BAB I HUKUM COULOMB 1.1 Muatan Listrik

BAB I HUKUM COULOMB Pengetahuan mengenai listrik dan magnet pada awalnya dibicarakan secara terpisah. Ilmu ini bermula dari pengamatan oleh Thales 600 tahun sebelum Masehi, yaitu sepotong ambar dapat menarik potongan jerami kecil. Pada tahun 1820 Masehi Christian Oersted mengamati bahwa ada hubungan antara kedua sifat bahan tersebut, yakni bahwa arus listrik di dalam sebuah kawat dapat mempengaruhi jarum kompas magnetik. Pengetahuan tentang listrik dan magnetik sekarang ini dikenal dengan elektromagnetisme, ilmu ini dikembangkan oleh banyak peneliti. Beberapa orang yang dianggap paling berjasa adalah Michael Faraday (1791-1867), James Clerk Maxwell (1831-1879), Oliver Heaviside (1850-1925), H. A. Lorentz (1853-1928), dan M. Heinrich Hertz (1857-1894). 1.1 Muatan Listrik Ada dua jenis muatan di alam ini, hal ini dapat diperlihatkan secara sederhana menggunakan dua batang seperti gambar (1.1). Batang pertama terbuat dari kaca digantungkan dengan benang kemudian digosokkan dengan sutera. Gambar (1.1)

Jika ujung batang kedua terbuat dari kaca digosokkan dengan sutera, lalu didekatkan ke ujung batang pertama maka ujung batang yang digantung akan bergerak menjauh. Tetapi jika batang kedua terbuat dari plastik dan digosokkan dengan bulu, maka ujung batang yang digantung akan bergerak mendekat. Kedua kejadian di atas juga terjadi jika batang pertama terbuat dari plastik dan digosokkan pada bulu. Jika batang pertama terbuat dari plastik dan digosokkan pada bulu dan batang kedua terbuat dari plastik dan digosokkan pada bulu, maka ujung batang pertama akan bergerak menjauh. Kesimpulan yang dapat diambil adalah : 1. Muatan listrik timbul pada batang akibat penggosokkan 2. Muatan listrik pada kaca yang digosokkan pada sutera berbeda dengan muatan listrik yang timbul pada plastik jika digosokkan pada bulu. Penamaan muatan positif dan negatif dilakukan oleh Benjamin Franklin (1706-1790) untuk membedakan muatan yang terjadi pada kaca dan plastik. Jadi dari percobaan yang sederhana di atas dapat dikatakan bahwa muatan sejenis tolak-menolak dan muatan berlainan jenis tarik-menarik. Efek kelistrikan di atas tidak hanya terjadi pada kaca dan plastik, hal inipun terjadi pada bahan-bahan lain. Untuk menentukan jenis muatan yang timbul pada suatu bahan, kaca dan plastik digunakan sebagai bahan perbandingan. Saat ini, secara umum bahwa dalam keadaan normal bahan memiliki jumlah muatan positif dan negatif sama besar, adapaun penggosokkan yang dilakukan bertujuan untuk memindahkan sebagian kecil muatan. Sebagai contoh muatan pada kaca menjadi positif sedangkan muatan pada sutera menjadi negatif. Selanjutnya yang menjadi bahan pertanyaan secara kuantitas apakah sama muatan yang timbul pada kaca setiap kali terjadi penggosokkan? Pada awalnya muatan listrik itu dianggap seperti fluida kontinu, tetapi seiring dengan perkembangan penelitian tentang fluida yang menunjukkan bahwa fluida itu tidaklah kontinu tetapi terdiri dari atom-atom, maka pemikiran di atas berubah. Beberapa percobaan menunjukkan bahwa muatan listrik pada kaca belum tentu sama setiap kali penggosokkan, dan jumlahnya merupakan kelipatan dari suatu muatan elementer e. Salah satu percobaan yang menunjukkan hal tersebut dikenal dengan percobaan Tetes Millikan. Dan besar muatan elementer e = 1,6 x 10-19 C ( C adalah satuan internasional untuk muatan yang merupakan singkatan dari

Coulomb, Charles Agustin Coulomb adalah orang yang dianggap paling berjasa dalam melakukan penelitian tentang muatan listrik ). Jadi muatan listrik (q) terkuantisasi (merupakan kelipatan bilangan bulat dari muatan elementer e), q = n e dimana n =, -2, -1, 0, 1, 2, 1.2 Hukum Coulomb Dengan menggunakan alat yang disebut neraca puntir Charles Agustin Coulomb (1736-1806) mengukur secara kuantitatif besar tolakan dan tarikan yang terjadi antara dua buah muatan. Ia juga menyimpulkan hukum yang mengatur tarikan dan tolakan tersebut. Alatnya menyerupai tongkat gantung, muatan-muatan dibatasi hanya pada bolabola kecil a dan b. Jika bola a dan b bermuatan, maka gaya interaksi yang timbul antara kedua muatan tersebut akan memuntir serat gantungan. Untuk menghilangkan efek puntir tersebut Coulomb memutar kepala gantungan, besarnya sudut θ menggambarkan ukuran relatif dari gaya listrik yang bekerja pada a. θ a b Gambar (1.2a) Gambar (1.2b) Neraca Puntir Coulomb Kesimpulan yang diperoleh Coulomb, gaya yang bekerja pada a adalah F 1/r 2 (1.1)

Dimana r adalah jarak antara a dan b. Berdasarkan hukum Newton yang ketiga tentunya gaya yang sama besarnya dan arahnya berbeda bekerja pada b dan keduanya bekerja pada garis lurus yang melewati a dan b. b a Gambar (1.3) Selanjutnya diperoleh bahwa secara spesifik gaya yang bekerja pada a maupun b berbanding lurus dengan perkalian antara kedua muatan. F q 1 q 2 (1.2) Dimana q 1 dan q 2 adalah ukuran relatif dari muatan pada bola a dan b. Selanjutnya dari persamaan (1.1) dan (1.2) diperoleh persamaan yang dikenal sebagai hukum Coulomb yaitu F = k (q 1 q 2 )/ r 2 (1.3) Dimana k adalah konstanta kesebandingan, dalam S.I untuk vakum k = (1/4πε o ) dengan ε o adalah permitivitas vakum. Pertanyaan kita selanjutnya, bagaimana membedakan gaya pada masing-masing muatan? Karena gaya adalah besaran vektor berarti persamaan (1.3) harus ditulis dalam bentuk vektor. Pandang dua buah muatan (q 1 dan q 2 ) yang diletakkan di bidang xy (gambar (1.4)). Muatan q 1 dan q 2 diletakkan pada posisi r 1 dan r 2 (diukur dari titik asal (0,0)). Gaya yang bekerja pada q 1 ditulis F 12, gaya yang bekerja di q 2 ditulis F 21. Di atas sudah dikatakan bahwa muatan sejenis tolak-menolak dan muatan berlainan jenis tarik-menarik.

Pengertian tolak-menolak digambarkan oleh dua buah gaya yang saling menjauh, dan tarik-menarik digambarkan dengan dua buah gaya yang saling mendekat. y 1 q 1 q 1 Tolak-menolak q 2 y 2 r 1 r 2 q 2 q 1 Tarik-menarik x 1 x 2 q 2 Gambar (1.4) Sekarang andaikan muatan q 1 dan q 2 sejenis, berarti tolak-menolak. Gaya yang bekerja pada masing-masing muatan digambarkan pada gambar (1.5) di bawah. F 12 q 1 r 2 r 1 r 1 q 2 F 21 r 2 Gambar (1.5) Menurut analisa vektor setiap vektor merupakan perkalian dari besar vektor tersebut dengan vektor satuannya. Besar vektor selalu positif, vektor satuan menggambarkan arah dari vektor besarnya satu satuan. A = A Â (1.4) Jadi gaya listrik yang bekerja di q 1 dapat ditulis sebagai berikut. F 12 = F 12 Fˆ 12 (1.5) F 12 = F 21 = k (q 1 q 2 )/ r 2 (1.6)

dimana r = r 2 - r 1 ( vektor dengan garis tebal pada di gambar (1.5)), r = r 2 - r 1. Dari gambar (1.5) terlihat bahwa arah dari vektor F 12 berlawan arah dengan arah r, dengan kata lain vektor satuan Fˆ 12 sama dengan negatif dari vektor satuan r. F 12 = - ŕ (1.7) ŕ = (r 2 - r 1 )/ r 2 - r 1 (1.8) Dengan menggunakan persamaan (1.6), (1.7), dan (1.8), persamaan (1.5) dapat ditulis kembali sebagai berikut : F 12 = { k (q 1 q 2 )/ r 2 - r 1 2 }{ - (r 2 - r 1 )/ r 2 - r 1 } = { k (q 1 q 2 ) (r 1 r 2 )/ r 2 - r 1 3 } (1.9) Dengan cara yang sama kita dapat menuliskan persamaan untuk gaya yang bekerja di q 2 F 21 = { k (q 1 q 2 ) (r 2 r 1 )/ r 2 - r 1 3 } (1.10) Dapat ditunjukkan bahwa untuk muatan berlainan jenis berlaku persamaan (1.9) dan (1.10). Ingat tanda muatan harus diperhitungkan! 1.3 Gaya Total Pada Sebuah Muatan Andaikan pada sebuah bidang datar ada tiga buah muatan titik q 1 = +q, q 2 = +q, dan q 3 = -q. Masing-masing diletakkan di titik-titik (x 1,y 1 ), (x 2,y 2 ), dan (x 3,y 3 ). Hitung gaya listrik total yang bekerja pada q 1. Untuk menghitung gaya pada q 1, perhatikan bahwa ada dua muatan lain yang berinteraksi dengan q 1 tersebut. Gaya total pada q 1 adalah jumlah vektor dari gaya-gaya interaksi q 1 dengan q 2 dan q 3. F 1 = F 12 + F 13 (1.11)

Dimana F 12 = { k (q 1 q 2 ) (r 1 r 2 )/ r 1 r 2 3 }, F 13 = { k (q 1 q 3 ) (r 1 r 3 )/ r 1 r 3 3 } r 1 = i x 1 + j y 1, r 2 = i x 2 + j y 2, r 3 = i x 3 + j y 3 r 1 r 2 = r 2 r 1 = [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 ] 1/2 r 1 r 3 = r 3 r 1 = [(x 3 x 1 ) 2 + (y 3 y 1 ) 2 ] 1/2 F 12 = { k (+q ) (+q) [i (x 1 x 2 ) + j (y 1 y 2 )]/ [(x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 ] 3/2 F 13 = { k (+q ) ( q) [i (x 1 x 3 ) + j (y 1 y 3 )]/ [(x 3 x 1 ) 2 + (y 3 y 1 ) 2 ] 3/2 (1.12a) (1.12b) Selain cara di atas ada cara lain yang dapat digunakan yaitu dengan memanfaatkan pengetahuan kita tentang vektor, yaitu sebuah vektor merupakan perkalian antara besar vektor dengan vektor satuan (lihat persamaan (1.4)). Untuk mudahnya kita lihat contoh soal di bawah ini. Tiga buah muatan q 1 = +q, q 2 = +q, dan q 3 = -q, diletakkan pada bidang-xy seperti pada gambar (1.6). Untuk menghitung gaya total pada muatan q 1 kita akan gunakan dua cara, pertama seperti halnya di atas dan yang kedua melalui pengertian analisa vektor. y(m) 4 m F 12 F 21 5 2 q 1 q 2 q 3 F 13 F 31 3 m 0 4 x(m) Gambar (1.6) Terlihat bahwa arah dari F 12 ke arah x negatif (-i) dan arah dari F 13 ke arah y negatif (-j ). Kenapa seperti itu, karena prinsip tarik-menarik dan tolak-menolak. Arah dari kedua gaya tersebut sudah kita ketahui, berarti kita tinggal menghitung besar gaya-gaya tersebut, ingat besar gaya selalu positif. F 12 = k (+q ) (+q) /(jarak q 1 dan q 2 ) 2 = k q 2 /4 2 F 13 = k (+q ) ( q) /(jarak q 1 dan q 3 ) 2 = k q 2 /3 2 Jadi F 12 = (k q 2 /16) (-i) (1.13a) F 13 = (k q 2 /9) ( -j ) (1.13b) Hasil ini sama dengan hasil yang diperoleh melalui persamaan (1.12a) dan (1.12b).

Soal-Soal 1. Dua muatan statik 1,0 x 10-7 C dan 3,0 x 10-7 C dipisahkan oleh jarak sejauh 10 cm. Sebuah muatan positif (+q) diletakkan pada garis lurus yang melalui kedua muatan. Dimanakah letakkan muatan tersebut agar gaya total yang dialaminya nol. Jawab : 23,75 m dari muatan negatif dan 13,75 cm dari muatan positif. 2. Tiga buah muatan titik diletakkan pada bidang xy (x dan y dalam meter). Muatan q 1 di titik (0,4), q 2 di titik (0,2), dan q 3 di titik (3,0). Jika diketahui q 1 = q 2 = -q 3 = 3,2 x 10 19 C, hitung : a. Gaya listrik q 1 akibat q 2 dan q 3. b. Gaya listrik total yang dialami oleh q 3 Jawab : a) [(1/16πε o )( 3,2 x 10 19 ) 2 ] i N, [(1/500πε o )( 3,2 x 10 19 ) 2 ](4 i 3 j )N, b) [(1/4πε o )( 3,2 x 10 19 ) 2 ] [(241/500)i (3/125) j ] N 3. Dua buah muatan titik positif identik ditahan pada jarak tetap sejauh 2a satu sama lainnya. Muatan uji positif diletakkan pada bidang yang normal terhadap garis yang menghubungkan kedua muatan dan ditengah-tengah kedua muatan tersebut. Hitung jarak muatan uji terhadap masing-masing muatan agar gaya pada muatan uji maksimum. Jawab : a/2 4. Perhatikan gambar (1.7) di bawah ini! Hitung gaya persatuan muatan yang dialami muatan q! -Q q 3a r q 2a + Q d d - Q + Q Gambar (1.7) Jawab : a) (Q/4 a 2 πε o )[ -i /4 + (2i - 5 j )/27] N/C, b) (Q/4πε o )[(r + d ) -2 (r-d) -2 ] j N/C

1. 4 MEDAN LISTRIK Pada mulanya, gaya listrik yang bekerja pada sebuah muatan dipandang sebagai sebuah interaksi sesaat. Sekarang ini pandangan tersebut berubah, gaya listrik yang terjadi pada sebuah muatan adalah interaksi muatan tersebut dengan medan listrik. Untuk lebih jelasnya kita perhatikan kembali interaksi antara dua buah muatan titik q 1 dan q 2 yang diletakkan pada posisi r 1 dan r 2. q 1 r 2 - r 1 r 1 q 2 r 2 Gambar (1.8) Gaya listrik yang bekerja pada q 2 yaitu F 21 = (k q 1 q 2 ) (r 2 - r 1 )/ r 2 - r 1 3, persamaan tersebut dapat ditulis kembali sebgai berikut F 21 = q 2 [(k q 1 ) (r 2 - r 1 )/ r 2 - r 1 3 ] = q 2 E (1.14) Dimana E adalah medan listrik yang dihasilkan oleh q 1 di posisi r 2 E = [(k q 1 ) (r 2 - r 1 )/ r 2 - r 1 3 ] (1.15) Terlihat bahwa E tidak bergantung pada besarnya q 2. Persamaan (1.15) dikenal dengan persamaan kuat medan listrik oleh muatan titik. Contoh : Hitung medan listrik pada titik ( 6,4) yang ditimbulkan muatan titik 1,6 x 10-19 C yang diletakkan di titik (3, -1). Jawab : Posisi muatan r = r 1 = 3 i j meter, posisi titik pengamatan R = r 2 = 6 i + 4 j meter. (r 2 - r 1 ) = 3 i + 4 j meter, r 2 - r 1 = 5 meter. Berdasarkan persamaan (1.15) medan di titik pengamatan (6,4) adalah E = [(k 1,6 x 10-19 q 1 ) (3 i + 4 j)/125] N 1.5 PERHITUNGAN MEDAN LISTRIK OLEH MUATAN TITIK Untuk menghitung medan listrik yang dihasilkan oleh muatan titik kita dapat menggunakan persamaan (1.15). Sebagai contoh perhatikan gambar di bawah ini. Muatan titik positif (+Q) diletakkan di titik asal (0,0), kita akan mencari besar dan arah medan listrik yang di titik a, b, c, d, e, f, g, h.

Y (m) a b c y y +Q h 0 d X (m) g f e x x Gambar (1.9) Titik a Posisi titik a r a = - x i + y j, posisi muatan r Q = 0 i + 0 j = 0. Medan listrik di titik a, E = [(k Q) (r a r Q )/ r a r Q 3 ] = k Q (- x i + y j)/(x 2 + y 2 ) 3/2 Besar E = E = k Q/(x 2 + y 2 ), arah E adalah Ê = (- x i + y j)/(x 2 + y 2 ) 1/2 Titik b Posisi titik b r b = y j, posisi muatan r Q = 0 i + 0 j = 0. Medan listrik di titik b, E = [(k Q) (r b r Q )/ r b r Q 3 ] = k Q ( y j)/ y 3 Besar E = E = k Q/y 2, arah E adalah Ê = y j/ y = j Titik c Posisi titik c r c = x i + y j, posisi muatan r Q = 0 i + 0 j = 0. Medan listrik di titik c, E = [(k Q) (r c r Q )/ r c r Q 3 ] = k Q (x i + y j)/(x 2 + y 2 ) 3/2 Besar E = E = k Q/(x 2 + y 2 ), arah E adalah Ê = (x i + y j)/(x 2 + y 2 ) 1/2 Titik d Posisi titik d r d = x i, posisi muatan r Q = 0 i + 0 j = 0. Medan listrik di titik d, E = [(k Q) (r d r Q )/ r a r Q 3 ] = k Q (x i)/x 3 Besar E = E = k Q/x 2, arah E adalah Ê = x i /x = i Titik e Posisi titik e r e = x i - y j, posisi muatan r Q = 0 i + 0 j = 0. Medan listrik di titik e, E = [(k Q) (r e r Q )/ r e r Q 3 ] = k Q ( x i - y j)/(x 2 + y 2 ) 3/2 Besar E = E = k Q/(x 2 + y 2 ), arah E adalah Ê = (x i - y j)/(x 2 + y 2 ) 1/2 Titik f Posisi titik f r f = - y j, posisi muatan r Q = 0 i + 0 j = 0. Medan listrik di titik f, E = [(k Q) (r f r Q )/ r f r Q 3 ] = k Q (- y j)/ y 3 Besar E = E = k Q/y 2, arah E adalah Ê = (- y j)/ y = - j Titik g Posisi titik g r g = - x i - y j, posisi muatan r Q = 0 i + 0 j = 0. Medan listrik di titik g, E = [(k Q) (r g r Q )/ r g r Q 3 ] = k Q (- x i - y j)/(x 2 + y 2 ) 3/2 Besar E = E = k Q/(x 2 + y 2 ), arah E adalah Ê = (- x i - y j)/(x 2 + y 2 ) 1/2

Titik h Posisi titik h r h = - x i, posisi muatan r Q = 0 i + 0 j = 0. Medan listrik di titik h, E = [(k Q) (r h r Q )/ r h r Q 3 ] = k Q (- x i )/x 3 Besar E = E = k Q/y 2, arah E adalah Ê = - i Simpulan : 1. Titik-titik yang jaraknya sama dari muatan mempunyai besar medan listrik sama 2. Arah medan listrik meninggalkan muatan positif (coba gambarkan arah vektor satuan pada masing-masing titik pengamatan) Nah, sekarang! Bagaimana jika muatan di titik asal bermuatan negatif (-Q)? Buktikan bahwa kesimpulan yang diperoleh adalah 1. Titik-titik yang jaraknya sama dari muatan mempunyai besar medan listrik sama 2. Arah medan listrik menuju muatan negatif (coba gambarkan vektor satuan pada masing-masing titik pengamatan) Pertanyaan kita selanjutnya adalah bagaimana menghitung medan listrik di suatu titik yang dihasilkan oleh banyak muatan titik? Untuk menjawab pertanyaan ini perhatikan kembali gaya listrik total yang terjadi pada sebuah muatan titik ( lihat persamaan (1.11)). Terlihat medan total di posisi r 1 adalah E 1 = (F 1 /q 1 ) = (F 12 /q 1 ) + (F 13 /q 1 ) = E 12 + E 13 (1.16) Dimana E 12 dan E 13 adalah medan di r 1 yang dihasilkan oleh q 2 dan q 3. Jika dalam sebuah ruangan terdapat N muatan titik (q 1, q 2,, q N ) maka kuat medan listrik di suatu titik merupakan jumlah vector dari kuat medan listrik yang dihasilkan oleh masing-masing muatan di titik tersebut. E 1 = E 12 + E 13 + + E 1N (1.17) 1.6 MEDAN LISTRIK OLEH MUATAN KONTINU Muatan listrik yang terdapat di dalam bahan umumnya adalah kumpulan muatan titik. Kumpulan muatan ini kita sebut muatan kontinu. Secara umum muatan kontinu dibagi menjadi dua muatan kontinu yang tersebar secara merata (uniform) dan yang tersebar secara acak. Dalam buku ini kita akan membahas secara khusus muatan yang tersebar secara merata ( dalam garis, bidang datar, bola, dan silinder ). Sekarang perhatikan muatan Q yang tersebar dalam volume V, gambar (1.10) di bawah! Berapakah medan listrik di posisi R? Untuk menyelesaikan pertanyaan di atas kita pandang elemen muatan dq yang terdapat dalam elemen volume dv. Anggap bahwa elemen volume ini sangat kecil, sehingga elemen muatan dq dapat dianggap sebagai sebuah muatan titik yang terdapat di posisi r. Medan listrik oleh muatan titik dq di R dapat dihitung menggunakan persamaan (1.15), dengan mengganti q 1 dengan dq, r 2 dengan R dan r 1 dengan r de = [(k dq) (R - r)/ R - r 3 ] (1.18)

R - r dq R - r r r R R Di atas sudah dijelaskan bahwa sebenarnya muatan kontinu merupakan kumpulan muatan titik. Anggap bahwa muatan kontinu disusun oleh sangat banyak muatan titik identik (dq). Jadi medan listrik di R merupakan jumlah dari medan listrik yang dihasilkan oleh masing-masing muatan titik identik tersebut ( gunakan persamaan (1.17)). Karena muatannya kontinu maka penjumlahannya berupa integrasi. E = de = [(k dq) (R - r)/ R - r 3 (1.19) Jangan lupa bahwa dq bergantung pada posisi (r).untuk lebih memahami konsep ini kita lihat beberapa contoh medan listrik oleh muatan kontinu yang serbasama. 1.6.1 Muatan Garis 1. Muatan +Q yang tersebar secara merata pada kawat lurus sepanjang L. Misalkan kawat tersebut diletakkan pada sumbu-x. Lihat gambar (1.11 )! Hitung medan listrik di titik P. Y(m) Gambar (1.10) d x X(m) d x dx dq Gambar (1.11) Perhatikan elemen muatan dq yang terdapat di dalam elemen panjang dx. Dengan anggapan bahwa dx sangat kecil maka kita memiliki muatan titik dq yang terletak di x. Medan listrik di titik P yang dihasilkan muatan titik dq adalah de = [(k dq) (R - r)/ R - r 3 ] dengan R = d j dan r = x i. de = (k dq) (d j x i)/ (d 2 + x 2 ) 3/2 (1.20)

Karena muatan tersebar secara merata, maka dq = (dx/l) Q. jadi Medan total di titik P adalah E = de = (kq/l) 0 L (d j x i)dx / (d 2 + x 2 ) 3/2 (1.21) Batas integrasi didapat dari sebaran muatan dari x = 0 sampai x = L 2. Muatan +Q yang tersebar pada kawat melingkar berjari-jari R. Hitung medan listrik total di pusat lingkaran! dθ θ ds R θ dq Gambar (1.12 ) Perhatikan elemen muatan dq yang berada di dalam elemen panjang ds. Karena ds dianggap sangat kecil, maka dq dapat dianggap muatan titik. Medan listrik di pusat lingkaran akibat dq adalah de = (k dq) R(- i cos θ j sin θ )/ R 3 (1.22) Karena muatan Q tersebar secara merata, maka dq = (ds/2πr)q= (dθ/2π)q. Medan total di pusat lingkaran adalah E = de = (kq/2π) 0 2π dθ(- i cos θ j sin θ )/ R 2 (1.23) Hasil integrasi persamaan (1.23) sama dengan nol. Hasil yang sama kita dapatkan dengan memandang dua buah elemen muatan identik (dq = dq ) yang membentuk garis lurus melewati pusat lingkaran, perhatikan gambar (1.13). dq de P de dq Gambar (1.13)

Misalkan medan listrik yang dihasilkan kedua muatan di pusat lingkaran adalah de dan de. Karena besar muatan sama, maka kedua medan listrik tersebut sama besar. Arah kedua medan listrik berlawanan (lihat pasal 1.5), jadi medan listrik total di pusat lingkaran akibat kedua muatan sama dengan nol. Karena muatan tersebar secara merata, maka setiap muatan titik di lingkaran memiliki pasangan yang menyebabkan medan listrik di pusat lingkaran nol. Jadi dapat disimpulkan medan listrik di pusat lingkaran akibat seluruh muatan sama dengan nol. 1.6.2 Muatan Bidang Di sini muatan dianggap tersebar merata pada bidang datar. Kita asumsikan bidang datar tersusun dari sangat banyak kawat lurus. Jadi konsep medan listrik yang ditimbulkan oleh kawat lurus jangan dilupakan. Sekarang kita perhatikan dulu persoalan kawat lurus di bawah ini!. Muatan +Q tersebar secara merata pada sumbu-x dari x = 0 sampai x = L meter. Jika pada persoalan muatan garis di atas, titik pengamatan terletak di dekat ujung kawat, maka persoalan sekarang titik pengamatan P terletak di tengah-tengah ( ½ L, R). Tetapi cara penyelesaiannya tetap sama, diawali dengan memandang sebuah elemen muatan dq (muatan titik) yang terletak di x (lihat gambar (1.14) di bawah ini). Medan listrik di titik P oleh muatan titik dq adalah de = k dq[( x-½ L)(-i) +R j]/[(x-½ L) 2 +R 2 ] 3/2 Medan total di titik P diperoleh E = de = (kq/l) 0 L dx [( x-½ L)(-i) +R j]/[(x-½ L) 2 +R 2 ] 3/2 = (kq R j /L) 0 L dx /[(x-½ L) 2 +R 2 ] 3/2 E = j {kq /R[R 2 + (0.5 L) 2 ] 1/2 } (1.24) Y(m) de = k dq[( x-½ L)(-i) +R j]/[(x-½ L) 2 +R 2 ] 3/2 ½ L ½ L R x dx X(m) Gambar (1.14) R x dq Sekarang kita kembali ke persoalan muatan yang tersebar merata pada bidang datar. Kita lihat bidang datar berbentuk empat persegi panjang dengan ukuran (a x b) m 2. Perhatikan gambar (1.15) di bawah ini. Ingat bahwa kita bekerja di dalam ruang dimensi-3.

z y P dq x R b b y x a a y dq z b y R d y y a Gambar (1.15) Perhatikan bahwa medan listrik di titik P akibat dq sama dengan persoalan di atas ( lihat persamaan (1.24)), dengan menggantikan Q dq; L a; R d = (y 2 + R 2 ) 1/2 ; E de ; dan j ( - y j + R k )/( y 2 + R 2 ) 1/2 diperoleh de = ( - y j + R k ){k dq / (y 2 + R 2 )[y 2 + R 2 + (0.5 a) 2 ] 1/2 } (1.25) Dari gambar di atas didapat dq = Q(a dy)/(ab) = Q dy/b (1.26) Jadi medan total di P adalah E = de = k (k Q R /b) b/2 b/2 { dy / (y 2 + R 2 )[y 2 + R 2 + (0.5 a) 2 ] 1/2 } (1.27) Medan total hanya ke arah sumbu-z positif. Bagaimana besar dan arah medan listrik jika muatannya berjenis negatif? Jika ingin berlatih anda dapat mengikuti prosedur yang sudah dilakukan di atas dan jika anda ingin memeriksa hasilnya dapat menggunakan persamaan (1.27 ) dengan mengganti Q dengan Q.

Cara lain untuk menghitung medan listrik untuk kasus di atas adalah dengan memandang elemen muatan pada bidang xy pada posisi sembarang (x,y). z y P y x dq x R b b y x a dq a dy dq = Q (dx dy)/(ab) = σ dx dy σ = Q /(ab) = rapat muatan dx Gambar (1.16) Medan listrik di titik P yang ditimbulkan oleh dq adalah de = k dq (- x i y j + R k )/ [ x 2 + y 2 + R 2 ] 3/2 = k [Q dx dy /(ab) ] (- x i y j + R k )/[ x 2 + y 2 + R 2 ] 3/2 Perhatikan bahwa vektor (- x i y j + R k ) adalah vektor posisi titik P dari elemen muatan dq. Medan total di titik P adalah E = (k σ ) b/2 b/2 a/2 a/2 {(- x i y j + R k )/[ x 2 + y 2 + R 2 ] 3/2 }dx dy = k (k σ ) b/2 b/2 a/2 a/2 R /[ x 2 + y 2 + R 2 ] 3/2 }dx dy (1.29) Perhatikan! Apakah hasil yang diperoleh pada persamaan (1.27) dan (1.28) sama? Soal-soal 1. Dua buah muatan titik q 1 = 1,6 x 10-19 C dan q 2 = 1,6 x 10-19 C diletakkan dalam bidang-xy secara berturut-turut pada titik-titik (0,0) dan (3,4). Hitung : a. Gaya yang dialami masing-masing muatan b. Bandingkan besar masing-masing gaya pada soal (a). Jawab : a) F 12 = - F 21 = k (1,6 x 10-19 )( 3 i 4j )/125 N, b) sama besar

2. Empat buah muatan sejenis ditempatkan pada sudut-sudut sebuah bujur sangkar dengan sisi a. Hitung : a. Besar medan listrik oleh masing-masing muatan di titik potong diagonal. b. Medan listrik total pada titik potong diagonal. Jawab : a) k 2q/a 2, b) nol 3. Dua buah muatan titik q dan 4q dipisahkan oleh jarak sejauh 3r. Hitung : a. Besar medan gaya listrik yang dialami oleh masing-masing muatan. b. Besar gaya per satuan muatan pada masing-masing muatan c. Jarak sebuah titik dari q dimana medan total di titik tersebut nol Jawab : a) 4kq 2 /9r 2, b) 4kq /9r 2 pada muatan q, kq /9r 2 pada muatan 4q, c) sejauh r dari q dan sejauh 2r dari 4q. 4. Berapakah jarak antara dua proton jika gaya tolak listrik yang bekerja pada masingmasing muatan sama dengan dua kali beratnya di permukaan bumi. Diketahui percepatan gravitasi bumi 10 m/s 2 dan massa proton 1,7 x 10-27 kg. Jawab : 0,8232 cm 5. Dua buah bola penghantar yang identik dimuati muatan sama besar dengan jenis yang berbeda. Kedua bola saling tarik-menarik dengan gaya sebesar 0,108 N. Bila kedua bola terpisah oleh jarak 0,50 m, hitung besar masing-masing muatan. Jawab : 1,732 x 10-6 C 6. Sebuah elektron ditembakkan ke arah proton dengan laju awal 3,0 x 10 5 m/s. Jika jarak mula-mula antara elektron dan proton sangat jauh, pada jarak berapakah dari proton elektron memiliki kecepatan dua kali semula? Jawab : 2,371 x 10-7 m 7. Tiga buah bola kecil, masing-masing bermassa 10 g digantungkan dengan tali kecil sepanjang 1 m dari sebuah titik bersama. Bola-bola tersebut bermuatan identik dan menggantung membentuk segitiga sama sisi yang sisi-sisinya 0,1 m. Berapakah muatan masing-masing bola? Jawab : 4,387 x 10-8 C 8. Sebuah muatan titik diletakkan sejauh 0,5 m dari sebuah titik pengamatan. Medan listrik di titik tersebut akibat muatan titik terukur sebesar 2,0 N/C, berapakah muatan titik tersebut? Jawab : 0,555 x 10-10 C 9. Muatan listrik +Q tersebar merata ke seluruh kawat yang berbentuk seperti gambar di bawah. Hitung medan listrik total pada pusat lingkaran. Soal (9) Soal (10) 2r r 2r R Jawab : E = de = [k4rq/(4r + 2πr)] -2r 2r r j dx / (r 2 + x 2 ) 3/2

10. Dua buah kawat penghantar identik sangat panjang, memiliki muatan total +Q. Jarak antara kedua kawat R. Hitung gaya persatuan panjang yang dialami masing-masing muatan! Jawab : Q 2 /(2πε o L 2 R) N/m 11. Sebuah medan listrik serbasama terdapat di dalam daerah antara dua plat identik dengan muatan total berlawanan. Sebuah elektron dilepaskan dari keadaan diam pada permukaan plat bermuatan negatif dan menumbuk plat positif dalam waktu 1,5 x 10-8 s. Diketahui jarak antara kedua plat 2,0 cm. a. Berapakah laju elektron saat menumbuk plat? b. Berapakah besar medan listrik di antara plat? Jawab : a) 2,67 x 10 6 m/s, b) 1,012 x 10 3 N/C 12. Sebuah plat berbentuk bujur sangkar ( panjang sisi r = 1 m) memiliki muatan persatuan luas σ. Sebuah titik pengamatan terletak sejauh d dari plat. Hitung besar medan litrik pada titik tersebut akibat plat bermuatan, anggap d << r. d r r d Jawab : σ/2ε o

BAB II HUKUM GAUSS Di dalam pembahasan di atas telah kita lihat bagaimana penggunaan hukum Coulomb untuk menghitung medan listrik E pada berbagai titik di sekitar distribusi muatan. Cara tersebut dikenal dengan cara langsung yang memerlukan banyak energi, karena tingkat kerumitannya cukup tinggi kecuali untuk kasus-kasus sederhana. Akan tetapi cara ini selalu dapat digunakan bagaimanapun rumitnya persoalan. Mengingat bahwa dalam skala kecil alam cenderung simetri, maka dalam menghitung medan E kita dapat menggunakan metoda tidak langsung. Metoda ini dikenal dengan hukum Gauss. Keuntungan dari metoda ini adalah proses matematisnya yang lebih sederhana. Sebelum kita mempelajari hukum Gauss, ada baiknya kita perhatikan beberapa hal di bawah ini : 1. Arah medan listrik di sebuah titik pengamatan yang ditimbulkan oleh sebuah muatan positif adalah meninggalkan muatan tersebut. 2. Arah medan listrik di sebuah titik pengamatan yang ditimbulkan oleh sebuah muatan negatif adalah menuju muatan tersebut. 3. Arah permukaan di suatu titik pada permukaan tersebut tegak lurus permukaan singgung di titik tersebut, arah permukaan tersebut dikenal dengan arah normal. 4. Rapat muatan per satuan panjang diberi notasi λ. 5. Rapat muatan per satuan luas diberi notasi σ. 6. Rapat muatan per satuan volume diberi notasi ρ. 7. Fluks listrik (satuannya Tesla) diberi notasi Φ. 1.1 Fluks Dari Sebuah Medan Vektor Andaikan di dalam sebuah ruangan kita memiliki sebuah permukaan S (permukaan merupakan vektor), permukaan ini disusun oleh sejumlah elemen permukaan dengan luas sama ds. Di dalam ruangan inipun bekerja medan listrik E. Sekarang pandang salah satu elemen luas yang terletak pada suatu titik di permukaan S misal ds (sebuah besaran vektor, ada arahnya) dan hitung E di tempat tersebut. Kemudian lakukan operasi titik antara kedua vector tersebut E. ds. Beberapa sifat dari operasi titik tersebut adalah : 1. Merupakan sebuah besaran scalar infinitesimal. 2. Bernilai positif jika sudut antara E dan ds lebih kecil dari 90 o, dan negatif jika sudutnya lebih besar dari 90 o. 3. Bernilai nol jika E tegak lurus terhadap normal ds, dengan kata lain E sejajar dengan daerah yang direpresentasikan oleh ds. Nah, sekarang kita dapat membayangkan pekerjaan di atas untuk seluruh permukaan yaitu dengan menjumlahkan semua operasi titik masing-masing elemen luas. Φ = E.dS (2.1) Hasil dari persamaan (2.1) dikenal dengan fluks dari E yang melalui permukaan S.

1.2 Permukaan Terbuka Dan Tertutup Permukaan dapat diklasifikasikan sebagai berikut : a. Permukaan Terbuka, adalah permukaan yang memiliki suatu ekor. Contoh: kertas, tabung tanpa tutup, setengah bola, dan sebagainya. b. Permukaan Tertutup, permukaan yang tidak memiliki ekor. Contoh : bola, tabung dengan tutupnya, balon, dan sebagainya. Untuk lebih jelasnya perbedaan antara permukaan tertutup dan terbuka adalah : permukaan tertutup dipisahkan oleh dua ruang yaitu volume dalam dan luar. Dan tidaklah mungkin pindah dari dalam ke luar tanpa memotong permukaan. Sifat ini tidak dimiliki oleh permukaan terbuka. 1.3 Hukum Gauss Garis gaya (digunakan untuk melukiskan intensitas dan arah) medan listrik berawal dari muatan positif dan berakhir pada muatan negatif. Pernyataan secara tepat dari ide intuisi ini dikenal dengan hk. Gauss : E. ds = ( q )/ε o (2.2) S Ruas kiri adalah fluks dari medan E yang melalui permukaan tertutup S. Pada ruas kanan, ( q ) adalah jumlah muatan total yang berada di dalam permukaan tertutup S. Sebagai contoh perhatikan gambar (2.1) di bawah ini. +3 C -6 C Permukaan tertutup S +10 C Gambar (2.1) Jumlah fluks yang melalui permukaan tertutup S sama dengan ( +3 6 ) /εo. Muatan +10 C berada di luar permukaan tertutup, jadi tidak memberikan kontribusi pada fluks yang melalui permukaan tertutup. Persamaan E. ds = ( q )/ε o sangat padat. Saat menerapkannya pada suatu persoalan kita harus berada dalam beberapa hal berikut : a. Ia hanya untuk permukaan tertutup. b. ds memiliki arah normal dan keluar c. Secara umum E bervariasi dari titik ke titik pada permukaan S dan tidak dapat keluar dari integrasi. d. E dan ds adalah vektor: pertama kita harus mencari E. ds, kemudian jumlahkan untuk seluruh permukaan tertutup dengan cara melakukan integrasi. e. q, hitung jumlah muatan total yang dilingkupi permukaan tertutup atau dengan kata lain q jumlah muatan yang berada di dalam volume yang dibatasi permukaan tertutup.

Biasanya distribusi muatan diketahui ( muatan titik, muatan pada kawat, muatan silinder, dsb) dan kita disuruh menghitung medan listrik E pada suatu titik pengamatan P. Perlu diingat bahwa tidak ada ketentuan khusus bagaimana bentuk permukaan tertutup, akan tetapi salah satu keistimewaan hk. Gauss adalah kita bebas memilih permukaan tertutup. Ini berarti kita boleh memilih permukaan tertutup sedemikian rupa sehingga persoalan integrasi menjadi lebih sederhana. Karena itu sangat mudah bila digunakan untuk sistem distribusi muatan yang mempunyai simetri mudah. Dalam aplikasinya persoalan hk. Gauss adalah persoalan menentukan permukaan tertutup yang dikenal dengan permukaan Gauss. Ada tiga macam permukaan Gauss yang kita bahas disini yang berkaitan dengan bentuk dan simetri dari distribusi muatan yaitu bola, silinder, balok. Tidak ada petunjuk resmi bagaimana cara kita memilih permukaan, tetapi berdasarkan pengalaman penulis ada dua hal penting yang perlu diperhatikan sebagai panduan dalam memilih permukaan : 1. Hukum Gauss digunakan menghitung besar medan listrik, sedangkan arah medan listrik sudah diketahui dengan menggunakan hk. Coulomb (kaidah simetri). 2. Pilih permukaan sedemikian rupa sehingga arah E pada permukaan sejajar dan atau tegak lurus permukaan ( E.dS = 0 atau E.dS = E ds ). Pada permukaan dimana E sejajar dengan arah ds pilih permukaan dimana besar E konstan pada setiap titik pada permukaan tersebut ( agar E dapat dikeluarkan dari integrasi ). Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh pemakaian hk. Gauss di bawah ini. 1.4 Beberapa Contoh Penggunaan Hukum Gauss Perhatikan sebuah kawat lurus serbasama dengan muatan total +Q ( lihat contoh soal medan listrik oleh muatan kontinu ). Misalkan panjang kawat L dan titik pengamatan berada ditengah-tengah. y x D E p E p = j (kdq/l) 0,5L 0,5L (dx / (d 2 + x 2 ) 3/2 L Gambar (2.2) Andaikan L, hal ini selalu bisa kita dapatkan dengan mengambil L >> D. Dengan menggunakan teknik integrasi tertentu kita peroleh medan pada titik sejarak D dari kawat adalah : E = j ( Q/ 2πε o LD) atau E = j ( λ / 2πε o D) (2.3) Arah medan ini meninggalkan kawat dan tegak lurus kawat. Tentunya sebelum kita mendapatkan hasil tersebut kita harus mnempuh cara penyelesaian yang cukup rumit. Nah, cara yang lebih mudah adalah dengan memanfaatkan hk Gauss.

Perhatikan gambar (2.3) di bawah ini, hasilnya bandingkan dengan cara di atas ditanggung lebih mudah! D D x Gambar (2.3) Permukaan dengan besar medan listrik sama Bangunlah sebuah selinder (permukaan Gauss) dengan jari-jari D dan panjang x ( lihat gambar (2.3)). Kawat bermuatan terletak pada sumbu silinder. Perlu diingat dalam membangun permukaan Gauss titik pengamatan merupakan salah satu titik pada permukaan. Perhatikan panjang kawat yang berada didalam selinder adalah x, ini artinya muatan yang berada dalam selinder adalah. q = (x/l) Q = x λ (2.4) Silinder kita memiliki 3 buah permukaan, yaitu tutup kiri dan kanan serta selimut. Perhatikan bahwa medan permukaan kiri dan kanan dan searah dengan permukaan selimut. E. ds = (x λ/ε o ) (2.5) Fluks listrik yang menembus tutup kiri dan kanan nol, jadi fluks listrik yang menembus silinder hanya fluks yang menembus permukaan selimut. Perhatikan juga bahwa arah medan listrik di setiap titik di selimut searah dengan arah permukaan selimut! E. ds = selimut E. ds = (x λ/ε o ) (2.6) selimut E. ds = E. luas selimut = E ( 2π D x ) = (x λ/ε o ). Jadi besar medan listrik di titik sejauh D dari kawat adalah (arah medan listrik meninggalkan kawat) E = (Q/L2π D ε o ) = (λ/l2π D ε o ) (2.7)

Contoh lain: Hitung besar medan listrik di sebuah titik sejauh x dari sebuah plat yang bermuatan total +Q luas plat A, asumsikan x << dari dimensi plat. x Luas a Muatan total +Q, luas plat A x x Gambar (2.4) Bangun sebuah permukaan Gauss berbentuk balok dengan panjang 2x dan luas penampang a. Plat memotong balok di tengah-tengah ( lihat gambar (2.4) di atas ). Perhatikan, berdasarkan hk. Coulomb atau simetri bidang dari distribusi muatan ini, arah dari medan listrik meninggalkan plat. Permukaan kiri Permukaan kanan Gambar (2.5) Penampang lintang balok dengan luas a, sepanjang permukaan ini medan listrik sama (besar maupun arahnya). Dari gambar (2.5) di atas terlihat bahwa tidak seluruh muatan berada di dalam balok, muatan yang berada di dalam balok hanya yang berada di bagian plat seluas a. Jadi jelas jumlah muatan yang berada di dalam balok adalah

( q ) = (a /A)Q (2.7) Perhatikan juga bahwa balok memiliki 6 permukaan, tetapi hanya dua buah permukaan yang memberikan kontribusi terhadap fluks listrik yaitu permukaan kiri dan kanan. Jarak kedua permukaan tersebut ke plat sama, sehingga besar medan listrik pada kedua permukaan tersebut dapat dianggap sama. Jadi kedua permukaan itu memberikan kontribusi fluks sama besar. Empat permukaan yang lain memiliki arah normal tegak lurus medan sehingga fluksnya nol. Berdasarkan hal tersebut di atas, maka kita dapatkan a. Fluks total yang menembus balok = (a / ε o A)Q b. Balok E. ds = 2 tutup kiri E. ds = 2 tutup kanan E. ds = 2 E luas penampang lintang balok = 2 E a c. Jadi besar medan listrik pada titik sejauh x dari plat dengan luas A dan muatan total +Q adalah E = (Q / 2ε o A) = σ/ 2ε o (2.8) Dimana σ = Q/A Soal-soal 1. Sebuah bola konduktor pejal berjari-jari R diberi muatan total +Q. Hitung medan listrik pada sebuah titik pengamatan sejauh r dari pusat bola, untuk r < R dan r > R. Muatan tersebar merata pada permukaan ( medan di dalam konduktor selalu nol, karena setimbang). Jawab : r < R E = 0, r > R E = k Q/r 2 2. Ulangi soal (1), untuk bola non-konduktor pejal, muatan tersebar merata ke seluruh ruang. Jawab : r < R E = k r Q/R 3 3. Bola konduktor berongga berjari-jari dalam a dan luar b. Sebuah muatan titik +Q diletakkan di pusat bola. Hitung : a. Medan listrik untuk r < a, a < r < b, r > b ( r dihitung dari pusat bola) b. Muatan induksi pada masing-masing permukaan konduktor (manfaatkan pengetahuan mengenai medan di dalam konduktor nol ) Jawab : a) r< a E = k Q/r 2, a < r < b E = 0, r > b E = k Q/r 2, b) Q dalam = Q, Q luar = +Q 4. Bola konduktor pejal berjar-jari a berada di dalam bola non-konduktor berongga (jarijari dalam a dan jari-jari luar b ). Bola konduktor diberi muatan +Q dan bola nonkonduktor diberi muatan Q. Hitung medan listrik untuk seluruh r ( r dihitung dari pusat bola ) dan hitung muatan induksi pada masing-masing permukaan bola konduktor. Jawab : r < a E = 0, a < r < b E = k Q/r 2 [1 ( r 3 a 3 )/ ( b 3 a 3 )], r > b E = 0 5. Dua buah silinder non-konduktor sangat panjang dipasang konsentris. Silinder bagian dalam berjari-jari a (rapat muatan +σ), silinder bagian luar berjari-jari dalam b dan luar c ( rapat muatan σ ). Hitung medan listrik untuk seluruh r ( r dihitung dari sumbu silinder). Jawab : r<ae =σr/2ε o, a<r< be = σ a 2 /2rε o, b<r<ce =(σ /2rε o ) [a 2 (r 2 b 2 )/(c 2 b 2 )]

BAB III POTENSIAL LISTRIK 3.1 ENERGI POTENSIAL LISTRIK (W) DEFINISI : Usaha yang diperlukan untuk memindahkan suatu muatan yang berada di bawah medan eksternal dari satu tempat ke tempat lain. Pandang sebuah muatan uji positif q o yang berpindah dari A ke B dibawah pengaruh medan listrik luar E ( lihat gambar (3.1)). Akibat adanya medan listrik E muatan mengalami gaya ke kanan q o E. Jadi untuk memindahkannya dari A ke B kita harus melawan gaya tersebut. Bagaimana caranya? Jelas!, dengan cara memberi gaya luar F yang berlawanan arah dengan q o E. F minimum adalah F = - q o E (3.1) A B F = q o E r A E r B Gambar (3.1) Jadi usaha yang kita perlukan untuk memindahkan q o dari A dan B adalah W A B = - ra rb q o E. dl (3.2) Di mana r B dan r A adalah posisi titik B dan A, dengan dl dalam koordinat kartesius sebagai berikut dl = dx i + dy j + dz k (3.3) Karena medan listrik E bersifat konservatif (sebuah medan vektor disebut konservatif jika integrasi hanya bergantung pada posisi awal dan akhir, tidak bergantung pada lintasan yang diambil), maka W A B dapat dipandang sebagai selisih energi potensial

listrik muatan qo di titik B dan A. Jika energi potensial dilambangkan dengan U, maka U B - U A = W A B. Contoh : Misalkan medan listrik E berasal dari muatan titik +q yang diletakkan di pusat koordinat. Arah dari E meninggalkan muatan +q (dalam koordinat bola diberi notasi dengan e r ). Medan listrik pada titik sejauh r adalah E = ( k q/r 2 ) e r (3.4) r B +q r A q o Usaha yang diperlukan untuk memindahkan muatan q o dari titik A ke titik B didapat dengan substitusi persamaan (3.4) ke dalam persamaan (3.2) : U B - U A = - ra rb q o ( k q/r 2 ) e r. dl (3.5) Untuk menyelesaikan persamaan (3.5) jika kita menggunakan persamaan (3.3) akan mengalami sedikit kesulitan. Persoalan ini akan lebih mudah jika kita menggunakan koordinat bola, karena medan listrik E sudah dalam sistem koordinat bola. dl = dr e r + r dθ e θ + r sinθ dφ e Φ (3.6) Dengan menggunakan persamaan (3.6) ke dalam persamaan (3.5) diperoleh U B - U A = - ra rb q o ( k q/r 2 ) dr = (kq o q)[(1/r B ) (1/r A )] joule (3.7) Kemudian diperoleh Gambar (3.2) U B = (kq o q/r B ) dan W A = (kq o q/r A ) (3.8) Persamaan (3.8) adalah energi potensial muatan q o, akibat berinteraksi dengan +q, saat berada sejauh r B dan r A dari muatan +q. Jadi jika ada dua buah muatan titik q 1 dan q 2 yang dipisahkan oleh jarak sejauh r, maka energi potensial pada masing-masing muatan akibat muatan yang lain adalah U = (kq 1 q 2 /r) (3.9)

3.2 POTENSIAL LISTRIK (V) DEFINISI : Potensial listrik pada sebuah muatan Q adalah Energi potensial muatan tersebut tiap satuan muatan. Secara matematis pernyataan di atas ditulis sebagai berikut : V = U/Q (3.10) Sekarang kita tuliskan kembali persamaan (3.2) untuk bentuk yang lebih umum, dengan cara mengganti q o E dengan F (gaya listrik) U B - U A = - ra rb F. dl (3.11) Andaikan gaya F di atas bekerja pada muatan Q, maka potensial listrik yang ia alami saat pindah dari titik A ke titik B adalah V B - V A = (U B - U A )/Q = - ra rb (F/Q). dl (3.12) Perhatikan bahwa F/Q tidak lain adalah medan listrik (E) dimuatan Q, jadi persamaan (3.12) dapat ditulis kembali menjadi V B - V A = (U B - U A )/Q = - ra rb E. dl (3.13) Persamaan (3.13) dikenal dengan beda potensial antara titik B dan A yang ditimbulkan oleh medan listrik E. Sekarang kita terapkan untuk persoalan dua buah muatan titik, q 1 dan q 2. Andaikan q 1 diam dan q 2 kita pindahkan dari titik A ke titik B. Medan listrik yang ditimbulkan oleh q 1 pada titik sejauh r dari q 1 adalah E = ( k q 1 /r 2 ) e r (3.14) Substitusi persamaan (3.14) dan ( 3.6) ke persamaan (3.13) diperoleh V B - V A = - ra rb ( k q 1 /r 2 ) dr = ( k q 1 ) [( 1/r B ) - ( 1/r A )] (3.15) Jadi kita dapat menganggap potensial listrik yang ditimbulkan oleh sebuah muatan titik q 1 pada titik sejauh r B dari muatan tersebut adalah V B = k q 1 /r B (3.16)

Contoh : Sebuah muatan uji q o berpindah dari A ke B tanpa percepatan melewati lintasan seperti pada gambar (3.3). Medan yang bekerja tetap E = E o i N/C. Hitung besar beda potensial antara titik B dan A untuk masing-masing lintasan yang diambil! C y d x B x = 0 A x = d Gambar (3.3) Lintasan 1, dari A langsung ke B V B V A = - XA XB E o i. ds = - d 0 E o dx = - E o ( 0 d ) = E o d Jadi besar beda potensial antara titik B dan A adalah E o d Lintasan 2, dari A ke B melalui titik C V B V A = - A B E o i. dl = - A C E o i. dl + - C B E o i. dl A C E o i. dl = A C E o i. ( i dx + j dy ) = d 0 E o dx = - E o d C B E o i. dl = C B E o i. ( i dx + j dy ) = 0 0 E o dx = 0 Besar beda potensial antara A dan B melalui lintasan 1 maupun 2 sama, yaitu E o d Dari uraian dan contoh di atas kita dapat tuliskan hubungan potensial dan medan listrik sebagai berikut : V = - E. ds atau E = - V (3.17) Dimana = i ( / x) + j ( / y) + k ( / z) (koordinat kartesius) (3.18a) = e r ( / r) + e θ (1/r)( / θ) + e Φ (1/ rsin θ) ( / Φ) (koordinat bola) (3.18b) = e ρ ( / ρ) + e Φ (1/ρ)( / Φ) + e z ( / z) (koordinat silinder) (3.18c)

Contoh : Hitung V untuk V berikut ini : a. V = 2xy 3 z 2 b. V = 2x + y 3 + z 2 Jawab : a. V = [i ( / x) + j ( / y) + k ( / z)] 2xy 3 z 2 = i ( / x)( 2xy 3 z 2 ) + j ( / y) (2xy 3 z 2 ) + k ( / z)( 2xy 3 z 2 ) = i (2y 3 z 2 ) + j (6xy 2 z 2 ) + k ( 4xy 3 z ) b. V = [i ( / x) + j ( / y) + k ( / z)] [2x + y 3 + z 2 ] = i ( / x)( 2x ) + j ( / y) (y 3 ) + k ( / z)( z 2 ) = i 2 + j 3y 2 + k 2z 3.3 MEDAN DIPOL LISTRIK Pandang sepasang muatan titik pada sumbu x. Kedua muatan dipisahkan oleh jarak d. Disini kita meninjau dua kasus : 1. Medan listrik akibat kedua muatan pada suatu titik di sumbu-x 2. Medan listrik akibat kedua muatan pada suatu titik di sumbu-y Kasus 1 d/2 d/2 P titik pengamatan -Q +Q r Gambar ( 3.4 ) Besar medan listrik di titik P akibat masing-masing muatan adalah E + = k Q/( r d/2) 2 E - = k Q/( r + d/2) 2 arahnya menuju x positif arahnya menuju x negatif Besar medan listrik total di titik P akibat kedua muatan adalah E + + E - = kq [1/( r + d/2) 2 ] [1/( r d/2) 2 ] = (kq/ r 2 ) [( 1 + d/2r) -2 ( 1 d/2r) -2 Untuk r >> d atau d/2r << 1, ( 1 d/2r) -2 1 d/2r dan ( 1 + d/2r) -2 1 + d/2r Jadi

E + + E - = (k/r 3 )(Qd) = (k/r 3 ) p = (k p)/r 3 arahnya ke kanan (3.19) dimana p = Qd adalah momen dipol yang vektor arahnya dari muatan negatif menuju muatan positif. Jadi persamaan (3.19) dapat juga dinyatakan sebagai besar medan listrik yang ditimbulkan oleh momen dipol p sepanjang momen dipol tersebut. Kasus 2 E + E - r 2E + cos θ θ θ θ -Q +Q Gambar (3.5) Besar medan listrik oleh masing-masing muatan adalah E + = k Q/( r 2 + d 2 /4) arahnya lihat gambar (3.5) di atas E - = k Q/( r 2 + d 2 /4) arahnya lihat gambar (3.5) di atas Perhatikan bahwa besar kedua medan listrik sama, sehingga medan total di titik P hanya memiliki komponen horizontal saja. Komponen vertikal saling meniadakan. Jadi E + + E - = 2kQ [(d/2)/( r 2 + d 2 /4) 3/2 ] = (kqd/r 3 ) ( 1 + d 2 /4r 2 ) -3/2 Untuk r >> d, ( 1 + d 2 /4r 2 ) -3/2 1 E + + E - = (kqd/r 3 ) = k p/r 3 arahnya ke kiri (3.20) Medan listrik oleh dipol p secara umum dapat ditentukan menggunakan hubungan antara E dan potensial listrik V (persamaan 3.17). Untuk itu ada baiknya kita tinjau potensial listrik yang ditimbulkan oleh sebuah dipol p. Perhatikan gambar (3.6) di bawah ini, potensial litrik di titik P akibat masing-masing muatan adalah

V + = k Q/r 1 dan V - = - k Q/r 2 (3.21) Potensial total di titik P adalah V = V + + V - = k Q ( 1/r 1 1/r 2 ) = k Q ( r 2 r 1 )/r 1 r 2 (3.22) Ambil untuk r >> d, maka ( r 2 r 1 ) d cos θ dan r 1 r 2 r 2. Persamaan 3.22 menjadi V = k Q d cos θ / r 2 = k p. r / r 2 (3.23) r 2 r r 1 -Q +Q p d θ Gambar ( 3.6 ) 3.4 MOMEN DIPOL DI DALAM MEDAN LISTRIK Gambar (3.7) di bawah menunjukan dipol yang dibentuk oleh pasangan muatan titik yang dipisahkan sejauh d. Kedua muatan berada di dalam medan luar konstan E. Momen dipol P membentuk sudut θ terhadap E. +Q F p θ E -F -Q Gambar (3.7)

Kita perhatikan momen gaya yang ditimbulkan oleh kedua gaya ( F dan F). Momen gaya di definisikan sebagai berikut τ = r x F (3.24) dimana r adalah posisi titik tangkap gaya (F) dari pusat putaran, berdasarkan analisa vektor besar momen gaya dinyatakan sebagai berikut τ = r F sin θ (3.25) dengan θ sudut antara r dan F. Untuk persoalan kita r = d/2, jadi τ = (d/2) F sin θ, besar momen gaya total yang bekerja pada sistem pasangan muatan di atas adalah τ = 2 (d/2) F sin θ = d F sin θ = d Q E sin θ = P E sin θ (3.26) dimana P adalah momen gaya listrik. Secara umum jika dipol p di dalam medan listrik E akan timbul momen gaya sebagai berikut τ = p x E (3.27) Adanya momen gaya yang bekerja pada pasangan muatan di atas akan membuat orientasi dipol berubah, yang mula-mula membentuk sudut θ o terhadap E menjadi θ. Usaha yang dilakukan oleh τ adalah berupa perubahan energi potensial. U θo - U θ = W θo θ = dw = θo θ τ. dθ = θo θ τ dθ = θo θ p E sin θ dθ = θo [ p E cos θ] θ (3.28) Dengan mengambil acuan θ o = 90 0, maka secara umum energi potensial listrik pada momen dipol yang berada di dalam medan listrik adalah W = - p. E (3.23) Soal-soal 1. Empat buah muatan sejenis ditempatkan pada sudut-sudut sebuah bujur sangkar dengan sisi a. Hitung : a. Potensial listrik oleh masing-masing muatan di titik potong diagonal. b. Potensial listrik total pada titik potong diagonal. Jawab : a) (k 2 q) /(a 2), b) (k 8 q) /(a 2)

2. Muatan listrik +Q tersebar merata ke seluruh kawat yang berbentuk seperti gambar di bawah. Hitung medan listrik total pada pusat lingkaran. r Jawab : j (krq/l) -2r 2r (dx / (r 2 + x 2 ) 3/2 2r 2r, dimana q = 2Q/(2 + π ) 3. Medan listrik di dalam sebuah bidang-xy dinyatakan dalam E = x i + y j N/C. Sebuah muatan titik q = 2 C berpindah dari titik (0,0) ke titik ( 2,4). Hitung : a. Usaha yang diperlukan untuk berpindah. b. Beda potensial antara kedua titik. Jawab : a) 20 J, b) 10 volt 4 Dua buah plat konduktor identik dipasang sejajar sejauh d, luas masing-masing plat A. Dengan anggapan luas plat sangat besar, hitung beda potensial antara kedua plat jika : a. Muatan kedua plat sama besar dan berjenis sama (positif) b. Muatan kedua plat sama besar dan berlainan jenis. Jawab : a) nol, b) qd/ε o A 5 Potensial listrik dalam sebuah ruangan dinyatakan dengan V = 2xyz volt. Cari medan listrik yang berkaitan dengan potensial tersebut. Jawab : [i 2yz + j 2xz + k 2xy] N/C 6 Perhatikan soal (1)! Hitung besar energi potensial listrik pada masing-masing muatan. Jawab : kq 2 [ 1/a + 1/a + 1/a 2] J 7 Sebuah momen dipol p = (2 i ) C.m diletakkan pada sumbu-x di sekitar titik asal. Hitung potensial litrik dan medan listrik pada sebuah titik (x,y) yang terletak pada bidang-xy. Jawab : V = k 2x / (x 2 + y 2 ), E = i [ 1/(x 2 + y 2 )] + j [2x 2 /(x 2 + y 2 ) 2 ] 8 Perhatikan momen dipol pada soal (7)! Hitung momen gaya yang dialami oleh momen dipol tersebut jika berada di dalam ruangan dengan medan listrik E = x i + y j + x k N/C. Berapa usaha yang diperlukan medan listrik sehingga posisi momen dipol sejajar medan listrik? Jawab : W = - 2x joule. 9 Sebuah bola konduktor pejal berjari-jari R diberi muatan total +Q. Hitung potensial listrik pada sebuah titik pengamatan sejauh r dari pusat bola, untuk r < R dan r > R. Muatan tersebar merata pada permukaan ( medan di dalam konduktor selalu nol, karena setimbang). Jawab : r < R V = kq/r, r > R V = kq/r 10 Bola konduktor pejal berjar-jari a berada di dalam bola non-konduktor berongga (jarijari dalam a dan jari-jari luar b ). Bola konduktor diberi muatan +Q dan bola nonkonduktor diberi muatan Q. Hitung potensial listrik untuk seluruh r ( r dihitung dari pusat bola ). Anggap tidak terjadi pertukaran muatan antara kedua bola. Jawab : r < a V = kq/a, a < r < b V = (kq/r)[ 1 (r 3 a 3 )/ (b 3 a 3 )], r > b V = 0.

11 Potensial listrik di dalam sebuah ruangan berubah sepanjang sumbu-x diperlihatkan dalam grafik di bawah ini. Untuk masing-masing interval tentukan komponen x dari medan listrik gambarkan E x terhadap x. E (N/C) 10-10 -8-2 0 2 8 10 X (m) -10 Jawab : 5 x -5

BAB IV KAPASITOR 4.1 KAPASITANSI Pandang 2 buah konduktor yang terisolasi (gambar (4.1)). Kita asumsikan bahwa kedua konduktor memiliki muatan berpasangan +Q dan -Q. ini berarti setiap garis gaya yang berasal dari +Q akan berakhir di -Q. Pasangan muatan tersebut di atas muncul secara spontan akibat dari polaritas battery yang dihubungkan dengan konduktor. Sistem seperti ini dikenal sebagai Kapasitor. Kapasitor umumnya dikenal sebagai piranti untuk menyimpan energi atau muatan listrik. Besaran yang menyatakan kemampuan kapasitor untuk menyimpan energi atau muatan dikenal dengan nama kapasitansi (C). < +Q -Q < Gambar (4.1) Secara matematis C didefinisikan sebagai berikut : Q = C V (4.1) Dimana : Q adalah muatan spesifik konduktor C adalah kapasitansi kapasitor V adalah beda potensial antara konduktor Berdasarkan bentuk fisiknya ada tiga macam kapasitor yaitu kapasitor plat sejajar, kapasitor silinder, kapasitor bola. Kapasitor plat sejajar disusun oleh dua buah plat dengan luas A dengan jarak antar plat d. Kapasitor silinder disusun oleh dua buah silinder yang dipasang sesumbu. Sedangkan kapasitor bola disusun oleh dua buah bola sepusat. Di bawah ini kita akan mencoba menghitung kapasitansi kapasitor plat sejajar dan bola. Sedangkan kapasitansi kapasitor silinder penulis berharap pembaca mau mencoba menghitung sendiri sebagai sebuah latihan.