3 LIMIT DAN KEKONTINUAN

Menurut Bartle dan Sherbet (1994), Analisis matematika secara umum dipahami sebagai tubuh matematika yang dibangun oleh berbagai konsep limit. Pada bab sebelumnya kita telah mempelajari limit barisan, kekonvergenan barisan bilangan real. Sebagaimana telah diketahui bahwa barisan merupakan bentuk khusus fungsi, yaitu fungsi bernilai real dengan domain bilangan asli. Pada bab ini kita memperluas konsep limit kepada bentuk fungsi bernilai real secara umum. Karena konsep kekontinuan terkait erat dengan konsep limit maka kedua topik ini dibahas secara simultan pada bab ini. 3.1 Pengertian Limit Fungsi dan Fungsi Kontinu Biasanya, notasi lim f(x) = L x c dipahami secara intuitif dengan berbagai pernyataan berikut 1. Jika x mendekati c maka f(x) mendekati L, semakin dekat x kepada c semakin dekat pula f(x) kepada L. 2. Nilai-nilai f(x) adalah dekat dengan L untuk x dekat dengan c. Pada pernyataan pertama, dekatnya f(x) terhadap L disebabkan oleh dekatnya x kepada c. Pernyataan ini banyak diambil sebagai denisi limit khususnya bagi mereka yang belum belajar analisis. Padahal sesungguhnya pernyataan kedua lebih sesuai untuk denisi limit. Pada pernyataan ini ada dua kriteria atau ukuran dekat. Kriteria dekatnya f(x) terhadap L memberikan kriteria dekatnya x kepada c. Kemudian, setiap x yang dekat dengan c dalam kriteria ini mengakibatkan nilai f(x) dekat dengan L. Sebelum masuk ke denisi formal limit fungsi, diberikan terlebih dahulu pegertian titik limit (cluster point) suatu himpunan. Denisi 3.1. [Titik Limit] Misalkan A R. Sebuah titik c R dikatakan titik limit A jika setiap persekitaran V δ (c) := (c δ, c + δ) memuat paling sedikit satu anggota A selain c, atau (c δ, c + δ) A \ {c}, δ > 0. Catatan 1. Titik limit A boleh jadi anggota A atau bukan anggota A. Sebaliknya, suatu anggota A dapat menjadi titik limit atau bukan titik limit A. Sebelum diberikan contoh diperhatikan teorema yang menjamin adanya barisan di dalam A yang konvergen ke titik limit A yang dapat dijadikan kriteria titik limit. Teorema 3.1. Sebuah bilangan c A titik limit A bila hanya bila terdapat barisan (a n ) dalam A dengan a n c untuk setiap n N sehingga lim(a n ) = c. Bukti. Misalkan c titik limit. Untuk setiap n N, bentuk persekitaran radius δ := 1 n, yaitu V 1 (c) = (c 1 n n, c+ 1 n ). Selalu ada a n A V 1 dengan a n c. Karena berlaku n a n c < 1 n maka disimpulkan lim(a n) = c. Sebaliknya, diketahui terdapat barisan 1

(a n ) dalam A, a n c dan lim(a n ) = c, dibuktikan c seperti ini adalah titik limit A. Karena diketahui lim(a n ) = c maka untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K sehingga a n c < δ untuk setiap n K. Ini berarti, khususnya a K A, a K c dan a K V δ yaitu A V δ \ {c}. Terbukti c titik limit A. Contoh 3.1. Diberikan himpunan A yang didenisikan sebagai Tentukan himpunan semua titik limit A. A = { 1} {x R : 0 x < 1} {2}. Penyelesaian. Diperhatikan bahwa setiap x [0, 1] dan setiap δ > 0 maka berlaku (x δ, x + δ) A \ {x}. Jadi setiap x [0, 1] merupakan titik imit A. Diperhatikan x = 1 A. Kita dapat memilih δ 1 > 0 sehingga ( 1 δ 1, 1 + δ 1 ) A = { 1} sehingga ( 1 δ 1, 1 + δ 1 ) A \ { 1} =, jadi x = 1 bukan titik limit A. Argumen yang sama diterapkan untuk x = 2. Diperoleh himpunan titik lmit A adalah [0, 1]. Gambar 3.1: Ilustrasi titik limit pada garis bilangan Diperhatikan pada contoh ini, 1 / A tetapi 1 titik limit A. Sebaliknya 2 A tetapi 2 bukan titik limit A. Bilangan di dalam interval [0, 1) kesemuanya anggota A dan sekaligus titik limit A. Berikut diberikan beberapa fakta sederhana tentang titik limit: Himpunan yang banyak anggotanya berhingga tidak mempunyai titik limit. Himpunan bilangan asli N tidak mempunyai titik limit. Himpunan bilangan rasional Q mempunyai titik limit semua bilangan real. Hal ini disebabkan sifat kepadatan bilangan rasional di dalam R. Himpunan A = { 1 n : n N} hanya mempunyai titik limit 0. Dalam kasus ini tidak satupun anggota A menjadi titik limitnya. Selanjutnya denisi limit fungsi diberikan sebagai berikut. Denisi 3.2. [Limit Fungsi] Misalkan A R dan f : A R, c titik limit A. Bilangan L dikatakan limit fungsi f di c, ditulis L = lim x c f(x) (3.1) adalah bilamana diberikan ɛ > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku 0 < x c < δ f(x) L < ɛ. (3.2) Pada denisi ini, nilai δ biasanya bergantung pada nilai ɛ yang diberikan sehingga kadangkadang ditulis sebagai δ(ɛ) untuk menunjukkan ketergantungan δ pada ɛ yang diberikan. Bila limit L ini ada maka fungsi f dikatakan juga konvergen ke L di c. Secara praktis, dapat dikatakan f(x) mendekati L bilamana x mendekati c. Ukuran dekat f(x) terhadap L diberikan oleh ɛ, dan kedekatan x dengan c diukur oleh δ. Pada ekspresi 2

diberikan V (L) L+ L f(x)-l < L- terdapat V (c) c+ c c+ Gambar 3.2: Ilustrasi denisi limit fungsi (3.3) kita dapat membuat f(x) sedekat mungkin dengan L dengan memilih x yang dekat dengan c. Ilustrasi denisi limit fungsi diberikan pada Gambar 3.2. Pernyataan 0 < x c < δ pada (3.3) menunjukkan bahwa untuk berlakunya f(x) L < ɛ tidak memperhitungkan x yang sama dengan c. Artinya pada denisi limit, nilai f(c) tidak perlu ada. Ingat, titik limit himpunan domain A tidak harus di dalam A. Oleh karena itulah, ilustrasi grak denisi limit menggunakan dot di titik x = c. Pengertian yang hampir sama untuk fungsi kontinu di x = c, seperti diungkapkan berikut ini. Denisi 3.3. [Fungsi Kontinu] Misalkan A R dan f : A R, c A. Fungsi f dikatakan kontinu di c, adalah bilamana diberikan ɛ > 0 terdapat δ > 0 sehingga berlaku x c < δ f(x) f(c) < ɛ. (3.3) Kontinu pada himpunan A berarti kontinu di setiap c A. Dalam kasus c A dan c titik limit A maka kedua pengertian limit dan kekontinuan sangat terkait seperti diungkapkan pada teorema berikut. Berdasarkan denisi ini, syarat perlu agar fungsi f kontinu di c adalah f(c) harus ada atau terdenisi. Syarat ini tidak berlaku pada kasus limit, yakni nilai limit fungsi di c dapat saja ada walaupun nilai f(c) tidak ada. Ilustrasi fungsi kontinu di c diberikan pada Gambar 3.3. Teorema 3.2. Misalkan A R dan f : A R, c A. Bila c titik limit A maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. (i) f kontinu di c (ii) lim x c f(x) = f(c) Bukti. Untuk mudahnya kita bentuk dua himpunan berikut E 1 := {x A : 0 < x c < δ}, E 2 := {x A : x c < δ}. Jadi E 2 E 1. Diketahui f kontinu di c berarti x E 2 f(x) f(c) < ɛ. Misalkan x E 1 maka x E 2 atau x = c. Bila x E 2 maka (3.2) berlaku dengan 3

diberikan V (f(c)) f(c)+ f(c) f(x)-f(c) < f(c)- terdapat V (c) c+ c c+ Gambar 3.3: Ilustrasi fungsi f kontinu di c L = f(c). Untuk kemungkinan x = c berlaku f(x) f(c) = f(c) f(c) = 0 < ɛ sehingga (3.2) juga dipenuhi. Terbukti lim x c f(x) = f(c). Sebaliknya, diketahui lim x c f(x) = f(c) yaitu x E 1 f(x) f(c) < ɛ. Karena E 2 E 1 maka berlaku x E 2 f(x) f(c) < ɛ, yaitu f kontinu di c. Contoh 3.2. Misalkan f fungsi konstan pada R, katakan f(x) = b untuk setiap x R. Buktikan untuk sebarang c R, berlaku lim x c b = b. Kemudian simpulkan bahwa f kontinu di c. Penyelesaian. Diberikan ɛ > 0 sebarang, ambil δ := 1 maka diperoleh 0 < x c < δ f(x) L = b b = 0 < ɛ. Jadi terbukti lim x c f(x) = f(c). Karena c R merupakan titik limit maka dengan teorema 3.2 maka disimpulkan f kontinu di c. Catatan 2. Pengambilan δ pada pembuktian di atas dapat selain 1, bahkan berapapun boleh. Pembuktian ini menggunakan pola p q dimana q sudah dipastikan benar. Contoh 3.3. Buktikan untuk sebarang c R, lim x c x = c. bahwa f(x) := x kontinu di c. Kemudian simpulkan Penyelesaian. Untuk setiap ɛ > 0 yang diberikan, ambil δ := ɛ. Diperoleh 0 < x c < δ f(x) L = x c < δ = ɛ. Karena itu terbukti lim x c x = c. Karena berlaku lim x c f(x) = f(c) dan c titik limit maka disimpulkan f kontinu di c. Contoh 3.4. Misalkan f(x) = x 2, x R. Buktikan f kontinu pada R. Bukti. Misalkan c R. Kita perhatikan dulu penjabaran berikut f(x) f(c) = x 2 c 2 = x + c x c. Karena sudah ada suku x c maka kita perlu melakukan estimasi pada suku x + c. Untuk itu diasumsikan dulu x c < 1, maka berlaku x c x c < 1 1 < x c 1 x c + 1. }{{} 4

Untuk asumsi ini diperoleh estimasi pada x + c, yaitu Secara keseluruhan diperoleh estimasi x + c x + c 2 c + 1. f(x) f(c) = x + c x c < (2 c + 1) x c. ( ) Agar kuantitas terakhir ini kurang dari ɛ maka haruslah x c < Agar kedua x c < 1 dan x c < ɛ 2 c + 1. ɛ 2 c +1 δ = δ(ɛ) := min ( ) dipenuhi maka diambil { } ɛ 1,. 2 c + 1 Jadi jika 0 < x c < δ maka (*) dan (**) berlaku sehingga disimpulkan f(x) f(c) < ɛ. Jadi, lim x c f(x) = f(c), dan terbukti f kontinu di c. Ada kalanya sebuah fungsi tidak kontinu di suatu titik c dikarenakan ia tidak terdenisi di c, yaitu f(c) tidak ada. Tetapi, asalkan limitnya di c ada maka fungsi tersebut dapat diperluas menjadi fungsi kontinu. Contoh 3.5. Diberikan fungsi f(x) = x2 1 x 1, x 0 tidak kontinu di 1 karena f(1) tidak ada. Namun, berlaku x 2 1 lim f(x) = lim x 1 x 1 x 1 = lim (x + 1) = 2. x 1 Jadi fungsi ini dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada R sebagai berikut { x 2 1 f(x) = x 1 untukx 0 2 untuk x = 0. 3.2 Kriteria Barisan untuk Limit dan Kekontinuan Untuk mengetahui limit dan kekontiunuan fungsi di suatu titik dapat dideteksi melalui limit barisan yang sudah dipelajari pada bab sebelumnya. Teorema 3.3. Misalkan f : A R dan c titik limit A. Maka kedua pernyataan berikut ekuivalen. (i) lim x c f(x) = L (ii) Untuk setiap barisan (x n ) di dalam A yang konvergen ke c, x n c untuk setiap n N, maka barisan (f(x n )) konvergen ke L. Bukti. (i) (ii). Diberikan ɛ > 0 sebarang. Karena diketahui lim x c f(x) = L, maka terdapat δ > 0 sehingga jika 0 < x c < δ berlaku f(x) L < ɛ. Misalkan lim(x n ) = c, x n c. Berdasarkan denisi limit barisan, untuk δ > 0 sebelumnya terdapat K N sehingga x n c < δ untuk setiap n K. Karena x n c maka dapat ditulis 0 < x n c < δ, sehingga berlaku f(x n ) L < ɛ untuk setiap n K. Ini menunjukkan bahwa barisan (f(x n )) konvergen ke L. (ii) (i). Dibuktikan melalui kontraposisinya. Diketahui lim x c f(x) L, berarti 5

ada ɛ 0 > 0 sehingga setiap δ > 0 terdapat x δ A, 0 < x x δ < δ tetapi f(x) x δ ɛ 0. Bila para δ > 0 tersebut diambil sebagai δ := 1 n > 0 untuk setiap n N maka terbentuk barisan (x n ) dengan sifat 0 < x n c < 1 n, x n A tetapi f(x n ) L ɛ 0 untuk setiap n N. Ini berarti barisan (f(x n )) tidak mungkin konvergen ke L. Jadi ada barisan (x n ) dalam A, x n c tetapi (f(x n )) tidak konvergen ke L. Pernyataan (ii) salah. Bukti teorema selesai. Dengan demikian diperoleh kriteria divergen sebagai berikut: (a) lim x c f(x) L bila hanya bila ada barisan (x n ) dalam A dengan x n c, (x n ) konvergen ke c tetapi barisan lim (f(x n )) L. (b) lim x c f(x) tidak ada bila hanya bila ada barisan (x n ) dalam A dengan x n c, (x n ) konvergen ke c tetapi barisan f(x n ) tidak konvergen. (c) lim x c f(x) tidak ada bila hanya bila ada dua barisan (x n ), (y n ) dalam A dengan x n, y n c, (x n ) dan (y n ) konvergen ke c tetapi lim (f(x n )) lim (f(y n )). Contoh 3.6. Buktikan lim x 0 1 x tidak ada. Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = 1 x. Ambil barisan (x n) dengan x n := 1 n. Jelas barisan ) ini konvergen ke 0, x n 0. Sekarang perhatikan barisan (f(x n )) = ( 1 1/n = (n) = (1, 2, 3, ) tidak konvergen. Berdasarkan kriteria (b) maka terbukti limitnya tidak ada. Contoh 3.7. Diberikan fungsi signum yang didenisikan sebagai berikut +1 untuk x > 0, sgn(x) : = 0 untuk x = 0, 1 untuk x < 0. Buktikan lim x 0 sgn(x) tidak ada. Bukti. Ambil dua barisan (x n ) dan (y n ) dengan x n := 1 n dan y n := 1 n. Jelas kedua barisan ini konvergen ke 0 dan setiap sukunya tidak ada yang sama dengan 0. Diperhatikan barisan (sgn(x n )) = ( sgn ( 1 n)) = (1) = (1, 1, ) konvergen ke 1, tetapi (sgn(y n )) = ( sgn( 1 n )) = ( 1) = ( 1, 1, ) konvergen ke 1. Berdasarkan kriteria (c) maka terbukti limitnya tidak ada. Cara lain dapat menggunakan sifat bahwa sgn(x) = x x untuk x 0. Dengan mengambil ( x ( n := )) ( 1)n n maka barisan (x n ) konvergen ke 0, x n 0. Tetapi (sgn(x n )) = sgn ( 1) n = ( 1) n = ( 1, +1, 1, ) divergen. n Contoh 3.8. Buktikan lim sin 1 x tidak ada. Bukti. Di sini kita mempunyai f(x) = sin 1 x, x 0. Ambil dua barisan (x n) dan (y n ) dimana x n := 1 nπ, y 1 n := (π/2+2πn). Maka jelas kedua barisan ini konvergen ke nol dan suku-sukunya tidak pernah sama dengan nol. Namun, barisan (f(x n )) = (sin nπ) = (1, 1, ) 1 (f(y n )) = (sin (π/2 + 2πn)) = (0, 0, ) 0 sehingga berdasarkan kriteria (c) maka disimpulkan limitnya tidak ada. Ilustrasi grak fungsi f(x) = sin 1 x diberikan pada Gambar 3.4. Pada gambar ini terlihat jelas bahwa nilai fungsi f selalu berada di dalam interval [ 1, 1], semakin dekat x kepada 0 semakin cepat oskilasinya tetapi nilai f(x) tidak menuju titik apapun. 6

1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Gambar 3.4: Grak fungsi f(x) = sin(1/x) Teorema 3.4. Misalkan f : A R dan c A. ekuivalen. (i) f kontinu di c Maka kedua pernyataan berikut (ii) Untuk setiap barisan (x n ) di dalam A yang konvergen ke c, maka barisan (f(x n )) konvergen ke f(c). Bukti. Gunakan fakta f kontinu di c bila hanya bila lim x c f(x) = f(c) dan ambil L := f(c). Selanjutnya gunakan teorema kriteria barisan untuk limit. Dengan demikian diperoleh kriteria diskontinu sebagai berikut Fungsi f tidak kontinu di c jika hanya jika terdapat barisan (x n ) dalam A sehingga (x n ) konvergen ke c tetapi (f(x n )) tidak konvergen ke f(c). Contoh 3.9. Beberapa fungsi tidak kontinu (a) (b) Fungsi ϕ(x) := 1/x tidak kontinu di 0 sebab ϕ(0) tidak ada. Juga, fungsi ini tidak mempunyai limit di 0. Fungsi s(x) := sgn(x) tidak kontinu di 0, karena lim x 0 s(x) tidak ada, seperti telah dibahas sebelumnya. Berikut ini diberikan contoh fungsi yang tidak kontinu dimana-mana pada R. Contoh 3.10. Diberikan fungsi Dirichlet sebagai berikut { 1 bila x rasional f(x) := 0 bila x irrasional. Buktikan f tidak kontinu dimana-mana. Bukti. Misalkan c bilangan real sebarang. Ditunjukan f tidak kontinu di c. Bila c bilangan rasional maka dengan sifat kepadatan bilangan rasional, selalu terdapat barisan bilangan irrasional (x n ) yang konvergen ke c. Jadi lim(x n ) = c, tetapi barisan (f(x n )) = (0, 0, 0, ) sehingga lim (f(x n )) = 0 f(c) = 1. Sebaliknya bila c bilangan irrasional maka terdapat barisan bilangan rasional (y n ) yang konvergen ke c. Dengan argumen yang sama seperti sebelumnya, diperoleh lim (f(x n )) = 1 f(c) = 0. Jadi f tidak kontinu di c untuk setiap c R. 7

3.3 Teorema tentang Limit Pada pembahasan limit barisan, berlaku bahwa jika barisan konvergen maka ia terbatas tetapi tidak berlaku sebaliknya. Sifat yang sama berlaku pada fungsi yang mempunyai limit, tetapi keterbatasan dalam arti lokal. Denisi 3.4. Misalkan f : A R, dan c R titik limit A. Fungsi f dikatakan terbatas lokal di c jika terdapat persekitaran V δ (c) dan konstanta M > 0 sehingga f(x) M untuk setiap x A V δ (c). Teorema 3.5. Bila f : A R mempunyai limit di c R maka f terbatas lokal di c. Bukti. Misalkan L := lim x c f(x), maka berdasarkan denisi untuk ɛ = 1, terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap x A dengan 0 < x c < δ berlaku f(x) L < 1, yang berakibat f(x) < L + 1. Sedangkan untuk x = c maka f(x) = f(c). Dengan mengambil M := sup { f(c), L + 1} maka diperoleh f(x) M untuk setiap x A V δ (c). Operasi penjumlahan, perkalian, perkalian skalar dan pembagian fungsi-fungsi didenisikan sebagai berikut ( ) f (f + g) (x) := f(x) + g(x), (fg) (x) := f(x)g(x), (αf) (x) := αf(x), (x) := f(x) h h(x) dimana domain fungsi-fungsi tersebut sama. h(x) 0 untuk setiap x. Khusus untuk pembagian, disyaratkan Teorema 3.6. Misalkan f, g : A R, c R titik limit A. Bila f dan g mempunyai limit di c, katakan lim x c f(x) = F dan lim x c g(x) = G maka berlaku 1. lim x c (f ± g) (x) = F ± G 2. lim x c (fg) (x) = F G 3. lim x c (αf) (x) = αf untuk suatu konstanta α. ( ) 4. lim f x c g (x) = F G asalkan G 0 dan g(x) 0 untuk setiap x. Bukti. Teorema ini dapat dibuktikan dengan menggunakan denisi limit fungsi, tetapi lebih mudah menggunakan kriteria barisan untuk limit. Misalkan (x n ) suatu barisan dalam A dimana x n c dan lim(x n ) = c, maka berlaku Diperoleh lim (f(x n )) = F, dan lim (g(x n )) = G. lim ((f ± g) (x n )) = lim (f(x n ) ± g(x n )) = lim (f(x n )) ± lim (g(x n )) = F ± G. Dengan menggunakan kriteria barisan untuk limit, hasil terakhir ini memberikan kesimpulan bahwa lim x c (f ± g) (x) = F ± G, yang membuktikan pernyataan (i). Untuk pernyataan lainnya dapat dibuktikan dengan cara yang sama. Diperhatikan khusus untuk perkalian, bila terdapat beberapa fungsi f 1, f 2,, f n dengan masing-masing lim x c f k (x) = F k maka berlaku ( ) ( ) ( ) lim (f 1f 2 f n ) (x) = lim f 1(x) lim f k(x) lim f n(x) = F 1 F 2 F n. x c x c x c x c 8

Lebih khusus, jika f 1 = f 2 = = f n := f maka diperoleh ( ) n lim x c (f(x))n = lim f(x) = F n. x c Jika p suatu polinomial pada R, yaitu p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 maka dengan menggunakan sifat limit hasil kali fungsi diperoleh lim p(x) = a nc n + a n 1 c n 1 + + a 1 c + a 0 = p(c). x c Selanjutnya, jika p(x) dan q(x) polinomial dan jika q(c) 0 maka berlaku p(x) lim x c q(x) = p(c) q(c). Teorema berikut memberikan kepastian bahwa bila nilai fungsi f(x) terbatas dalam suatu interval, maka begitu juga nilai limitnya. Teorema 3.7. Misalkan f : A R, c R titik limit A. Bila a f(x) b untuk semua x A, x 0 dan lim x c f(x) ada maka a lim x c f(x) b. Bukti. Misalkan (x n ) suatu barisan dalam A dimana x n c dan lim(x n ) = c maka berlaku lim (f(x n )) = lim x c f(x). Karena a f(x n ) b untuk setiap n N maka a lim x c (f(x n )) b. Jadi, a lim x c (f(x)) b. Teorema 3.8. Misalkan f, g, h : A R dan c R titik limit A. Bila diketahui f(x) g(x) h(x) untuk setiap x A, x c dan lim x c f(x) = L = lim x c h(x) maka lim x c g(x) = L. Bukti. Teorema ini adalah teorema squeeze untuk limit fungsi. Pembuktiannya menggunakan teorema squeeze untuk limit barisan. Untuk sebarang barisan (x n ) dalam A dimana x n c dan lim(x n ) = c, maka berlaku f(x n ) g(x n ) h(x n ). Dengan memandang (f(x n )), (g(x n )) dan (h(x n )) sebagai tiga barisan bilangan real maka berlaku lim (g(x n )) = lim (f(x n )) = lim (h(x n )) = L, sehingga disimpulkan lim x c g(x) = L. Teorema squeeze ini biasanya digunakan untuk membuktikan nilai limit suatu fungsi dengan cara membangun dua fungsi lainnya yang selalu mendominasi dari bawah dan dari atas. Kedua fungsi tersebut mempunyai nilai limit yang sama. Berikut diberikan beberapa contoh limit yang memuat fungsi trigonometri yang sering muncul sebagai rumus limit. Namun, sebelumnya diberikan beberapa fakta pembatas yang berkaitan dengan fungsi sinus dan cosinus. (i) x sin x x untuk setiap x 0. (ii) 1 x2 2 cos x 1untuk setiap x 0. 9

(iii) x x3 6 sin x x untuk setiap x 0. Contoh 3.11. Buktikan limit sebagai berikut : 1. lim x 0 sin x = 0, 2. lim x 0 cos x = 1, ( 3. lim cos x 1 ) x 0 x = 0, ( 4. lim sin x ) x 0 x = 1, 5. lim x 0 x sin ( 1 x) = 0. Bukti. Karena berlaku x sin x x untuk setiap x 0 (berdasarkan (i)) dan lim x 0 x = lim x 0 x = 0 maka dengan menggunakan teorema squeeze di peroleh 0 = lim x lim sin x lim x = 0 x 0 x 0 x 0 sehingga terbukti lim x 0 sin x = 0. Untuk lim x 0 cos x menggunakan (ii), yaitu 1 x2 2 cos x 1. Karena lim x 0 (1 x2 2 ) = lim x 0 1 = 1 maka diperoleh lim x 0 cos x = 1. Selanjutnya, dengan (ii) diperoleh x2 2 cos x 1 0, untuk x 0 Untuk x > 0 berlaku x 2 cos x 1 0 x dan untuk x < 0 diperoleh 0 cos x 1 x x 2. Bila diambil fungsi f dan h sebagai berikut { x f(x) : = 2 untuk x 0, h(x) := 0 untuk x < 0 maka untuk x 0 berlaku f(x) cos x 1 x h(x). { 0 untuk x 0 x 2 untuk x < 0 ) = 0. sin x x untuk x 0 untuk x 0. Jadi untuk x 0 berlaku Karena lim x 0 f(x) = lim x 0 h(x) = 0 maka disimpulkan lim x 0 ( cos x 1 x Untuk soal 4, dengan menggunakan (iii) berlaku x x3 6 dan x sin x x x3 6 ( ) Karena lim x 0 1 x2 6 1 x2 6 sin x x 1. = lim x 0 1 = 1 maka disimpulkan lim x 0 ( sin x x ) = 1. Untuk pertanyaan 5, gunakan kenyataan bahwa 1 sin z 1 untuk semua bilanga real z. Dengan mengganti z = 1 x, x 0 maka diperoleh Gunakan denisi nilai mutlak. x > 0 diperoleh 1 sin 1 x 1. Kalikan ketiga ruas ekspresi terakhir ini dengan x = x x sin 1 x x = x. 10

Bila dikalikan dengan x < 0 diperoleh x = x x sin 1 x x = x Jadi untuk setiap x R dan x 0 berlaku x x sin 1 x x. Karena lim x 0 x = lim x 0 x = 0 maka disimpulkan lim x 0 x sin ( 1 x) = 0. Fungsi x sin 1 x berkelakuan seperti fungsi sin 1 x sebelumnya tetapi ia semakin dekat kepada nol nilainya semakin mengecil mengikuti corong yang terbentuk oleh garis y = x dan y = x. Pola ini ditunjukkan pada Gambar 3.5. 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Gambar 3.5: Grak fungsi y = x sin ( ) 1 x 3.4 Sifat-sifat Fungsi Kontinu Sifat-sifat fungsi kontinu banyak yang mengikuti sifat-sifat yang berlaku pada limit fungsi. Jumlahan, perkalian, perkalian skalar fungsi-fungsi kontinu membentuk fungsi kontinu yang baru. Pembagian dua fungsi kontinu juga merupakan fungsi kontinu asalkan fungsi penyebutnya tidak pernah nol. Sifat aljabar fungsi kontinu Teorema 3.9. Misalkan f, g : A R, c A. Bila f dan g kontinu di c maka 1. Fungsi-fungsi f ± g, fg dan αf kontinu di c. 2. Bila h : A R kontinu di c A dan h(x) 0 untuk semua x A maka fungsi kontinu di c. f h Bukti. Hanya akan dibuktikan bagian 2, sisanya dapat dibuktikan sendiri. Gunakan fakta lim x c f(x) = f(c), dan lim x c h(x) = h(c). Karena c A dan f(c) 0 maka berlaku f f(c) (c) = h h(c) = lim x c f(x) lim x c h(x) = lim f x c h (x) sehingga disimpulkan f g kontinu di c. 11

Contoh 3.12. Bentuk-bentuk fungsi kontinu : 1. Fungsi polinomial p(x) = a n x n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 kontinu di setiap bilangan real c. 2. Bila p(x) dan q(x) fungsi rasional dan α 1, α 2,, α m akar q(x) maka fungsi rasional r(x) = p(x) q(x), x / {α 1, α 2,, α m } kontinu di setiap c yang bukan akar q(x). 3. Fungsi s(x) = sin x dan c(x) = cos x kontinu pada R. 4. Fungsi tan x, cot x, sec x dan csc x kontinu dimana mereka terdenisi. Kekontinuan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar Teorema 3.10. Misalkan f : A R, kemudian didenisikan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar sebagai berikut f (x) := f(x), dan f(x) := f(x). 1. Bila f kontinu pada A maka demikian juga dengan f. 2. Bila f(x) 0 dan f kontinu pada A maka f kontinu pada A. Bukti. Gunakan sifat f(x) L f(x) L untuk menunjukkan berlaku sehingga diperoleh Jadi f kontinu di c. 1 f(x) L 1 f(x)+ L lim f (x) = lim f(x), x c x c lim lim f (x) = f(x) = f(c) = f (c). x c x c Untuk fungsi akar, gunakan hubungan f(x) L = L f(x) L untuk menunjukkan bahwa lim x c f(x) = limx c f(x). Selanjutnya, gunakan fakta ini untuk menunjukkan kekontinuannya. Kekontinuan fungsi komposisi Berikut diberikan syarat kontinu agar komposisi fungsi kontinu juga kontinu. Teorema 3.11. Bila A, B R, f : A R dan g : B R. Bila f kontinu di c A, g kontinu f(c) dan f(a) B maka komposisi g f : A R kontinu di c. Bukti. Diberikan ɛ > 0 sebarang. Karena g kontinu di f(c) maka terdapat δ 1 > 0 sehingga y B dan y f(c) < δ 1 g(y) g(f(c)) < ɛ. ( ) Karena f kontinu di c maka untuk δ 1 > 0 di atas, terdapat δ > 0 sehingga x A dan x c < δ f(x) f(c) < δ 1. ( ) 12

Karena f(a) f(b) maka f(x) B sehingga ruas kiri ( ) dipenuhi oleh y = f(x). Jadi ruas kanan ( ) berlaku, yaitu g(f(x) g(f(c)) = g f(x) g f(c) < ɛ. Kesimpulannya, setiap ɛ > 0 terdapat δ > 0 sehingga x A dan x c < δ g f(x) g f(c) < ɛ, yakni g f kontinu di c. Contoh 3.13. Pada contoh ini diberikan cara lain membuktikan kekontinuan fungsi nilai mutlak dan fungsi akar kontinu. (a) Dengan mendensikan g 1 := x maka dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa g 1 kontinu pada A, yaitu menggunakan ketidaksamaan segitiga g 1 (x) g 1 (c) = x c x c. (b) Bila f : A R sebarang fungsi kontinu pada A maka g 1 f = f kontinu pada A. Dengan mengambil g 2 (x) := x, x 0 maka g 2 dapat ditunjukkan kontinu di setiap c 0, yaitu dengan menggunakan hubungan x c = x c 1 = x c 1 x c. x + c x + c c Bila f : A R, dengan f(x) 0 sebarang fungsi kontinu pada A maka g 2 f = f kontinu pada A. Bila syarat f(a) B atau g kontinu di f(c) tidak terpenuhi maka ada kemungkinan komposisi dua fungsi kontinu tidak kontinu, seperti yang ditunjukkan pada contoh berikut. Contoh 3.14. Misal diberikan fungsi f dan g yang didenisikan sebagai berikut { 0 bila x = 1 g(x) :=, f(x) := x + 1, x R. 2 bila x 1 Buktikan g dan f kontinu di 0 tetapi g f tidak kontinu di 0. Apakah hasil ini bertentangan dengan teorema sebelumnya? Bukti. Untuk fungsi g, lim x 0 g(x) = lim x 0 2 = 2 = g(0) yakni g kontinu di 0. Karena f berupa fungsi linier atau polinomial derajat satu maka ia pasti kontinu di 0. Sekarang bentuk komposisi g f sebagai berikut (g f) (x) = g (f(x)) = Uji kekontinuan sebagai berikut { 0 bila f(x) = 1 2 bila f(x) 1 = lim g f(x) = lim 2 = 2 g f(0) = 0, x 0 x 0 { 0 bila x = 0 2 bila x 0. sehingga disimpulkan g f tidak kontinu di 0. Diperhatikan salah satu syarat teorema adalah g kontinu di f(c). Karena f(0) = 1 dan lim x 1 g(x) = 2 g(1) = 0 maka g tidak kontinu di f(0) = 1. Karena ada syarat pada teorema tidak dipenuhi maka fakta ini tidak bertentangan dengan teorema. 13

Eksistensi ekstrim mutlak Eksistensi nilai maksimum dan minimum mutlak sangat banyak digunakan dalam teori optimasi. Teori optimasi merupakan salah satu kajian dalam matematika yang banyak digunakan dalam bidang terapan, khususnya dalam menentukan nilai yang mengoptimumkan suatu fungsi objektif. Sebelumnya diberikan pengertian fungsi terbatas dan kaitannya dengan fungsi kontinu. Denisi 3.5. Sebuah fungsi f : A R dikatakan terbatas pada A jika terdapat konstanta M > 0 sehingga f(x) M untuk semua x A. Dengan kata lain, fungsi f terbatas jika rentang (range) bayangannya merupakan himpunan terbatas. Contoh 3.15. Fungsi f(x) := 1 x kontinu pada A := (0, ) tetapi tidak terbatas pada A karena setiap bilangan real α > 0 terdapat x A, misalnya x = 1 α+1 sehingga f(x) > α. Namun, ia terbatas dan kontinu pada himpunan takterbatas B := (1, ) yaitu dengan mengambil M = 1. Pada himpunan terbatas C = (0, 1], fungsi f kontinu tetapi tidak terbatas. Keterbatasan fungsi kontinu pada suatu interval akan terjamin bila interval tersebut terbatas dan tertutup seperti diungkapkan pada teorema berikut. Teorema 3.12. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I R kontinu maka f terbatas pada I. Bukti. Andai f tidak terbatas pada I. Maka, untuk sebarang n N terdapat bilangan x n I sehingga f(x n ) > n. Karena I terbatas maka ia memuat barisan bagian X = (x nr ) dari X = (x n ) yang konvergen ke suatu bilangan x (Teorema Bolzano- Wierestrass). Karena I tertutup dan x nr I maka x I. Karena f kontinu di setiap anggota I maka f kontinu di x sehingga barisan (f(x nr )) konvergen ke f(x). Jadi, (f(x nr )) barisan terbatas. Padahal berlaku f(x nr ) > n n r untuk setiap r N yang menyatakan bahwa (f(x nr )) tidak terbatas. Diperoleh suatu kontradiksi. Jadi, pengandaian f tidak terbatas adalah salah. Kesimpulan, teorema terbikti. Denisi 3.6. Misalkan f : A R. Kita katakan f mempunyai sebuah maksimum mutlak (absolute maximum) pada A jika terdapat titik x A sehingga f(x ) f(x) untuk semua x A. Dikatakan f mempunyai minimum mutlak pada A jika terdapat titik x A sehingga f(x ) f(x) untuk setiap x A. Selanjutnya, titik x disebut titik maksimum mutlak dan x disebut titik minimum mutlak. Contoh 3.16. Fungsi f(x) := 1 x tidak mempunyai maksimum maupun minimum mutlak pada domain A = (0, ), tetapi pada domain B = [1, 2] mempunyai maksimum mutlak dan minimum mutlak dengan titik maksimum x = 1 dan titik minimum x = 2. Fungsi g(x) := x 2 mempunyai dua maksimum mutlak pada domain C := [ 1, 1] yaitu x = ±1 dan satu minimum mutlak dengan x = 0. Perhatikan Gambar 14

Gambar 3.6: Ilsutrasi maksimum dan minimum mutlak Contoh 3.16 Teorema 3.13. Jika I := [a, b] suatu interval tertutup dan f : I R kontinu maka f mempunyai maksimum dan minimum mutlak pada I. Bukti. Karena f terbatas maka range f(i) := {f(x) : x I} merupakan himpunan terbatas. Berarti ia mempunyai supremum dan inmum, katakan s = sup f(i) dan s = inf f(i). Kita tunjukkan terdapat x, x I sehingga f(x ) = s dan f(x ) = s. Karena s = sup f(i) maka untuk setiap n N, terdapat x n I sehingga s 1 n < f(x n) s. (#) Karena I terbatas maka barisan X := (x n ) terbatas, sehingga ia memuat barisan bagian X = (x nr ) yang konvergen ke suatu x I. Jadi f kontinu di x. Akibatnya, lim(f(x nr )) = f(x ). Mengikuti (#), diperoleh s 1 n r < f(x nr ) s untuk setiap r N. Karena lim(s 1 n r ) = lim(s ) = s maka dengan teorema squeeze, disimpulkan bahwa lim (f(x nr )) = f(x ) = s. Untuk eksistensi titik minimum x dibuktikan sejalan. 3.5 Limit Satu Sisi Sebelumnya telah ditunjukkan bahwa limit fungsi signum di 0 tidak ada. Tetapi jika domainnya dibatasi pada interval (0, ) maka limitnya ada yaitu bernilai 1. Juga, bila domainnya hanya dibatasi pada interval (, 0) maka limitnya juga ada yaitu 1. Kasus seperti ini mengilhami pengertian limit kanan dan limit kiri yang dimodikasi langsung dari pengertian limit biasa. Limit kiri dan limit kanan dikenal dengan istilah limit satu sisi, sedangkan limit biasa dikenal dengan limit dua sisi. Denisi 3.7. Misalkan A R dan f : A R. 1. Bila c R titik limit A (c, ) = {x A : x > c}, maka bilangan real L dikatakan limit kanan f di c, ditulis L = lim x c + f(x) adalah jika diberikan ɛ > 0 sebarang terdapat δ > 0 sehingga untuk semua x A dengan 0 < x < c + δ maka berlaku f(x) L < ɛ. 2. Bila c R titik limit A (, c) = {x A : x < c}, maka bilangan real L dikatakan limit kiri f di c, ditulis L = lim x c f(x) adalah jika diberikan ɛ > 0 sebarang terdapat δ > 0 sehingga untuk semua x A dengan c δ < x < 0 maka berlaku f(x) L < ɛ. 15

diberikan diberikan L+ L+ L f(x)-l < L f(x)-l < L- L- terdapat terdapat c- c c c+ Gambar 3.7: Ilustrasi limit kiri (panel kiri) dan limit kanan (panel kanan) Biasanya notasi L = lim x c + f(x) dibaca L adalah limit fungsi f untuk x mendekati c dari kanan. Analog untuk limit kiri. Secara geometri kedua pengertian limit ini diberikan pada Gambar 3.7. Pada kedua denisi ini, adanya nilai f(c) tetap tidak disyaratkan. Analog kriteria barisan untuk limit dapat diadaptasikan langsung pada limit satu sisi, seperti diungkapkan pada teorema berikut. Teorema 3.14. Misalkan A R dan f : A R, maka berlaku pernyataan berikut: lim x c + f(x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (x n ) yang konvergen ke c dimana x n A dan x n > c berakibat barisan (f(x n )) konvergen ke L R. lim x c f(x) = L bila hanya bila untuk setiap barisan (x n ) yang konvergen ke c dimana x n A dan x n < c berakibat barisan (f(x n )) konvergen ke L R. Bukti. Dapat dibuktikan sendiri dengan adaptasi teorema yang mirip untuk limit dua sisi. Berikut ini hubungan limit satu sisi dan limit dua sisi : lim x c f(x) = L bila hanya bila lim x c f(x) = lim x c + f(x) = L Contoh 3.17. Diperhatikan kembali fungsi signum. Diperoleh lim sgn(x) = 1, lim x 0 + sgn(x) = 1. x 0 Karena limit kiri dan limit kanan tidak sama maka limit dua sisinya lim x 0 sgn(x) tidak ada. Adakalanya, salah satu limit kiri atau limit kanan tidak ada. Sebagai ilustrasi amati contoh berikut. Contoh 3.18. Fungsi g(x) := e 1/x, x 0 tidak mempunyai limit kanan di 0 tetapi limit kirinya ada yaitu 0 (Why???). Fungsi h(x) := 1, x 0 mempunyai limit kiri di 0 e 1/x +1 yaitu 1, sedangkan limit kanannya 0 (Why???). Karena limit kiri dan kanan tidak sama maka limit dua sisinya tidak ada. 3.6 Kekontinuan Seragam dan Fungsi Lipschitz 16