MODUL DETERMINN DN INVERS MTRIKS.. Determinn Definisi. (Determinn) Untuk setip mtriks berukurn n x n, yng dikitkn dengn sutu bilngn rel dengn sift tertentu dinmkn determinn, dengn notsi dri determinn mtriks dlh det() tu Contoh. : Diberikn mtriks dn B sebgi berikut : 4 dn B 4 7 But determinn dri dn B. Jwb : Sesui dengn definisi., mk diperoleh : n n n nn n 4 det( ) 4 7 det( B) n n n n nn Dengn demikin dpt diktkn bhw determinn dlh sutu fungsi dengn domin himpunn mtriks-mtriks bertipe n x n dn hsilny dlh bilngn riil dengn turn untuk menentukn determinn kn dibicrkn dibwh ini. Misl untuk n = kit definisikn det( )=. Untuk menentukn nili determinn dri sutu mtriks, dpt dilkukn dengn beberp metode, ntr lin :
. Perlusn Kofktor Untuk menghitung determinn dri sutu mtriks, dengn menggunkn perlusn kofktor, pndnglh sutu unsur ij dri mtriks berukurn n x n sebgi berikut : n n n n nn Jik pd bris ke-i kolom ke-j dihilngkn mk kit mendpt submtriks berukurn (n-) x (n-). Determinn submtriks ini disebut minor unsur ij dilmbngkn dengn M ij, sedng (-) i+j M ij disebut kofktorny dn ini dilmbngkn dengn ij. Jdi : ij = (-) i+j M ij. Jik mtriks berukurn n x n dengn n >, mk ) det() = ij ij + j j + + nj nj n = i ij ij untuk j tetp j n b) det() = i i + i i + + in in n = j ij ij untuk i tetp i n Bentuk ) disebut pengembngn determinn menurut kolom j dn bentuk b) disebut pengembngn determinn menurut bris ke-i. Untuk n = kit dptkn : det( ) ( ) ( ) Dengn kt lin determinn dri sutu mtriks berukurn x dlh perklin elemen-elemen digonl utm dikurngi dengn perklin elemen-elemen digonl linny. Sedng untuk n =, jik kit lkukn pengembngn bris pertm diperoleh : det() = =
= (-) + + (-) + + (-) + ( ( ) ) b. turn Srrus turn srrus, hny digunkn untuk menentukn determinn mtriks berukurn x. Dimn untuk menghitung nili determinnny sebgi berikut : (-) ( ) (+) Tulis lgi kolom ke- dn ke- di sebelh kolom ke-. Kemudin trik digonl dri kiri ts ke knn bwh dn du gris lgi yng sejjr. Ketig gris tersebut menghsilkn tig suku yng bertnd (+). Kemudin digonl kedu besert du gris sejjr yng lin menghsilkn tig suku yng bertnd (-). Jdi, = + + - Contoh.. Hitunglh determinn dri mtriks : dn B 4 Jwb :. Dengn rumus untuk berukurn x diperoleh :
det( ) ()( ) ()(4) 6 4 4 b. Dengn menggunkn pengurin menurut bris ke diperoleh : det( ) ( ) ( ) ( ) (4 ) ( 9) ( 6) 8 B Jik dikerjkn dengn turn Srrus diperoleh hsil sebgi berikut : sehingg 8............ Contoh. Diberikn mtriks sebgi berikut : 6 5 4 4 Urikn menurut kolom ke-4 : Jwb : Dengn menggunkn perlusn pd kolom ke-4 mk : 4 6 5 4 6 5 6 5 4 4) ( 6 5 4 4
Selnjutny dpt digunkn turn Srrus. (lnjutkn sebgi ltihn) Jik kit menemui sutu mtriks berukurn 4 x 4 tu lebih, tentu cr penghitungn dengn teori seperti dits, tidk jrng kit temui penghitungn yng pnjng. Untuk menghindri, kit dpt menggunkn sift-sift dri determinn. Teorem.. Jik k dlh konstnt dn mtriks berukurn n xn, mk :. T =. k=k n. Jik dlh mtriks digonl mk = nn 4. Jik elemen dri sutu bris tu sutu kolom dri mtriks semuny bernili nol, mk = 5. Jik du bris tu du kolom sebnding mk = 6. Jik du bris tu du kolom mtriks dipertukrkn mk kn berubh tnd 7. Jik semu elemen dri sutu bris tu sutu kolom dri merupkn pergndn dri k mk determinny diklikn k 8. Jik dn B Mtriks bujur sngkr berukurn sm mk : B=B Sift-sift Determinn. Untuk setip mtriks bujursngkr berlku det() = det( T ) Contoh.4. Diberikn mtriks sebgi berikut : 4 Tentukn det() dn det( T ) Jwb : det( ) ( )(4) ()() 8 4 T 4 T det( ) ( )(4) ()() 8 4 4
. Jik semu unsur-unsur pd sutu bris (kolom) sutu mtriks sm dengn nol mk determinnny sm dengn nol. Contoh.5. Diberikn mtriks : Jwb : tentukn determinn dri. Sesui dengn sift, (kren kolom ke niliny ). Jik mtriks segitig berukurn n x n (Segitig ts, segitig bwh tu digonl), mk det() dlh hsil kli elemen-elemen pd digonl utm, yitu det()=.. nn Contoh.6. Diberikn mtriks : 4 7 tentukn determinn dri. Jwb : Menurut sift, 4 7 (..) 6 (kren merupkn mtriks segitig ts) 4. Jik B dlh mtriks yng didpt dri mtriks nxn dengn menggndkn semu unsur pd sutu bris (kolom) dengn k mk det(b) = k.det(). 5. Jik B dlh mtriks yng didpt dri mtriks nxm dengn menggndkn semu unsur pd semu bris (kolom) dengn k mk det(b) = k n.det(). Contoh.7. Dikethui mtriks, B dn C sebgi berikut : 5
4 6 4 6, B dn C 6 4 4 5 4 5 8 tentukn determinn dri, B dn C Jwb : Kren mtriks berukurn x, dpt digunkn turn srrus untuk mendptkn nili determinnny, dn diperoleh : det( ) 56 (tunjukkn sebgi ltihn) 4 5 Untuk mtriks B, dengn menggunkn sift 4, kren pd bris I mtriks B merupkn (-) kli dri mtriks mk diperoleh: det(b) = det(-) = - det()= x 56 = - Untuk mtriks C, dengn menggunkn sift 5, kren semu bris mtriks C merupkn (-) kli mtriks mk diperoleh : det(c) = det(-) = (-) x 56 = -448 Secr umum sift 4 dn 5 dpt diilustrsikn sebgi berikut : Misl diberikn mtriks ukurn x : k k k k bris I diklikn dengn k k k k k k k k semu bris diklikn dengn k k k k 6. Jik B dlh mtriks yng didpt dri mtriks dengn mempertukrkn du bris (du kolom) mk det(b) = -det(). Contoh.8. Diberikn mtriks 4 5 dengn det() = 56 6
Tentukn determinn dri mtriks B 5 4 Jwb : Dengn menggunn sift 6, Kren pd mtriks B diperoleh dengn mempertukrkn kolom I dn III mk det (B)= -56 Secr umum sift 6 dpt diilustrsikn sebgi berikut : Misl diberikn mtriks ukurn x : bris I dn II dipertukrkn 7. Jik B sutu mtriks yng didpt dri mtriks dengn menglikn sutu bris (kolom) dengn bilngn k kemudin menmbhknny pd sutu bris (kolom) yng lin mk det(b)=det(). Contoh.9. Diberikn mtriks 4 5 dengn det() = 56 8 5 Tentukn determinn dri mtriks B 4 5 Jwb : Ksus dits dpt diselesikn dengn menggunkn sift 7. Dpt dikethui bhw mtriks B diperoleh dri mtriks, yitu bris I mtriks B diperoleh dengn menmbhkn bris I mtriks dengn kli bris II. Sehingg det(b)=det()=56 Secr umum sift 7 dpt diilustrsikn sebgi berikut : Misl diberikn mtriks ukurn x : 7
k k k sutu pergndn bris II dri ditmbhkn pd bris I 8. Jik du bris (du kolom) sutu mtriks sebnding mk det()=. Contoh.. Misl diberikn mtriks dn B sebgi berikut : 7 6 dn B 6 4 7 Tentukn determinn dn B Jwb : Untuk mtriks, kren bris I dn III sebnding mk det() = Untuk mtriks B, kren bris II du kli bris I mk det (B)= Secr umum, mislny diberikn mtriks berukurn x : k k k bris I dn II disebnding 9. Jik, B dn C mtriks berukurn nx n yng berbed hny pd slh stu brisny (kolomny) mislny bris ke-i, dn jik bris ke I dri C dpt diperoleh dengn menmbhkn nggot-nggot yng berpdnn pd bris ke I dri dn B mk : det(c) = det() + det(b) Contoh.. Diberikn mtriks-mtriks sebgi berikut : 7 5 7 5 7 5 C ; ; B 4 7 ( ) 4 7 8
Tunjukkn bhw det(c) = det() + det(b) 7 5 7 5 7 5 det det det 4 7 ( ) 4 7 Jwb : Tentukn determinn dri tip-tip mtriks, Tunjukkn contoh., memenuhi sift 9. (lkukn sebgi ltihn nd). Jik dn B mtriks-mtriks bujursngkr berukurn sm, mk det(b) = det().det(b). Contoh.. Jik diberikn mtriks-mtriks sebgi berikut : 7 ; B ; B 5 8 4 Mk kn diperoleh : det()=, det(b) = - dn det(b) = - (penghitungn sebgi ltihn) Dri contoh-contoh dits, sift-sift determinn sngt membntu dlm menentukn determinn sutu mtriks, kn tetpi jik nd menemui mtriks dlm ukurn yng besr dn perhitungn dengn menggunkn definisi determinn menjdi lebih rumit, dimn penggunn sift-sift determinn yng d tidk dpt secr lngsung digunkn. Dri ksus ini, muncul sutu ggsn yitu dengn metode mereduksi mtriks yng diberikn menjdi bentuk mtriks yng lebih sederhn, mislny dibentuk mtriks segitig ts. c. Metode Reduksi Sesui dengn ggsn yng telh diungkpkn dits, metode reduksi dilkukn dengn cr mereduksi mtriks sl menjdi bentuk yng lebih sederhn. Untuk lebih jelsny, perhtikn contoh berikut : Contoh. : 9
Hitung determinn dri 5 6 9 6 Jwb : Mtriks dits dpt direduksi menjdi bentuk mtriks segitig ts : 5 6 9 det( ) 6 9 5 ( B ditukr dengn B) 6 6 5 ( semu fktor umum dri B dikelurkn) 6 5 ( B B) 5 5 ( B B) 55 ( )( 55) 5 ( semu fktor umum 55 dri B dikelurk) 55 ( )( 55)() 65 Dengn metode reduksi, perhitungn nili determinn kn lebih sederhn. Contoh.4 Hitung determinn : 5 Jwb : Perhtikn mtriks dits, jik kit didpt : menmbhkn bris ke- pd bris ke-4
4 Dengn mengembngkn kolom ke- diperoleh : 4 4 Dengn menmbhkn kli bris ke- pd bris ke- diperoleh : 4 ( ) ( ) ( ) 4 9 Dri beberp cr tu metode menentukn determinn dri sutu mtriks yng telh dijelskn dits, tetp kn nd temui penyelesin yng rumit, jik menentukn determinn sutu mtriks yng berukurn besr ( berukurn 4 x 4 tu lebih) yng tidk mempunyi bentuk khusus. Contoh.5 : Diberikn mtriks sebgi berikut : 7 5 8 7 9 8 4 6 4 7 9 5 4 Tentukn determinn dri mtriks. Jwb : Jik determinn mtriks dits dicri dengn menggunkn perlusn kofktor, tentu kn sngt pnjng dn rumit. Untuk menentukn determinn dri sutu mtriks, dpt dilkukn dengn bntun pket progrm. Dlm modul ini, kn
digunkn bntun progrm Mtlb, dengn lngkh-lngkhny dlh sebgi berikut : Setelh nd membuk progrm Mtlb, pd MTLB Commnd Window, msukkn nili-nili dri mtriks.» =[ 7 5; 8 7 9 8; 4 6 ; 4 ;7 9 5 4] = 7 5 8 7 9 8 4 6 4 7 9 5 4 Inilh mtriks berukurn 5 x 5. Untuk menentukn determinn dri mtriks, ketik det () :» det() ns = 767 Hsil inilh determinn dri mtriks berukurn 5 x 5. Jdi det()=767 Tentuny untuk mtriks berukurn kecilpun kn lebih cept jik dihitung dengn bntun pket progrm. Contoh.6. Cob nd perhtikn lgi contoh.4 dits. Tentukn detrminn dri dn T dengn menggunkn bntun pket progrm Mtlb. Jwb : nlog dengn penyelesin sol.5, pertm kli nd msukkn nili mtriks :» =[- ; 4] = - 4» det() ns = - Diperoleh hsil, determinn = -
Untuk menentukn determinn dri T, lkukn hl berikut :» ' ns = - 4 hsil di ts merupkn mtriks T» det(') ns = - Diperoleh det( T )=-. Jik nd perhtikn niliny sm dengn perhitungn dits. Dri sift-sift dsr fungsi determinn, dpt dikembngkn untuk mengethui hubungn ntr sutu mtriks bujursngkr dn determinnny, slh stuny dlh uji determinn untuk mengethui d tidkny invers sutu mtriks. Invers sutu mtriks merupkn bgin penting dlm mempeljri mtriks dn sttistik... Invers Mtriks Pd sub bb. telh kit peljri determinn dri sutu mtriks bujur sngkr. Sutu mtriks Bujur sngkr, jik, mk mtriks disebut mtriks non singulr, jik =, mtriks disebut mtriks singulr. Selnjutny nili determinn kn kit gunkn untuk menentukn inb=nvers dri sutu mtriks. Definisi. : (Invers Sutu Mtriks) Jik dlh sebuh mtriks bujur sngkr, dn jik mtriks B yng berukurn sm bis didptkn sedemikin hingg memenuhi : B B I dimn I dlh mtriks identits, mk disebut dpt diblik (invertibel). Untuk selnjutny invers dri mtriks dinytkn dengn simbol - Teorem.. Sutu mtriks bujur sngkr dpt diblik jik dn hny jik det().
Teorem. : (Invers mtriks berukurn x ) Mtriks c b d Mtriks mempunyi invers jik b bc, dimn inversny dpt ditentukn dengn rumus : Bukti : d b d b d bc d bc d bc c c d bc d bc Bukti untuk teorem ini, tunjukkn bhw berlku (lnjutkn sebgi ltihn nd) I dn I Teorem.4: (Sift-sift invers sutu mtriks) Jik dn B mtriks nonsingulr (determinn tidk sm dengn ) berukurn nx n mk : ) - tunggl b) ( B ) B c) ( ) T ( T ) d) ( ) e) f) Jik =dig(,,, nn ), mk - = dig, g) Jik = T mk - = ( - ) T,..., nn Bukti : ) nggp tidk tunggl, sehingg d invers linny dri mtriks, mislny * sehingg berlku *=*=I. Sehingg *=I 4
tu Dn *= I = *=I* =* (kren Sehingg berkibt *= (kren * invers dri ) inver dri ), berri invers dri tunggl (terbukti) b) Telh dikethui bhw ( B)( B ) BB I. Menurut definisi : ( B)( B) I, sehingg berlku ( B ) B ( B)( B) Jik persmn dits diklikn dengn ( B ) mk persmn menjdi : ( B ) B (terbukti) c) Kren I T I mk I ( T ) T Jik kit klikn dengn ( T ) mk diperoleh ( ) ( ) T T T T ( ) ( terbukti) d) Kren ( ) I I I mk Jik kit gunkn teorem bgin (b) diperoleh ( ) I Jik persmn di ts kit klikn dengn diperoleh : ( ( ) ) I ( terbukti ) e) Telh dikethui bhw I I Menurut sift determinn Mk diperoleh ( terbukti ) Teorem.5 : Jik dn B mtriks yng dpt diblik (invertibel) dri ukurn yng sm mk B jug dpt diblik. Bukti : 5
Untuk menunjukkn teorem tersebut hrus ditunjukkn bhw berlku ( B) B B ( B) I Mnurut teorem. bgin b) Tetpi ( B ) B B ( B ) ( B B ) I I (kren dn B invertibel) Dengn cr yng sm diperoleh : ( B )( B) B ( ) B B IB B Dri kedu persmn di ts diperoleh B I ( B) B B ( B) I (terbukti) Untuk menentukn invers sutu mtriks, ertb kitnny dengn determinn. Slh stu perhitungn nili determinn yng telh dipeljri dlh dengn perlusn kofktor, nili-nili kofktor ini sngt penting rtiny dlm penentun invers sutu mtriks. Definisi. : (djoint sutu mtriks) Jik dlh sebrng mtriks n x n dn ij dlh kofktor dri ij mk mtriks : n n n n nn disebut mtriks kofktor dri. Dn trnspose dri mtriks kofktor disebut djoint dn dinotsikn dj(). dj()= n n n n nn T Contoh.7 Diberikn mtriks sebgi berikut : 6
6 4 tentukn mtriks kofktor dri dn djoint. Jwb : Dengn menggunkn rumus pd sub bb sebelumny : ij = (-) i+j M ij. Kofktor dri dlh : = ; =6; = -6 = 4 ; =; = 6 = =-; = 6 Sehinggn mtriks kofktorny dlh : 6 6 4 6 6 dn djoint() dlh : 6 6 4 dj() 4 6 6 6 6 6 6 T Definisi.4 : ( Invers sutu mtriks) Jik mk invers dri didefinisikn : dj( ) Sehingg pbil n n n n nn mk 7
n n T T n n n n n n nn n n nn n n nn dimn ij merupkn kofktor dri. Contoh.8 Diberikn mtriks sebgi berikut :, Tentukn :. -, B - B b. Dn tunjukkn bhw untuk mtriks di ts, berlku (B) - = B - - Jwb :. Dengn menerpkn rumus, sesui teorem.. diperoleh : Det ()= - =, det (B) = 6-4 = sehingg dn B 7 6 b. Dengn mtriks dn B dits didptkn B 9 8 Sehingg diperoleh det (B) = (7.8) (6.9)= 56 54 = 8 6 ( B) 9 7 6 Dri hsil (), diperoleh B 9 7 Dengn jminn dri teorem. (b), diperoleh (B) - = B - - Contoh.9 Diberikn mtriks sebgi berikut : 8
6 4 tentukn invers dri dn determinn dri - Jwb : Sesui dengn definisi. dits, nd tentukn, kofktor-kofktor mtriks. dengn menggunkn definisi pd determinn diperoleh hsil sebgi berikut : 6 6 ; 6; 6 4 4 4; ; 6 4 4 ; ; 6 6 6 4 djoin = dj()= 6 6 6 6 Dengn menggunkn definisi dri determinn diperoleh : Det() = 64 (tunjukkn sebgi ltihn nd) Mk 4 4 64 64 64 dj( ) 6 6 det( ) 64 64 64 64 6 6 6 6 6 6 64 64 64 Untuk mtriks yng berukurn kecil, mislny x tu x, menentukn invers dri sutu mtriks, msih mudh dilkukn. kn tetpi jik mtriks berukurn besr, misl 5 x 5 tu lebih, tentu menentukn inversny buknlh hl yng mudh. Perhtikn contoh berikut : Contoh. : Dri contoh.5, tentukn invers dri mtriks. 9
7 5 8 7 9 8 4 6 4 7 9 5 4 Mtriks dits berukurn 5 x 5, jik nd cri invers mtriks dengn menggunkn definisi., tentuny kn sngt pnjng. Untuk itu kit dpt menggunkn bntun pket progrm komputer, dlm modul ini, kn digunkn bntun pket progrm Mtlb. Dimn lngkh-lngkhny dlh sebgi berikut : Setelh nd membuk progrm Mtlb, pd MTLB Commnd Window, msukkn nili-nili dri mtriks.» =[ 7 5; 8 7 9 8; 4 6 ;4 ;7 9 5 4] = 7 5 8 7 9 8 4 6 4 7 9 5 4 Hsil dits dlh mtriks berukurn 5 x 5. Untuk menentukn invers dri mtriks, ketik inv () :» inv() ns = -.647 -.94.675.8 -. -.7.594 -.6 -.56.798 -.4975.479.58.66 -.4.74 -..54 -.94 -.894.56 -.5 -.66 -.6.58 Hsil inilh invers dri mtriks berukurn 5 x 5. Tentuny untuk mtriks berukurn kecilpun kn lebih cept jik dihitung dengn bntun pket progrm. Contoh.. 4
Cob nd perhtikn lgi contoh.6 dits. Tentukn invers dri dn T dengn menggunkn bntun pket progrm Mtlb. Jwb : nlog dengn penyelesin sol.9, pertm kli nd msukkn nili mtriks :» =[- ; 4] = - 4» inv() ns = -.66.77.99.88 Untuk menentukn determinn dri T, lkukn hl berikut :» ' ns = - 4 hsil dits merupkn mtriks T» inv(') ns = -.66.99.77.88 Jik nd perhtikn contoh ini, mk berlku ( - ) T = ( T ) - (cob nd selidiki) Referensi nton, H., 987, Elementry Liner lgebr, John Wiley & Son, New York Bsilevsky,., 98, pplied Mtrix lgebr in the Sttisticl Sciences, Elsevier Sciences Publ. Co. Inc. 4
Cullen, CG., 988, Liner lgebr With ppliction, Schott, Foresmn nd Compny. Shchoot, J.R., Mtrix nlysis for Sttistics, John Wiley, New York. 4