PERANGKAT AJAR PENCARIAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DENGAN FUNGSI DIFFERENSIAL

PERANGKAT AJAR PENCARIAN GARIS SINGGUNG PADA KURVA DENGAN FUNGSI DIFFERENSIAL SKRIPSI Oleh: VINCENT FULVIAN NIM.1144019 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA SEKOLAH TINGGI MANAJEMEN INFORMATIKA DAN KOMPUTER STMIK TIME MEDAN 2015

ABSTRAK Saat ini, telah banyak beredar aplikasi pembelajaran untuk bahasa Inggris dan Mandarin serta matematika dasar. Namun, aplikasi pembelajaran mengenai differensial masih sangat jarang dijumpai. Perangkat ajar ini diperlukan untuk membantu siswa untuk mendapatkan hasil belajar yang lebih baik. Salah satu contoh penerapan turunan fungsi adalah gradien garis singgung pada grafik fungsinya. Proses pencarian garis singgung dari kurva akan dimulai dari proses pencarian nilai gradien (m). Proses perhitungan nilai gradien m ini menggunakan fungsi kalkulus differensial pada fungsi kurva input. Setelah itu, akan disubstitusikan nilai yang diperoleh ke dalam persamaan garis singgung. Terakhir, perangkat lunak akan menggambarkan garis singgung dari kurva. Perangkat lunak mampu menggambarkan fungsi yang diinput, sehingga dapat membantu penyelesaian terhadap pencarian garis singgung pada kurva. Dengan fasilitas penggambaran ini, perangkat lunak juga dapat digunakan untuk mendukung kegiatan belajar-mengajar yang berhubungan dengan penggambaran kurva. Hasil proses perhitungan dapat disimpan ke dalam sebuah file teks berformat *.txt, sehingga dapat membantu user yang membutuhkan proses pencarian solusi dari garis singgung pada kurva. Kata Kunci : pembelajaran, garis singgung, matematika, differensial. i

ABSTRACT Until now, there are many learning software for basic English, Mandarin and Mathematics. But, learning software about differential is hard to find. This learning software is needed for helping students to achieve better result. One of the implementation of differential function is gradient of tangent in graphic function. The searching of tangent function of curve is started by finding gradient value (m). The computation of gradient value m is using differential calculus function in input curve function. After that, the value will substitute into tangent equation. Finally, the software will draw tangent function of curve. The software could draw the input function, so that it could help finding solution of tangent equation of curve. By using the drawing feature, the software could be used to support teaching and learning process which is related to draw curve. The result of computation process could be saved in text file with format *.txt, so that it could help user which need to find solution of tangent function in curve. Keywords : learning, tangents, mathematics, differential. ii

KATA PENGANTAR Puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan kesehatan kepada saya penulis dan berkat kebajikan yang telah diperbuat selama ini sehingga saya dapat menjelaskan skripsi yang merupakan salah satu pemenuhan kurikulum program studi Teknik Informatika pada STMIK TIME Medan. Adapun judul dari skripsi ini adalah Perangkat Ajar Pencarian Garis Singgung Pada Kurva dengan Fungsi Differensial. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak menerima bantuan baik bimbingan maupun petunjuk serta saran nasehat dari berbagai pihak. Melalui kesempatan ini penulis ingin menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar besarnya kepada : 1. Bapak Robet, M.Kom, selaku Dosen Pembimbing I yang telah membantu dan membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 2. Bapak Agusman, S.Kom, selaku Dosen Pembimbing II yang telah membantu dan membimbing penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. 3. Bapak Simon Kanggali, selaku Ketua Yayasan STMIK TIME Medan. 4. Bapak Prof. Chainur Arrasyid, selaku Ketua BPH STMIK TIME Medan. 5. Bapak Prof. Harlem Marpaung, Ph.D, selaku Ketua STMIK TIME Medan. 6. Bapak Jackri Hendrik, S.T, M.Kom, selaku Puket I STMIK TIME Medan. 7. Bapak Hendri, M.Kom, selaku Ketua Program Studi Teknik Informatika STMIK TIME Medan. 8. Seluruh Dosen STMIK TIME Medan, yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan. iii

Meskipun telah disusun, penulis menyadari bahwa isi dan teknik penulisan skripsi ini masih memerlukan perbaikan untuk menyempurnakannya baik dari segi tata bahasa manapun materi yang terkandung didalamnya. Oleh karena itu setiap kritik dan saran akan diterima dengan senang hati agar dapat dijadikan bahan perbaikan untuk penulisan selanjutnya. Akhir puji dan syukur daya ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa, semoga kita selalu dalam lindungan dan karunianya. Medan, 24 April 2015 Penulis (Vincent Fulvian) iv

DAFTAR ISI ABSTRAK... i ABSTRACT... ii KATA PENGANTAR... iii DAFTAR ISI... v DAFTAR GAMBAR... viii DAFTAR TABEL... ix DAFTAR LAMPIRAN... x BAB I PENDAHULUAN... 01 1.1. Latar belakang masalah... 01 1.2. Identifikasi masalah... 02 1.3. Batasan masalah... 02 1.4. Tujuan dan manfaat penelitian... 03 1.5. Sistematika penulisan... 03 BAB II LANDASAN TEORI... 05 2.1. Himpunan... 05 2.1.1. Jenis jenis Himpunan... 5 2.1.2. Relasi Antar Himpunan... 6 2.1.3. Diagram Venn... 7 2.1.4. Operasi Antar Himpunan... 7 2.2. Relasi dan Fungsi... 8 2.2.1. Relasi... 8 2.2.2. Fungsi... 9 2.2.3. Jenis-Jenis Fungsi... 10 2.3. Fungsi dan Grafik... 12 2.3.1. Variabel Fungsi... 13 2.3.2. Sistem Koordinat dan Garis Lurus... 14 2.3.3. Grafik Fungsi... 15 2.4. Limit... 16 2.4.1. Definisi... 16 v

2.4.2. Teorema tentang Limit... 17 2.5. Differensial (Turunan)... 18 2.5.1. Definisi... 18 2.5.2. Aturan Pencarian Turunan... 18 2.6. Garis Singgung... 20 2.7. Rekayasa Perangkat Lunak... 23 BAB III METODE PENELITIAN... 25 3.1. Tempat dan jadwal penelitian... 25 3.2. Kerangka kerja... 25 3.2.1. Metode pengumpulan data... 26 3.2.2. Identifikasi Masalah... 27 3.2.3. Analisa sistem... 27 3.2.4. Perancangan sistem... 27 3.2.5. Pembangunan sistem... 28 3.2.6. Uji coba sistem... 28 BAB IV ANALISIS DAN PERANCANGAN... 29 4.1. Analisis... 29 4.1.1. Analisis Persyaratan... 29 4.1.1.1 Persyaratan Fungsional... 29 4.1.1.2 Persyaratan Non Fungsional... 30 4.1.2. Proses Penentuan Garis Singgung... 31 4.2. Perancangan Tampilan... 35 4.2.1. Form Awal... 36 4.2.2. Form Input Data... 37 4.2.3. Form Proses... 40 4.2.4. Form Hasil Perhitungan... 41 4.2.5. Form Teori... 42 vi

BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN... 44 5.1. Implementasi Perangkat Lunak... 44 5.1.1. Spesifikasi Perangkat Keras... 44 5.1.2. Spesifikasi Perangkat Lunak... 44 5.1.3. Tampilan Output Perangkat Lunak... 44 5.2. Pembahasan... 48 5.2.1. Algoritma Penggambaran Sumbu x dan Sumbu Y... 48 5.2.2. Algoritma Perhitungan Skala Sumbu x dan Sumbu Y... 50 5.2.3. Algoritma Penggambaran Grafik... 51 BAB V1 KESIMPULAN DAN SARAN... 54 6.1. Kesimpulan... 54 6.2. Saran... 54 DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN vii

DAFTAR GAMBAR Gambar 2.1. Diagram Venn... 7 Gambar 2.2. Contoh dari Fungsi... 10 Gambar 2.3. Fungsi Injektif... 11 Gambar 2.4. Fungsi Suryektif... 11 Gambar 2.5. Fungsi Bijektif... 11 Gambar 2.6. Titik Koordinat P(a,b) dan Q(-a,-b)... 15 Gambar 2.7. Grafik Fungsi Linier... 15 Gambar 2.8. Grafik Fungsi Kuadrat... 16 Gambar 2.9. Turunan Fungsi f di c... 20 Gambar 2.10. Garis Singgung di Titik (0,0) pada kurva y=x1/3... 22 Gambar 3.1. Kerangka kerja sistem... 26 Gambar 4.1. Gambar Fungsi Kurva y = x2 3x... 32 Gambar 4.2. Gambar Fungsi Kurva y = x2 + 4x + 4... 33 Gambar 4.3. Gambar Fungsi Kurva y = x2 2x - 3... 34 Gambar 4.4. Rancangan Form Awal... 37 Gambar 4.5. Rancangan Form Input Data... 38 Gambar 4.6. Rancangan Form Proses... 40 Gambar 4.7. Rancangan Form Hasil Perhitungan... 41 Gambar 4.7. Rancangan Form Teori... 42 Gambar 5.1. Tampilan form Main... 45 Gambar 5.2. Tampilan form Input Data... 45 Gambar 5.3. Tampilan form Proses... 46 Gambar 5.4. Tampilan form Gambar Grafik Hasil... 46 Gambar 5.5. Tampilan form Teori... 47 viii

DAFTAR TABEL Tabel 3.1 Jadwal penelititan... 25 ix

DAFTAR LAMPIRAN CD program Surat keputusan dosen pembimbing skripsi Daftar riwayat hidup mahasiswa Listing program x

BAB I PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Masalah Differensial mula mula hanya ditujukan untuk mencari garis singgung suatu kurva, tetapi ternyata kemudian sangat berguna untuk menyelesaikan problema problema dalam bidang matematika maupun bidang lainnya, seperti problema perubahan kecepatan, mencari luas maksimum, mencari keuntungan maksimum, mencari nilai ekstrim dari kurva, dan sebagainya. Penyinggungan antara kurva dan garis akan menghasilkan suatu titik penyinggungan. Apabila diketahui suatu titik penyinggungan, maka dapat dicari persamaan garis yang menyinggung kurva pada titik tersebut. Untuk melakukan hal tersebut, dapat diterapkan konsep kalkulus differensial. Apabila suatu fungsi terdiferensialkan di satu titik dan turunan pertamanya kontinu di sekitar titik itu, maka persamaan garis singgung di titik itu dapat ditentukan. Turunan pertamanya ditentukan dengan aturan menentukan turunan, definisi turunan, turunan implisit, atau turunan parameter. Agar dapat lebih memahami mengenai proses kerjanya maka harus dijelaskan dalam bentuk gambar, namun proses penggambaran kurva secara manual akan memakan waktu yang lama. Berdasarkan uraian di atas, penulis ingin merancang suatu perangkat lunak yang mampu untuk menghitung titik singgung antara kurva dan garis serta mencari persamaan garis singgung pada kurva tersebut. Perangkat lunak yang dirancang akan menampilkan cara penghitungan secara tahap demi tahap. Perangkat lunak juga menyediakan fasilitas untuk menggambarkan kurva dan 1

2 garis yang sedang dicari. Penulis bermaksud untuk mengambil skripsi dengan judul Perangkat Ajar Pencarian Garis Singgung pada Kurva dengan Fungsi Differensial. 1.2. Identifikasi Masalah Berdasarkan latar belakang pemilihan judul, maka yang menjadi permasalahan adalah : 1. Bagaimana membantu penyelesaian terhadap pencarian garis singgung pada kurva. 2. Bagaimana membantu user yang membutuhkan proses pencarian dari garis singgung pada kurva. 3. Bagaimana membuat suatu perangkat lunak untuk mencari garis singgung pada kurva dengan menggunakan bahasa pemrograman Visual Basic 2010. 1.3. Batasan Masalah Karena keterbatasan waktu dan pengetahuan penulis, maka ruang lingkup permasalahan dalam merancang perangkat lunak ini antara lain : 1. Konstanta dalam fungsi berupa numerik bilangan bulat bertipe data bilangan bulat dengan batasan antara -10 dan +10. 2. Fungsi kurva yang di-input berupa fungsi aljabar berorde dua. 3. Pangkat dari fungsi kurva berupa numerik bilangan bulat positif. 4. Perangkat lunak akan menggambarkan kurva dari persamaan yang di-input dan garis singgung pada kurva. 5. Perangkat lunak akan menampilkan tahap tahap perhitungan.

3 6. Input dari perangkat lunak, diketahui sebuah persamaan kurva dan sebuah absis x, ordinat y atau titik (x, y). 7. Bahasa pemrograman yang digunakan adalah Microsoft Visual Basic 2010. 1.4. Tujuan dan Manfaat Penulisan Tujuan penyusunan skripsi ini adalah untuk merancang suatu perangkat lunak yang mampu mencari garis singgung pada kurva. Manfaat dari penyusunan skripsi ini yaitu : 1. Membantu pembelajaran differensial. 2. Sebagai fasilitas pendukung dalam proses belajar mengajar. 1.5. Sistematika Penulisan Agar pembahasan lebih sistematika, maka tulisan ini dibuat dalam enam bab, yaitu : BAB I PENDAHULUAN Berisi latar belakang pemilihan judul, identifikasi masalah, tujuan dan manfaat, batasan masalah dan sistematika penulisan. BAB II LANDASAN TEORI Berisi tentang penjelasan singkat mengenai topik yang dibahas. BAB III METODE PENELITIAN Berisi tentang tempat dan jadwal penelitian, kerangka kerja, metode pengumpulan data, analisa sistem, perancangan sistem, pembangunan sistem, uji coba sistem dan implementasi sistem.

4 BAB IV ANALISA DAN PERANCANGAN Berisi tentang pembahasan mengenai proses kerja dan perancangan tampilan antarmuka. BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN Berisi tentang algoritma dan implementasi dari perangkat lunak. BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN Berisi tentang kesimpulan dan saran-saran yang diambil penulis setelah menyelesaikan skripsi.

BAB II LANDASAN TEORI 2.1. Himpunan Himpunan adalah kumpulan dari beberapa unsur yang memiliki sifat atau keterkaitan tertentu. Suatu himpunan biasanya dilambangkan dengan menggunakan huruf besar, contoh : A, B, C, dan elemen-elemen atau anggota dari himpunan dilambangkan dengan menggunakan huruf kecil, contoh : a, b, c, Himpunan dapat dituliskan dengan menggunakan dua metode yaitu : 1. Metoda Roster yaitu dengan cara mencantumkan seluruh anggota dari himpunan tersebut. Contohnya himpunan A = {Andi, Budi, Chandra} 2. Metoda Rule yaitu dengan cara menyebutkan satu atau beberapa sifat dari himpunan tersebut. Contohnya himpunan A = {x x adalah bilangan prima} Notasi himpunan yang digunakan adalah, contoh : 2 A yang berarti 2 adalah elemen dari A atau 2 anggota dari A. 2.1.1. Jenis - Jenis Himpunan Secara garis besar, himpunan terdiri dari 3 jenis, yaitu : 1. Himpunan terhingga adalah suatu himpunan di mana elemen-elemennya terhingga. Contohnya himpunan mahasiswa STMIK TIME stambuk 2006. 2. Himpunan tak terhingga adalah himpunan yang elemen-elemennya tak terhingga. Contohnya himpunan bilangan genap. 5

6 3. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai elemen sama sekali dan dinyatakan dengan notasi atau { }. Contohnya himpunan bilangan prima yang lebih kecil dari nol. 2.1.2. Relasi Antar Himpunan Relasi-relasi yang terdapat pada himpunan adalah : 1. Ekivalen. Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal (jumlah elemen) dari kedua himpunan tersebut sama.dinotasikan dengan A ~ B A = B Contoh : jika A = {1, 3, 5, 9} dan B = {a, b, c, d} maka A ~ B. 2. Himpunan Bagian Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B, jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B, yang memungkinkan bahwa A = B. Dalam hal ini dikatakan A adalah subset dari B. Dinotasikan dengan : A B. Contoh : A = {1, 3}; B = {1, 5, 9} dan C = {1, 3, 5, 7, 9} maka A B karena 3 A tetapi 3 B sedangkan dikatakan A C karena elemen A juga elemen C. Untuk menyatakan bahwa A adalah himpunan bagian dari B tetapi A B; ada setidaknya satu elemen di B yang tidak ada di A. Dalam hal ini A adalah proper subset dari B. Dinotasikan dengan A B. Contoh : A = {x, y}; B = {w, x, y,z} dan C = {y, x} maka

7 A B karena A adalah sebuah subset dari B, tetapi A B sedangkan dikatakan A C karena A = C, meskipun A adalah subset dari C. 2.1.3. Diagram Venn Salah satu cara untuk menggambarkan relasi antara dua himpunan atau lebih adalah dengan menggunakan diagram Venn, dimana suatu himpunan dinyatakan sebagai luas dari suatu bidang yang dibatasi oleh lengkungan tertutup dan digambarkan dengan himpunan semestanya. Gambar relasi antara dua himpunan dapat dilihat pada gambar 2.1. berikut: U A B Gambar 2.1. Diagram Venn Sumber : Besari, 2006 2.1.4. Operasi Antar Himpunan Operasi-operasi yang berlaku pada himpunan, antara lain : 1. Gabungan (Union). Himpunan gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan di mana anggota-anggotanya adalah anggota yang berada di A atau berada di B atau berada di kedua-duanya.dinotasikan dengan : A B = {x x A atau x B}

8 2. Irisan (Intersection). Himpunan irisan dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya dimiliki oleh A dan juga dimiliki oleh B secara bersamaan. Dinotasikan dengan : A B = {x x A dan x B} 3. Komplemen suatu himpunan (Absolute complement) Komplemen dari suatu himpunan adalah himpunan dari elemen-elemen yang merupakan anggota semesta tetapi bukan anggota A. Dinotasikan dengan : A = { x x U dan x A } 4. Selisih dari 2 buah himpunan (The relative complement) Himpunan selisih dari 2 himpunan A dan B adalah himpunan dari elemenelemen yang merupakan anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Dinotasikan dengan : A B = {x x A dan x B} = A B 5. Beda setangkup (Symmetric difference) Beda setangkup dari himpunan A dan B adalah suatu himpunan yang elemennya ada pada himpunan A atau B, tetapi tidak ada pada keduanya. Dinotasikan dengan : A B = (A B) (A B) 2.2. Relasi dan Fungsi Relasi dan fungsi merupakan dua jenis operasi yang terdapat pada himpunan. 2.2.1. Relasi Relasi yaitu hubungan diantara objek-objek. Ada dua definisi tentang relasi yaitu :

9 1. Hasil kali Kartesian Perkalian Kartesian (Cartesian Products) dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua pasangan terurut (ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan komponen kedua dari himpunan B. Dinotasikan dengan : A B = {(x,y) x A dan y B} Contoh : A = {a, b} dan B = {1, 2, 3} maka A B = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3)}. 2. Relasi pada himpunan. Relasi biner R antara x dan y adalah himpunan bagian dari x y. Jika (x,y) R, ditulis x R y artinya x dihubungkan dengan y oleh R, dan jika (x,y) R, maka ditulis x R y artinya x tidak dihubungkan dengan y oleh relasi R. Dinotasikan dengan : R (A B). Contoh P = {2, 4, 8, 9,15} dan Q = {2, 3, 4}. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan (p,q) R, jika p habis dibagi q maka diperoleh R = { (2,2), (4,2), (4,4), (8,2), (8,4), (9,3), (15,3) } 2.2.2. Fungsi Definisi suatu relasi dari himpunan A ke B dikatakan fungsi atau pemetaan jika : 1. Setiap anggota A memiliki pasangan tepat 1 di B. 2. Setiap anggota A habis dipasangkan dengan anggota B. Dapat ditulis f : A B yang artinya f memetakan A ke B.

10 Beberapa istilah yang harus dipahami dalam mempelajari konsep fungsi adalah : a. Himpunan A disebut sebagai domain f atau disebut juga dengan daerah definisi dari f. b. Himpunan B disebut juga sebagai kodomain atau daerah nilai f. c. x A, dikatakan sebagai prapeta dari y B, dan y B, dikatakan sebagai peta dari x A. d. Himpunan dari y = f(x) di B dinamakan sebagai Range f. Contoh dari fungsi dapat dilihat pada gambar 2.2. berikut: A B f 1 a 2 b 3 c Gambar 2.2. Contoh dari fungsi Sumber : Besari, 2006 Keterangan Gambar 2.2 :Domain f = {1, 2, 3} Kodomain f = {a, b, c} Range f = {a, b} 2.2.3. Jenis - Jenis Fungsi Misalkan A dan B merupakan dua himpunan sembarang dan f adalah fungsi dari A ke B, atau dituliskan : f : A B, maka fungsi dapat dibagi menjadi:

11 1. Fungsi injektif atau satu - satu : jika elemen-elemen yang berbeda dalam domain A mempunyai range yang berbeda. Sebagai contoh fungsi injektif disajikan pada gambar 2.3. A B a 1 b 2 c 3 Gambar 2.3. Fungsi injektif Sumber : Besari, 2006 2. Fungsi surjektif atau pada (onto) : jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A. Jadi fungsi f adalah onto bila semua elemen B merupakan daerah hasil dari f. Sebagai contoh fungsi surjektif disajikan pada gambar 2.4. B A a 1 b c d 2 3 Gambar 2.4. Fungsi surjektif Sumber : Besari, 2006 3. Fungsi bijektif : jika dan hanya jika fungsi tersebut injektif dan juga surjektif. Sebagai contoh fungsi bijektif disajikan pada gambar 2.5. B A a 1 b c d 2 Gambar 2.5. Fungsi bijektif Sumber : Besari, 2006 3

12 4. Fungsi invers (balikan). Balikan fungsi dilambangkan dengan f 1. Misalkan a adalah anggota himpunan A dan b adalah anggota himpunan B, maka f 1 (b)=a jika f(a) = b Contoh : A = {1, 2, 3} dan B = { x, y, z} adalah fungsi injektif (satu-satu), dimana f = {(1,x), (2,y), (3,z)} maka balikan fungsi f adalah f 1 = {(x,1), (y,2), (z,3)} 2.3. Fungsi dan Grafik Fungsi adalah dua kumpulan dari elemen, X dan Y, dan sebuah aturan, f, untuk menandai setiap elemen pada X ke satu elemen dari Y. Sebuah fungsi didenotasikan dengan f : X Y. Jika x adalah elemen dari X dan y adalah elemen dari Y yang ditandai oleh x dengan sebuah fungsi f, y dikatakan sebagai image dari x, dan didenotasikan dengan y = f(x). Jika y = f(x), x dikatakan sebagai preimage dari y. Image dari fungsi adalah kumpulan dari semua elemen pada Y yang memiliki minimal satu buah preimage pada X. Sebuah fungsi yang memenuhi persyaratan x <> y, maka juga akan memenuhi persyaratan f(x) <> f(y), yang berarti tidak ada elemen lain yang memiliki image sama. Fungsi ini dinamakan fungsi korespondensi satu-satu. Selain fungsi di atas, beberapa jenis fungsi lainnya yang sering digunakan dalam kriptografi adalah sebagai berikut, 1. Bijeksi (bijection) adalah sebuah fungsi korespondensi satu-satu yang memenuhi persyaratan image dari f adalah Y.

13 2. Fungsi Inversi adalah sebuah fungsi g dari a bijeksi f yang memenuhi persyaratan jika y = f(x) maka x = g(y). 3. Fungsi one way adalah sebuah bijeksi yang memenuhi persyaratan bahwa komputasi dari fungsi inversi sangat sulit dan hampir tidak mungkin. 4. Fungsi trapdoor one way adalah sebuah fungsi one way yang memenuhi persyaratan bahwa komputasi dari fungsi inversinya menjadi tidak mungkin jika informasi tambahan diberikan. 5. Permutasi adalah sebuah bijeksi yang memenuhi persyaratan f : X X. 6. Involusi adalah sebuah permutasi yang memenuhi persyaratan fungsi inversi dari f adalah f. 2.3.1. Variabel fungsi Sebuah variabel adalah sebuah simbol yang mengasumsikan sembarang nilai dari suatu himpunan nilai-nilai dan biasanya digunakan huruf-huruf pada akhir abjad seperti x, y, z, u, v, w. Sebuah konstanta adalah sebuah simbol yang berlaku hanya untuk satu nilai khusus dan biasanya menggunakan huruf-huruf pada awal abjad seperti a, b, c. Sebuah variabel y dikatakan sebuah fungsi dari sebuah variabel x apabila ada hubungan antara x dan y sedemikian rupa sehingga untuk tiap-tiap harga x yang dapat diasumsikan ada satu hubungan atau lebih dengan harga y. Contoh : y = x 2-5x + 2 mendefinisikan sebuah hubungan antara variabel x dan y. Jadi apabila x = 0, 1, 2, -1 maka masing-masing y = 2, -2, -4, 8 Variabel z dikatakan sebagai fungsi dari dua variabel yaitu variabel x dan y apabila ada sebuah hubungan sedemikian rupa sehingga tiap-tiap pasangan

14 harga x dan y bersesuaian dengan satu atau lebih harga-harga z, dalam hal ini z = f(x,y). Jika f(a,b) menyatakan harga z maka x = a dan y = b, asalkan fungsi terdefinisikan untuk harga-harga itu. Contoh : f(x,y) = x 3 + xy 2-2x, maka f(2,3) = 2 3 + 2.3 2-2.3 = 20 2.3.2. Sistem Koordinat dan Garis Lurus Sistem koordinat kartesis terdiri dari dua sumbu, garis horizontal (sumbu x) dan garis vertikal (sumbu y) yang berpotongan tegak lurus di titik O (titik asal). Kedua sumbu ini membagi bidang datar atas empat bagian, yang dinamakan Kuadran I sampai dengan Kuadran IV. Seperti halnya dengan himpunan bilangan real dengan garis, di sini terdapat korespondensi satu-satu di antara setiap titik di bidang dengan pasangan terurut dua bilangan real. Jika garis vertikal dan horisontal yang melalui titik sembarang P memotong sumbu x di a dan sumbu y di b, maka koordinat titik P adalah (a, b). Sistem koordinat tegak lurus digunakan untuk membentuk sebuah gambar dari hubungan fungsi antara dua variabel. Dua garis yang saling tegak lurus dinamakan sumbu koordinat, perpotongannya diberi label O dan disebut titik asal. Garis yang mendatar dinamakan sumbu x (horizontal) dan garis yang tegak dinamakan sumbu y (vertikal). Misalkan diberikan sebuah titik P pada bidang xy, titik P tegaklurus ke sumbu x dan sumbu y. Nilai-nilai dari x dan y pada titik-titik dimana sumbu x dan y bertemu secara tegak lurus masing-masing menentukan absis dan ordinat dari titik P. Koordinat-koordinat ditunjukkan dengan simbol (a,b). Contoh : titik P mempunyai koordinat (a,b) dan titik yang mempunyai koordinat (-a,-b) adalah Q maka dapat digambarkan seperti gambar 2.6. berikut :

15 (a, b) (-a, -b) Gambar 2.6. Titik Koordinat P (a, b) dan Q (-a,-b) Sumber : Besari, 2006 2.3.3. Grafik Fungsi Grafik sebuah fungsi adalah tempat kedudukan dari semua titik (x,y) yang memenuhi persamaan y = f(x). Secara umum, grafik dari y = ax + b dimana a, b sebagai konstanta adalah sebuah garis lurus yang disebut fungsi liniar. Disebut sebagai fungsi liniar karena dua titik membentuk sebuah garis lurus, maka hanya dua titik yang perlu digambarkan dan ditarik garis penghubungnya. Contoh grafik fungsi linier dapat dilihat pada gambar 2.7. y x Gambar 2.7. Grafik fungsi linier Sumber : Besari, 2006

16 Grafik dari y = ax 2 + bx + c mewakili parabola yang titik puncaknya merupakan titik maksimum atau minimum, tergantung masing-masing apakah a negatif atau positif. Fungsi f(x) = ax 2 + bx + x disebut juga fungsi kuadrat. Gambar dibawah menunjukkan grafik fungsi kuadrat dengan titik terendah P, disebut titik minimum atau titik parabola. Contoh grafik fungsi kuadrat dapat dilihat pada gambar 2.8. y x O P Gambar 2.8. Grafik fungsi kuadrat Sumber : Besari, 2006 2.4. Limit Limit merupakan suatu gagasan yang membedakan kalkulus dari cabang- cabang matematika lainnya sehingga kalkulus sering didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. 2.4.1. Definisi Limit dikenal sebagai suatu proses tak hingga. Dalam kalkulus, limit ditulis dalam bentuk: lim f(x) = L x c yang berarti bahwa bilamana x dekat tetapi berlainan dari c, maka f(x) dekat ke L.

17 2.4.2. Teorema Tentang Limit Untuk memudahkan dalam penyelesaian masalah limit, maka digunakan teorema-teorema tentang limit. Teorema-teorema tersebut adalah sebagai berikut, 1. Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, dan f dan g adalah fungsifungsi yang mempunyai limit di c maka, a. lim k = k x c b. lim x = c x c c. lim k.f(x) = k.lim f(x) x c x c d. lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x) x c x c x c e. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x c x c x c f. lim [f(x).g(x)] = lim f(x). lim g(x) x c x c f(x) g. lim x c lim f(x) = g(x) x c lim g(x) x c, asalkan lim g(x) 0 x c x c n h. lim [f(x)] = [lim f(x)]n x c x c i. lim n f(x) = n lim f(x) x c x c, asalkan lim f(x) > 0 bilamana n genap x c 2. Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional maka, lim f(x) = f(c) x c asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut di c tidak nol. 3. Andaikan f, g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x) g(x) h(x) untuk semua x dekat c, kecuali mungkin di c. Jika, lim f(x) = lim h(x) = L x c maka, x c

18 lim g(x) = L x c 2.5. Diferensial (Turunan) Diferensial atau turunan adalah anti integral. Fungsi turunan dapat digunakan untuk menentukan gradien dari garis singgung pada kurva. 2.5.1. Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain f (dibaca f aksen ) yang nilainya pada sembarang bilangan c adalah : f (c) = lim x c f(x) f(c) x c, asalkan limit ini ada Jika limit ini memang ada, maka dikatakan bahwa f terdiferensialkan (terturunkan) di c. Pencarian turunan disebut pendiferensialan, dan bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial. 2.5.2. Aturan Pencarian Turunan Turunan dapat ditentukan tanpa proses limit. Untuk itulah dirancang beberapa teorema tentang turunan. Turunan suatu fungsi f adalah fungsi lain f. Misalkan rumus untuk f(x) = x 2 maka f (x) = 2x. Beberapa teorema yang sering digunakan dalam proses penghitungan turunan yaitu : 1. Aturan fungsi konstanta Jika f(x) = k dengan k suatu konstanta maka untuk sembarang x, f (x) = 0.

19 2. Aturan fungsi identitas Jika f(x) = x, maka f (x) = 1. 3. Aturan pangkat Jika f(x) = xn, dengan n bilangan-bilangan bulat positif maka f (x) = n.xn-1 4. Aturan kelipatan konstanta Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka (kf) (x) = k.f (x). 5. Aturan jumlah Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f + g) (x) = f (x) + g (x). 6. Aturan selisih Jika f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka (f g) (x) = f (x) g (x). 7. Aturan hasilkali Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan, maka (f.g) (x) = f(x).g (x) + g(x).f (x). 8. Aturan hasilbagi Andaikan f dan g fungsi-fungsi yang dapat didiferensialkan dengan g(x) 0 maka, f g(x).f (x) f(x).g (x) (x) = g g2(x)

20 2.6. Garis Singgung Arti geometri dari turunan fungsi di satu titik adalah gradien garis singgung pada grafik fungsinya, seperti diperlihatkan pada gambar 2.9. berikut ini: y f f(x) f(c + h) garis singgung f(c) 0 c h x Gambar 2.9. Turunan Fungsi f di c Sumber : Besari, 2006 Jika suatu fungsi terdiferensialkan di satu titik dan turunan pertamanya kontinu di sekitar titik itu, maka persamaan garis singgung di titik itu dapat ditentukan. Turunan pertamanya ditentukan dengan aturan menentukan turunan, definisi turunan, turunan implisit, atau turunan parameter. Garis singgung dan garis normal pada suatu fungsi didefinisikan sebagai berikut. Definisi 1: Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c dan fungsi turunan pertama f kontinu pada I. Garis singgung pada fungsi f di c didefinisikan sebagai garis yang melalui titik (c, f (c)) dengan gradien mgs = f (c). Garis normal pada grafik fungsi f di c didefinisikan sebagai garis yang melalui (c, f(c)) dan tegak lurus pada garis singgungnya.

21 Catatan: Dari syarat dua garis saling tegak lurus, jika mgs = f (c), dan f (c) 0, maka gradien garis normalnya adalah mgs = 1 / f (c). Contoh: Misalkan ingin ditentukan persamaan garis singgung pada fungsi y = x 2 di titik (-1, 1) yang terletak pada grafiknya. Dari turunan fungsi y = 2x diperoleh y (-1) = -2, sehingga gradien garis singgungnya mgs = -2. Persamaan garis singgungnya adalah: y 1 = - 2(x + 1) atau y = -2x 1 Sementara itu, untuk garis singgung yang sejajar dengan sumbu y, contoh pemodelan dapat menggunakan fungsi y = x3. Turunannya adalah y = 3x2 dengan y (0) = 0, sehingga garis singgungnya di (0, 0) adalah sumbu x. Invers dari fungsi ini adalah y = x1/3, yang grafiknya diperoleh dengan mencerminkan grafik y = x3 terhadap garis y = x. Pada grafik y = x1/3, garis singgungnya di (0, 0) adalah sumbu y, yang diperoleh dengan mencerminkan sumbu x (garis singgung di (0, 0) pada grafik y = x3) terhadap garis y = x. Tetapi pada fungsi y = x1/3: y (0) = lim x 0 y (0) = lim x 0 x1/3 0 x 0 1 x2/3 y (0) = Pada kasus ini, diperoleh sebuah fungsi yang tidak terdiferensialkan di titik 0, tetapi grafik fungsinya masih mempunyai garis singgung di titik itu. Agar dapat lebih memahaminya, simaklah gambar 2.10. berikut ini:

22 y = x1/3 Sumbu y º garis singgung Gambar 2.10. Garis Singgung di Titik (0, 0) pada Kurva y = x1/3 Sumber : Besari, 2006 Garis singgung seperti ini perlu didefinisikan secara formal sebagai berikut: Definisi 2: Misalkan fungsi f terdiferensialkan pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali di c sendiri, dan fungsi f kontinu pada I {c}, dengan: f (c) = lim x c f(x) f(c) x c = Garis singgung pada grafik fungsi f di c didefinisikan sebagai garis x = c. Catatan: Pada definisi garis singgung, terlihat bahwa syaratnya adalah fungsi f kontinu pada selang terbuka I yang memuat c, kecuali mungkin di c sendiri. Turunan fungsinya di c, dapat bernilai real atau tak hingga, yaitu: f (c) = lim x c f(x) f(c) x c, dengan f (c) R atau f (c) =

23 Syarat kekontinuan f diperlukan untuk menjamin adanya tali busur dari titik (x, f(x)) ke titik (c, f(c)) yang tidak dipotong oleh grafik fungsinya tak berhingga kali. Gradien tali busur ini adalah: f(x) f(c) x c Pada suatu tali busur, buatlah c sebagai titik tetap dan x bergerak mendekati c. Akibatnya, titik (x, f(x)) bergerak mendekati titik (c, f(c)), sehingga tali busurnya akan berubah menjadi garis singgung pada graik fungsi f di titik (c, f(c)). Jadi garis singgung pada suatu grafik fungsi diperoleh dengan proses limit pada tali busurnya. Perlu dicatat bahwa garis singgung bukan garis yang memotong grafik fungsinya di satu titik. Garis sejajar sumbu y selalu memotong parabola y = x2 di satu titik, tetapi garis ini bukan garis singgung pada parabola tersebut. 2.7. Rekayasa Perangkat Lunak Beberapa definisi perangkat lunak : a. Instruksi-instruksi dalam program komputer yang bila dieksekusi akan memberikan fungsi dan unjuk kerja yang diinginkan. b. Struktur data yang membuat program mampu memanipulasi suatu informasi. c. Dokumen-dokumen yang menjelaskan operasi dan pemakaian suatu program. Berikut ini adalah karakteristik perangkat lunak yang membedakannya dengan perangkat keras:

24 1. Perangkat lunak dikembangkan dan direkayasa, bukan dirakit seperti perangkat keras. Meskipun ada beberapa kesamaan pengertian antara kedua istilah tersebut, tetapi pada dasarnya berbeda. 2. Perangkat lunak tidak dibuat berdasarkan rakitan komponen yang sudah ada, sedangkan perangkat keras dibuat berdasarkan rakitan komponen yang sudah ada. 3. Perangkat lunak tidak bisa rusak, sedangkan tingkat kerusakan perangkat keras sangat tinggi. Kerusakan yang terjadi pada perangkat keras menandakan perangkat keras itu harus diganti, walaupun terkadang bisa diperbaiki. Rekayasa perangkat lunak didefinisikan Fritz Bauer sebagai penetapan dan pemakaian prinsip-prinsip rekayasa untuk mendapatkan perangkat lunak yang ekonomis dan bekerja efisien pada mesin komputer. Rekayasa perangkat lunak mencakup tiga elemen yang mampu untuk mengatur proses pengembangan perangkat lunak, yaitu : 1. Metode-metode (Methods) Menyediakan cara-cara teknis membangun perangkat lunak. 2. Alat-alat bantu (Tools) Menyediakan dukungan otomatis untuk metode-metode seperti Computer Aided Software Engineering (CASE) yang menggabungkan software, hardware, dan engineering database. 3. Prosedur-prosedur (Procedures) Merupakan penggabungan metode dan alat bantu.

BAB III METODE PENELITIAN 3.1. Tempat dan Jadwal Penelitian Penelitian yang dilaksanakan berupa penelitian pustaka, dimana data-data dan informasi-informasi yang dibutuhkan dalam penyusunan skripsi ini bersumber dari buku - buku dan juga referensi - referensi yang didapatkan dari perpustakaan STMIK TIME. Penelitian ini dimulai dari Desember 2014 dan berakhir pada April 2015. Penelitian dilakukan ditujukan untuk mengumpulkan data yang diperlukan dalam proses perancangan dan pembuatan sistem. Berikut ini dijabarkan jadwal penelitian yang dapat dilihat pada Tabel 3.1. Tabel 3.1. Jadwal Penelitian Waktu Kegiatan Desember 2014 1 2 3 4 Januari 2015 1 2 3 Februari 2015 4 1 2 3 4 Maret 2015 1 2 3 April 2015 4 1 2 3 4 Pengajuan Judul Pengumpulan Data Analisa Sistem Perancangan Sistem Pembangunan Sistem Uji Coba Sistem Penulisan Lap. Skripsi 3.2. Kerangka Kerja Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode Waterfall. Adapun tahapan dan langkah-langkah pengembangan perangkat lunak ini dengan 25

26 menggunakan metode Waterfall ini dapat digambarkan dalam bentuk diagram alir seperti diperlihatkan pada gambar 3.1. Pengumpulan Data Identifikasi Masalah Analisa Sistem Perancangan Sistem Pembangunan Sistem Uji Coba Sistem Gambar 3.1. Kerangka Kerja Sistem 3.2.1. Pengumpulan Data Di tahap pertama, penulis mengumpulkan bahan-bahan yang diperlukan dalam penyusunan skripsi. Bahan tersebut dikumpulkan dari buku dan sumbersumber lainnya di internet. Penulis akan mengumpulkan data-data yang diperlukan untuk membuat aplikasi pencarian garis singgung pada kurva dengan fungsi Differensial. Penulis akan mengumpulkan dan mempelajari proses pencarian garis singgung pada kurva.

27 3.2.2. Identifikasi Masalah Sebelum merancang sebuah sistem, maka perlu dilakukan proses identifikasi terhadap permasalahan yang sedang dan akan dihadapi dalam proses pembangunan sistem. Tujuan dari proses identifikasi masalah ini adalah untuk memprediksi kemungkinan-kemungkinan yang dapat terjadi dalam proses pembuatan perangkat lunak. 3.2.3. Analisa Sistem Setelah dipelajari, penulis memilih dan menetapkan fungsi Differensial sebagai algoritma yang akan digunakan dalam aplikasi pencarian garis singgung yang akan dirancang. Penulis juga melakukan analisis ulang terhadap data-data sebelumnya, untuk menyimpulkan lebih rinci masalah yang akan diselesaikan serta tujuan penelitian dari penulis. 3.2.4. Perancangan Sistem Dalam tahap desain dari siklus hidup pengembangan sistem, penganalisis sistem menggunakan informasi-informasi yang terkumpul sebelumnya untuk mencapai desain sistem informasi yang logic atau logika. Penganalisis merancang prosedur data-entry sedemikian rupa sehingga data yang dimasukkan ke dalam sistem informasi benar-benar akurat. Selain itu, penganalisis menggunakan teknik-teknik bentuk dan perancangan layar tertentu untuk menjamin keefektifan input sistem.

28 3.2.5. Pembangunan Sistem Dalam tahap kelima dari siklus hidup pengembangan sistem, penganalisis akan mengembangkan suatu perangkat lunak awal yang diperlukan. Teknik terstruktur yang digunakan untuk merancang dan mendokumentasikan perangkat lunak adalah pseudocode. Penganalisis sistem menggunakan perangkat ini untuk memprogram apa yang perlu diprogram. Aplikasi ini dirancang dengan menggunakan bahasa pemrograman Microsoft Visual Basic 2010 dengan menggunakan beberapa objek dasar seperti : 1. Button, yang digunakan sebagai tombol eksekusi. 2. Label, yang digunakan untuk menampilkan keterangan. 3. Textbox, yang digunakan sebagai tempat penginputan data. 4. OpenFileDialog, yang digunakan untuk menampilkan dialog open. 5. SaveFileDialog, yang digunakan untuk menampilkan dialog save. 6. Picture box, yang digunakan untuk menampilkan gambar. 3.2.6. Uji Coba Sistem Aplikasi yang dihasilkan akan diujicoba terlebih dahulu pada data-data yang telah diperoleh penulis sebelumnya. Pengujian ini juga bertujuan untuk menemukan kelemahan-kelemahan yang terjadi pada saat perancangan aplikasi.

BAB IV ANALISIS DAN PERANCANGAN 4.1. Analisis Sebelum memulai proses perancangan perangkat lunak, maka terlebih dahulu perlu dilakukan proses analisis terhadap sistem yang akan dirancang. Proses analisis ini mencakup analisis persyaratan dan analisis proses. 4.1.1. Analisis Persyaratan Analisis persyaratan terhadap sistem yang akan dirancang mencakup analisis fungsional yang mendeskripsikan fungsionalitas yang harus dipenuhi oleh perangkat lunak dan analisis non fungsional yang mendeskripsikan persyaratan non fungsional yang berhubungan dengan kualitas sistem. 4.1.1.1.Persyaratan Fungsional Perangkat lunak pemahaman kalkulus differensial dengan studi kasus mencari garis singgung pada kurva ini memiliki persyaratan sebagai berikut : 1. Konstanta dalam fungsi berupa numerik bilangan bulat bertipe data integer. 2. Fungsi kurva yang di-input berupa fungsi aljabar berorde dua atau tiga. 3. Pangkat dari fungsi kurva berupa numerik bilangan bulat positif. 4. Perangkat lunak akan menggambarkan garis dan kurva dari persamaan yang di-input serta garis singgung pada kurva. 5. Perangkat lunak akan menampilkan tahap tahap perhitungan. 29

30 6. Input dari perangkat lunak, diketahui sebuah persamaan kurva dan sebuah absis x, ordinat y atau titik (x, y). 7. Berdasarkan tambahan materi, dibutuhkan persamaan garis singgung yang bersesuaian dengan sembarang nilai absis x, ordinat y atau titik (x, y). 4.1.1.2.Persyaratan Non-Fungsional Untuk merumuskan persyaratan non-fungsional dari sistem, maka harus dilakukan analisis terhadap kinerja, informasi, ekonomi, keamanan aplikasi, efisiensi, dan pelayanan customer. Panduan ini dikenal dengan analisis PIECES (performance, information, economic, control, eficiency, dan services). Berikut rinciannya: 1. Performance Perangkat lunak harus dapat menampilkan proses kerja dari kalkulus differensial secara tahapan demi tahapan. 2. Information Perangkat lunak harus mampu menampilkan laporan hasil proses perhitungan dari kalkulus differensial untuk mencari garis singgung pada kurva. 3. Economics Perangkat lunak tidak memerlukan perangkat dukung tambahan lainnya dalam proses eksekusinya. Perangkat keras yang diperlukan hanya berupa satu set komputer lengkap dengan monitor, mouse dan keyboard saja. Sementara, perangkat lunak yang diperlukan hanya berupa aplikasi Microsoft Visual Basic 2010 beserta beberapa komponen tambahan yang dilampirkan beserta perangkat lunak.

31 4. Control Perangkat lunak akan menampilkan pesan kesalahan apabila data yang diinput tidak lengkap atau tidak valid (tidak sesuai dengan ketentuan). 5. Efficiency Hasil proses perhitungan dari perangkat lunak dapat disimpan ke dalam sebuah file teks yang dapat dibuka kembali apabila diperlukan dengan menggunakan fasilitas Notepad. 6. Service Perangkat lunak hanya dapat menampilkan proses pemahaman dengan menggunakan bantuan gambar grafik agar dapat lebih mudah dipahami. 4.1.2. Proses Penentuan Garis Singgung Agar dapat memahami proses penentuan garis singgung yang memanfaatkan kalkulus differensial ini, maka diberikan beberapa contoh berikut ini: Misalkan diketahui sebuah fungsi kurva : y = x2 3x dan ingin dicari garis singgung pada titik (2, -2), maka gambar kurva yang dihasilkan dapat dilihat pada gambar 4.1.

32 y y = x2 3x x 0 2 3 y=x 4-2 Gambar 4.1. Gambar Fungsi Kurva y = x2 3x Gradien (m) = (dy/dx) x2 3x Gradien (m) = 2x 3 Titik x = 2, maka gradien (m) = 2x 3 = 2(2) 3 = 1 Persamaan garis singgung : y y1 = m(x x1) y (-2) = 1(x 2) y+2=x 2 y+2=x 4 Contoh lainnya, misalkan diketahui sebuah kurva y = x 2-4 dan ingin dicari garis singgung pada titik yang berabsis 0. Gambar fungsi kurva dapat dilihat pada gambar 4.2.

33 Gambar 4.2 Gambar Fungsi Kurva y = x2-4 Titik berabsis x = 0 y = x2-4 Titik berabsis x = 0 y = 02-4 Titik berabsis x = 0 y = -4 titik (0, -4) Gradien (m) = (dy/dx) x2-4 Gradien (m) = 2x Titik x = 0, maka gradien (m) = 2x = 2(0) = 0 Persamaan garis singgung : y y1 = m(x x1) y (-4) = 0(x 4) y+4=0 y+2=-4

34 Contoh lainnya, misalkan diketahui sebuah kurva y = x 2 2x 3 dan ingin dicari garis singgung pada titik yang berordinat -3. Gambar fungsi kurva dapat dilihat pada gambar 4.3. y y = x2 2x 3 x -1 0 2 3 y = 2x 7 y = -2x 3 Gambar 4.3 Gambar Fungsi Kurva y = x2 2x 3 Titik berabsis y = -3 y = x2 2x 3 Titik berabsis y = -3-3 = x2 2x 3 Titik berabsis y = -3 0 = x2 2x Titik berabsis y = -3 0 = x(x 2) Titik berabsis y = -3 x1 = 0 ; x2 = 2 Titik berabsis y = -3 (0,-3) ; (2,-3) Gradien (m) = (dy/dx) x2 2x 3 Gradien (m) = 2x 2

35 Terdapat dua solusi garis singgung: Solusi pertama: Titik x = 0, maka gradien (m) = 2x 2 = 2(0) 2 = -2 Persamaan garis singgung : y y1 = m(x x1) y (-3) = -2(x 0) y + 3 = -2x y + 2 = -2x 3 Solusi kedua: Titik x = 2, maka gradien (m) = 2x 2 = 2(2) 2 = 2 Persamaan garis singgung : y y1 = m(x x1) y (-3) = 2(x 2) y + 3 = 2x 4 y + 2 = 2x 7 4.2. Perancangan Tampilan Perangkat lunak pemahaman kalkulus differensial dengan studi kasus mencari garis singgung pada kurva ini dirancang dengan menggunakan bahasa pemrograman Microsoft Visual Basic 2010. Perangkat lunak ini dirancang dengan menggunakan beberapa komponen objek (tools) dari Microsoft Visual Basic 2010 antara lain : 1. Label, yang berfungsi untuk menampilkan keterangan. 2. RichTextbox, yang berfungsi untuk menampilkan hasil perhitungan.

36 3. Picturebox, yang berfungsi sebagai tempat penggambaran kurva. 4. Button, yang berfungsi sebagai tombol eksekusi. 5. Option button, yang berfungsi untuk memilih salah satu pilihan yang diinginkan. 6. Check box, yang berfungsi untuk memilih pilihan-pilihan yang diinginkan. Perangkat lunak ini memiliki beberapa rancangan form, antara lain : 1. Form Awal. 2. Form Input Data. 3. Form Proses. 4. Form Hasil Perhitungan. 5. Form Teori. Selain itu, perangkat lunak juga menyediakan beberapa fasilitas seperti fasilitas penyimpanan gambar grafik ke dalam image file dengan format *.bmp, fasilitas load dan save untuk fungsi kurva. 4.2.1. Form Awal Form ini berfungsi sebagai form awal yang muncul pertama kali pada saat perangkat lunak dijalankan. Rancangan tampilan dari form ini dapat dilihat pada gambar 4.4.

37 5 1 2 3 4 Gambar 4.4. Rancangan Form Awal Keterangan : 1 : Daerah tampilan gambar desain. 2 : Daerah tampilan nama perangkat lunak. 3 : Daerah tampilan nama pembuat perangkat lunak. 4 : Tombol yang digunakan untuk menutup form dan menampilkan form Input Data. 5 : Tombol yang digunakan untuk menutup perangkat lunak. 4.2.2. Form Input Data Form ini berfungsi sebagai tempat pengisian dan pengaturan data awal yang mencakup data persamaan kurva dan titik singgung (berupa titik absis x, titik ordinat y, titik (x, y)). Rancangan tampilan dari form ini adalah dapat dilihat pada gambar 4.5.

38 7 2 3 4 5 1 6 10 11 9 12 8 13 18 14 15 20 19 21 16 17 22 23 Gambar 4.5. Rancangan Form Input Data Keterangan : 1 : Radio button Kurva terhadap Sumbu Y, dipilih apabila ingin menampilkan kurva terhadap sumbu Y. 2 : Textbox Koefisien dari X^2, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai koefisien dari orde 2. 3 : Textbox Koefisien dari X^1, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai koefisien dari orde 1. 4 : Textbox Koefisien dari X^0, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai koefisien dari orde 0. 5 : Tombol Generate Persamaan Kurva, berfungsi untuk menghasilkan persamaan kurva secara acak.

39 6 : Radio button Kurva terhadap Sumbu Y, dipilih apabila ingin menampilkan kurva terhadap sumbu Y. 7 : Textbox Koefisien dari Y^2, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai koefisien dari orde 2. 8 : Textbox Koefisien dari Y^1, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai koefisien dari orde 1. 9 : Textbox Koefisien dari Y^0, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai koefisien dari orde 0. 10 : Tombol Generate Persamaan Kurva, berfungsi untuk menghasilkan persamaan kurva secara acak. 11 : Radio button Titik Sumbu Absis, dipilih apabila ingin melakukan pengisian titik pada sumbu X. 12 : Textbox Titik pada Sumbu X, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai titik pada sumbu X. 13 : Radio button Titik Sumbu Ordinat, dipilih apabila ingin melakukan pengisian titik pada sumbu Y. 14 : Textbox Titik pada Sumbu Y, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai titik pada sumbu Y. 15 : Radio button Titik pada Kurva, dipilih apabila ingin melakukan pengisian titik singgung pada kurva. 16 : Textbox Titik pada Sumbu X, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai titik pada sumbu X. 17 : Textbox Titik pada Sumbu Y, berfungsi sebagai tempat pengisian nilai titik pada sumbu Y.

40 18 : Listbox Daftar Titik, berfungsi untuk menampilkan daftar titik yang diinput. 19 : Tombol Masukkan Titik dari Daftar, untuk memasukkan titik input ke daftar. 20 : Tombol Hapus Titik dari Daftar, untuk menghapus titik yang dipilih dari daftar. 21 : Tombol Teori, untuk menampilkan form Teori. 22 : Tombol Proses, untuk menampilkan form Proses. 23 : Tombol Keluar, untuk menutup form dan kembali ke form Splash Screen. 4.2.3. Form Proses Form ini berfungsi sebagai tempat penginputan fungsi kurva yang diinginkan. Rancangan tampilan dari form ini dapat dilihat pada gambar 4.6. 1 2 3 4 Gambar 4.6. Rancangan Form Proses 5

41 Keterangan : 1 : Daerah penggambaran grafik kurva dan garis. 2 : Textbox Hasil Proses, untuk menampilkan hasil proses perhitungan. 3 : Tombol Laporan untuk menampilkan form Laporan. 4 : Tombol Hitung untuk memulai proses perhitungan. 5 : Tombol Keluar, untuk menutup form Input Data dan kembali ke form Input Data. 4.2.4. Form Hasil Perhitungan Form ini berfungsi untuk menampilkan hasil proses perhitungan. Rancangan tampilan dari form ini dapat dilihat pada gambar 4.7. 1 3 2 Gambar 4.7. Rancangan Form Hasil Perhitungan

42 Keterangan : 1 : Textbox Hasil, untuk menampilkan detail hasil proses perhitungan. 2 : Tombol Simpan untuk menyimpan proses perhitungan ke dalam sebuah file teks. 3 : Tombol Keluar, untuk menutup form Hasil Perhitungan dan kembali ke form Proses. 4.2.5. Form Teori Form ini berfungsi untuk menampilkan teori-teori yang berhubungan dengan kalkulus differensial dan garis singgung pada kurva. Rancangan tampilan dari form ini dapat dilihat pada gambar 4.8. 1 2 3 Gambar 4.8. Rancangan Form Teori 4

43 Keterangan : 1 : Daerah tampilan detail teori yang berhubungan dengan kalkulus differensial. 2 : Tombol <<< Sebelumnya untuk menampilkan halaman teori sebelumnya. 3 : Tombol Keluar, untuk menutup form Teori dan kembali ke form Input Data. 4 : Tombol Selanjutnya >>> untuk menampilkan halaman teori selanjutnya.

BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN 5.1. Implementasi Perangkat Lunak Implementasi sistem program ini mencakup spesifikasi kebutuhan perangkat keras (hardware) dan spesifikasi perangkat lunak (software). 5.1.1. Spesifikasi Perangkat Keras Perangkat lunak ini direkomendasikan untuk dijalankan dengan menggunakan perangkat keras (hardware) yang mempunyai spesifikasi berikut: 1. Prosesor Core I3. 2. Memory 2 GB. 3. Harddisk 1 TB dengan freespace minimum 500 GB. 4. Monitor dengan resolusi 1024 768 pixel dengan VGA Card 1 GB. 5. Keyboard dan Mouse. 5.1.2. Spesifikasi Perangkat Lunak Adapun perangkat lunak (software) yang digunakan untuk menjalankan aplikasi ini adalah lingkungan sistem operasi MS-Windows NT/2000/XP/7/8 dan software pemrograman atau komponen Microsoft Visual Basic 2010. 5.1.3. Tampilan Output Perangkat Lunak Gambar 5.1. sampai 5.5. berikut dirincikan tampilan output dari perangkat lunak: 44

45 1. Form Main Gambar 5.1. Tampilan Form Main 2. Form Input Data Gambar 5.2. Tampilan Form Input Data

46 3. Form Proses Gambar 5.3. Tampilan Form Proses Gambar 5.4. Tampilan Form Gambar Grafik Hasil Tampilan detail perhitungannya adalah sebagai berikut: Titik x = 0

47 Titik y = 1 * 0^2 + 1 * 0 + 1 Titik y = 1 m = (dy/dx) 1 + X + X^2 Rumusan differensial: - Konstanta dibuang. - Konstanta dari hasil differensial adalah koefisien dari pangkat 1, berarti = 1 - Koefisien pangkat 1 dari hasil differensial adalah 2 * koefisien dari pangkat 2, berarti 2 * 1 = 2 Sehingga hasil turunan dari m adalah: m = 1 + 2X Substitusikan nilai x = 0 ke pers. m = 1 Hitung persamaan garis singgung: y - y1 = m * (x - x1) y - 1 = 1 * (x - 0) y - 1 = 1 * x - 0 y = 1 * x + 1 4. Form Teori Gambar 5.5. Tampilan Form Teori

48 5.2. Pembahasan Algoritma untuk merancang perangkat lunak pemahaman kalkulus differensial dengan studi kasus mencari garis singgung pada kurva dapat dibagi menjadi 3 (tiga) bagian, yaitu: 1. Algoritma Penggambaran Axis Sumbu x dan Sumbu y. 2. Algoritma Perhitungan Skala Sumbu x dan Sumbu y. 3. Algoritma Penggambaran Grafik. 5.2.1. Algoritma Penggambaran Axis Sumbu x dan Sumbu y Algoritma ini digunakan untuk menggambar axis pada sumbu x dan sumbu y. Pada daerah penggambaran grafik, digambarkan 10 (sepuluh) buah axis untuk masing-masing sumbu x dan sumbu y. Selain garis axis, algoritma ini juga menggambarkan 80 buah garis pembantu yang sejajar dengan sumbu x dan 40 buah garis pembantu yang sejajar dengan sumbu y. Algoritma penggambaran axis adalah sebagai berikut: 1. Kosongkan daerah penggambaran. 2. Penggambaran axis dan garis pembantu untuk sumbu x dan sumbu y. a. Set Bagi = 80. b. Set X1 = -11. c. Set i = -(Width_X / Bagi). d. Selama (i < Width_X), lakukan algoritma berikut: i. Set i = i + (Width_X / Bagi). ii. Gambarkan garis pada posisi (i, 0) sampai posisi (i, Width_Y). iii. Jika i Mod (Mid_X / 10) = 0, maka: