Aturan Penjumlahan Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(A atau B)= P(A)+P(B) Not Mutually Exclusive: Kemungkinan terjadi peristiwa A dan B: P(Aatau B): P(A)+P(B) P(A dan B) Contoh: Analisa kimia air laut menunjukkan kandungan Pb dan Hg. Hasil analisa menunjukkan bahwa pada sampel dekat dekat muara sungai, 38% sampel mengandung Hg atau Pb tinggi, 32 % sampel mengandung Pb dan 10% mengandung Pb dan Hg. Berapa probabilitas bahwa sampel tersebut akan mengandung Hg dan berapa yang hanya mengandung Pb? Probabilitas dalam melempar dadu mendapatkan nilai genap? Lokasi produksi mobil Perlu perbaikan dalam 90 hari pertama pemakaian Ya Tidak Jumlah US 7 293 300 Non US 13 187 200 20 480 500 Independen Probabilitas akan diperoleh angka 5 pada 2 kali pelemparan dadu? P(A dan B) = P(A) x P(B) a. Pembelian 1 bh mobil Probabilitas mobil perlu perbaikan? b. Probabilitas jumlah mobil br perlu perbaikan dan diproduksi di US? c. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan yang tidak memerlukan perbaikan? d. Probabilitas mobil memerlukan perbaikan dan diproduksi di US? e. Probabilitas mobil baru produksi US yang perlu perbaikan?
Distribusi Probabilitas Terdapat 2 kelompok: Distribusi probabilitas diskrit Distribusi probabilitas kontinu Distribusi Probabilitas Diskrit Binomial Hypergeometrik Poisson Geometrik Multinomial Distribusi Probabilitas Kontinu Normal Binomial Uniform Log Normal Gamma 25 26 Expected Value µ x =E(x)= Xi P(Xi) X= Variabel acak distkrit Xi= Hasil X pada perlakuan I P(Xi)= Probabilitas terjadinya hasil I dari X i = 1,2,3,.,n Varians = σ x2 = (Xi µ x ) 2 P(Xi) Standard Deviasi = σ x Contoh: Data kecelakaan lalu lintas X Frek. Relatif P(X) 0 6 0,10 1 12 0,20 2 27 0,45 3 9 0,15 4 3 0,05 5 3 0,05 Nilai rata-rata/expected value? Varians dan standard deviasi? 27 28
Expected value=µ x = Ex= Xi P(Xi)= (0)*(0,10)+(1)*(0,20)+(2)*(0,45)+(3)*(0,15)+(4)*(0,05)+(5) *(0,05)= 2 Varians= (0 2) 2 *(0,10)+(1 2) 2 *(0,2)+(2 2) 2 *(0,45)+ (3 2) 2 *(0,15)+ (4 2) 2 *(0,05)+(5 2) 2 *(0,05)= 1,4 Standard Deviasi= 1,4=1,18 Distribusi Binomial Digunakan untuk probabilitas yang bersifat diskrit, dengan asumsi: 1.Terdapat n kejadian pada sampling variabel acak 2.Hasil dari n independent antara satu dengan lainnya 3. Hanya ada dua kemungkinan hasil 4. Probabilitas setiap hasil konstant dari satu pengambilan sampel terhadap pengambilan sampel berikutnya 29 30 Distribusi Binomial Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi = p Probabilitas tidak berhasil/kegagalan = q=1-p Probabilitas keberhasilan suatu peristiwa terjadi tepat x kali dalam setiap perlakuan (x berhasil dan n-x gagal) = b Distribusi Binomial b( n x n! p x!( n x)! x x n x n x = p (1 = (1 Dimana x= 0,1,2,3, n n!=n(n-1)(n-2)(n-3).. 0!=1 Rerata= µ=n*p Simpangan baku= σ = np( 1 31 32
Distribusi Binomial Tentukan probabilitas untuk mendapatkan secara tepat dua peristiwa dalam 4 sampel, dimana probabilitas keberhasilan suatu peristiwa adalah 0,3. 4 2 b(2;4,0,3) = 0,3 (1 0,3) 2 4 2 = 0,2646 Tabel Distribusi Binomial n x p 0,05 0,1 0,5 16 0 1 0,8108 2 0,9571 3 0,9930 b( = B( B( x 1; 33 9/16/2008 Dwina Roosmini 34 Distribusi Hipergeometris Berlaku jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian kembali Jumlah sampel dari N populasi a diantaranya rusak Sampel 1= probabilitas mengambil yang rusak = a/n Sampel 2= terdapat 2 probabilitas mengambil yang rusak: 1. a/(n 1) jika sampel 1 yang terambil bukan yang rusak dan 2. (a 1)/(N 1) jika sampel 1 terambil yang rusak Probabilitas mendapatkan x berhasil dalam n percobaan= h Distribusi hipergeometrik h ( x ; n, a, N dimana : x a dan ( n x = 0,1, 2,... n Rata σ 2 rata ) = P ( x ) = x ) ( N a ) = µ = n ( a / N = n. a ( N a )( N n ) N 2 ( N 1 ) a x n x N N a n ) 35 36
Distribusi Hipergeometrik Suatu kotak yang berisi 40 suku cadang akan memenuhi persyaratan penerimaan bila berisi tidak lebih dari 3 suku cadang yang cacat. Dipilih 5 sampel suku cadang secara acak, berapa kemungkinan mendapat tepat satu yang cacat dalam 5 sampel diatas bila dalam kotak tersebut berisi 3 yang cacat Distribusi Poisson Merupakan pendekatan terhadap distribusi binomial jika n>> dan p<< n.p 10 Batasan: 1. µ konstant untuk setiap unit waktu dan ruang 2. probabilitas lebih dari satu peristiwa dalam satu titik waktu atau ruang adalah 0 3. peristiwa satu dengan lainnya independen 37 38 Distribusi Poisson µ e µ x P( µ ) = untuk x = 0,1,2,3,... x! µ = rata-rataperistiwa Probabilitas seseorang mendapat reaksi buruk setelah disuntik adalah 0,0005. Dari 4000 orang yang disuntik, tentukan probabilitas yang mendapat reaksi buruk: a. Tidak ada b. 2 orang c. Lebih dari 2 orang Distribusi Geometris Bila peristiwa berhasil pertama akan dicapai setelah x percobaa gagal= x 1. Probabilitas berhasil = p, probabilitas gagal (x 1) pada percobaan (x 1) adalah g g( = P( x) = p(1 x 1 dengan µ = 1 p 39 40 9/16/2008 Dwina Roosmini
Distribusi Multinomial Sampel n bersifat bebas Semua hasil merupakan mutually exclusive Digunakan jika hasil pengamatan terdapat lebih dari 2, mis: nilai A, B, C, D m ( x1, x2, x3,..., xk) = n! = p1x 1p2x2... pkxk x1! x2! x3!... xk! 41 9/16/2008 Dwina Roosmini