DIKTAT KULIAH (IE-308) BAB 1. PENDAHULUAN Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik Universitas Kristen Maranatha Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA BANDUNG 2012 Diktat ini disusun berdasarkan Calculus III oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya.
DAFTAR ISI : Bab 1 Pendahuluan Bab 2 Ruang 3 Dimensi Bab 3 Turunan Parsial 2.1. Sistem koordinat 3 Dimensi 2.2. Persamaan Garis 2.3. Persamaan Bidang Datar 2.4. Permukaan Quadric 2.6. Fungsi Vektor 2.7. Kalkulus pada fungsi vektor 2.8. Tangent, Normal dan Vektor Binormal 2.9. Panjang lintasan / arc length fungsi vektor 2.10. Kelengkungan / Curvature 2.11. Kecepatan dan Percepatan 2.12. Koordinat Silendris 2.13. Koordinat Bola 3.1. Limit 3.2. Turunan Parsial 3.3. Interpretasi Geometris turunan parsial 3.4. Turunan parsial orde tinggi 3.5. Differential 3.6. Aturan Rantai 3.7. Turunan Berarah Bab 4. Penerapan Turunan Parsial Bab 5. Integral Lipat 4.1. Bidang Singgung dan Pendekatan Linier 4.2. Minimum lokal dan Maximum lokal 4.3. Minimum global dan Maximum global 4.4. Lagrange Multipliers 5.1. Integral Lipat Dua 5.2. Integral teriterasi 5.3. Integral Ganda batasan Umum Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 2
Bab 6. Bab 7. 5.4. Integral Ganda dalam koordinat Polar 5.5. Integral Lipat Tiga 5.6. Integral Ganda dalam koordinat Silendris 5.7. Integral Ganda dalam koordinat Bola 5.8. Perubahan Variabel 5.9. Luas Permukaan Integral Garis 6.1. Medan Vektor 6.2. Integral Garis I 6.3. Integral Garis - II 6.4. Teorema Dasar Integral Garis 6.5. Medan Vektor Konservatif 6.6. Teorema Green 6.7. Curl dan Divergence Integral Permukaan 7.1. Permukaan Parametrik 7.2. Integral Permukaan 7.3. Integral Permukaan Medan Vektor 7.4. Teorema Stokes 7.5. Teorema Divergence Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 3
Bab 1. Pendahuluan. Dunia kita kenal tidak dalam satu-dimensi, jadi kalkulus tidak berhenti dalam single independent variable. Bila Kalkulus 1 & 2 umumnya membahas single variable dalam ruang satu dimensi atau dua dimensi, dalam Kalkulus Peubah banyak (Multivariable Calculus) kita membahas lebih dari satu peubah bebas (independent variable) dalam Ruang lebih dari 1 dimensi dan dalam kuliah ini kita membahas dalam ruang dua dan/atau tiga dimensi (R 2 dan/atau R 3 ) dan dapat diperluas dan dikembangkan pada n dimensi R n. Dan karena secara intuitif kita lebih bisa membayangkan ruang 3 dimensi, maka pembahasan kuliah ini dalam 3 dimensi akan memberikan kita kemudahan dalam memberikan interpretasi fisis maupun geometris mengenai topik-topik yang dipelajari dalam kuliah ini. Konsep vektor sangat essential dalam kuliah ini, sehingga kuliah ini akan dimulai dengan bagaimana menyatakan fungsi dalam bentuk yang kita kenal kedalam bentuk vektor, seperti persamaan garis, persamaan bidang, persamaan kurva, persamaan permukaan dan persamaan fungsi multivariabel pada umumnya kedalam bentuk fungsi vektor. Bila di analogikan dengan mempelajari bahasa, maka pendekatan yang dilakukan dalam memperlajari bahasa dapat dilakukan dalam berbagai cara. Salah satunya pendekatan applikatif yaitu menekankan pada ketrampilan menggunakan bahasa, yaitu ketrampilan berbicara, membaca dan menulis. Dan karena matematik dapat juga dikatakan sebagai suatu bentuk bahasa, maka pendekatan yang dilakukan dalam kuliah ini lebih menekankan pada applikasi dan interpretasi fisis dan geometris, sehingga diharapkan para mahasiswa dapat menggunakan konsep yang ada untuk aplikasi, dapat membaca dan mengerti buku2 teks yang menggunakan konsep Kalkulus lanjut / Kalkulus Peubah Banyak, Analisa Vektor. Teorema yang diberikan, beberapa diberikan dengan pembuktian, beberapa di nyatakan sebagai fakta tanpa pembuktian. Pembuktian yang diberikan lebih untuk mempertajam intuisi dalam pemahaman dalam topik yang dibahas. Dalam Kalkulus tools dan topik utama yang dibahas adalah differential (Differential Calculus) dan Integral (Integration Calculus). Dalam Kalkulus peubah tunggal bila f (x) adalah suatu fungsi variabel x, maka f (x) adalah garis singgung, dan f(x) dx menyatakan luas. Turunan menyatakan garis singgung, apa yang terjadi dalam skala yang sangat kecil, yaitu sekitar suatu titik yang spesifik, sedangkan integral yang menyatakan luas, dengan kata lain menyatakan sesuatu yang lebih global, yaitu apa yang terjadi dalam interval a & b, suatu daerah dibawah grafik fungsi. Secara apriori kedua prosedur diatas menyatakan dua hal yang berbeda dan tampaknya seperti tidak ada hubungan satu sama lain, namun salah satu keindahan nya adalah bahwa keduanya kenyataannya adalah inverse satu sama lain, bahwa integral adalah antiderivative. Kenyataan diatas dibuktikan dalam Teorema dasar kalkulus (Fundamental Theorem of Calculus), penekanan kuliah ini lebih menunjukkan pada fakta tersebut walaupun proses pembuktian dilakukan atau ditunjukkan secara cepat. Diktat ini disusun berdasarkan Calculus III oleh Paul Dawkins, Lamar University dengan penyesuaian berupa penerjemahan, pengurangan dan penambahan dari sumber-sumber lainnya. Contoh-contoh akan banyak diberikan, untuk setiap topik yang dibahas akan disertakan 2-4 contoh. Berikut ini Sillabus dalam format SAP (Satuan Acara Pengajaran) dan GBPP (Garis Besar Program Perkuliahan) dan Kontrak Perkuliahan.: b a Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 4
SATUAN ACARA PENGAJARAN KODE MK : IE-308 MATA KULIAH : Kalkulus Peubah Banyak SEMESTER : MK Wajib Semester 3 SKS : 2 SKS Disusun oleh : Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc. DESKRIPSI MATA KULIAH : Mata kuliah ini memberikan pengetahuan dan pendalaman dalam kalkulus fungsi peubah banyak termasuk analisis vekto, cara perhitungan dan analisis dari hasil perhitungan. TOPIK : - Pendahuluan, - Ruang 3 Dimensi - Turunan Parsial / Partial Derivatives - Integral Lipat / Multiple Integral - Integral Garis / Line Integral - Integral Permukaan / Surface Integral HASIL YANG DIHARAPKAN : Mahasiswa mampu menganalisis dan menghitung turunan dan integral dari persoalan kalkulus lebih dari 1 variabel dan memahami applikasi nya. PRASYARAT MATA KULIAH : Kalkulus 1 & Kalkulus 2 TOPIK : METODE PENGAJARAN KELAS : Tatap Muka, Diskusi, Presentasi RESPONSI : Diskusi LABORATORIUM : Tatap Muka, Diskusi, BACAAN WAJIB : 1. Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon, Calculus, 2007 Pearson Education, Inc. Pearson Prentice Hall. BACAAN TAMBAHAN : 1. Marsden Jerold E ; Anthony J. Tromba, Alan Weinstein, Basic Multivariable Calculus Springer-Verlag, WH Frewman and Company, New York 1993 2. Wilfred Kaplan, Advance Calculus 1974, Addison Weley Publishing Company 3. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 2006 John Wiley & Sons, Inc 4. Murray R. Spiegel, Advance Calculus, Theory and Problem, Schaum Outline Series Mc Graw hill, New York 1968, 5. Murray R. Spiegel, Vector Analysis, Theory and Problem, Schaum Outline Series Mc Graw hill, New York 1968, BENTUK UTS : Ujian Tertulis BENTUK UAS : Ujian Tertulis BOBOT PENILAIAN (%) UTS : 35 UAS : 40 KAT TUGAS & Quiz : 25 Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 5
KONTRAK PERKULIAHAN KODE MATA KULIAH : IE 308 NAMA MATA KULIAH : Kalkulus Peubah Banyak. PENGAJAR : Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc. SEMESTER : DESKRIPSI MATA KULIAH Mata kuliah ini memberikan pengetahuan dan pendalaman dalam kalkulus fungsi peubah banyak termasuk analisis vekto, cara perhitungan dan analisis dari hasil perhitungan. HASIL YANG DIHARAPKAN Mahasiswa mampu menganalisis dan menghitung turunan dan integral dari persoalan kalkulus lebih dari 1 variabel dan memahami applikasi nya. DESKRIPSI PERKULIAHAN & TUGAS Perkuliahan dilakukan dikelas. Perkuliahan ini berbentuk tatap muka dan diskusi dengan pengajar yang telah ditentukan. Diskusi juga dapat dilakukan saat kuliah dengan dosen yang telah ditentukan.. REFERENSI 1. Dale Varberg, Edwin J. Purcell, Steven E. Rigdon, Calculus, 2007 Pearson Education, Inc. Pearson Prentice Hall. 2. Marsden Jerold E ; Anthony J. Tromba, Alan Weinstein, Basic Multivariable Calculus Springer-Verlag, WH Frewman and Company, New York 1993 3. Wilfred Kaplan, Advance Calculus 1974, Addison Weley Publishing Company 4. Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 2006 John Wiley & Sons, Inc 5. Murray R. Spiegel, Advance Calculus, Theory and Problem, Schaum Outline Series Mc Graw hill, New York 1968, 6. Murray R. Spiegel, Vector Analysis, Theory and Problem, Schaum Outline Series Mc Graw hill, New York 1968, JADWAL PERKULIAHAN SESI POKOK BAHASAN SUB POKOK BAHASAN REF 1 Pendahuluan Pendahuluan Kalkulus Peubah Banyak, berisi pokok bahasan mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak, 2 Ruang 3 Dimensi Sistem Koordinat 3 Dimensi Persamaan Garis Persamaan Bidang Permukaan Lengkung Fungsi beberapa variabel / Function of Several Variabel Fungsi Vektor Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Page 6
3 Ruang 3 Dimensi 4 Turunan Parsial / Partial Derivatives 5 Turunan Parsial / Partial Derivatives 6 Turunan Parsial / Partial Derivatives 7 Integral Lipat / Multiple Integral -Kalkulus Fungsi Vektor -Tangent, normal, Binormal Vektor - Arc Length with Vector Function -Curvature -Kecepatan dan Percepatan. -Limits - Penafsiran turunan parsial. Turunan Parsial orde tinggi.. - Differentials - Aturan Rantai - Turunan Berarah -Bidang Singgung dan Pendekatan Linier. - Vektor Gradient, Bidang Singgung dan Garis Normal. Minimum dan Maximum Lokal -Minimum dan Maximum Global. -Lagrange Multipliers -Double Integrals -Iterasi Integral -Double Integral daerah sembarang. -Double Integral pada koordinat polar 3,4 8 UJIAN TENGAH SEMESTER (UTS) 9 Integral Lipat / Multiple Integral -Triple Integral -Triple Integral dalam koordinat silendris 10 Integral Lipat / Multiple Integral 11 Integral Garis / Line Integrals 12 Integral Garis / Line Integrals 13 Integral Permukaan / Surface Integral -Triple Integral dalam kootdinat bola. -perubahan variable -Medan Vektor. -Integral Garis ( 1) thdp panjang lengkungan /arc length -Integral Garis (2) thdp x, y, dan atau z -Integral Garis pada medan vector. -Teorema dasar Integral Garis -Medan Vektor konservatif -Teorema Green -Curl dan Divergence -Permukaan Parametrik -Integral Permukaan 3,4 3,4 3,4 4 4 14 Integral Permukaan / Surface Integral - Integral Permukaan Medan Vektor -Teorema Stokes -Teorema Divergence 4 15 Rangkuman Summary,3,4 16 UJIAN AKHIR SEMESTER (UAS) Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Page 7
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Page 8