Bab 8. Minggu 14 Model Binomial untuk Opsi

Bab 8. Minggu 14 Model Binomial untuk Opsi

Tujuan Pembelajaran Setelah menyelesaikan perkuliahan minggu ini, mahasiswa bisa : Menjelaskan model binomial dalam pergerakan harga saham Menjelaskan model binomial untuk harga opsi call tipe Eropa dan Amerika Menurunkan formula harga opsi call tipe Eropa dan Amerika

Opsi Call Tipe Amerika Perbedaan Opsi call tipe Eropa dengan tipe Amerika adalah pada fleksibilitas waktu pelaksaaannya (exercise), yaitu: Tipe Eropa: opsi hanya dapat dijalankan pada saat jatuh tempo. Tipe Amerika: opsi dapat dijalankan pada sembarang waktu sampai jatuh tempo. Dalam praktek, banyak opsi di pasaran bertipe Amerika Secara teori, harga opsi call tipe Amerika sama dengan tipe Eropa

Model Binomial Mengasumsikan harga saham mengikuti proses binomial multiplikatif Harga saham naik menjadi S*u dengan probabilitas p atau turun sebesar S*d dengan probabilitas 1-p (d<1<r<u)

Model Pohon Binomial Harga Saham Ilustrasi model pohon binomial harga saham untuk 4 periode

Dari ilustrasi sebelumnya, maka diperoleh formula harga saham di node tertentu, yaitu: S * m k S0u d Harga saham naik sebanyak m kali dan turun sebanyak k kali dari S 0 Cox, Ross, dan Rubinstein menentukan nilai u dan d sedemikian rupa sehingga hasilnya cocok dengan model Black-Scholes, yaitu: t 1 u e dan d e u volatilitas saham t n = banyak perubahan harga saham dalam waktu T t = T n

Probabilitas harga saham naik/ turun Jika kita berada di t 0, maka expected value harga saham pada waktu Δt =t 1 dapat ditentukan dengan: E( S ) ps (1 p) S t u d 1 Jika pohon binomial dalam kondisi risk neutral untuk memenuhi asumsi random walk, maka harga saham bergerak dengan faktor e rδt setelah waktu Δt, dengan r adalah suku bunga bebas resiko. Sehingga berlaku: r t S0 e psu (1 p) Sd...*)

Dari persamaan *) dapat diperoleh nilai p rt S e ps (1 p) S 0 S e ps u (1 p) S d rt 0 0 0 r t S0 e S0 u pu (1 p) d rt e p( u d) d p e u rt d d Nilai p merupakan fungsi dari data r, σ, dan t d

Prinsip : Kentungan opsi yang dipegang oleh pembeli opsi = keuntungan penjual opsi yang menginvestasikan uang premi opsi-nya ke dalam suatu portofolio (B,S). Uang premi opsi dibelikan portofolio pada waktu t 0 : Saham: S 0 Rekening bank: e -rδt B

Pada waktu nol, modal V 0 kita investasikan Δ saham dan e -rδt B rekening bank, sehingga pada periode berikutnya, portofolio kita akan mempunyai dua kemungkinan nilai, seperti ilustrasi berikut: Pohon Binomial Nilai Portofolio Pohon Binomial Nilai Opsi Samakan nilai portofolio dengan nilai opsi, sehingga diperoleh: S B V u S B V d u d...1)...2)

Dari persamaan 1) dan 2) yang diperoleh sebelumnya, dilakukan eliminasi sehingga diperoleh: S B V u S B V d ( S S ) V V u u d u d d V S u u V S d d Mensubstitusikan nilai Δ pada persamaan 1) diperoleh: B S V u d d u S u S V S d

Selanjutnya, nilai opsi pada waktu t 0 dapat ditentukan sebagai berikut: rt V0 S0 e B = V V S V S V S e S S S S u d rt u d d u 0 u d u d Vu Vd = ( u d ) S = = 0 S 0 V V uv dv e u d u d u d rt d u ( uvd dvu) S r t e ( u d) S rt 1 rt 1 u de V ue V u d d 0 0

V 0 = rt 1 rt de ue 1 Vu u d u d rt rt rt rt rt rt e d u e rt e Vu Vd V e e d e u e Vu u d u d Dipunyai u d u d e d e d u e p dan q 1 p 1 u d u d u d rt rt rt d V d

Harga opsi merupakan diskonto atau nilai sekarang dari nilai ekspektasi atau nilai harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo. V 0 = rt rt e pvu e qvd rt e pvu qvd

Opsi Eropa : Metode Backward Harga opsi dimulai dari nilai opsi pada waktu jatuh tempo Nilai opsi pada akhir periode, t n, untuk setiap kemungkinan harga saham adalah: max(s T -K,0) Bergerak mundur, nilai opsi dicari pada waktu t n- 1,t n-2 dan seterusnya t 2, t 1, t 0, menggunakan formula di atas. Nilai opsi pada waktu t 0 adalah harga opsi yang dicari.

Algoritma Langkah-langkah untuk menghitung opsi eropa dengan metode backward adalah sebagai berikut : Hitung harga saham pada S i,j = S 0,0 u j d i-j Hitung keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo f N,j = maks ( S N,j -K,0) Lakukan langkah backward, hitung nilai opsi pada node i,j dengan rumus f i,j = e -r t (pf i+1,j+1 + q f i+1,j ), untuk 0 i N-1. Lakukan langkah backward, sampai diperoleh nilai atau harga opsi adalah f 0,0.

Contoh Dipunyai S 0 = $100 K (Strike Price) = $100 σ =.30 r =.05 T = 1 year, n = 4; t = ¼ = 0.25 ; u = e 0.3 0.25 = 1.1618; d = 1/u = 0.8607 ; p = 0.5043. Berikut perubahan harga saham dan keuntungan opsi :

Dengan menggunakan metode backward dicari nilai opsi pada node 31 sebagai berikut Kita gunakan formula di atas untuk mendapatkan V 0 = e -r t (pv u + q V d ) = e -.05(.25) (.5043*82.21+(1 -.5043)*34.99) = $58.07

Dengan cara yang sama diperoleh nilai opsi pada tiaptiap node, dan harga opsi $13.53. Sedangkan harga opsi B-S $14.23. Perbedaan ini terjadi karena dalam model binomial, dalam waktu 1 tahun, kita memodelkan ada 4 perubahan harga saham. Kurang sesuai dengan kenyataan di lapangan.

Opsi Amerika : Metode Backward Opsi amerika adalah opsi yang bisa dijalankan setiap waktu sampai waktu jatuh tempo. Untuk itu perlu dilihat kondisi di tiap node tiap waktu : Apakah menjalankan opsi sekarang lebih menguntungkan dibandingkan dengan nilai harapan jika opsi itu dilanjutkan (S T -K) > (e -rδt (pv u +qv d )?

Opsi Amerika : Metode Backward Harga opsi dimulai dari nilai opsi pada waktu jatuh tempo, t n, untuk setiap kemungkinan harga saham adalah: max(s T -K,0) Bergerak mundur, nilai opsi dicari pada waktu t n- 1,t n-2 dan seterusnya t 2, t 1, t 0, menggunakan formula Nilai opsi pada waktu t 0 adalah harga opsi yang dicari. * * max[ e r t pv u qv d,max( ST K,0)]

Contoh. Opsi call pada contoh di atas akan dihitung dengan menggunakan model amerika: 1. Pohon binomial perubahan harga saham 2. Pohon binomial nilai opsi pada waktu jatuh tempo

Menentukan pohon binomial perubahan harga saham dan nilai opsi pada waktu jatuh tempo 1001.1618 116.18 1.1618 134.99 1.1618 100 0.8607 86.07 0.8607 74.08 0.8607

Contoh Perhitungan di node Perhitungan nilai a Formula V 0 diberikan seperti tipe Eropa bernilai $58.07. Nilai early exercise pada node tersebut = max (156.83 100, 0) = $56.83 Sehingga nilai opsi pada node itu adalah $58.07 Perhitungan nilai b Formula V 0 diberikan seperti tipe Eropa bernilai $17,43. Nilai early exercise pada node tersebut = max (116,18 100, 0) = $16.18 Sehingga nilai opsi pada node itu adalah $17.43

Hasil Proses perhitungan berlanjut sampai t 0, sehingga akan diperoleh nilai opsi call Amerika, yaitu sebesar $13.53, sama seperti perhitungan harga opsi call tipe Eropa

Terima Kasih