4 untuk setiap di dan untuk setiap (Peressini et al 1988) Definisi 22 Teorema Deret Taylor Nilai hampiran f di x untuk fungsi di a (atau sekitar a atau berpusat di a) didefinisikan (Stewart 1999) 24 Kontrol Optimum dan Sistem Dinamik Definisi 23 Kontrol Optimum Kontrol optimum merupakan salah satu teknik untuk menyelesaikan masalah optimasi dinamis Secara sederhana masalah kontrol optimum adalah memilih peubah kontrol diantara peubah kontrol yang admissible yaitu kontrol yang membawa sistem dari state awal pada waktu kepada state akhir pada waktu akhir sedemikian rupa sehingga memberikan nilai maksimum atau minimum bagi fungsional objektif Fungsional objektif adalah fungsi dari beberapa fungsi lainnya untuk memaksimumkan atau meminimumkan suatu permasalahan (Tu 1993) Definisi 24 Sistem Dinamik Sistem dinamik adalah suatu sistem yang berubah sesuai waktu Sistem dinamik dinyatakan sebagai berikut: merupakan fungsi x (Kreyszig 1993) Definisi 25 Simbol Simbol ini merupakan cara untuk membandingkan besarmya dua fungsi dan untuk menuju suatu limit Notasi menyatakan bahwa terbatas untuk 25 Istilah-Istilah Ekonomi (Serfling 1980) Definisi 26 Aset Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai pertukaran Definisi 27 Aset Bebas Risiko Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki return yang pasti di masa depan Definisi 28 Aset Berisiko Aset berisiko adalah aset yang return di masa yang akan datang tidak pasti Definisi 29 Portofolio Portofolio adalah kumpulan dari beberapa aset yang digabungkan dalam suatu investasi yang didalamya termasuk beberapa investasi berisiko dan bebas risiko tujuan untuk meminimalkan resiko dari masing-masing aset (Bodie et al 2005) Definisi 30 Volatilitas Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan aset Semakin besar nilai volatilitas semakin tak terduga pergerakan aset Sebaliknya semakin kecil nilai volatilitas semakin mudah menduga aset tersebut (Harvey & Gretchen 2002) III PEMBAHASAN 31 Asumsi Dalam pembahasan skripsi ini akan dibahas permasalahan pemilihan portofolio dan konsumsi individu untuk model waktu kontinu asumsi pendapatan individu diperoleh dari return beberapa aset yang bersifat stokastik Selanjutnya akan dibahas mengenai permasalahan optimalitas dari model multi-aset return yang dibangkitkan dari gerak Wiener-Brownian Dalam kasus khusus dibahas persamaan untuk model dua aset constant relative risk aversion (CRRA) 32 Model Dinamik: Persamaan Anggaran Di bawah kondisi ketidakpastian pada model waktu kontinu persamaan anggaran berbentuk persamaan diferensial stokastik Untuk mendapatkan persamaan ini memulai dari bentuk persamaan waktu diskret dan
5 selanjutnya menyelesaikan bentuk limitnya untuk waktu yang kontinu Didefinisikan: Total kekayaan pada waktu t Harga dari aset i pada waktu t Konsumsi per unit waktu untuk waktu t Proporsi total kekayaan yang dialokasikan pada aset i untuk waktu t Persamaan anggaran dapat dituliskan sebagai berikut (1) dan interval waktu antar periode Dengan melakukan pengurangan terhadap pada kedua sisi maka persamaan (1) dapat ditulis kembali menjadi (4) adalah peubah acak yang saling bebas yang menyebar normal baku untuk setiap t menyatakan ragam per unit waktu dari proses dan nilai tengah dari increment sama nol Subtitusi pada persamaan (3) ke dalam persamaan (2) diperoleh (5) Dari persamaan (5) nilai harapan bersyarat di atas diketahui adalah (6) (7) (Lihat Lampiran 1) (2) Oleh karena stokastik mengakibatkan juga stokastik maka dipilih adalah tingkat return per unit waktu pada aset ke-i Untuk kondisi waktu diskret diasumsikan bahwa ditetapkan mengikuti persamaaan Dengan adalah nilai harapan bersyarat syarat diketahui Bentuk persamaan diferensial stokastik pada persamaan (4) jika (waktu kontinu) dapat dituliskan dalam bentuk berikut (8) dibangkitkan proses Wiener Jika untuk kondisi persamaan (5) dapat ditulis menjadi (3) dimana adalah expected rate return yang bernilai konstan Fungsi merupakan error yang dibangkitkan oleh Gausian random-walk yang dinyatakan dalam bentuk fungsi yang memenuhi persamaan berikut (9) Persamaan di atas merupakan bentuk umum dari persamaan anggaran waktu
6 kontinu di bawah kondisi ketidakpastian Persamaan anggaran rata-rata dapat dihasilkan dari persamaan (5) yaitu (Lihat Lampiran 2) (10) Dengan mengambil maka persamaan di atas menjadi rata-rata laju perubahan kekayaan (Lihat Lampiran 5) (Lihat Lampiran 6) (13) (14) (11) (Lihat Lampiran 7) (15) (Lihat Lampiran 3) 33 Model Persamaan Anggaran Dua Aset Pada bagian ini akan dibahas lebih khusus yaitu persamaan anggaran untuk model dua aset Didefinisikan adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset berisiko adalah besarnya proporsi yang diinvestasikan pada aset bebas resiko adalah besarnya return pada aset berisiko (Var ) adalah besarnya interest rate pada aset bebas resiko (Var ) Dengan maka persamaan (5) (6) (7) dan (11) dapat dituliskan sebagai berikut (Lihat Lampiran 4) (12) (Lihat Lampiran 8) (16) Permasalahan untuk memilih portofolio dan konsumsi yang optimal dirumuskan sebagai berikut (17) kendala persamaan (15) Fungsi diasumsikan merupakan fungsi utilitas yang strictly concave adalah peubah acak yang dibentuk proses Wiener adalah bequest valuation function (fungsi penaksiran harta waris) yang diasumsikan concave terhadap Untuk mendapatkan persamaan yang optimal yang dilakukan selanjutnya adalah menulis ulang persamaan (17) ke dalam bentuk pemograman dinamik (18) kendala yang dimiliki sama seperti pada persamaan (17) yaitu persamaan (15)
7 Jika diperoleh diasumsikan maka dari persamaan (18) Jika didefinisikan (19) Sehingga dalam kasus khusus persamaan (14) dapat dituliskan menjadi (23) maka persamaan (22) dapat dituliskan menjadi (24) (20) Jika dan turunan parsial ketiga dari terbatas maka menggunakan teorema Taylor dan teorema nilai tengah untuk integral persamaan (19) dapat dituliskan menjadi Kondisi orde pertama untuk persamaan (24) adalah (25) (26) Kondisi orde kedua (syarat cukup) untuk persamaan (24) adalah dimana (LihatLampiran 9) (21) Ambil nilai harapan dari persamaan (21) yaitu dan mengurangkan pada kedua sisi serta mensubtitusikan persamaan (13) dan (14) ke dalam persamaan kemudian bagi h Dengan cara mengambil limit maka persamaan (21) menjadi (22) Persamaan di atas disebut sebagai a continous-time version of the Bellman- Dreyfus fundamental equation of optimality (persamaan fundamental Bellman-Dreyfus yang optimal untuk waktu kontinu) Dengan penulisan singkat untuk untuk setiap Jika strictly concave terhadap maka dan strictly concave terhadap Kondisi optimalitas dapat dituliskan sebagai himpunan persamaan diferensial parsial untuk menyelesaikan (27) terhadap kendala batas sehingga solusi untuk persamaan (14) menjadi solusi yang feasible 34 Kasus Constan Relative Risk Aversion Untuk kasus persamaan sistem diferensial parsial tak linear pada persamaan (27) sangat sulit untuk diselesaikan secara umum Akan tetapi jika fungsi utilitas diasumsikan sebagai bentuk yielding constant relative riskaversion maka persamaan (27) dapat diselesaikan secara eksplisit Misalkan atau
8 (bentuk limit dari ) dimana adalah measure of relative risk aversion Jika pada persamaan (27) disubstitusikan besarnya nilai utilitas maka persamaan tersebut dapat dituliskan dalam bentuk kasus khusus seperti di bawah ini Solusi untuk persamaan (23) adalah (33) (34) (35) (Lihat Lampiran 10) (28) Syarat perlu untuk solusi untuk ( ) adalah jika memenuhi menjadi (29) A real (feasibility) (Lihat Lampiran 11) B (concavity for maximum) C (feasibility) (30) Kondisi A B dan C yang dipenuhi jika (Lihat Lampiran 12) berlaku untuk untuk Dimana sebuah asumsi strategi yang sederhana akan menghasilkan bentuk khusus dari fungsi penilaian harta warisan Untuk menyelesaikan persamaan (22) digunakan trial solution (31) Substitusi persamaan (22) ke dalam persamaan (24) syarat perlu menjadi solusi persamaan (24) adalah yang memenuhi persamaan diferensial biasa di bawah ini (Lihat Lampiran 13) nilai batas (32) dan Hasil pengambilan keputusan pemilihan untuk konsumsi dan portofolio adalah yang dinyatakan persamaan (33) dan persamaan (34) adalah (36) untuk semua v dan Dengan mendapatkan persamaan (27) maka aturan pemilihan konsumsi dan portofolio yang optimal adalah dan (37) (38) Persamaan (37) dapat diintepretasikan sebagai suatu kondisi dimana besarnya anggaran yang dialokasikan untuk konsumsi bergantung pada besarnya kekayaan yang dimiliki individu Semakin besar kekayaan maka individu cenderung untuk semakin besar menambah jumlah proporsi untuk konsumsi Persamaan (38) dapat diintepretasikan sebagai suatu kondisi dimana besarnya anggaran yang dialokasikan untuk investasi tidak bergantung pada besarnya kekayaan yang dimiliki individu Alokasi pada investasi hanya bergantung pada besarnya nilai return dan volatilitas aset dari aset berisiko bergantung pada interest rate aset bebas risiko