KUMPULAN SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA Bagian Pertama Disusun Oleh Raja Octovin P D 00 SOAL PILIHAN APRIL 008 SMA NEGERI PEKANBARU Jl Sulthan Syarif Qasim 59 Pekanbaru Bank Soal Matematika Bank Soal Matematika Halaman dari 4 halaman Disusun oleh : Raja Octovin PD http://wwwbanksoalmatematikacom
Matematikawan August de Morgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 800-an Pada tahun terakhir dalam masa hidupnya dia mengatakan bahwa: Dulu aku berusia x tahun pada tahun x Pada tahun berapa ia dilahirkan? Lima ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam waktu 5 hari Berapa harikah yang dibutuhkan oleh ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas kali ukuran lapangan bola? Budi berlari tiga kali lebih cepat dari kecepatan Iwan berjalan kaki Misalkan Iwan, yang lebih cerdas dari Budi menyelesaikan ujian pada pukul :00 dan mulai berjalan pulang Budi menyelesaikan ujian pada pukul : dan berlari mengejar Iwan Pada pukul berapakah Budi tepat akan menyusul Iwan? 4 Misalkan a dan b bilangan real berbeda sehingga a a + 0 b + = b b + 0a Tentukanlah nilai b a 5 Berapakah banyaknya digit 999 000 5? 6 Misalkan 00 a = + + + K+ dan 5 00 bilangan bulat yang nilainya paling dekat dengan 00 b = + + + K + 5 5 00 a b Tentukan 7 Suatu persegi panjang berukuran 8 kali mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut? 8 Masing-masing dari kelima pernyataan berikut bernilai benar atau salah (a) pernyataan (c) dan (d) keduanya benar Halaman dari 4 halaman
(b) pernyataan (d) dan (e) tidak keduanya salah (c) pernyataan (a) benar (d) pernyataan (c) salah (e) pernyataan (a) dan (c) keduanya salah Berapakah banyak diantara kelima pernyataan di atas yang benar? 9 Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersifat: bersisa jika dibagi 5, bersisa jika dibagi oleh 7, dan bersisa 4 jika dibagi 9 Berapakah hasil penjumlahan digitdigit N? 0 Berapakah hasil perkalian K? 4 00 Untuk menentukan wakilnya dalam cabang lari 0 m gawang putra, sebuah SMU mengadakan seleksi yang diikuti 5 orang siswa Dalam seleksi tersebut diadakan tiga kali lomba yang pada setiap lomba, pelari tercepat diberi nilai 5, sedangkan peringkat di bawahnya berturut-turut mendapat nilai,,, Tidak ada dua pelari yang menempati peringkat yang sama Jika pemenang seleksi diberikan kepada yang nilai totalnya paling tinggi pada ketiga lomba, berapakah nilai terendah yang mungkin dicapai oleh pemenang seleksi? Misalkan a, b, c, d, e, f, g, h, i menyatakan bilangan-bilangan bulat positif berbeda yang kurang dari atau sama dengan sembilan Jika jumlah setiap bilangan dalam setiap lingkaran sama, berapakah nilai a + d + g? Halaman dari 4 halaman
Kuadrat sebuah bilangan bulat bila dibagi dengan 9 memberikan suatu bilangan prima dan sisa pembagian 9 Berapakah bilangan prima yang dimaksud? 4 Dari sembilan orang siswa akan dibentuk kelompok, masing-masing beranggota tiga orang Berapa banyaknya cara membentuk kelompok ini? 5 Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 0 bola putih Jika diambil dua bola bersamaan, berapakah peluang memperoleh dua bola berwarna sama? 6 Pada segitiga ABC, titik F membagi sisi AC dalam perbandingan : Misalkan G titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan AG Berapakah perbandingan sisi BC yang terbagi oleh titik E? 7 Dalam suatu pertemuan terjadi 8 jabat tangan Setiap dua orang saling berjabat tangan paling banyak sekali Berapakah banyak orang minimum yang hadir dalam pertemuan tersebut? 8 Di antara lima orang gadis, Arinta, Elsi, Putri, Rita, dan Venny, dua orang memakai rok dan tiga orang memakai celana panjang Arinta dan Putri memakai jenis pakaian yang sama Jenis pakaian Putri dan Elsi berbeda, demikian pula dengan Elsi dan Rita Kedua gadis yang memakai rok adalah 9 Barisan,, 5, 6, 7, 8, 0, adalah barisan terdiri dari semua bilangan asli yang bukan kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat Suku ke-50 dalam barisan adalah 0 Nanang mencari semua bilangan empat digit yang selisihnya dengan jumlah keempat digitnya adalah 007 Tentukan semua bilangan yang ditemukan Nanang Gaji David 0% lebih banyak dari gaji Andika Ketika Andika memperoleh kenaikan gaji, gajinya menjadi 0% lebih banyak dari gaji David Persentase kenaikan gaji Andika adalah Halaman 4 dari 4 halaman
Banyak pasangan bilangan bulat positif ( x, y) yang memenuhi persamaan x + 5y = 50 adalah Jika N = 4567890K9900, maka tiga angka pertama N adalah 4 Jika a dan b dua bilangan asli memenuhi a b 0 sehingga + 4 + a b bilangan rasional, maka a + b bernilai 5 Keliling sebuah segitiga sama sisi adalah s Misalkan Q adalah sebuah titik di dalam segitiga tersebut Jika jumlah jarak dari Q ke ketiga sisi segitiga adalah p, nyatakanlah p dalam s 6 Empat buah titik berbeda terletak pada sebuah garis Jarak antara sebarang dua titik dapat diurutkan menjadi barisan, 4, 5, k, 9, 0 Maka k = 7 Sebuah kelompok terdiri dari 005 anggota Setiap anggota memiliki rahasia Setiap anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan SATU rahasia yang dipegangnya Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah 8 Sebuah kelompok terdiri dari 005 anggota Setiap anggota memiliki rahasia Setiap anggota dapat mengirim surat kepada anggota lain manapun untuk menyampaikan SELURUH rahasia yang dipegangnya Banyaknya surat yang perlu dikirim agar semua anggota kelompok mengetahui seluruh rahasia adalah 9 Himpunan A dan B saling lepas dan A B = {,,,4,5,6,7,8,9 } Hasil perkalian semua unsur A sama dengan jumlah semua unsur B Unsur terkecil B adalah Halaman 5 dari 4 halaman
0 Bentuk sederhana dari ( )( )( 4 ) K( 00 ) ( + + 4 + K( 00 + adalah Bilangan n terbesar sehingga n 8 membagi 44 44 adalah Garis AB dan CD sejajar dan berjarak 4 satuan Misalkan AD memotong BC di P di antara kedua garis Jika AB = 4 dan CD =, berapa jauh P dari garis CD? Tentukan hasil penjumlahan semua bilangan prima yang memenuhi sifat: satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari bilangan kelipatan 6 4 Berapakah banyak tripel bilangan bulat positif ( x y, z), memenuhi x + y + z = 99? 5 Tentukan himpunan semua bilangan asli n sehingga ( n )( n ) n habis dibagi 6 6 Pada sebuah trapesium dengan tinggi 4, kedua diagonalnya saling tegak lurus Jika salah satu diagonal tersebut panjangnya 5, berapakah luas trapesium tersebut? 7 Dua bilangan real y x + y? x + x y y x, memenuhi ( + )( + + ) = Berapakah nilai 8 Pada suatu persegi ABCD, terdapat titik E di dalam persegi Berapakah peluang AEB sudut lancip? 9 Sepuluh tim mengikuti turnamen sepakbola Setiap tim bertemu satu kali dengan setiap tim lainnya Pemenang setiap pertandingan memperoleh nilai dan yang kalah memperoleh nilai 0 Untuk pertandingan yang berakhir seri, kedua tim memperoleh nilai masing-masing Di akhir turnamen, jumlah nilai seluruh tim adalah 4 Banyaknya pertandingan yang berakhir seri adalah Halaman 6 dari 4 halaman
40 Diberikan tiga bilangan positif x, y, z semuanya berbeda Jika y x z = x + y z = x y, tentukan nilai y x 8 8 4 Nilai sin 75 cos 75 sama dengan 4 Jika p = 005 + 006 dan q = 007 + 008, maka ( p + q) + 4 pq = 4 Sebuah keluarga terdiri dari ayah, ibu, dan beberapa anak Rata-rata umur keluarga tersebut adalah 8 tahun Tanpa ayah yang berumur 8 tahun, rata-rata umur keluarga tersebut adalah 4 tahun Berapakah banyak anak dalam keluarga tersebut? 44 Ketiga titik pusat lingkaran adalah berbeda tetapi terletak pada satu garis Dua lingkaran pada gambar menyinggung tali busur AB yang panjangnya 4, tentukan luas yang diarsir 45 Tentukan jarak titik pusat lingkaran luar dan lingkaran dalam suatu segitiga yang panjang sisi-sisinya adalah 6, 8, dan 0 46 Jika + + = 0 a b c a, berapakah nilai ( a + b) + ( b + c) + ( c + a) b b 47 Jika f ( x) x x 9 8 =, berapakah nilai f + f + f + K + f + 9 9 9 9 9 48 Misalkan a, b, c adalah bilangan bulat memenuhi a + b + c a + b 5 + =, hitung nilai c Halaman 7 dari 4 halaman
49 Suatu bilangan tujuh digit sebut saja N semuanya digitnya berbeda Maka N tidak mungkin mengandung digit 50 Hitunglah nilai ( ) + ( 4 ) + ( 4 5 ) + K+ ( 007 008 009 ) + 4 + 5 6 + K+ 007 008 5 Suatu kertas akan dibuat menjadi dadu seperti gambar Masih ada tiga kotak kosong yang akan diisi,, atau 4 Jika jumlah setiap sisi berhadapan adalah 7, berapakah nilai x + y? 5 Jika x 5x + = 0, hitunglah nilai 6 0 x + x + x 6 5 Tentukan bilangan tiga digit abc sehingga bca + cab + bac + cba + acb = 00 54 Bilangan asli A, B, C, D memenuhi D B 5 4 A = B, C = D, A = C 9 Tentukan nilai 55 Tentukan nilai + + + K + 4 4 5 006 007 008 56 Tentukan jumlah = k 4 k + 5 k k + k 57 Jika a ab = 6 dan ab b = 8, tentukanlah nilai a + b 58 Jika p dan p + adalah bilangan prima besar dari, tentukan sisa p dibagi 6 Halaman 8 dari 4 halaman
59 Jika bilangan lima digit a679 b adalah kelipatan 7, tentukan nilai a dan b 60 Suatu konferensi dihadiri oleh 47 tamu Ada beberapa tamu pria dan beberapa tamu wanita Tamu pria pertama kenal 6 tamu wanita, tamu pria kedua kenal 7 tamu wanita, dan seterusnya hingga tamu wanita pria terakhir kenal seluruh tamu wanita Tentukan banyaknya tamu wanita yang dikenal tamu pria terakhir 6 Apakah jumlah 984 bilangan asli berurutan dapat menjadi suatu bilangan kuadrat? 6 Tentukanlah nilai + 008 009 00 0 6 Jika α, β, γ adalah akar-akar persamaan kubik x x = 0, tentukanlah nilai + α + β + γ + + α β γ 64 Tentukanlah nilai real x sehingga x = x + x x 65 Buktikan bahwa n + n dan n + n tidak memiliki faktor persekutuan lebih besar dari 66 Buktikan + + + + K + habis dibagi 00 67 a + b + c = 0 a + b ab b + c c + a ( a + b c ) + ( b + c a ) + ( c + a b ) =? bc ca 68 Seseorang mengambil sebuah kartu dari 4 kartu yang bernomor,,, 4, dari sebuah kotak kemudian mencatatnya dan meletakkannya kembali Dia melakukan hal tersebut Halaman 9 dari 4 halaman
sebanyak 4 kali Jika pada akhir didapatkan jumlah nomor-nomor kartu adalah, berapakah peluang bahwa kartu yang terambil selalu? 69 Tentukan himpunan penyelesaian ( x x + ) ( x x + ) + = x 70 Jumlah dari rata-rata aritmatik himpunan A dan rata-rata aritmatik himpunan B adalah 500 Himpunan A dan B terdiri dari bilangan-bilangan asli berurutan Jika A B = { 005}, tentukan kemungkinan unsur himpunan B yang terbesar 7 Tentukan semua segitiga yang sisi-sisinya bilangan bulat dimana nilai keliling dan luasnya sama 7 Tentukan nilai 8 07 07 07 07 K 7 Nyatakan jawaban soal no 7 dalam bentuk a + c b, dimana a, b, c bilangan bulat 74 Diketahui n adalah semua bilangan asli tidak lebih dari 6 Suatu bilangan enam digit, sebut saja X, jika dikali jelas digit-digitnya sama Jika X dikali, digit-digitnya sama, namun urutannya diubah Jika X dikali, digit-digitnya juga sama, namun urutannya diubah Hingga jika X dikali n, maka digit-digitnya sama, namun urutannya diubah Tentukan X 75 Tunjukkan + + + K + > 00 + + + + + + + + + K+ 6 6 9 6 99006 Halaman 0 dari 4 halaman
76 Misalkan x menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari x, tentukan m m agar m 008 008 = 77 Misalkan x menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari x, tentukan semua penyelesaian positif dari x + = 0 x 78 Untuk x i = i 0 i = i + 0 x, hitung i x x i 79 ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut A 00 dan panjang AB = BC Garis bagi sudut B memotong sisi AC di D Tunjukkan BD + AD = BC 80 Bilangan prima berbentuk 000 memiliki n digit Tentukan semua n yang memungkinkan 8 Perhatikan gambar Untuk setiap i,,,4 ( A = A ) bidang B BB = 5, maka OB i sejajar A A i i+ Tentukan perbandingan luas 8 Perhatikan gambar Halaman dari 4 halaman
Jika panjang AB = CD =, tentukan panjang AC 8 Diketahui f ( ) = 008 dan f ( ) f ( ) + f ( ) + + f ( n) = n f ( n) f ( 008) + f 84 Jika ( ) ( x) f x + = dan f ( ) =, hitung ( 008) f ( x) + K Tentukan f 85 Misalkan segitiga ABC adalah suatu segitiga sehingga BC AB + BC = AB BC AC Tentukan rasio A : C 86 Suatu paket soal terdiri dari 8 soal essay disiapkan untuk suatu ujian Setiap siswa hanya menerima soal Tetapi, tidak ada dua siswa yang menerima lebih dari satu soal yang sama Berapakah jumlah siswa paling banyak? 87 Tentukan semua pasangan bilangan rasional ( b) a, memenuhi a + b = + 88 Misalkan p ( n) menyatakan hasil kali digit-digit n Tentukan semua nilai n yang memenuhi ( n) = n 005 p 89 Tentukan semua pasangan bilangan real ( x, y) yang memenuhi x x y + y = 4 = ( x y) ( x + y) p + 5 90 Tentukan semua bilangan bulat positif p agar juga bulat positif p 5 9 Tentukan semua ( x y, z), memenuhi Halaman dari 4 halaman
x y z + 4 = y + 4 = z + 4 = x + 4x z + 4y x + 4z y 9 Misalkan A adalah jumlah digit-digit Tentukanlah jumlah digit-digit B 4444 4444 dan B adalah jumlah digit-digit A 9 Pada suatu kompetisi matematika, tiga soal, yaitu A, B, C, diberikan Di antara semua peserta, ada 5 peserta yang paling sedikit menyelesaikan satu soal Dari semua peserta yang tidak menyelesaikan A, banyak peserta yang menyelesaikan B adalah dua kali yang menyelesaikan C Banyak peserta yang menyelesaikan A saja adalah satu lebih banyak dari peserta yang mengerjakan soal A dan paling sedikit satu yang lainnya Dari semua yang menyelesaikan satu soal saja, setengahnya menyelesaikan A Berapa peserta yang menyelesaikan B saja? 94 Tentukan bilangan terbesar yang merupakan hasil kali bilangan-bilangan asli yang jumlahnya 976 95 Tentukan batas-batas x sehingga 4x ( + x ) < x + 9? 96 Tentukan semua penyelesaian cos θ + cos θ + cos θ = 97 Jika 999 000 x = + dan = + 999 y, buktikan y x x = y 999 98 Tentukan semua bilangan prima p sehingga persamaan p + = x p + = y memiliki penyelesaian bilangan bulat ( x, y) Halaman dari 4 halaman
99 Tentukan penyelesaian ( x, y) bilangan bulat memenuhi ( x y ) = + 6y 00 Suatu segibanyak dapat dibagi menjadi 00 persegi panjang, tetapi tidak dapat dibagi menjadi 99 persegi panjang Tunjukkan bahwa segibanyak tersebut tak dapat dibagi 99 segitiga http://wwwbanksoalmatematikacom Halaman 4 dari 4 halaman