Sistem Persmn Liner Muhtdin, ST. MT. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Persmn Aljbr Liner Simultn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 9
Menyelesikn SPL sederhn Grphicl Method dri kedu persmn tersebut dpt dicri nili : Sehingg diperoleh gris lurus dengn fungsi berdsrkn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Menyelesikn SPL sederhn - Contoh Permslhn : Gunkn metode grfik untuk menyelesikn persmn dengn menggunkn sebgi bsis, dicri dengn dn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Menyelesikn SPL sederhn - Contoh dn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Penggunn Mtriks untuk Sistem Persmn Liner Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Contoh Persmn 8 z y z y z y Untuk memudhkn dlm pemrogrmn, gunkn indeks, sehingg dpt ditulis ulng : 8
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Menggunkn Mtriks = 8 Dlm Bentuk Mtriks :
Eleminsi Guss Memerlukn du Thp : Forwrd elimintion, untuk mengurngi mtriks sedemikin hingg hny segitig bgin ts dlh ngk yng tidk sm & digonl tidk nol Bck substitution untuk menemukn bgin yng belum dikethui Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Thp Eleminsi elemen bris mtriks dengn menglikn menggunkn scling fctor dn menmbhkn ke bris yng lin, dilkukn pd LHS dn RHS Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Thp Jik menyelesikn persmn sederhn menggunkn perhitung dpt memilih bris sesuk kit. Dengn menggunkn pemrogrmn, hrus sistemtik Artiny, kit hrus menginstruksikn komputer untuk melkukn perhitungn dengn urutn yng jels Oleh kren itu, kit menggunkn bris (R) sebgi pivot eqution untuk membut nol pd sis elemen Kolom (C) Menggunkn R s pivot eqution untuk membut nol pd sis elemen Kolom (C) Dst.. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Contoh 8 4 8 R (/) *R pivot eqution pivot element R R R R R R Perthtikn bhw biru untuk pivot element dn merh untuk pivot eqution. (R dlh bris yng kit rubh)
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin R - (/)*R 4 8 4 8 R R R R R R (R dlh bris yng kit rubh)
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin R - (-/-)*R. 4 6.6 8 4 8 new pivot element new pivot eqution R R R R R R (R dlh bris yng kit rubh)
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Hsil Akhir Thp : Diselesikn dengn menggunkn bck substitution. 4 6.6 8 = -. = -6.6 -> = - + ( -4 * ) = - -> = + (*) + () = 8 -> =
Problems Permslhn muncul ketik pivot dlh nol DIVISION BY ZERO Solusi : Mengubh urutn bris Muncul error dri pembultn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Cttn Eleminsi Guss Dpt menyelesikn Sistem Persmn Liner, Nmun proses bck substitution msih memerlukn ketelitin Kit dpt menyelesikn permslhn dengn lebih mudh menggunkn eleminsi lnjutn untuk mengurngi koefisien mtriks menggunkn identity mtri Metode ini disebut : Guss-Jordn Elimintion Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Contoh Ksus The upwrd velocity of rocket is given t three different times Time, t s Velocity, v m/s 6.8 8 77. 79. The velocity dt is pproimted by polynomil s: v t t t, t. Find: The Velocity t t=6,7.,9, nd seconds.
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Emple: Rocket Velocity Assume. t, t t t v v v v t t t t t t Results in mtri templte of the form: Using dte from the time / velocity tble, the mtri becomes: 79. 77. 6.8 44 8 64
Emple: Rocket Velocity Yields Forwrd Elimintion: Step Row Row (64 ) 44 4.8.6 6.8 96. 79. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Emple: Rocket Velocity Yields Forwrd Elimintion: Step Row Row (44 ) 4.8 6.8.6 4.76 6.8 96. 6. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Emple: Rocket Velocity Forwrd Elimintion: Step Row Row ( 6.8) 4.8 Yields 4.8.6.7 6.8 96..7 This is now redy for Bck Substitution Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Emple: Rocket Velocity Bck Substitution: Solve for using the third eqution.7.7. 7. 7. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Emple: Rocket Velocity Bck Substitution: Solve for using the second eqution 4.8.6 96. 96..6 4.8 9.7-96. 6.. -48. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Emple: Rocket Velocity Bck Substitution: Solve for using the first eqution 6.8 6.8 6.8 9.7.9. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Emple: Rocket Velocity Solution: The solution vector is.9 9.7. The polynomil tht psses through the three dt points is then: v t t t.9 t 9.7t., t Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Emple: Rocket Velocity v v Solution: Substitute ech vlue of t to find the corresponding velocity 6.96 9.76 9.69 m / s. 9.99 9.79.8 m / s.. v. 7..97. 9.77. 6.m / s..9 9.7 v.8 m / s... Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Permslhn yng muncul pd Eleminsi Guss Permslhn utm pd Eleminsi guss dlh : Pembgin dengn Error kibt Pembultn yng besr Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 6 Pembgin dengn nol 9 6 7 9 6 7
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 7 Pembgin dengn Nol 8 4 4 6 7 8 4 4 6 7 6. 9 6. 7
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Dri persmn SPL berikut : Nili Ectny : 8 Error kibt pembultn yng besr 9.7 4 7.49
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Dri persmn SPL berikut : Hsil dri eleminsi guss : Dengn Pembultn 6 Digit Dengn pembultn Digit 9 Error kibt pembultn yng besr 9.7 4 7.49.99999..96.9999..6
Solusi Menmbh digit significn Mengurngi besrny error Tetp memiliki kemungkinn pembgin dengn Nol Prtil Pivoting Menghindri Pembgin dengn Nol Mengurngi glt kibt pembultn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 4
Prtil Pivoting Disetip wl itersi ke k pd eleminsi mju, tentukn nili mksimum,., kk, k, k nk Jik nili mksimumny dlh pk Pd bris p, dimn k p n, Tukr bris p dengn k. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 4
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Contoh dri persmn berikut : Bris mn yng ditukr? 4 Contoh prtil pivoting 9 8 6 4 7 8 6 9 4 6 7 6.7. 4 6 4
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 4 Contoh prtil pivoting 6 9 8 6 7 8 6 9 4 4 7 6.7. 4 6 4
Kemungkinn Solusi SPL Mempunyi solusi yng unik, Mempunyi bnyk solusi Tidk d solusi sm sekli. Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 44
Kemungkinn Solusi SPL Rinldi Munir, 7 Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 4
Kemungkinn Solusi SPL Rinldi Munir, 7 Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 46
Eleminsi Guss Jordn Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 47
Bckground Rngkumn Gussin Elimintion Dpt menyelesikn / memberikn solusi dri sistem persmn liner Nmun msih memerlukn bck substitution Dpt digntikn dengn menggunkn elminsi lnjutn untuk menghsilkn menemukn koefisien mtriks Mtriks Identits Metode tersebut dinmkn : Guss-Jordn Elimintion Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 48
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 49 Hsil Akhir yng Dihrpkn = c b Didptkn vector hsil berup yng merupkn solusi SPL! c b
Guss-Jordn Elimintion 8 7 7 6 4 z y z y z y Mislkn dikethui sebuh sistem persmn liner : Augmented mtriks dri persmn tersebut dlh : 8 7 7 6 4
Guss-Jordn Elimintion 8 7 7 6 4 8 7 7 6 4 z y z y z y Lngkh : Eleminsi koef. pd persmn dn.. 6 4. 6 4. 6 4. 6 4 z y z y z y
Guss-Jordn Elimintion Lngkh : Eleminsi koef. y pd persmn ketig. 4 6 4. 6 68 67 R +R R 4y 68z z y 4.z 67 6 6 Lngkh :.R R -R R. 4. 8 6 4 (/68)R R y.z 8 y 4.z 6 z 4
Guss-Jordn Elimintion Lngkh 4: Eleminsi z pd persmn kedu. 4. 8 6 4 y row ( Row ) (4.) ( Row ).z y 4.z z 8 6 4. 8 4 y.z y z 4 8
Guss-Jordn Elimintion Lngkh -: Eleminsi y pd persmn kestu. 8 4 y.z y z 4 8 ( Row ) () ( Row) New Row. 4.z y z 4 4
Guss-Jordn Elimintion ) (.) ( ) ( Row New Row Row 4. 4. z y z Lngkh -: Eleminsi z pd persmn pertm 4 4 z y
Hsil Lin yng Dicpi Cr tersebut dpt jug digunkn untuk menemukn inverse dri sebuh mtriks Dri perklin mtiks, kit thu bhw : CC - = I Jdi, jik kit merubh C menjdi mtriks I (Menggunkn opersi bris) St yng bersmn kit kn melkukn opersi I menjdi C (menggunkn opersi bris yng sm) Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 6
Invers Method Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 7
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 8 Invers Mtriks nn n n n n nn n n n n J G p p p p p p p p p A I I A..6...4.6.
Itertive Method Guss - Seidel Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 9
Itertive Method Guss (dn Guss-Jordn) memunculkn bnyk error kibt pembultn. Itersi diwli dengn memberikn nili perkirn untuk semu vribel. Itersi berhenti jik : ( k) i ( k) i ( k ) i, i n () () () Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin n n nn n n n n n n b b b Guss-Seidel Method nn k n nn k n k n n k n k n n k k k k n n k k b b b ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (
Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin Contoh ; ; ; 8 4 7 4 () () () 8 4 4 7 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( k k k k k k k k k
SELESAI Metode Numerik & Komputsi. By : Muhtdin 6