PENDAHULUAN 1. Himpunan Definisi 1. Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda. Objek yang dimaksud biasa disebut dengan elemen-elemen atau anggota-anggota dari himpunan. Suatu himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf kapital seperti A, B, D, dsb. Sementara untuk menyatakan setiap elemennya digunakan huruf kecil seperti a, b, c, dsb. Himpunan biasanya disajikan dengan beberapa cara sebagai berikut: 1. Enumerasi Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci. Setiap elemen dipisahkan dengan tanda koma dan ditutup dengan tanda { }. Misalnya: Himpunan empat bilangan asli pertama; A = {1, 2, 3, 4}. Metode enumerasi pada dasarnya digunakan untuk himpunan yang terbatas dan tidak terlalu besar. Namun demikian, untuk himpunan yang besar dan jumlah elemennya tidak terbatas dapat digunakan tanda ellipsis.... Misalnya: Himpunan alfabet ditulis dengan {a, b, c,..., z}. 2. Simbol-Simbol baku Beberapa himpunan khusus dituliskan dengan simbol-simbol yang sudah baku. Diantaranya: P = himpunan bilangan bulat positif = {1, 2, 3,...}; N = himpunan bilangan asli = {1, 2, 3,...}; Z = himpunan bilangan bulat = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...}; Q = himpunan bilangan rasional; R = himpunan bilangan riil; C = himpunan bilangan kompleks. 1 Analisis Real 1
3. Notasi pembentuk himpunan Himpunan dinyatakan dengan menulis syarat yang harus dipenuhi oleh setiap anggotanya. Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x}. Misalnya: A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, ditulis A = { x x bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5} atau A = {x x P, x < 5}. 4. Diagram venn Diagram venn menyajikan himpunan secara grafis. Cara ini dikenalkan oleh matematikawan inggris bernama John Venn pada tahun 1881. Misalnya: Diketahui: U = {1, 2,..., 8}, A = {1, 2, 3, 5}, dan B = {2, 5, 6, 8}. Diagram venn-nya adalah Gambar 1. Definisi 2. Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda, dengan n bilangan bulat positif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak-berhingga (infinite set). Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A, dinotasikan dengan n(a) atau A. Misalkan A = {1, 2, 3, 4}. Maka n(a) = 4, dengan elemen-elemen A (yang berbeda) adalah 1, 2, 3, 4. Himpunan tak behingga mempunyai kardinal tak berhingga pula. Sebagai contoh himpunan bilangan riil mempunyai jumlah anggota tak berhingga maka n(r) =. 2 Analisis Real 1
Definisi 3. Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki elemen, atau dengan kata lain kardinalitasnya sama dengan 0. Himpunan kosong dinotasikan dengan { } atau. Misalnya = {x x x}. Definisi 4. Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B, A B, jika dan hanya jika setiap elemen di A merupakan elemen di B. Pada Definisi 4, A disebut subset dari B atau B adalah superset dari A. Contoh 1. Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, maka A B. Misalkan K = {a, b, c}, L = {b, c, a}, maka K L dan L K. Atau dengan kata lain A = B. Perhatikan bahwa A B tidak sama dengan A B. A B berarti bahwa A adalah subset dari B dan memungkinkan A = B. Sedangkan A B berarti bahwa A adalah subset dari B tetapi A B. Jika A B maka A B dan A = B Jika A B maka A B dan A B Contoh 2. Misalkan X = {4, 5, 6} dan Z = { 4, 5, 6, 7, 8}. Tentukan semua kemungkinan himpunan Y sedemikian sehingga X Y dan Y Z. Penyelesaian: Karena X Y dan Y Z, berarti Y harus mengandung semua elemen X dan sekurang-kurangnya satu elemen dari Z. Dengan demikian: Y = {Y1, Y2} dengan Y1 = {4, 5, 6, 7} dan Y2 = {4, 5, 6, 8}. 3 Analisis Real 1
Definisi 5. Dua buah himpunan A dan B dikatakan sama jika dan hanya jika setiap elemen di A juga elemen di B dan setiap elemen di B juga elemen di A. Atau dengan katalain A = B jika dan hanya jika A B dan B A. Contoh 3. Jika A = {0, 1} dan B = {x x(x 1) = 0}, maka A = B Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {3, 1, 4, 2}, maka A B dan B A sehingga A = B = {1, 2, 3, 4}. Definisi 6. Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. Notasi: A B n(a) = n(b). Contoh 4. Misalkan A = {1, 3, 5, 7} dan B = {a, b, c, d}. Maka A B karena n(a) = n(b) = 4. Definisi 7. Dua himpunan A dan B dikatakan saling lepas atau disjoint (notasi: A // B) jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Contoh 5. Jika A = {x x P, x < 8} dan B = {10, 20, 30,...}, maka A // B. Definisi 8. Himpunan kuasa atau power set dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A termasuk himpunan kosong dan himpunan A itu sendiri. Notasi: P(A) = {X X A}. 4 Analisis Real 1
Contoh 6. Misalkan A = {a}, maka P(A) = {, {a}}. Misalkan B = {a, b}, maka P(B) = {, {a}, {b}, {a, b}}. Secara umum, jika n(a) = x, dengan A suatu himpunan, maka n(p(a)) = 2x. Operasi terhadap himpunan akan menghasilkan suatu himpunan baru. Operasi dasar yang biasa digunakan adalah operasi irisan (intersection), gabungan (union), komplemen, selisih (difference), perkalian kartesian (cartesian product), dan beda-setangkup (symmetric difference). Definisi 9. Misalkan A dan B adalah dua buah himpunan. Maka: a. Irisan dari A dan B: A B = {x x A dan x B} b. Gabungan dari A dan B: A B = {x x A atau x B}. c. Pengurangan A oleh B: A\B = A B = {x x A dan x B} = A Bc d. Komplemen dari A; Ac = {x x U dan x A} e. Hasil kali kartesian (cartesian product): A x B = {(a, b) a A dan b B} Definisi 10. Misalkan An, dengan n ℕ, adalah sekelompok himpunan. Maka: An x x An untuk n 1 5 Analisis Real 1
2. Fungsi Definisi 11. Misalkan A dan B suatu himpunan. Fungsi dari A ke B adalah sebuah relasi yang memetakan setiap a A ke tepat satu b B. Notasi fungsi: f : A B. Artinya, f adalah fungsi yang memetakan setiap anggota di A ke tepat satu anggota di B. Himpunan A disebut domain/daerah asal, B disebut kodomain / daerah kawan, dan himpunan semua anggota B yang dipasangkan dengan setiap anggota di A disebut range / daerah hasil. Definisi 12. Misalkan f : A B adalah suatu fungsi dari A ke B. a. Fungsi f disebut injektif / satu-satu jika untuk semua x1, x2 A dengan f(x1) = f(x2) maka x1 = x2. Atau jika x1 x2 maka f(x1) f(x2). b. Fungsi f disebut surjektif / pada / on-to jika b B 1 a A f(a) = b. c. Fungsi f disebut bijektif apabila f injektif dan surjektif. Contoh 7. f : ℤ 2ℤ dengan f (x) = 4x, x ℤ, merupakan fungsi satu-satu. g : ℝ ℝ dengan g(x) = x2, x ℝ, bukan merupakan fungsi satu-satu, karena g(2) = 4 = g(-2), tetapi 2-2. h: A B, dengan A = {x ℝ x 1}, B = {y ℝ y 2}, dan h(x) = 2x/(x 1) merupakan fungsi bijektif Definisi 13. Misalkan f: A B adalah bijektif, maka terdapat g = {(b, a) B x A (a, b) f} yang merupakan fungsi dari B ke A. Fungsi g tersebut disebut dengan fungsi invers dari f, ditulis f -1. 6 Analisis Real 1
Contoh 8. Invers dari fungsi h(x) = 2x/(x 1) adalah h-1(y) = y/y 2 atau h-1(x) = x/x 2. Definisi 14. Jika f: A B dan g: B C, dan R(f) D(g) = B, maka g o f adalah fungsi komposisi dari A ke C yang didefinisikan oleh g o f(x) = g(f(x)), x A. Contoh 9. Diketahui f(x) = 2x dan g(x) = 3x2 1, untuk x ℝ. Karena D(g) = ℝ dan R(f) ℝ = D(g), maka domain D(g o f) juga = ℝ. Sehingga: g o f (x) = g(f(x)) = g(2x) = 12x2 1. f o g (x) = f(g(x)) = f(3x2 1) = 6x2 2 Jelas g o f (x) f o g (x). 7 Analisis Real 1