BAB I MATRIKS Aljbr mtriks merupkn slh stu cbng mtemtik yng dikembngkn oleh seorng mtemtikwn Inggris Arthur Cyley (8 89) Mtriks berkembng kren pernnny dlm cbng-cbng Mtemtik linny, mislny bidng ekonomi, industri dn trnsportsi Dengn menggunkn mtriks, mk penyelesin sistem persmn liner kn lebih mudh diselesikn Pembhsn bb ini diwli dengn definisi mtriks dn opersi dsr mtriks yng sudh dikenl, nmun untuk pengenln sift-sift lebih lnjut penyjin mtriks kn menggunkn notsi mtriks untuk mempersingkt penulisn Meskipun mtriks ini bukn hl yng bru, kren sudh pernh diperoleh di SLTA, nmun dengn mengusi mteri dlm bb ini kn lebih mudh mengikuti pembhsn berikutny TIK : Setelh mempeljri mteri inidihrpkn mhsisw dpt: menjelskn opersi-opersi ljbr mtriks b menentukn bentuk eselon tereduksi sutu mtriks c menghitung nili determinn sutu mtriks d menentukn invers sutu mtriks
Opersi Aljbr Mtriks Definisi : Mtriks dlh sutu susunn segiempt siku-siku dri bilngnbilngn, susunn tersebut disjikn di dlm kurung besr tu kurung siku Bilngn-bilngn itu disebut entri tu elemen dri mtriks Bentuk umum sutu mtriks yng terdiri dri m bris dn n kolom dlh A m m n n mn tu A m m n n mn Bentuk mtriks tersebut dpt disjikn dengn notsi mtriks, yitu A ( ij ) dengn i,,,m dn j,,,n berturut-turut menunjukkn bris dn kolom dri mtriks A Sutu mtriks A yng terdiri dri m bris dn n kolom disebut mtriks berukurn mxn dn dilmbngkn dengn A mxn tu ( ij ) mxn, ditulis singkt A ( ij ) Dlm hl ini ij dinmkn elemen ke -ij dri mtriks A Mtriks A ( ij ) dengn mn diktkn sebgi mtriks persegi, elemen,,, nn disebut elemen digonl utm dri A Jumlhn elemen digonl utm disebut trce dri A Untuk dpt menggunkn mtriks perlu dikji opersi ljbr mtriks berikut Kesmn Mtriks Du buh mtriks A dn B diktkn sm, ditulis A B, jik A dn B berukurn sm dn elemen-elemen yng bersesuin (seletk ) dlh sm
Jik disjikn dlm notsi mtriks, A ( ij ) dn B ( ij ) ij b ij, untuk setip i,,,m dn j,,,n b mk A B jik Jik A x, B x, C x, dn D x mk A B, A C, B C, dn A D š Penjumlhn dn pengurngn mtriks Penjumlhn dn pengurngn du mtriks tu lebih, hny dpt dilkukn jik mtriks tersebut berukurn sm Penjumlhn tu pengurngn du mtriks didefinisikn sebgi penjumlhn tu pengurngn elemen yng bersesuin Jik A ) dn B b ), mk A + B ij + b ) dn A B ij b ) ( ij ( ij ( ij ( ij Jik 9 A dn B mk A + B, 9 B + A, A B, dn B A 6 6 š Sift : Jik A, B, dn C mtriks yng berukurn sm mk berlku: A + B B + A (Komuttif) b A + ( B + C) ( A + B) + C (Asositif) Pergndn mtriks dengn bilngn (sklr) Pergndn mtriks dengn sklr didefinisikn sebgi perklin sklr dengn setip elemen mtriks tersebut
Jik A ) dn k sebrng sklr, mk ka Ak k ) ( ij ( ij Jik 8 A, mk A dn A 6 š Pergndn mtriks Pergndn mtriks A dn B, dinotsikn AB, hny dpt dilkukn jik bnykny kolom mtriks A sm dengn bnykny bris mtriks B Jik A ) ( ij mxp dn B ( b ij ) pxn, mk AB C ( c ij ) mxn, dengn cij ikbkj p k Jik A dn B mk + 8 + + + 6 9 9 AB + + 9 + 6 Mtriks BA tidk dpt diperoleh kren bnykny kolom dri B dlh sedngkn bnykny bris dri A dlh š Sift : Jik A, B, dn C mtriks sehingg opersi berikut berlku, mk : A ( B + C) AB + AC Distributif kiri ( B + C) A BA + CA Distributif knn b A( B C) AB AC Distributif kiri ( B C) A BA CA Distributif knn c A ( BC) ( AB) C Assositif
Jenis jenis Mtriks Beberp mtriks dengn elemen tertentu yng seringkli digunkn disjikn berikut Mtriks Nol Mtriks yng semu elemenny nol disebut mtriks nol, dinotsikn Mtriks, merupkn mtriks nol Sift : Untuk sebrng mtriks A yng ukurnny bersesuin sehingg opersi ljbr berikut dpt dilkukn, berlku : A + + A A b A A c A A d A A Mtriks Trnspos Trnspos dri mtriks A, dinotsikn dengn A tu A t, dlh mtriks yng kolom pertmny dlh bris pertm mtriks A, kolom keduny dlh bris kedu mtriks A, dn seterusny Jik t ( ij mxn mk A ( ji ) nxm A )
Jik A, B 7 mk t t A 7 dn B š Sift : Untuk sebrng mtriks A berlku : (A t ) t A b (ka) t ka t c (A + B) t A t + B t d (AB) t B t A t Mtriks Segitig Ats dn Mtriks Segitig Bwh Mtriks persegi yng semu elemen di bwh digonl utm bernili disebut mtriks segitig ts Begitu pul mtriks persegi yng semu elemen di ts digonl utm bernili disebut mtriks segitig bwh Jdi A ( ij ) nxn disebut mtriks segitig ts jik ij untuk i > j dn disebut mtriks segitig bwh jik ij untuk i < j Mtriks A dn B berturut-turut dlh mtriks segitig ts dn mtriks segitig bwh Mtriks Digonl Adlh mtriks persegi yng semu elemen-elemenny dlh nol keculi elemen pd digonl utm Jdi A ( ij ) nxn disebut mtriks digonl jik ij untuk i j 6
7, Mtriks Identits (Mtriks Stun) Mtriks digonl yng semu elemen digonl utmny sm dengn disebut mtriks identits, dinotsikn dengn I n tu I Dlm bentuk notsi mtriks, dituliskn ) ( ij I dengn ij, untuk ij dn ij, untuk i j, berlku untuk i,j,,,n I Sift : Untuk sebrng mtriks A yng berukurn nxn berlku I n AA I n A 6 Mtriks invers Mtriks B diktkn sebgi invers dri mtriks A jik AB BA I Dlm hl ini invers mtriks A dinotsikn A - Mtriks yng mempunyi invers disebut mtriks non singulr Jik A mk B dlh invers dri A sebb AB dn BA š Sift : ( A - ) - A b (AB ) - B - A -
7 Mtriks Simetris Sutu mtriks persegi A diktkn simetris jik A A t Jik A ( ij ) mk A diktkn simetris jik ij ji, untuk setip i,j Mtriks A dlh simetris sedngkn mtriks B tidk simetris Mengp? Untuk sebrng mtriks persegi A, mtriks A+A t merupkn mtriks simetris Mengp? 8 Mtriks Skew Simetris (Simetris Miring) Mtriks A diktkn simetris miring jik A t A Jik A ( ij ) mk A diktkn simetris miring jik ij ji, untuk setip i,j Mtriks A dlh mtriks simetris miring 9 Mtriks-mtriks persegi yng istimew - Jik A dn B mtriks-mtriks persegi sedemikin sehingg AB BA, mk A dn B disebut commute - Jik AB -BA, mk A dn B disebut Anti Commute - Mtriks A yng memenuhi A k+ A (k bilngn positif), disebut periodik 8
- Jik A A, mk A disebut mtriks Idempoten - Jik A k, dengn k bilngn bult positif terkecil mk A disebut mtriks nilpoten Dlm hl ini bilngn k disebut indeks nilpoten 6 Mtriks A dn B dlh Commute, sebb : 6 AB 6 6 6 6 dn BA 6 6 6 6 b Mtriks c Mtriks A dlh idempoten sebb A A M 6 dlh nilpoten berindeks, sebb M Opersi Bris Elementer Selin opersi ljbr mtriks yng sudh diperkenlkn pd subbb, d opersi lin yng dpt dikenkn pd sutu mtriks untuk mendptkn mtriks lin Opersi ini dinmkn opersi bris elementer kren dikenkn pd bris-bris sutu mtriks Opersi ini bnyk digunkn untuk menentukn penyelesin sistem persmn liner yng kn dibhs pd bb berikutny Opersi bris elementer meliputi tig bentuk, yitu : Menukr bris ke-i dn bris ke-j, dinytkn dengn B ij 9
b Menggndkn setip elemen bris ke i dengn sklr k, dinytkn dengn B i (k) c Menmbhkn k kli elemen-elemen bris ke-j (k sklr) kepd bris ke-i, dinytkn dengn B ij (k) Opersi semcm ini jug dpt dilkukn pd kolom, dengn notsi B dignti K, nmun untuk pembhsn ini opersi hny dikenkn pd bris sj Jik kit melkukn opersi bris elementer pd sutu mtriks untuk memperoleh mtriks yng lin, mtriks wl dn hsilny dihubungkn dengn tnd Dikethui mtriks A Jik bris ke- ditukr dengn bris ke-, diperoleh B Jik opersi K dikenkn pd A diperoleh b Jik bris ke- diklikn, diperoleh ) ( B 9 6 Jik opersi K () dikenkn pd A diperoleh
c Jik bris ke- diklikn - kemudin ditmbhkn ke bris ke-, diperoleh ) ( B Jik opersi K (-) dikenkn pd A diperoleh š Jik opersi bris elementer dikenkn pd mtriks identits kn diperoleh sutu mtriks yng khs Sebuh mtriks berukurn nxn disebut mtriks elementer jik mtriks tersebut dpt diperoleh dri mtriks stun I n dengn melkukn stu opersi bris elementer Kren d tig mcm opersi bris elementer, mk d mcm mtriks elementer : E ij, yitu mtriks yng didpt dri mtriks I jik bris ke-i ditukr dengn bris ke-j Dri I, diperoleh E, E ) k ( E i dlh mtriks yng didpt dri mtriks I jik bris ke-i digndkn dengn sklr k Dri I, diperoleh () E, ) ( E
Mtriks ) k ( E ij dlh mtriks yng didpt dri mtriks I jik bris ke-j digndkn dengn sklr k kemudin ditmbhkn ke bris ke-i Dri I, diperoleh ) ( E, ) ( E Sift-sift mtriks elementer: Jik mtriks A digndkn dri kiri dengn mtriks elementer E, mk EA dlh sutu mtriks bru yng diperoleh bil opersi bris elementer yng digunkn untuk memperoleh E dri I, diterpkn pd A Misl 7 A, E, () E, dn ) ( E 7 B 7, dn E A 7 7 7 () B 7 9, dn () E A 7 9 7 () B 7, dn () E A 7 7 š b Invers dri mtriks elementer jug merupkn mtriks elementer
Jik stu opersi bris elementer diterpkn pd I untuk menghsilkn E, mk terdpt opersi bris elementer yng bil diterpkn pd E kn menghsilkn I Berbgi kemungkinn opersi seperti di ts disjikn sebgi berikut Opersi bris pd I untuk Opersi bris pd E untuk menghsilkn E menghsilkn I Menukr bris ke-i dn bris ke-j (B ij ) Menukr bris ke-j dn bris ke-i (B ji ) Menggndkn bris ke -i dengn Menggndkn bris ke -i dengn /k sklr k (B i (k)) (B i (/k)) Menmbhkn k kli bris ke-j kepd Menmbhkn -k kli bris ke-j bris ke-i (B ij (k)) kepd bris ke-i (B ij (-k)) Opersi pd kolom knn merupkn invers (blikn) dri opersi pd kolom kiri Jik opersi pd kolom knn dikenkn pd I mk kn menghsilkn mtriks elementer, sebut sj E, yng menurut sift berlku EE I dn E E I Dengn demikin E dlh invers dri E Dri tbel di ts diperoleh : (E ij ) - E ji, (E i (k)) - E i (/k)) dn (E ij (k)) - E ij (-k) E E dn E E I E ( ) E ( ) / dn E (/) E () I
E ( ) E ( ) dn E (-) E () I š Kedu sift di ts penting untuk digunkn dlm teorem berikut Teorem : Jik A mtriks nonsingulr mk A dpt dinytkn sebgi hsil gnd mtriks-mtriks elementer Nytkn A sebgi hsil gnd mtriks-mtriks elementer Penyelesin : Kit dpt melkukn opersi bris elementer berhingg kli pd A smpi diperoleh mtriks I sebgi berikut A B (/ ) / B B ( ) / / C B () / D B ( ) I Menurut sift, tentu berlku : B E (/) A, C E (-)B, D E ()C, dn I E (-) D Dengn demikin diperoleh E (-) E () E (-) E (/) A I Kren mtriks elementer mempunyi invers mtriks elementer pul, mk A (E (/)) - (E (-) ) - (E ()) - (E (-)) - I E () E () E (-) E (-/) Jdi A / Bentuk perklin mtriks elementer ini tidk tunggl Periks bhw A E E E ()E () Dptkh kmu cri bentuk perklin yng lin? š
Definisi : Mtriks B diktkn ekivlen bris (row equivlent) dengn mtriks A, ditulis A ~ B, jik mtriks B dpt diperoleh dri mtriks A dengn berhingg bnyk opersi bris elementer Mengingt sift dri mtriks elementer, definisi di ts dpt pul dinytkn sebgi : mtriks B diktkn ekivlen bris dengn mtriks A jik terdpt mtriks-mtriks elementer E, E,,E p sehingg B E p E p- E A Contoh A dn B dlh ekivlen bris, kren B ( ) B ( ) š Sift : Jik A ekivlen bris dengn B, mk B ekivlen bris dengn A Jik A ekivlen bris dengn B dn B ekivlen bris dengn C, mk A ekivlen bris dengn C Definisi : Sutu mtriks diktkn dlm bentuk eselon bris (row-echelon form) jik memenuhi : Jik terdpt bris yng tidk semu elemenny nol, mk elemen pertm yng tidk nol dlh, dn disebut utm (pivot) b Jik terdpt bris yng semu elemenny nol, mk bris ini diletkkn pd bris pling bwh
6 c Pd sebrng du bris yng berurutn yng tidk semu elemenny nol, utm pd bris yng bwh terletk di sebelh knn dri utm bris di tsny dn Definisi : Sutu mtriks diktkn dlm bentuk eselon bris tereduksi (reduced row-echelon form) jik mtriks tersebut dlm bentuk eselon bris dn pd msing-msing kolom yng memut utm, elemen merupkn stu-stuny elemen yng tidk nol Contoh dn Definisi : Sutu mtriks diktkn dlm bentuk norml jik mtriks tersebut memut submtriks identits Ad jenis bentuk norml yitu : I p, Ip, [ ] p I, dn Ip dengn I p dlh mtriks identits Contoh Selin untuk menentukn bentuk eselon bris tereduksi, opersi bris elementer jug dpt digunkn untuk memperoleh invers dri sutu mtriks non singulr
Jik A dlh mtriks non singulr, mk dengn melkukn sebnyk berhingg kli opersi bris elementer pd mtriks [A I] (mtriks ini disebut perlusn dri mtriks A) kn didpt mtriks [I B] Mislkn untuk itu diperlukn n opersi bris elementer Kren A dibw ke I dn I dibw ke B, mk I E E E E na dn B E E E E ni Kren mtriks elementer mempunyi invers mk dri perklin yng pertm diperoleh n n ( n n n n A E E E E I sehingg AB E E E E )( E E E E ) I dn BA ( E En EnEn )( En E E E E En En ) I Ini berrti B dlh invers dri A, tu B A - Jik A mk invers dri A dpt ditentukn sebgi berikut Dibentuk mtriks [A I] Selnjutny dengn melkukn opersi bris berikut ini : B (-), B (-), B (/), B (/), B (-), B (), B (-), kn diperoleh mtriks : / / Jdi A - / / š Definisi : Rnk dri mtriks A dpt didefinisikn sebgi bnykny bris (kolom) tk nol dri bentuk eselon bris yng diperoleh dri mtriks A 7
Kren bnykny bris (kolom) tk nol sellu kurng dri minimum dintr bris dn kolom, mk rnk(a mxn) min {m, n} Crilh rnk dri mtriks A Jwb : Jik mtriks A dikeni opersi bris elementer B (/), B (-), B (-), B (-/), dn B () kit memperoleh / / / Jdi rnk(a) š Determinn Determinn sutu mtriks persegi sngt bnyk gunny dlm berbgi cbng mtemtik Sebgi contoh pd ljbr, determinn digunkn untuk mencri jwb n persmn liner dengn n vribel Ad du definisi determinn diliht dri segi pendektnny, pertm dengn pendektn klsik, yitu bertitik tolk pd fungsi permutsi, kedu dengn pendektn bukn klsik, yitu pd fungsi multiliner Pd pembhsn kli ini kit mendefinisikn determinn dengn pendektn klsik, yitu mellui fungsi permutsi Definisi : Permutsi bilngn sli, dinotsikn s, dlh susunn bilngnbilngn sli menurut sutu turn tnp menghilngkn tu mengulngi bilngn tersebut Himpunn semu permutsi dri n ditulis dengn S n 8
Permutsi dri brisn bilngn dn dlh (,) dn (,) Jdi S {(,), (,)} Permutsi dri bilngn,, dn dlh (,,), (,,), (,,), (,,), (,,), dn (,,) Jdi S {(,,), (,,), (,,), (,,), (,,), (,,)} Kit liht bhw bnykny permutsi bilngn dlh, bnykny permutsi bilngn dlh 6 Secr umum bnykny permutsi n bilngn dlh n! Penulisn permutsi k bilngn dlh (j,j,,j k) dengn ji jk untuk i k Definisi : Inversi pd sutu permutsi dlh terdptny bilngn yng lebih besr mendhului bilngn yng lebih kecil, tu j i > j k untuk i < k Pd permutsi (,,) terdpt inversi yitu mendhului Pd permutsi (,,) terdpt inversi yitu : mendhului, mendhului, dn mendhului Definisi : Jik jumlh inversi dri sutu permutsi dlh genp, mk disebut permutsi genp dn jik jumlh inversi sutu permutsi gnjil mk disebut permutsi gnjil Definisi : Tnd dri permutsi s, dinotsikn sgn(s), didefinisikn sebgi +, jik jumlh inversi σ genp sign( σ ), jik jumlh inversi σ gsl Jik s (,,) mk sgn(s) - Jik s (,,) mk sgn(s) - 9
Definisi : Determinn dri mtriks A nxn didefinisikn sebgi : det( A ) sgn( σ ) σ Sn j j j njn Jik A mk S {(,), (,)} dengn sgn(,) +, sgn(,) - sehingg det( A) Jik A mk S {(,,), (,,), (,,), ((,,), (,,),(,,)} dengn sgn(,,) +, sgn(,,) +, sgn(,,) +, sgn(,,) -, sgn(,,)-, dn sgn(,,) - Sehingg det(a) + + - - - Apbil contoh tersebut diterpkn pd mtriks A dn B 6 mk det(a) - - dn det(b) 6 + + - - 6 - š Dri definisi di ts, pbil A sutu mtriks segitig (ts tupun bwh) mk det(a) psti bernili nol sebb stu-stuny suku tidk nol dlh perklin elemen-elemen digonl utm Jdi jik A nxn ( ij ) mk det(a) nn Selnjutny sift-sift yng berlku pd determinn dlh : Nili determinn mtriks A sm dengn nili determinn trnsposeny, yitu det(a) det(a t )
Jik A mk A t Sehingg det( A) dn det( A t ) Jik setip elemen pd sutu bris tu kolom mtriks A bernili nol, mk det(a) B mk det(b) + + - - - Jik mtriks A mempunyi du bris tu du kolom yng sm (elemen yng bersesuin bernili sm), mk det(a) C mk det(c) + + - - - Jik mtriks B diperoleh dengn menukr du bris tu du kolom mtriks A mk det(b) - det(a) Mtriks A, det (A) Dengn menukr bris dn 6 bris mtriks A diperoleh mtriks C 6 dengn det(c) + + 6 - - - 6 -
Jik mtriks B diperoleh dengn menglikn stu bris tu stu kolom mtriks A dengn sklr k, mk det(b) kdet(a) Mtriks A 6, det (A) Dengn menglikn bris ke tig mtriks A dengn, diperoleh mtriks C 8 dengn det(c) 8 + + - - 8-6 Jik A, B, dn C mtriks yng identik (sm) keculi pd stu bris Pd bris yng tidk identik ini, bris mtriks C merupkn jumlhn dri bris mtriks A bris mtriks B, mk det(c) det(a) + det (B) Mislkn A 6, B 6, dn C 6 Mk det(a), det(b) 6 + + - - 6 - det(c) 6 + + - - 6-6 7 Jik mtriks B diperoleh dri mtriks A dengn menmbh stu bris dengn k kli bris yng lin, mk det(b ) det(a)
Mislkn A 6 dn B Mk det(a), det(b) 6 6 + + (-) - - (-)6 - Dri 7 sift di ts kit dpt mengubh sebrng mtriks menjdi mtriks segitig dengn opersi bris elementer jenis tersebut, tnp mengubh nili determinnny Misl A, dengn opersi B (-/) dilnjutkn B (-/8) diperoleh 6 mtriks B 8/ /, sehingg det(a) det(b ) / 8 8 8 Ekspnsi Kofktor Definisi : Jik A dlh mtriks persegi mk minor dri elemen ij, dinytkn dengn M ij, dlh determinn tingkt (n-) yng diperoleh dengn mencoret bris ke i dn kolom ke j dri mtriks A Bilngn (-) i+j M ij, dinytkn dengn K ij, dinmkn kofktor entri ij
Misl A, mk M det dn K (-) + M Selnjutny M det - dn K (-) + M -( -) Secr sm diperoleh M -, M, M -, M -, M, M, dn M - Kemudin didpt K -, K -, K -, K, K, K, dn K - š Dri penghitungn kofktor elemen sutu mtriks kit dpt menghitung determinn dn invers dri sutu mtriks Definisi : Jik A ( ij ), mk determinn A didefinisikn sebgi : n det( A) ( ) M K (ekspnsi bris ke i), tu j n i+ j ij ij n ij j det( A) ( ) M K (ekspnsi kolom ke j) i i+ j ij ij n ij i ij ij Jik A mk det(a) K + K + K + + (-) Atu det(a) K + K + K (-) + (-) + (-6) + 8 Coblh hitung dengn ekspnsi kolom Definisi : Jik A ( ij ) mtriks persegi mk mtriks K ( ) š K ij dengn ij K dlh kofktor dri ij dinmkn mtriks kofktor dri A Trnspose dri mtriks kofktor disebut mtriks djoin dri A, dinotsikn dj(a)
Jik A, mk K, dn dj(a) Teorem : Jik A mtriks yng mempunyi invers mk ) ( ) det( A dj A A Jik A, mk A - / / Ltihn Diberikn mtriks A, B, C, D, E, [ ] F, G, dn [ ] H Mnkh di ntr opersi berikut yng dpt dilkukn? Jik dpt dilkukn tentukn hsilny, jik tidk dpt dilkukn berikn lsnny A + B b A + C c B - D d H - F e AB + FE f BA g ED - BA h BG + GH i HD - A t j F t + G t k (F + G) t l (AB) t
6 Berikn stu contoh mtriks simetris ukurn x Berikn stu contoh mtriks simetris miring A yng berukurn x Apkh A + A t jug simetris miring? Berikn lsnny Jik C dn D, hitunglh : C (C + D) b C + CD) c C (CD) d C D e (C - D)C f C - DC Lkukn opersi bris elementer B (-), B (), B, B (-), B (-),dn B () pd mtriks berikut A b B c C 6 Dptkn invers dri mtriks elementer berikut b c 7 Tentukn bentuk eselon bris dri mtriks berikut Cttlh opersi bris elementer yng dilkukn untuk mendptkn bentuk eselon brisny Dptkn pul bentuk eselon bris tereduksiny A b B c C
8 ll 7