III. DISTRIBUSI FREKUENSI 3.1 Pendahuluan Tujuan dari pembuatan tabel distribusi frekuensi adalah untuk mengatur data mentah (data yang belum dikelompokkan) ke dalam bentuk yang rapi tanpa mengurangi inti informasi yang ada. Pembuatan tabel distribusi frekuensi dapat dimulai dengan menyusun data mentah ke dalam urutan yang sistematis (dari nilai terkecil ke nilai yang lebih besar atau sebaliknya) atau lebih sering disebut data terurut. Keuntungan dari pengurutan data mentah ke dalam urutan data yang sistematis, diantaranya 1. Dapat melihat jarak antara nilai terkecil dan terbesar dari kumpulan data tersebut. 2. Dapat mengetahui distribusi data. 3. Dapat mengetahui di sekitar mana data terkonsentrasi. Untuk mendapatkan distribusi frekuensi, kumpulan array data dikumpulkan ke dalam sejumlah kelas (kelompok) yang relatif sedikit, sehingga distribusi frekuensi adalah suatu pengelompokkan data berdasarkan pada kemiripan ciri. 3.2 Penyusunan Distribusi Frekuensi Beberapa Istilah Sebelum membuat tabel distribusi terlebih dahulu akan diperkenalkan istilah yang digunakan dalam sebuah tabel distribusi frekuensi. Tabel 3.1 Nilai Ujian Statistik Untuk 50 Mahasiswa Politeknik Nilai Ujian Frekuensi (f) Batas Kelas Titik Tengah Kelas 50 59 8 49,5-59,5 54.5 60 69 10 59,5-69,5 64.5 70 79 13 69,5-79,5 74,5 80 89 10 79,5-89,5 84,5 90 99 9 89,5-99,5 94,5 Jumlah 50 Dari tabel 3.1 dapat dilihat bahwa : «Kelas Interval - Nilai Ujian 50 59, 60 69,..dst disebut kelas interval. - Dalam daftar distribusi frekuensi, data dibuat menjadi beberapa kelompok dalam interval-interval tertentu. Urutan kelas interval disusun mulai dari data terkecil sampai dengan data terbesar atau sebaliknya. - Urutan kelas interval 50 59 disebut kelas interval pertama, 60 69 disebut kelas interval kedua,..., 90 99 disebut kelas interval kelima/terakhir. «Ujung Kelas Interval - Nilai-nilai di kiri kelas interval (50,60,70,80 dan 90) disebut ujung bawah kelas (UBK). - Nilai 50 disebut ujung bawah kelas pertama, nilai 60 disebut ujung bawah kelas kedua,..., 90 disebut ujung bawah kelas kelima/terakhir. - Nilai-nilai di kanan kelas interval (59,69,79,89 dan 99) disebut ujung atas kelas (UAK). - Nilai 59 disebut ujung atas kelas pertama, nilai 69 disebut ujung atas kelas kedua,..., nilai 99 disebut ujung kelas kelima/terakhir. - Perbedaan antara ujung bawah kelas dengan ujung atas kelas sebelumnya adalah satu jika data dicatat hingga satuan, sepersepuluh jika data dicatat hingga satu desimal, seperseratus jika data dicatat hingga dua desimal, dst. Prodi : AKE dan KAT 10
«Panjang Kelas Interval (p) Selisih positif antara tiap dua ujung bawah kelas berurutan disebut panjang kelas interval. Dari tabel diperoleh panjang kelas interval = 60 50 = 70 60 =...= 90 80 =10. «Frekuensi (f) - Bilangan yang menunjukkan banyaknya data yang terdapat dalam setiap kelas interval disebut frekuensi. - Nilai f = 8, artinya jumlah mahasiswa yang nilai ujian statistiknya antara 50 59 ada 8 orang. Jumlah seluruh frekuensi sama dengan jumlah seluruh data (N). «Batas Kelas Interval - Nilai 49,5, 59,5,..., 89,5 disebut batas bawah kelas (BBK). Nilainya bergantung pada ketelitian data yang digunakan. Jika data dicatat hingga satuan BBK = UBK 0,5. Jika data dicatat hingga satu desimal BBK = UBK 0, 05...dst. - Nilai 59,5, 69,5,..., 99,5 disebut batas atas kelas (BAK). Nilainya bergantung pada ketelitian data yang digunakan. Jika data dicatat hingga satuan BAK = UAK + 0,5. Jika data dicatat hingga satu desimal BAK = UAK + 0, 05...dst. - Nilai batas bawah kelas berikutnya sama dengan nilai batas atas kelas sebelumnya. «Titik Tengah Kelas (m) - Nilai 54,5, 64,5,..., 94,5 disebut titik tengah kelas - Titik tengah kelas/tanda kelas adalah suatu nilai yang diambil sebagai wakil dari kelas itu, yakni rata-rata setiap kelas interval. UBK UAK BBK BAK - Titik Tengah Kelas (3.1) 2 2 50 59 - Untuk kelas interval pertama, Titik Tengah Kelas 54, 5...dst 2 Langkah-langkah Membuat Daftar Distribusi Frekuensi Berikut adalah langkah-langkah untuk membuat Daftar Distribusi Frekuensi : 1. Tentukan nilai dari data terkecil, data terbesar, dan banyak data. 2. Tentukan Rentang/Range, yaitu nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil. Rentang = Data Terbesar Data Terkecil (3.2) 3. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan. Pada umumnya, banyak kelas interval ini antara 5 sampai 15 kelas, dipilih sesuai keperluan. Namun yang ideal, banyak kelas interval dapat dihitung dengan menggunakan aturan Sturges, yaitu : Banyak Kelas = 1 + 3,3 log N ; dengan N menyatakan banyak data (3.3) 4. Tentukan panjang kelas interval (p). p rentang banyak kelas (3.4) 5. Tentukan ujung bawah kelas interval pertama. Biasanya diambil data terkecil atau nilai yang lebih kecil dari data terkecil, akan tetapi selisihnya harus kurang dari panjang kelas interval yang telah didapat. 6. Selanjutnya kelas interval pertama dihitung dengan cara menjumlahkan ujung bawah kelas dengan p dikurangi 1. Demikian seterusnya. 7. Nilai f dihitung dengan menggunakan tabel penolong sebagai berikut. Prodi : AKE dan KAT 11
Tabel 3.2 Tabel Penolong Kelas Interval Tabulasi Frekuensi 8. Buat Tabel Distribusi Frekuensi Tabel 3.3 Distribusi Frekuensi Kelas Interval Frekuensi Contoh 3.1 Buatlah daftar distribusi frekuensi dari data pengeluaran per hari (ribu rupiah) untuk 30 keluarga di suatu daerah berikut ini : Data Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 30 Keluarga 50 67 70 74 60 70 60 69 71 72 65 72 72 75 78 85 75 80 63 71 56 58 58 73 69 76 64 65 65 85 Jawab : Catatan : Data Rekaan 1. Tentukan nilai dari data terkecil, data terbesar, dan banyak data. Data terkecil (DK) = 50 Data terbesar (DB) = 85 Banyak data (N) = 30 2. Tentukan rentang, yaitu nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil. Rentang = DB DK = 85 50 = 35 3. Tentukan banyak kelas interval yang diperlukan. Dengan menggunakan aturan Sturges : Banyak kelas = 1 + 3,3 log N = 1 + 3,3 log (30) = 5,87 ~ 6 kelas 4. Tentukan panjang kelas interval (p). rentang p = 35 / 6 = 5,83 ~ 6 banyak kelas 5. Tentukan ujung bawah kelas interval pertama. UBK Pertama = 50 6. Selanjutnya kelas interval pertama dihitung dengan cara menjumlahkan ujung bawah kelas dengan p dikurangi 1. Kelas Interval = UBK + P 1 Prodi : AKE dan KAT 12
Kelas ke : 1. 50 + 6 1 = 55 50 55 2. 56 61 3. 62 67 4. 68 73 5. 74 79 6. 80 85 7. Buat Tabel Penolong Tabel 3.4 Tabel Penolong Kelas ke- Kelas Interval Tabulasi Frekuensi 1. 50 55 I 1 2. 56 61 IIIII 5 3. 62 67 IIIII I 6 4. 68 73 IIIII IIIII 10 5. 74 79 IIIII 5 6. 80 85 III 3 Jumlah 30 8. Sehingga Daftar Distribusi Frekuensinya adalah Tabel 3.5 Distribusi Frekuensi Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 30 Keluarga Pengeluaran Frekuensi 50 55 1 56 61 5 62 67 6 68 73 10 74 79 5 80 85 3 Jumlah 30 Catatan : Sedapat mungkin hindari kelas terbuka. Meskipun kelas terbuka diperlukan jika ada beberapa nilai yang sangat besar atau sangat kecil dibandingkan nilai-nilai lain yang ada disekitar pemusatan, sebaiknya kelas terbuka jarang digunakan sebab akan menimbulkan persoalan dalam penyajian grafik dan kesulitan perhitungan ukuranukuran statistik deskriptif yang penting lainnya, seperti rata-rata hitung, deviasi, dll. Contoh 3.2 Berikut adalah contoh daftar distribusi frekuensi dengan kelas terbuka, mengenai banyak penduduk di daerah A menurut kelompok umur (dalam tahun). Tabel 3.6 Distribusi Frekuensi Banyak penduduk di daerah A menurut kelompok umur (dalam tahun) Umur (tahun) Frekuensi Kurang dari 16 550 16 20 700 20 30 850 30 40 600 40 dan lebih 400 Jumlah 3100 Catatan : Jika terdapat pemusatan data mentah di sekitar nilai tertentu, hendaknya dalam penyusunan distribusi, titik konsentrasi jatuh pada titik tengah dari suatu kelas interval. Prodi : AKE dan KAT 13
3.3 Distribusi Frekuensi Relatif Dalam daftar distribusi frekuensi yang dibuat, frekuensi dinyatakan dengan banyaknya data yang terdapat dalam tiap kelas (berbentuk absolut). Jika frekuensi tersebut dinyatakan dalam bentuk persen, maka akan diperoleh daftar distribusi frekuensi relatif. Jadi distribusi frekuensi relatif disusun melalui pembagian masing-masing frekuensi kelas dengan seluruh frekuensi dan dinyatakan dalam persen. Distribusi frekuensi relatif terutama berguna dalam membandingkan beberapa distribusi yang memiliki jumlah frekuensi yang berbeda. Untuk mendapatkan nilai f (%) /frekuensi relatif dihitung dengan rumus berikut : f (absolut) kelas ke - i f (%) kelas ke - i x100% (3.5) N Contoh 3.3 (Berdasarkan Contoh 3.1) Buatlah daftar distribusi frekuensi relatif dari data Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 30 Keluarga, berdasarkan daftar distribusi frekuensi yang diperoleh sebelumnya. Jawab : Tabel 3.7 Distribusi Frekuensi dan Distribusi Frekuensi Relatif Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 30 Keluarga Pengeluaran Frekuensi Frekuensi Relatif (%) 50-55 1 (1/30) x 100 = 3,33 56-61 5 (5/30) x 100 = 16,67 62-67 6 20,00 68-73 10 33,33 74-79 5 16,67 80-85 3 10,00 Jumlah 30 100,00 3.4 Distribusi Frekuensi Kumulatif Daftar distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi biasa yang nilai frekuensi kumulatifnya didapat dengan jalan menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Daftar distribusi frekuensi kumulatif ada 2 macam, yaitu kumulatif kurang dari (<) dan kumulatif atau lebih ( ). Contoh 3.4 (Berdasarkan Contoh 3.3) Buatlah daftar distribusi kumulatif kurang dari dan daftar distribusi kumulatif atau lebih dari data Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 30 Keluarga. Jawab : Perhatikan Tabel 3.7! «Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari < - Diperoleh dengan cara menjumlahkan frekuensi setiap kelas. - Kelas pertama selalu bernilai 0 (nol). - Kelas terakhir selalu bernilai sama dengan banyak data. Frek. Absolut Frek. Relatif Pengeluaran F. Kum F. Kum < 50 0 0 < 56 0 + 1 = 1 0 + 3,33 = 3,33 < 62 1 + 5 = 6 3,33 + 16,67 = 20 < 68 6 + 6 = 12 20 + 20 = 40 < 74 12 + 10 = 22 40 + 33,33 = 73,33 < 80 22 + 5 = 27 73,33 + 16,67 = 90 < 86 27 + 3 = 30 90 + 10 = 100 Prodi : AKE dan KAT 14
Tabel 3.8 Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Pengeluaran Fkum Fkum (%) < 50 0 0 < 56 1 3,33 < 62 6 20 < 68 12 40 < 74 22 73,33 < 80 27 90 < 86 30 100 «Distribusi frekuensi kumulatif atau lebih - Diperoleh dengan cara mengurangkan frekuensi setiap kelas. - Kelas pertama selalu bernilai sama dengan banyak data. - Kelas terakhir selalu bernilai 0 (nol). Frek. Absolut Frek. Relatif Pengeluaran F. Kum F. Kum 50 30 100 56 30 1 = 29 100 3,33 = 96,67 62 29 5 = 24 96,67 16,67 = 80 68 24 6 = 18 80 20 = 60 74 18 10 = 8 60 33,33 = 26,67 80 8 5 = 3 26,67 16,67 = 10 86 3 3 = 0 10 10 = 0 Tabel 3.9 Distribusi Frekuensi Kumulatif Atau Lebih Pengeluaran Fkum Fkum (%) 50 30 100 56 29 96,67 62 24 80 68 18 60 74 8 26,67 80 3 10 86 0 0 3.5 Penyajian Distribusi Frekuensi Dengan Grafik Pola data yang disajikan dalam diagram/grafik dapat lebih mudah ditangkap maknanya dibandingkan dengan memperhatikan tabel frekuensi. Dua bentuk penyajian grafik dari seperangkat data yang disajikan dalam daftar distribusi frekuensi adalah Histogram dan Poligon Frekuensi. Histogram Histogram adalah penyajian data distribusi frekuensi yang diubah menjadi diagram batang, namun sisi-sisi batang yang berdekatan harus berimpitan. Untuk menggambarkan histogram digunakan sumbu mendatar yang menyatakan batas-batas kelas interval dan sumbu tegak menyatakan frekuensi absolut atau frekuensi relatif. Poligon Frekuensi Polygon frekuensi adalah diagram garis dari suatu distribusi frekuensi. Polygon frekuensi diperoleh dengan menghubungkan titik-titik yang merupakan pasangan koordinat titik tengah dan frekuensi setiap kelas. Titik tengah kelas diperoleh dengan membagi dua jumlah antara batas bawah dan batas atas kelas itu atau dengan menggunakan rumus (3.1). Prodi : AKE dan KAT 15
Contoh 3.5 (Berdasarkan Contoh 3.1) Gambarkan histogram dan poligon dari data Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 30 Keluarga. Jawab : Untuk menggambarkan histogram dan poligon maka diperlukan batas-batas kelas dan titik tengah kelas. Pengeluaran Frekuensi Batas Kelas Titik Tengah Kelas 50 55 1 49,5 55,5 (50+55) / 2 = 52,5 56 61 5 55,5 61,5 (56+61) / 2 = 58,5 62 67 6 61,5 67,5 64,5 68 73 10 67,5 73,5 70,5 74 79 5 73,5 79,5 76,5 80 85 3 79,5 85,5 82,5 Jumlah 30 - - Gambar 3.1 Histogram dan Poligon Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 30 Keluarga Frekuensi Batas Kelas Ogive Ogive merupakan penyajian secara grafis dari suatu distribusi frekuensi kumulatif (berupa diagram garis). Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari mempunyai ogive yang naik dari kiri bawah ke kanan atas, sedangkan distribusi frekuensi kumulatif atau lebih mempunyai ogive yang turun dari kiri atas ke kanan bawah. Contoh 3.6 (Berdasarkan Contoh 3.4) Gambarkan ogive dari data pendapatan (juta rupiah) untuk 30 toko komputer. Jawab : Perhatikan kembali Tabel 3.8 dan 3.9! Gambar 2 Ogive Distribusi Kumulatif kurang dari dan Ogive Distribusi Kumulatif atau lebih Untuk Pengeluaran Per Hari (Ribu Rupiah) Untuk 30 Keluarga Frek.kumulatif Ujung Bawah Kelas (Pengeluaran) Prodi : AKE dan KAT 16
Kurva Frekuensi Jika garis patah-patah yang terbentuk dari poligon frekuensi didekati oleh sebuah lengkungan halus yang bentuknya secocok mungkin dengan poligon tersebut, akan diperoleh sebuah kurva frekuensi. Kurva ini dapat mencerminkan/menjelaskan secara umum ciri-ciri dari populasi data. Jenis-jenis kurva ferkuensi Kurva distribusi frekuensi yang telah dihaluskan dan yang sering dijumpai dalam praktek mempunyai bentuk dengan ciri-ciri tertentu seperti berikut: 1. Model Normal, selalu simetrik dan mempunyai satu puncak/modus (unimodal). 2. Model Simetrik, unimodal. Perhatikan bahwa model normal itu selalu simetrik, namun tidak berlaku sebaliknya (simetrik belum tentu normal). Gambar 3.3 Model Normal Gambar 3.4 Model Simetrik 3. Model Tidak Simetris secara moderat atau model condong/miring dengan ciri bahwa ekor kurva yang satu lebih panjang dari ekor kurva yang lainnya. Model miring ada 2 yakni miring positif dan miring negatif. Gambar 3.5 Model Miring Positif Gambar 3.6 Model Miring Negatif 4. Bentuk J atau J terbalik, dengan ciri bahwa salah satu nilai ujung kurva mempunyai frekuensi maksimum Gambar 3.7 Bentuk J Gambar 3.8 Bentuk J Terbalik 5. Bentuk U dengan ciri bahwa kedua ujung kurva mempunyai frekuensi maksimum. Gambar 3.9 Bentuk U 6. Model Bimodal, bila kurva mempunyai dua nilai maksimum/2 modus, dan multimodal bila mempunyai lebih dari dua nilai maksimum. Gambar 3.10 Model Bimodal Gambar 3.11 Model Multimodal 7. Model Uniform, jika nilai-nilai variabel dalam suatu interval mempunyai frekuensi sama. Gambar 3.12 Model Uniform Prodi : AKE dan KAT 17