Komposisi fungsi dan invers fungsi mempelajari Fungsi komposisi menentukan Fungsi invers terdiri dari Syarat dan aturan fungsi yang dapat dikomposisikan Nilai fungsi komposisi dan pembentuknya Syarat agar suatu fungsi mempunyai invers Sifat-sifat fungsi invers Fungsi komposisi dari beberapa fungsi Sifat-sifat komposisi fungsi Grafik fungsi invers Fungsi invers dari suatu fungsi komposisi fungsi domain fungsi kodomain fungsi range fungsi fungsi injektif fungsi surjektif fungsi bijektif fungsi genap fungsi ganjil fungsi invers 7 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
Relasi dan Fungsi. Relasi Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan ke himpunan adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan ke anggota-anggota himpunan. Jika diketahui himpunan = {0,,, 5}; = {,,, 4, 6}, maka relasi satu kurangnya dari himpunan ke himpunan dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus. a. Diagram panah 0 5 b. Diagram Cartesius 6 4 6 (5, 6) (, ) (, ) (0, ) 0 4 5 c. Himpunan pasangan berurutan R = {(0, ), (, ), (, ), (5, 6)} d. Dengan rumus f() = +, di mana {0,,, 5} dan f() {,,, 4, 6}. Fungsi a. Pengertian Fungsi f X C f() Suatu relasi dari himpunan ke himpunan disebut fungsi dari ke jika setiap anggota dipasangkan dengan tepat satu anggota. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 7
Jika f adalah suatu fungsi dari ke, maka: - himpunan disebut domain (daerah asal), - himpunan disebut kodomain (daerah kawan) dan himpunan anggota yang pasangan (himpunan C) disebut range (hasil) fungsi f. turan yang memasangkan anggota-anggota himpunan dengan anggota-anggota himpunan disebut aturan fungsi f. Misal diketahui fungsi-fungsi: f : ditentukan dengan notasi f() g : C D ditentukan dengan notasi g() Untuk lebih memahami tentang fungsi, pelajarilah contoh soal berikut. Diketahui = {,,, 4} dan = {,,, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f : ditentukan oleh f() =.. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.. Tentukan range fungsi f.. Gambarlah grafik fungsi f. a. 4 f b. Dari diagram di atas, terlihat bahwa: f() = f() = = 5 f() = = f(4) = 4 = 7 f() = = Jadi, range fungsi f adalah {,, 5, 7}. 4 5 6 7 8 c. Grafik fungsi 8 7 6 5 4 f() 0 4 74 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
b. Macam-Macam Fungsi ) Fungsi konstan (fungsi tetap) Suatu fungsi f : ditentukan dengan rumus f() disebut fungsi konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku f() = C, di mana C bilangan konstan. Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini. Diketahui f : R R dengan rumus f() = dengan daerah domain: { < }. Tentukan gambar grafiknya. 0 f() Grafik: f() = Y 0 X ) Fungsi linear Suatu fungsi f() disebut fungsi linear apabila fungsi itu ditentukan oleh f() = a + b, di mana a 0, a dan b bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus. Pelajarilah contoh soal berikut ini agar kamu lebih jelas memahami fungsi linear. Jika diketahui f() = +, gambarlah grafiknya. Y + Grafik: f() = + 0 f() 0 ) Fungsi kuadrat 0 Suatu fungsi f() disebut fungsi kuadrat apabila fungsi itu ditentukan oleh f() = a + b + c, di mana a 0 dan a, b, dan c bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. X Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 75
Perhatikan contoh soal berikut ini untuk lebih memahami tentang fungsi kuadrat. Perhatikan gambar di bawah ini, fungsi f ditentukan oleh f() = +. 4 5 Y 4 X Tentukanlah: a. Domain fungsi f. b. Nilai minimum fungsi f. c. Nilai maksimum fungsi f. d. Range fungsi f. e. Pembuat nol fungsi f. f. Koordinat titik balik minimum. a. Domain fungsi f adalah { 4 < }. b. Nilai minimum fungsi f adalah 4. c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5. d. Range fungsi f adalah {y 4 y 5}. e. Pembuat nol fungsi f adalah dan. f. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi f adalah (, 4). Ingat!! Di kelas X kamu sudah mempelajari cara membuat grafik fungsi kuadrat y = a + b + c, a 0. Caranya adalah sebagai berikut. a. Menentukan titik potong dengan sumbu X y = 0. b. Menentukan titik potong dengan sumbu Y = 0. c. Menentukan persamaan sumbu simetri = ba. b D, a 4a. d. Menentukan titik puncak ( ) 4) Fungsi identitas Suatu fungsi f() disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku f() = atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik absis maupun ordinatnya sama. Fungsi identitas ditentukan oleh f() =. gar kamu lebih memahami tentang fungsi identitas, pelajarilah contoh soal berikut ini. Fungsi pada R didefinisikan sebagai f() = untuk setiap. a. Carilah f( ), f(0), f(), f(). b. Gambarlah grafiknya. 76 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
a. f() = b. Grafiknya: f( ) = f(0) = 0 f() = f() = Y y = X 5) Fungsi tangga (bertingkat) Suatu fungsi f() disebut fungsi tangga apabila grafik fungsi f() berbentuk interval-interval yang sejajar. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini. Diketahui fungsi: f() =, jika 0, jika <, jika < 4, jika 4 Tentukan interval dari: a. f( ) d. f(5) b. f(0) e. gambar grafiknya. c. f() a. f( ) = e. grafiknya: b. f(0) = 0 c. f() = d. f(5) = 6) Fungsi modulus Y 0 4 X Suatu fungsi f() disebut fungsi modulus (mutlak) apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga mutlaknya. f : atau f : a + b f() = artinya:, jika 0, jika < 0 y = 0 Y y = X Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 77
7) Fungsi ganjil dan fungsi genap Suatu fungsi f() disebut fungsi ganjil apabila berlaku f( ) = f() dan disebut fungsi genap apabila berlaku f( ) = f(). Jika f( ) f() maka fungsi ini tidak genap dan tidak ganjil. Untuk memahami fungsi ganjil dan fungsi genap, perhatikan contoh soal berikut ini. Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi genap, fungsi ganjil, atau tidak genap dan tidak ganjil.. f() = +. f() = cos 5. f() = 8. f() = + f( ) = ( ) + ( ) = = ( + ) = f() Jadi, fungsi f() merupakan fungsi ganjil.. f() = cos 5 f( ) = cos ( ) 5 = cos 5 Jadi, fungsi f() merupakan fungsi genap.. f() = 8 f( ) = ( ) 8 ( ) = + 8 Fungsi f( ) f() dan f( ) f(). Jadi, fungsi f() adalah tidak genap dan tidak ganjil. c. Sifat Fungsi ) Fungsi injektif (satu-satu) Jika fungsi f :, setiap b hanya mempunyai satu kawan saja di, maka fungsi itu disebut fungsi satu-satu atau injektif. a b c p q r a b c fungsi injektif fungsi injektif bukan fungsi injektif p q r s a b c p q 78 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
) Fungsi surjektif (onto) Pada fungsi f :, setiap b mempunyai kawan di, maka f disebut fungsi surjektif atau onto. a b c d p q r fungsi surjektif a b c p q r s bukan fungsi surjektif ) Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu) Suatu fungsi yang bersifat injektif sekaligus surjektif disebut fungsi bijektif atau korespondensi satu-satu. a b c d p q r s fungsi bijektif a b c d p q r bukan fungsi bijektif 6. Kerjakan soal-soal di bawah ini.. Dari himpunan dan berikut, manakah yang merupakan fungsi? Sebutkan pula domain, kodomain, dan rumusnya. a. b. c. 0 0 0 0 4 9 4. Gambarlah grafik dari: 0, jika 0 < a. f() =, jika < 4, jika < Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 79
b. f() = + c. f() = +. Selidiki fungsi berikut termasuk fungsi ganjil, genap, atau bukan keduanya. a. f() = b. f() = sin + cos c. f() = 5 4. Tentukan daerah asal dan range fungsi berikut bila dan = { < }. a. f() = b. f() = + c. f() = 4 d. f() = + 5. Diketahui fungsi = {,,, 4} ke = {5, 6, 7} yang dinyatakan dalam pasangan berurutan berikut ini, manakah yang merupakan pasangan surjektif? a. f = {(, 6), (, 6), (, 6), (4, 6)} b. f = {(, 5), (, 6), (, 6), (4, 5)} c. f = {(, 6), (, 7), (, 5), (4, 5)} d. f = {(, 5), (, 6), (, 7), (4, 7)} ljabar Fungsi ila f dan g suatu fungsi, maka pada operasi aljabar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat dinyatakan sebagai berikut.. Penjumlahan f dan g berlaku (f + g)() = f() + g() Perhatikan contoh soal berikut ini. Diketahui f() = + dan g() = 4. Tentukan (f + g)(). (f + g)() = f() + g() = + + 4 = +. Pengurangan f dan g berlaku (f g)() = f() g() Untuk memahami sifat tersebut, pelajarilah contoh soal berikut ini. Diketahui f() = dan g() = +. Tentukan (f g)(). 80 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
(f g)() = f() g() = ( + ) = = 5. Perkalian f dan g berlaku (f g)() = f() g() Perhatikan contoh soal berikut ini untuk memahami fungsi tersebut. Diketahui f() = 5 dan g() = +. Tentukan (f g)(). (f g)() = f() g() =( 5)( + ) = + 5 5 = 4 5 f 4. Pembagian f dan g berlaku () g f( ) = g( ) Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini. f Diketahui f() = 4 dan g() = +. Tentukan ( ). g f f( ) ( ) g = g ( ) 4 ( )( + ) = = = + + C Fungsi Komposisi. Syarat dan turan Fungsi yang Dapat Dikomposisikan Jika diketahui = {a, a, a }, = {b, b, b, b 4 }, dan C = {c, c, c }, maka fungsi f : dan g : C didefinisikan seperti diagram berikut. a a a f b b b b 4 f(a ) = b f(a ) = b f(a ) = b b b b b 4 g c c c C g(b ) = c g(b ) = c g(b ) = c Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 8
Dari kedua diagram di atas, dapat diperoleh fungsi yang memetakan langsung dari ke C sebagai berikut. a a a f b b b b 4 Jika fungsi yang langsung memetakan ke C itu dianggap fungsi tunggal, maka diagramnya adalah sebagai berikut. a a a g g f (g f) Fungsi tunggal tersebut merupakan fungsi komposisi dan dilambangkan dengan g f dibaca fungsi g bundaran f. g f adalah fungsi komposisi dengan f dikerjakan lebih dahulu daripada g. Fungsi komposisi tersebut dapat ditulis: (g f)() = g(f()) (f g)() = f(g()) c c c C c c c C f(a ) = b dan g(b ) = c sehingga (g f) (a ) = c g(b ) = c dan g(b ) = c sehingga (g f) (a ) = c g(b ) = c dan g(b ) = c sehingga (g f) (a ) = c (g f) (a ) = c (g f) (a ) = c (g f) (a ) = c C f() g(f()) g f Sedangkan, untuk f g dibaca fungsi f bundaran g. Jadi, f g adalah fungsi komposisi dengan g dikerjakan lebih dahulu daripada f. C g() f(g()) f g 8 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
uatlah kelompok-kelompok di kelasmu, kemudian buktikan sifat-sifat komposisi fungsi berikut ini. Catat dan bacakan hasilnya di depan kelas. ila f, g, dan h suatu fungsi, maka: a. tidak berlaku sifat komutatif, yaitu f g g f; b. jika I fungsi identitas berlaku : I f = f I = f; c. berlaku sifat asosiatif, yaitu : f (g h) = (f g) h. Untuk lebih memahami tentang fungsi komposisi, pelajarilah contoh soal berikut ini.. Diketahui f() =, g() = +. a. Tentukan (g f)(). b. Tentukan (f g)(). c. pakah berlaku sifat komutatif: g f = f g? a. (g f)()= g(f()) = g( ) = ( ) + = 4 4 + + = 4 4 + b. (f g)() = f(g()) = f( + ) = ( + ) = 4 + 4 = 4 + c. Tidak berlaku sifat komutatif karena g f f g.. Diketahui f() =, g() =, dan h() = 5. a. Tentukan (f (g h))(). b. Tentukan ((f g) h)(). c. pakah f (g h) = (f g) h, mengapa? a. (f (g h))() =. Misal p() = (g h)() = g(h()) = g(5) = 5 Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 8
Soalnya menjadi (f (g h)()) = (f p)() = f(p()) = f(5 ) = (5 ) = 5 0 + 9 b. ((f g) h)() =. Misal s() = (f g)() = f(g()) = f( ) = ( ) Soalnya menjadi: ((f g) h)() = (s h)() = s(h()) = s(5) = (5 ) = 5 0 + 9 c. Ya, (f (g h))() = ((f g) h)() sebab berlaku sifat asosiatif.. Diketahui f() = 5 dan I() =. uktikan I f = f I = f. ukti (I f)() = I(f()) = I(5 ) = 5 (f I)() = f(i()) = f() = 5 Tampak bahwa I f = f I = f (terbukti). 6. Kerjakan soal-soal di bawah ini.. Diketahui f() = dan g() =. Tentukan: a. (f + g)() c. (f g)() b. (f g)() d. f ( ) g 84 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
. Diketahui f() = dan g() = + 4. Tentukan: a. (f + g)( ) c. (f g)( ) b. (f g)() d. f g (). Diketahui fungsi yang ditentukan oleh f() = +, g() =. Tentukan fungsi yang dinyatakan oleh f () + g () + (f + g)() + (g f)(). 4. Fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f() = dan g() = +. Tentukan: a. (f g)() c. (f f)() b. (g f)() d. (g g)() 5. Diketahui fungsi f() = + dan g() =. Tentukan: a. (f g)() c. (f f)() b. (g f)() d. (g g)() 6. Diketahui g() = + dan (g f)() = + 4 + 5. Tentukan f().. Nilai Fungsi Komposisi dan Komponen Pembentuknya Untuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini. a. Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan nilainya. b. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari. Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini. Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f() = dan g() = + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut. a. (g f)() b. (f g)( ) c. (g f)( ) Cara a. (g f)() = g(f()) = g( ) = ( ) + 4 = 9 6 + + 4 = 9 6 + 5 (g f)() = 9 6 + 5 = 9 6 + 5 = 8 Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 85
b. (f g)( ) = f(g()) = f( + 4) = ( + 4) = + = + (f g)( ) = ( ) + = 4 + = + = c. (g f)() = 9 6 + 5 (g f)( ) = 9( ) 6 ( ) + 5 = 8 + 8 + 5 = 04 Cara a. (g f)() = g(f()) = g( ) = g() = + 4 = 8 b. (f g) ( ) = f(g( )) = f(( ) + 4) = f(8) = 8 = c. (g f)( ) = g(f( )) = g( ( ) ) = g( 0) = ( 0) + 4 = 04 6. Kerjakan soal-soal di bawah ini di buku tugas.. Diketahui fungsi p dan q pada = {,, 4, 5, 6} ditulis sebagai fungsi berurutan sebagai berikut. p = {(, 4), (, 6), (4, 4), (5, ), (6, )} q = {(, 5), (, ), (4, ), (5, ), (6, 4)} a. Tentukan (p q)(), (p q)(), (p q)(4), (p q)(5), (p q)(6). b. Tentukan (q p)(), (q p)(), (q p)(4), (q p)(5), (q p)(6). c. uktikan (p q) (q p)(). 86 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f() = dan g() = + 4. Tentukan nilai fungsi komposisi berikut ini. a. (f g)( ) c. (f f)( ) b. (g f)() d. (g g)(). Diketahui f : R R dan g : R R ditentukan oleh f() = + dan g() =. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi-fungsi berikut ini, tentukan nilai: a. (f g)( ) c. (g f)( ) b. (f g)() d. (g f)() 4. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R ditentukan oleh f() = dan g() =. Tentukan nilai : a. jika (f g)() = c. (g f)() = 5 b. jika (f g)() = 4 d. (g f)() = D Fungsi Invers. Menjelaskan Syarat agar Suatu Fungsi Mempunyai Invers Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Perhatikanlah gambar di bawah ini. (i) a a a a 4 f b b b (ii) g = f - a a a a 4 Dari gambar (i), himpunan yang beranggotakan (a, a, a, a 4 ) diperakan oleh fungsi f ke himpunan yang beranggotakan (b, b, b ) daerah hasil adalah: {(a, b ), (a, b ), (a, b ), (a 4, b 4 )}. Pada gambar (ii) himpunan dipetakan oleh fungsi g ke himpunan daerah hasil adalah: {(b, a ), (b, a ), (b, a 4 ), (b, a )}. Pemetaan g : diperoleh dengan cara menukarkan atau membalik pasangan terurut f : atau merupakan balikan dari f dinotasikan g = f -, sering disebut g merupakan invers dari f. Ingat!! Jika fungsi f = dinyatakan dengan pasangan terurut f = {(a, b) a dan b } maka invers fungsi f adalah f - = b ditentukan oleh f - = {(b, a) b, dan a }. b b b Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 87
. Menentukan turan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari ke, maka f merupakan fungsi invers f jika berlaku (f f)() = dan (f f )() =. Perhatikanlah gambar di bawah ini. a b b a a b b a a b b a fungsi f fungsi invers f Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini. a. uatlah permisalan f() = y pada persamaan. b. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f() = y, sehingga ditemukan fungsi dalam y dan nyatakanlah = f(y). c. Gantilah y dengan, sehingga f(y) = f (). Untuk lebih memahami tentang fungsi invers, pelajarilah contoh soal berikut ini.. Jika diketahui f() =,, tentukan inversnya. + Misal f() = y, maka soalnya menjadi: y f() = = + y y = + y f(y) = y( + ) = y y + y = y = y f () = (y ) = y. Diketahui f : R R dengan ketentuan f() = + 8. a. Tentukan f (). b. Tentukan (f f)(). c. Tentukan (f f )(). d. uktikan bahwa (f f)() = (f f )(). 88 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
a. Misalnya f() = y f() = + 8 y = + 8 y 8 = = y 8 = y 8 = y 8 = y f(y) = y f () = b. (f f)() = f (f()) = f ( + 8) = ( + 8) = 8 + = c. (f f )() = f(f ()) = f = + 8 = 8 + 8 = d. Dari jawaban b dan c terbukti (f f)() = (f f )() =. 6.4 Kerjakan soal-soal di bawah ini.. Jika fungsi f mempunyai invers, tentukanlah rumus untuk fungsi f dari: a. f() = c. f() = b. f() = + 5 d. f() = + 4. Jika f dan g suatu fungsi yang dinyatakan oleh f() = + dan g() = 7, tentukan: a. f () c. (f f) () b. g () d. (g g )() Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 89
. Jika f suatu fungsi yang dinyatakan oleh f() =, tentukanlah: a. f () b. (f f )() c. (f f )() 4. Jika f dan g suatu fungsi yang dinyatakan oleh f() = dan g() = + 4, tentukanlah: a. f () b. g () c. (f f )() d. (g g )(). Menggambar Grafik Fungsi Invers dari Grafik Fungsi salnya Untuk menggambarkan grafik f dan f, perhatikanlah diagram di samping. Dari diagram di = f(y) f samping dapat diketahui jika y = f() maka = f(y). Demikian pula, jika = f(y) maka y = f(). Dengan demikian dapat dikatakan bahwa fungsi yang f y = f() memetakan ke bersifat bijektif dan mempunyai fungsi invers. Fungsi-fungsi lain selain fungsi bijektif tidak memiliki fungsi invers. Jadi, hanya fungsi bijektif yang mempunyai fungsi invers. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah contoh soal berikut ini. Diketahui f() = +. Gambarlah grafik f() dan f (). f() = + Grafik: y = + = y f(y) = y f () = 0 Y f () = + f () = X 4. Kaitan Sifat Fungsi Invers dengan Fungsi Komposisi Jika terdapat fungsi komposisi (g f), maka (g f) dapat dipandang sebagai suatu fungsi tunggal, sehingga pada fungsi tersebut dapat dicari inversnya. 90 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
Perhatikan diagram berikut. h = g o f C f g f () y = g(( f )) f - g - h = ( g o f) = f o g - - - - Dari gambar diagram di atas f :, g : C, dengan f dan g berkorespondensi satu-satu sedermikian sehingga h = g f, maka h = f g. Dalam hal ini (g f) = h = disebut fungsi invers dari fungsi komposisi, sehingga diperoleh sifatsifat berikut ini. (g f) () = (f g )() (f g) () = (g f )() Pelajarilah contoh soal berikut ini agar kamu lebih memahami fugnsi invers dari fungsi komposisi.. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R dengan ketentuan f() = 6, g() = +. Tentukan: a. f () c. (g f) () b. g () d. (g f) () a. f() = 6 c. (g f)() = g(f() misal y = f() = g ( 6) f() = 6 = 6 + y = 6 = y + 6 = y + 6 misal y = (g f)() = (g f)() = + 6 y = Jadi f () = y + = b. g() = + y + misal y = g() = g() = + y + = y = + y = + Jadi (g f) () = = y Jadi g () = Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 9
d. (f g)() = f(g() = f( + ) = ( + ) 6 = + 6 6 = misal y = (f g)() (f g)() = y = y = Jadi (f g) () =.. Diketahui fungsi f : R R dan g : R R dengan ketentuan f() = dan g() = + 4. Tentukan: a. f () c. (f g )() b. g ( ) d. (g f )() a. f() = c. (f g )() = f (g ()) misal y = f() 4 f() = = f y = 4 = y + = + Jadi f () = + f () = + = 5 b. g() = + 4 misal y = g() g() = + 4 y = + 4 y 4 = y 4 = Jadi g () = g ( ) = 4 4 = = = 4 + 6 = + d. (g f )() = g (f ()) = g ( + ) = ( + ) 4 = + 4 = = + 6.5 Kerjakan soal-soal di bawah ini dengan benar.. Gambarlah grafik f() dan inversnya jika diketahui: b. f() = + d. f() = c. f() = e. f() = 4 9 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
. Diketahui f : R R dan g : R R ditentukan oleh f() = 7 dan g() = +. Tentukan: a. (g f) () c. (g f )() b. (f g) () d. (f g )(). Tentukan f () dari: a. f() = + 5 b. f() = + + c. f() = 5 d. f() = + 4 4. Diketahui f() =, g() = + 5, dan h() =. Tentukan: a. f (); g (); dan h () c. (g f) () dan (f g) () b. f ( ); g (6); dan h (7) d. (f h) () dan (g h) () 5. Tentukan g () jika diketahui: a. f() = + dan (f g)() = + 5 b. f() = dan (f g)() = + c. f() = + 5 dan (f g)() = + 6 d. f() = + dan (f g)() = f (). Relasi a. Fungsi adalah relasi dua himpunan dan yang memasangkan setiap anggota pada himpunan dengan tepat satu anggota himpunan. Jadi, fungsi merupakan relasi khusus artinya tidak semua relasi merupakan fungsi. b. Macam-macam fungsi ) Fungsi konstan (fungsi tetap) didefinisikan dengan f : C atau f() = C, di mana C konstan. ) Fungsi linear adalah fungsi yang variabelnya berpangkat satu. ) Fungsi kuadrat adalah fungsi yang variabelnya berpangkat dua. 4) Suatu fungsi disebut fungsi identitas apabila setiap anggota dari daerah asal dipetakan pada dirinya. 5) Fungsi tangga adalah fungsi f yang memasangkan anggota bentuk interval pada daerah asal ke beberapa anggota yang tetap pada daerah kawan. 6) Fungsi modulus (mutlak) adalah fungsi yang memasangkan setiap bilangan real pada daerah asal ke unsur harga mutlaknya. Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 9
7) Fungsi ganjil dan fungsi genap a) Fungsi ganjil apabila f( ) = f(). b) Fungsi genap apabila f( ) = f(). Jika f( ) f() dan f( ) f() disebut fungsi tidak genap dan tidak ganjil. c. Sifat-sifat fungsi ) Fungsi injektif (satu-satu). ) Fungsi surjektif (onto). ) Fungsi bijektif (korespondensi satu-satu). ljabar fungsi a. Penjumlahan f dan g didefinisikan (f + g) () = f() + g(). b. Pengurangan f dan g didefinisikan (f g)() = f() g(). c. Perkalian f dan g didefinisikan (f g)() = f() g(). ( ) d. Pembagian f dan g didefinisikan f f ( ) g =. g( ). Fungsi komposisi Komposisi fungsi adalah penggolongan beberapa fungsi menjadi sebuah fungsi. 4. Fungsi invers dari fungsi komposisi ila suatu fungsi h : C ditentukan oleh h = g f dengan f : dan g : C maka fungsi invers dari fungsi komposisi adalah h = (g f). I Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat.. ila f() = 6, maka f( + ) =. a. 6 d. + b. 6 4 e. c. 6 4. Diketahui f() = 6 dan g() = + a. ila (f g)() = (g f)() maka a =. a. 5 b. c. d. 5 e. 6. ila f() = dan g() =, maka (f g)() =. a. b. 8 c. 4 d. 4 e. 46 94 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP
4. Jika diketahui f() = +, maka f (4) adalah a. b. c. 0 d. e. 5. Jika diketahui g() = dan (f g)() = 4 +, maka fungsi f() =. a. d. b. + e. + c. + 6. Jika f : R R dan g : R R dengan f() = dan g() = +, maka f(g()) =. a. b. 5 c. 7 d. 49 e. 8 7. Jika f() = dan (f g)() = +, maka g() adalah. a. b. 4 c. 6 d. 7 e. 9 8. Jika f() = maka f () adalah. a. b. + c. d. + e. 9. Misalkan f() = + untuk 0 dan g() = 5 untuk 0. Dengan demikian (f g )() = untuk =. a. b. c. 5 d. 8 e. 0 0. Jika f () = dan g () =, maka (f 5 g) (6) =. a. b. c. 6 d. 6 e. 0. Jika diketahui f() = dan g() = + 4, maka (g f) () adalah. a. 4 b. c. d. 4 e. 7. Diketahui f() = +, g() = +, dan h() =. ila (f g h) () =, maka nilai adalah.. a. 5 b. c. d. e. 5. Jika diketahui fungsi f() = 5 +, dan g() = + maka (f g)() adalah. 6 5 a. 6, 5 d. 6, 6 6 + 5 b. 6, + 5 e. 6, 6 + 5 c. 6 +, 6 Komposisi Fungsi dan Invers Fungsi 95
4. Jika fungsi f : R R dan g : R R dirumuskan dengan f() = g() = +, maka (g(f()) =. a. b. + + c. d. 4 5. Jika f() = dan g() =, maka (f g) () =. e. + ; 0 dan 4 a. b. c. d. + e. II. Kerjakan soal-soal berikut ini dengan benar.. Perhatikan relasi-relasi yang ditunjukkan dengan diagram panah di bawah ini. 4 (a) a. Manakah yang merupakan fungsi? b. Jika relasi merupakan fungsi, tentukanlah domain, kodomain, dan rangenya.. Diketahui f() = + dan g() =. Tentukan: a. (f + g)() c. (f g)() b. (f g)() d. f g (). Diketahui f : R R; g : R R dengan f() = + dan g() = +. Tentukan: a. (g f)() c. (g f)() b. (f g)() d. (f g)( ) 4. Tentukan fungsi invers dari fungsi di bawah ini. a. f() = + 0 b. f() = ( ) c. f() = 4 + 4 d. f() = a b c d 4 5 6 +, 6 5. Diketahui f() = dan g() = + 5. Tentukan: a. (f g) () c. (f g) () b. (g f) () d. (g f) ( ) (b) a b c d 4 (c) a b c d 4 (d) a b c d 96 Matematika SM dan M Kelas XI Program IP