SELEKSI OLIMPIADE MATEMATIKA INDONESIA 005 TINGKAT PROVINSI TAHUN 004 Prestasi itu diraih bukan didapat!!! SOLUSI SOAL Bidang Matematika Bagian Pertama Disusun oleh : Edd Hermanto, ST
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 004 Bagian Pertama BAGIAN PERTAMA. 0 0 4 40 0. Keadaan I : Misalkan dalam gelas terdapat a bagian sirup maka banakna bagian air adalah 4a bagian. Karena dalam satu gelas terdapat a bagian sirup maka dalam satu botol sirup terdapat 60a bagian sirup. Sedangkan dalam gelas terdapat 5a bagian. Keadaan II : Jika dalam gelas terdapat b bagian sirup, maka banakna bagian air adalah 5b bagian. Karena dalam satu gelas terdapat b bagian sirup maka dalam gelas terdapat b bagian sirup. Sedangkan dalam gelas terdapat 6b bagian. Dari keadaan I dan keadaan II didapat 5a 6b. Misalkan dari campuran tersebut dapat dibuat gelas, maka : b 60a (6b) 7 Banakna gelas ang diperoleh adalah 7 gelas. Misalkan penduduk Jawa tengah JT Penduduk Jawa J Penduduk Indonesia I JT 5% J JT 5% I 5% J 5% I J 60% I Karena penduduk Jawa 60% penduduk Indonesia maka Penduduk Indonesia ang tinggal di luar pulau Jawa 40% 4. Volume seharusna πr t Volume perhitungan Dina πd t 4πr t Rasio perhitungan Dinas terhadap hasil seharusna 4πr t πr t Rasio perhitungan Dina terhadap hasil seharusna 4 4 5. * Karena lingkaran pertama berpusat di kuadran I dan melalui titik (0,0) maka semua titik ang terletak di dalam lingkaran pertama tidak akan mungkin terletak di kuadran III. * Karena lingkaran pertama berpusat di kuadran II dan melalui titik (0,0) maka semua titik ang terletak di dalam lingkaran pertama tidak akan mungkin terletak di kuadran IV. * Karena lingkaran pertama berpusat di kuadran III dan melalui titik (0,0) maka semua titik ang terletak di dalam lingkaran pertama tidak akan mungkin terletak di kuadran I. Titik P hana mungkin terletak di kuadran II. Edd Hermanto, ST
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 004 Bagian Pertama 6. Jika panjang sisi segitiga adalah k titik maka banakna bulatan hitam k. Pada gambar ke-n panjang sisi segitiga n titik. Banakna bulatan hitam (n ) n Banakna bulatan hitam pada gambar ke-n adalah n 7. Karena CP adalah garis bagi maka berlaku AC : CB PA : PB PA PB 4 PB PA AB 4 PA PA PB PA AB PA : AB : 8. * Untuk 0, maka z 99. Banakna pasangan (,z) ang memenuhi ada 00 aitu (0,99), (,98), (,97),, (99,0) * Untuk, maka z 98. Banakna pasangan (,z) ang memenuhi ada 99 aitu (0,98), (,97), (,96),, (98,0) * Untuk, maka z 97. Banakna pasangan (,z) ang memenuhi ada 98 aitu (0,97), (,96), (,95),, (97,0) * Untuk, maka z 96. Banakna pasangan (,z) ang memenuhi ada 97 aitu (0,96), (,95), (,94),, (96,0) M * Untuk 99, maka z 0 Banakna pasangan (,z) ang memenuhi ada aitu (0,0) 00 Banakna barisan bilangan bulat (,, z) ang memenuhi 00 99 98 ( 00 ) Banakna barisan bilangan bulat (,, z) ang memenuhi persamaan z 99 ada 5050. 9. n(n )(n ) n(n )(n ) n(n )(n ) n(n ) (n ), n, (n ) adalah bilangan bulat berurutan, maka (n )n(n ) habis dibagi! 6. n(n ) juga habis dibagi!. Maka n(n ) pasti habis dibagi 6. Akibatna berapa pun nilai n dengan n bilangan asli akan memenuhi n(n )(n ) habis dibagi 6. Himpunan semua n asli sehingga n(n )(n ) habis dibagi 6 adalah {n n bilangan asli} Edd Hermanto, ST
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 004 Bagian Pertama 0. * Jika 4 maka 8 8 Pertidaksamaan menjadi < 89 ( 4) ( ) < 0 4 < < Karena persoalan dibatasi hana untuk 4 maka batas-batas ang memenuhi 4 < < * Jika 4 maka 8 8 Pertidaksamaan menjadi < 8 8 < 0 ( ) 7 < 0 Ruas kiri adalah definit positif sehingga tidak ada penelesaian ang memenuhi. Penelesaian ang memenuhi pertidaksamaan < 8 adalah 4 < <. Banakna pasangan kartu ang jumlahna 6 ada aitu (,5) dan (,4) Peluang terambilna kartu ang jumlahna nomorna 6 adalah Peluang terambilna kartu ang jumlah nomorna 6 adalah 5 6 C. Misal ACD α maka GOD CAB BOF α CE FG 4 4 sin α () cos α () ; tan α () CA CA 5 5 Misal CO a dan GO b maka OA 5 a dan OF 4 b sebab FG adalah tinggi trapesium. GC CO cos α a 5 DG GO tan α 4 b DC DG GC 5 a 4 b (4) AF OA cos α (5 a) 5 5 a Edd Hermanto, ST
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 004 Bagian Pertama 4 6 4 FB OF tan α (4 b) b 6 4 5 4 AB AF FB a b a b 5 5 Luas trapesium ( DC AB )FG 5 50 Dari persamaan (4) dan (5) didapat luas trapesium 4 50 Luas trapesium 5. L L 5 7 005 5 7 L 5 7 005 005 00 005 4. Karena Tini lebih lambat dari Santi maka panjang busur ang ditempuhna akan lebih pendek dari ang ditempuh Santi. Misal panjang busur ang ditempuh Tini a maka panjang busur ang ditempuh Santi a. a 5 a K dengan K adalah keliling lingkaran. a K α a 60 K 5 α 44 o Karena O adalah pusat lingkaran maka OPR adalah segitiga sama kaki. RPO RPQ (80 o 44 o ) RPQ 8 o Edd Hermanto, ST
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 004 Bagian Pertama Edd Hermanto, ST 5. Misal panjang sisi TU a, SU b dan ST c serta UST α, STU β dan TUS γ, maka : Luas STU ab sin γ ac sin β bc sin α Luas SPQ b c 4 sin α 8 Luas STU 8 Luas TQR c a sin β Luas STU Luas UPR b a 4 sin γ 4 Luas STU 4 Luas PQR Luas STU Luas SPQ Luas TQR Luas UPR 4 8 Luas PQR 4 7 6. ( )( ) () ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ) )( ( () () () ( ) 0
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 004 Bagian Pertama 7. Pada sebuah persegi dengan panjang sisi a, jarak terjauh dua titik ang terletak pada persegi adalah a jika kedua titik merupakan ujung-ujung diagonal bidang persegi tersebut. Bagi persegi dengan panjang sisi tersebut menjadi 6 persegi dengan panjang sisi masing-masing sehingga jarak terjauh titik ang terletak pada masing-masing persegi adalah. Jika terdapat 6 titik, maka titik-titik tersebut masih dapat didistribusikan masing-masing titik ang terletak di dalam persegi kecil sehingga masih belum dapat dijamin senantiasa terambil dua titik ang jarak antara keduana. Jika terdapat 7 titik maka sesuai Pigeon Hole Principle maka sekurang-kurangna ada satu persegi kecil berisi sekurang-kurangna titik sehingga dapat dijamin senantiasa terambil dua titik ang jarak antara keduana. Jumlah minimal titik ang harus diambil dari dalam sebuah persegi dengan panjang sisi agar dapat dijamin senantiasa terambil dua titik ang jarak antara keduana adalah 7. 8. f()f() f() * Jika 0 dan 0, maka f(0)f(0) f(0) 0 f(0) ( f(0) ) 0 f(0) 0 atau f(0) * Jika dan 0, maka f()f(0) f(0) Jika f(0) 0, maka 0 ang berarti tidak mungkin f(0) 0 maka f(0) Untuk f(0) maka f() f() * Jika 004 dan maka f(004)f() f(004) 005 f(004) f(004) 005 f(004) 005 * Jika 004 dan 0 maka f(004)f(0) f(0) 004 f(004) 004 f(004) 005 f(004) 005 9. fpb(a, a, a ). Karena fpb(a i, a j ) > untuk i j, i, j,, maka a i dan a j untuk i j, i, j,, tidak saling prima relatif. Misalkan fpb(a, a ) q, fpb(a, a ) p dan fpb(a, a ) r dengan p, q, r >. Maka a i dengan i,, akan berbentuk : a pq a qr a pr p dan q, q dan r, p dan r masing-masing saling prima relatif. Edd Hermanto, ST
Solusi Olimpiade Matematika Tk Provinsi 004 Bagian Pertama bilangan terkecil (p, q, r) ang memenuhi adalah (,, 5) sehingga a 6, a 5 0 dan a 5 5. Agar a a a minimal maka (a, a, a ) (6, 0, 5) 0. a o b a b ab c a b ab 67 a b ab 67 (a ) (b ) (a ) (b ) 68 Faktor ang sebenarna dari 68 adalah,, 4, 7, 4 dan 68 Jika a maka a 0 Jika a maka a Jika a 4 maka a Jika a 7 maka a 6 Jika a 4 maka a Jika a 68 maka a 67 faktor positif dari 67 adalah,, 6, dan 67 Edd Hermanto, ST