Pertemun : 1 Mteri : Vektor Pd Bidng ( R 2 ), Bb I. Pendhulun Stndr Kompetensi : Setelh mengikuti perkulihn ini mhsisw dihrpkn dpt : 1. Memhmi kembli pengertin vektor, opersi pd vektor, dn sift-sift opersi pd vektor. 2. Penerpn vektor dlm membuktikn mslh-mslh geometri Kompetensi Dsr : Setelh mengikuti perkulihn ini mhsisw dihrpkn dpt : 1. Menuliskn kembli pengertin vektor secr geometri dn ljbr. 2. Menuliskn kembli pengertin vektor bsis, proyeksi sklr/komponen, dn opersiopersi pd vektor. 3. Membuktikn secr forml sift-sift opersi pd vektor Urin Mteri 1.1 Pengertin Dsr Keceptn sebuh mobil yng bergerk dpt dinytkn oleh sepotong gris yng mempunyi rh. Pnjng dri gris tersebut menunjukkn besr keceptn mobil, dn rh pnh dri gris tersebut menunjukkn rh gerk mobil. Keceptn dlh slh stu contoh vektor dri bnyk vektor yng terdpt di bidng Fisik. Contoh-contoh lin dri vektor dlh gy, perceptn, momentum, dn sebginy. Vektor dlh kombinsi dri sutu besrn dn sutu rh. Mk sutu vektor dpt dinytkn oleh segmen gris berrh PQ, ditulis = dengn dlh vektor. Pd umumny vektor kn ditulis dengn huruf kecil yng dicetk tebl, contoh:, b,..., tu dengn huruf besr, contoh:. B A Du vektor diktkn sm jik besr dn rhny sm, kibtny setip vektor tidk berubh jik bergerk ke posisi bru dengn tidk mengubh besr dn rh. Sutu vektor nol didefinisikn sebgi vektor yng mempunyi besrn nol, dn dpt dilukiskn oleh segmen gris teruri memiliki semu rh. yitu sutu titik tunggl yng rhny tk tentu tu By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 1
1.2 Penjumlhn dn Pengurngn Vektor Cr Jjrn Genjng Penjumlhn du buh vektor dilkukn dengn mengimpitkn kedu pngkl vektor tersebut, kemudin but gris yng pnjngny msing-msing sm dengn pnjng vektor semul sehingg membentuk jjrn genjng. Mk hsil dri penjumlhn kedu vektor tersebut dlh vektor yng pngklny pd titik pngkl kedu vektor tersebut dn ujungny dlh pd perpotongn kedu gris tersebut, liht gmbr 1. b + b b Gmbr 1 Cr Segitig Impitkn titik ujung vektor dengn titik pngkl vektor b, mk vektor hsil penjumlhnny dlh vektor yng bertitik pngkl di dn titik ujungny di b, liht gmbr 2. b + b Gmbr 2 Lwn dri vektor dlh vektor, yng mempunyi besr yng sm dengn tpi berlwnn rh. Mk pengurngn vektor dlh dengn menjumlhkn dengn lwn vektor kedu, yitu b = + (-b) Sift-sift Penjumlhn dn Pengurngn 1. + b = b + 2. + (b + c) = ( + b) + c 3. + b = c jik dn hny jik b = c 4. + 0 =, = 0 5. k(sb) = (ks)b = b(ks) 6. k( + b) = k + kb 7. (k + s) = k + s 8. 1 = By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 2
Bukti nomor 2 ( + b) + c = + (b + c) + b b b + c c 1.3 Pendektn Secr Aljbr. Besr Sebuh Vektor Besr tu pnjng dri sebuh vektor ditulis tu. Pnjng dri setip vektor dn b mempunyi sift sebgi berikut: 1. 0 ; = 0 jik dn hny jik = 0. 2. + b + b Bukti nomor 2 Dikethui + b 2 = + + 2 b cos, dengn 0. = + + 2 b + + 2 b cos = + b 2 + b + b b. Vektor Bsis Tinjulh sistem koordint tegl lurus OXY dlm bidng dn P dn Q titik-titik dengn koordint P(x, 0) dn Q(0, y), vektor bsis i dn j didefinisikn sebgi berikut: Vektor i pnjngny stu serh sumbu x positif, dn vektor j pnjngny stu serh sumbu y positif. Mk vektor dn vektor. Untuk setip sembrng titik P(x,y) pd sistem koordint, mk vektor. Untuk setip vektor = 1 i + 2 j dn b = b 1 i + b 2 j, mk penjumlhn dn pengurngn didefinisikn sebgi berikut: 1. + b = ( 1 + b 1 )i + ( 2 + b 2 )j 2. - b = ( 1 - b 1 )i + ( 2 - b 2 )j Dengn menggunkn dlil Phytgors pnjng vektor dlh =. c. Perklin Titik/Sklr Dri Du Vektor Sudut ntr du vektor yng tk nol, dn b didefinisikn sebgi berikut = (, b) = AOB dengn O sebrng titik di bidng dn A, B dipilih sehingg OA = dn OB = b. Hsil kli sklr dn b dlh bilngn riil yng dinytkn oleh. b = bcos, dengn = (, b). Besrn bcos dpt dipndng sebgi komponen dri b dlm rh, ditulis komp b = bcos. b bcos By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 3
Mk hsil kli sklr du vektor dpt ditulis dlm bentuk. b = komp b tu. b = b komp b Pengertin komponen bnyk digunkn dlm meknik. Jik gy F mempengruhi sebuh bend bergerk dri A ke B sepnjng segmen AB, mk hny komponen dri F pd AB yng bekerj. Mk kerj yng dilkukn sm dengn hsil perklin komponen dn jrk yng dillui. Kerj = komp F = F. Berdsrkn definisi di ts dpt dibuktikn sift-sift perklin sklr sebgi berikut: 1.. b = 0, mk = 0, tu b = 0, tu = 90 0. 2.. b = b. 3.. (b + c) =. b +. c 4.. (kb) = (kb). = k (. b) 5.. = 2 6. Apbil = 1 i + 2 j dn b = b 1 i + b 2 j, mk. b = 1 b 1 + 2 b 2. By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 4
Pertemun : 2 Mteri : Vektor Pd Rung ( R 3 ), Bb I. Pendhulun Stndr Kompetensi : Setelh mengikuti perkulihn ini mhsisw dihrpkn dpt : 1. Memhmi kembli pengertin vektor, opersi pd vektor, dn sift-sift opersi pd vektor. 2. Penerpn vektor dlm membuktikn mslh-mslh geometri Kompetensi Dsr : Setelh mengikuti perkulihn ini mhsisw dihrpkn dpt : 1. Memperlus opersi-opersi vektor pd rung, sert sift-siftny. 2. Menuliskn kembli pengertin perklin silng dn sift-siftny. 3. Menggunkn pengertin dn sift-sift opersi pd vektor untuk menyebutkn persmn bidng. 4. Menggunkn pengertin dn sift-sift opersi pd vektor untuk membuktikn mslh-mslh geometri. Urin Mteri 1.1 Vektor Pd Rung Vektor pd bidng dpt diperlus dengn memndng vektor tersebut pd rung. Sehingg untuk setip vektor pd rung memiliki tig komponen, yitu = 1 i + 2 j + 3 k dengn i, j, dn k msing-msing vektor yng pnjngny stu. Arh i serh sumbu x positif, rh j serh sumbu y positif, dn rh k serh sumbu z positif. Hsil kli sklr vektor pd rung dlh. b = bcos, dengn = (, b) = 1 b 1 + 2 b 2 + 3 b 3 Contoh 1 Dikethui vektor = 3i + 5j k dn b = i 4j + 2k.. Hitung perklin sklr vektor dn b. b. Hitung kosinus sudut vektor dn b Jwb... b = 3.1 + 5.(-4) + (-1).2 = 3 20 2 = - 19 b. = = - Contoh 2 Penulisn vektor dpt ditulis =. Nytkn = sebgi jumlh sutu vektor m yng sejjr b = dn sutu vektor n yng tegk lurus b. Cri vektor m dn n tersebut! By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 5
Jwb n m b Gmbr dits memberi gmbrn bhw = m + n, vektor m memiliki pnjng sm dengn komponen dlm rh b. Mk m = = = n = m = Persmn Bidng Stu cr yng menguntungkn untuk memperoleh persmn bidng dlh dengn menggunkn konsep vektor. Mislkn W dlh sebrng bidng dn P(x, y, z) sebrng titik di W. Pilih titik tetp Q(, b, c) di W. Sebut vektor r = dn n = vektor tetp tk nol yng tegk lurus bidng W, mk Q n r P W n. r = 0 A(x ) + B(y b) + C(z c) = 0 (*) kren P(x, y, z) sebrng titik di W, mk persmn (*) dlh persmn bidng W. Contoh 3 Cri persmn bidng yng mellui (- 4, - 1, 2) dn tegk lurus n =. Kemudin cri kosinus sudut ntr bidng tersebut dengn bidng x 2y + 7z = 5. Jwb. Persmn bidngny dlh 1(x + 4) + (-5)(y + 1) + (z 2) = 0 x + 4 5y 5 + z 2 = 0 x 5y + z = 3 Vektor m = dlh vektor yng tegk lurus pd bidng x 2y + 7z = 5. Sudut ntr bidng-bidng tersebut dlh sudut ntr norml-normlny. Vektor norml msing-msing bidng tersebut dlh dn. Apbil sudut kedu vektor tersebut, mk = 0,966 By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 6
1.2 Perklin Silng Untuk setip vektor dn b pd rung, perklin silng kedu vektor tersebut didefinisikn sebgi berikut b = bsin n, dengn n dlh vektor norml yng tegl lurus pd dn b. Apbil = dn b =, mk b = Contoh 4 Dikethui = dn b =. Hitung b Jwb b = Akibt definisi di ts, mk du vektor dn b pd rung dlh sejjr jik dn hny jik b = 0. Sift-sift Perklin Silng Mislkn, b, dn c vektor-vektor pd rung. 1. b = - b 2. (b + c) = b + c 3. k ( b) = (k) b 4. 0 = 0, 0 = 0, = 0 5. (b c) = (. c)b (. b)c 6. b. c =. b c 1.3 Penggunn Vektor untuk Menyelesikn Mslh-mslh Geometri Beberp mslh geometri dpt diselesikn dengn konsep vektor, dintrny dlh: 1. Buktikn hukum sinus untuk sebrng segitig. Mislkn =, b =, dn c = pd segitig ABC. Mk + b + c = 0. Dengn menggunkn sift-sift perklin silng, mk ( + b + c) = 0 + b + c = 0 0 + b + c = 0 A b = c (i) b ( + b + c) = 0 b + b b + b c = 0 b + 0 + b c = 0 b = c (ii) c ( + b + c) = 0 c + c b + c c = 0 B C c + c b + 0 = 0 Gmbr 3 c = b c (iii) Berdsrkn persmn (i), (ii), dn (iii) didpt By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 7
b = b c = c b sin C = bc sin A = c sin B terbukti. 2. Buktikn hukum kosinus untuk sebrng segitig. Mislkn =, b =, dn c = pd segitig ABC. Perhtikn gmbr 4, mk A b + c = tu c = - b c. c = ( b). ( b) b c =. + b. b 2. b C B c 2 = 2 + b 2 2b cos C Gmbr 4 3. Menghitung lus segitig dengn menggunkn vektor. Perhtikn segitig pd gmbr 4. Lus segitig tersebut dlh tingginy dlh bsin C, mk L ABC = b sin C = b, dengn Contoh. Hitung lus segitig yng mempunyi titik-titik sudut A(1, -1, 2), B(4, 1, -2), dn C(0, 3, 1). Jwb. Mislkn =, dn b =. Mk = =, dn b = =. b = = - 14i 7j - 14k Jdi, L ABC = b = By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 8
Pertemun : 3 Mteri : Fungsi Bernili Vektor dn Gerk Sepnjng Kurv Bb II. Diferensil Klkulus Dri Vektor Stndr Kompetensi : Setelh mengikuti perkulihn ini mhsisw dihrpkn dpt : 1. Memhmi Klkulus diferensil dri Vektor. 2. Memhmi Kelengkungn dn Perceptn Kompetensi Dsr : Setelh mengikuti perkulihn ini mhsisw dihrpkn dpt : 1. Menyebutkn kembli pengertin fungsi bernili vektor 2. Menyebutkn kembli pengertin limit fungsi bernili vektor 3. Membuktikn teorem-teorem limit fungsi bernili vektor 4. Menghitung keceptn dn perceptn gerk pd sutu lintsn. Urin Mteri 1.1 Fungsi Bernili Vektor Sutu fungsi F bernili vektor dengn vribel riil t memetkn setip bilngn riil t dengn stu vektor F(t). Jdi, F(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k = Dengn f, g, dn h dlh fungsi-fungsi bernili riil. Contoh. F(t) = t 2 i + tj. Mislkn derh sl F dlh {-1, 1}, mk petny dlh F(-1) = i j, dn F(1) = i + j y -1. 1 F(1) 1. 1 x -1 F(-1) Derh sl Derh hsil 1.2 Klkulus Fungsi Vektor Secr intuisi berrti bhw vektor F(t) menuju vektor L pbil t menuju c tu vetor F(t) L menuju 0 pbil t menuju c. Definisi F(t) L F(t) L By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 9
Mengtkn bhw berrti bhw untuk setip > 0 d bilngn > 0 sedemikin sehingg sl sj dipenuhi. Teorem A Mislkn F(t) = f(t)i + g(t)j + h(t)k. Mk F mempunyi limit di c jik dn hny jik f, g, dn h mempunyi limit di c, yitu Contoh. Dikethui F(t) = 2ti + t 2 j 5tk. Hitung Jwb = 2i + j 5k Teorem B (Rumus Pendiferensiln) Mislkn F dn G fungsi vektor yng dpt didiferensilkn, h sutu fungsi sklr yng dpt didiferensilkn dn c sebuh sklr, mk: 1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 1.3 Gerk Sepnjng Kurv Mislkn t menggmbrkn wktu dn ndikn koordint sebuh titip P yng bergerk ditentukn oleh persmn prmeter x = f(t), y = g(t). Mk vektor r(t) = f(t)i + g(t)j yng berpngkl di titik sl dinmkn vektor posisi titik P pd st t. Apbil t berubh ujung vektor r(t) bergerk sepnjng lintsn titik P. Lintsn ini dlh sebuh kurv dn gerk yng dijlni oleh P dinmkn gerk sepnjng kurv. Sejln dengn gerk linier definisi keceptn v(t) dn perceptn (t) di titik P dlh V(t) = r (t) dn (t) = r (t) Contoh 1 Andikn sebuh titik P bergerk sepnjng lingkrn dengn pust (0,0) dn dengn rdius r, sert ndikn P bergerk dengn lju sudut konstn sebesr rdin tip detik. Apbil kedudukn wlny berd di (r, 0), tentukn keceptn, perceptn, dn rh perceptn dri gerk melingkr. Jwb Dikethui r(t) = r cos t i + r sin t j, mk v(t) = - r sin t i + r cos t j, dn (t) = - r 2 cos t i - r 2 cos t j = - r 2 r(t) Jdi, rh perceptnny menuju ke pust dn tegk lurus dengn keceptnny. By Lukmn, M.Si. Pendidikn Mtemtik FPMIPA UPI Bndung 10