoh Sol 2.22 Jik A 2 5, tentukn nili x gr mtriks A merupkn mtriks -2 4 singulr. Syrt gr A singulr dlh det A 0.det A (5) 8x + 0 0 (2x)(4) ( 2) -2 4 8x + 0 0 8x 0 x -0 8 5 4 Jdi, nili x yng memenuhi gr mtriks A singulr dlh 5 4. Tes Pemhmn 2.4 Kerjknlh sol-sol berikut di buku ltihn And.. Dengn menggunkn kt-kt sendiri, jelskn p yng dimksud dengn:. determinn sutu mtriks, b. du mtriks yng sling invers. 2. Tentukn nili determinn dri mtriks-mtriks berikut. -5 3-2 - 5 7. c. - 9-4 4 2 0 3 - b. 2 4 3. Tentukn pkh mtriks-mtriks berikut memiliki invers. Jik y, tentukn inversny.. 0-3 - c. 2 3 6 2 b. - 0 5 2 4 d. 4 2 0 2 4. 5 3 4 8 Dikethui P dn Q x - 2 7 5 2 Jik det P det Q, tentukn nili x. 56 Mhir Mtemtik untuk Kels XII Progrm Bhs