1 BAB VI. PENERAPAN INTEGRAL 6.1. Lus Derh Bidng Dtr Derh di ts sumu-. Andikn y = f() menentukn persmn seuh kurv di idng-y dn ndikn f kontinu dn tk negtif pd selng [, ]. Lus derh R yng ditsi oleh y = f(), =, =, dn y = 0 dlh A(R) = f ( ) d Contoh 1: Tentuknlh lus derh R diwh kurv y = + di ntr = -1 dn =. y = - + Jw: A(R) = ( 1 + ) d = 5 5 [ ] 1 16 1 1 51 = ( + ) ( ) = = 5, 1 5 5 10
Penyelesin dengn Derive: AreUnderCurve(f(),,,, y) dlh menggmr derh R yng ditsi grfik fungsi y = f() di ts sumu- di ntr = dn =. 1. Tulislh: AreUnderCurve( +,, -1,, y), enter, sm dengn. Klik icon gmr. Tulislh: A(R):= int( +,,-1,), enter. Klik icon sm dengn, llu proksimsi. Jdi lus derh R dlh A(R) = 5,1 Derh di wh sumu-. Andikn y = f() menentukn persmn seuh kurv di idng-y dn ndikn f kontinu dn tk negtif pd selng [, ]. Lus derh R yng ditsi oleh y = f(), =, =, dn y = 0 dlh A(R) = f ( ) d
Contoh : Tentuknlh lus derh R diwh kurv y = di ntr = - dn =. y = Jw: A(R) = ( ) d = 9 [ + ] 7 8 15 = ( + 1) ( 8) = = 16, 11 9 9 9 Penyelesin dengn Derive: AreOverCurve(f(),,,, y) dlh menggmr derh R yng ditsi grfik fungsi y = f() di wh sumu- di ntr = dn =. 1. Tulislh: AreOverCurve(,, -,, y), enter. Klik icon gmr. Tulislh: A(R):= int(,, -, ), enter. Klik icon sm dengn, llu proksimsi.
Jdi lus derh R dlh A(R) = 15/9 = 16,11. Derh di knn sumu-y. Andikn = f(y) menentukn persmn seuh kurv di idng-y dn ndikn f kontinu dn tk negtif pd selng [, ]. Lus derh R yng ditsi oleh = f(y), y =, y =, dn = 0 dlh A(R) = f ( y) dy Contoh : Tentuknlh lus derh R yng ditsi oleh kurv = y + cos(y) di ntr y = 0 dn y =.
5 = y + cos(y) Jw: A(R) = y + cos( y) dy = 0 y + [ sin( y)] 0 = 9 + sin() =,50 + 0,111 =,6 Penyelesin dengn Derive: AreUnderCurve(f(y), y,,, ) dlh menggmr derh R yng ditsi grfik fungsi = f(y) di knn sumu-y di ntr y = dn y =. 1. Tulislh: AreUnderCurve(y + cos(y), y, 0,, ), enter. Klik icon gmr. Tulislh: A(R):= int(y + cos(y), y, 0, ), enter. Klik icon sm dengn, llu proksimsi.
6 Jdi lus derh R dlh A(R) =,6 Derh di kiri sumu-y. Andikn = f(y) menentukn persmn seuh kurv di idng-y dn ndikn f kontinu dn tk negtif pd selng [, ]. Lus derh R yng ditsi oleh = f(y), y =, y =, dn = 0 dlh A(R) = - f ( y) dy AreOverCurve(f(y), y,,, ) dlh menggmr derh R yng ditsi grfik fungsi = f(y) di kiri sumu-y di ntr y = dn y =. Contoh : Tentukn lus derh R yng ditsi oleh = cos( y) y di ntr y = 1 dn y = (liht tugs kelompok)
7 Derh di ntr Du Kurv. Andikn kurv y = f() dn y = g() dengn f() g() pd selng [, ]. Lus yng ditsi oleh f() g(), =, = dlh ( f ( ) g( )) d Contoh 5: Tentuknlh lus derh di ntr kurv y = dn y = y = y = - Jw: A(R) = [ 5 5 1 ] 0 1 1 7 = ( 1 ) = = 0, 7 5 15 ( ) d = 1 0 Penyelesin dengn Derive: AreBetweenCurves(f(), g(),,,, y) dlh menggmr derh R yng ditsi grfik fungsi y = f() dn y = g() di ntr = dn =. 1. Deklsikn: f():= dn g():=. Tulislh: AreBetweenCurves(,,, 0, 1, y)
8. Klik icon gmr. Tulislh: A:= int(f()-g(),, 0, 1), enter 5. Klik icon sm dengn, llu proksimsi. Jdi lus derh di ntr y = dn y = dlh 0,7. AreBetweenCurves(f(y), g(y), y,,, ) dlh menggmr derh R yng ditsi grfik fungsi = f(y) dn = g(y) di ntr y = dn y =. Tugs Kelompok 1. Konstruksi lngkh-lngkh menentukn lus derh R yng ditsi oleh = cos( y) y di ntr y = 1 dn =, Jw:,7.. Konstruksi lngkh-lngkh menentukn lus derh R yng ditsi oleh y = + di ntr = -1 dn =, Jw: /. Konstruksi lngkh-lngkh menentukn lus derh R yng ditsi oleh kurv y = dn y =. Jw: 15/
9 Sol-Sol Ltihn Gmrlh derh yng ditsi grfik persmn-persmn yng dikethui, kemudin tentuknlh lus derh yng terentuk. 1. y 1 =, y = 0, di ntr = 0 dn =. y = ( )( + ), y = 0, di ntr = 0 dn =. y = 1 ( 7), y = 0, di ntr = 0 dn =. y =, y = 0, di ntr = - dn = 5. y = ( )( + 1), y = 6. y =, y = 7. = 8y y, = 0 8. = y y, y = 0 9. y = 0, y + 1 = 0 10. y = + 6, y =, dn y + = 0 1 11. Tinjulh kurv y = untuk 1 6 () Hitunglh lus diwh kurv ini () Tentuknlh c sedemikin sehingg gris = c memgi du lus pd () sm esr (c) Tentuknlh d sedemikin sehingg gris y = d memgi du lus pd () sm esr
0 6.. Volume Bend Putr Apil seuh derh rt, yng terletk seluruhny pd stu sisi dri seuh gris tetp dlm idngny, diputr mengelilingi gris terseut, derh itu kn mementuk seuh end putr. Gris tetp diseut sumu end putr. Metode Ckrm Menentukn volume end yng dientuk oleh derh R yng ditsi kurv y = f(), =, = diputr mengelilingi sumu- dengn metode ckrm dlh V = π ( f ( ) ) d Contoh 6: Tentuknlh volume end putr yng dientuk oleh derh R yng ditsi oleh kurv y =, sumu-, dn gris = pil R diputr mengelilingi sumu-. Jw: V = π ( ) ) d = 0 0 π. d
1 16 = π[ ] 0 = π ( ) = 8π = 5, 1 Penyelesin dengn Derive Cr 1: Menggunkn rumus V= π ( f ( )) 1. Menggmr derh R: AreUnderCurve(,, 0,, y) enter. Klik icon gmr d. Deklrsikn: V:= π. int(,,0,) enter. Klik sm dengn, llu klik proksimsi Jdi volume end putr yng ditsi oleh kurv y =, sumu-, dn gris y = pil R diputr mengelilingi sumu- dlh V = 8 π = 5,1.
Cr : Volume_Of_Revolution(f(),, 1, ) dlh menghitung volume derh yng ditsi oleh y = f(), sumu-, di ntr = 1 dn = di putr mengelilingi sumu-. 1. Menggmr derh R: AreUnderCurve(,, 0,, y) enter. Klik icon gmr. Tuliskn: VOLUME_OF_REVOLUTION(,, 0, ) enter. Klik sm dengn, llu proksimsi
Menentukn volume end yng dientuk oleh derh R yng ditsi kurv = f(y), y =, y = diputr mengelilingi sumu-y dlh V = π ( f ( y) ) d Contoh 6: Tentuknlh volume end putr yng dientuk oleh derh R yng ditsi oleh kurv y =, sumu-y, dn gris y = pil R diputr mengelilingi sumu-y. Jw: V = π ( y ) d = 0 0 π /. y d 16 9. 9 = π[ y 5 / ] 0 = π ( ) = π = 11, 76 5 5 Penyelesin dengn Derive Cr 1: Menggunkn rumus V= π ( f ( y)) 1. Menggmr derh R: AreUnderCurve( y, y, 0,, ) enter d
. Klik icon gmr. Deklrsikn: V:= π.int( y /, y,0,) enter. Klik sm dengn, llu klik proksimsi Cr : Volume_Of_Revolution(f(y), y, y1, y) dlh menghitung volume derh yng ditsi oleh = f(y), sumu-y, di ntr y = y1 dn y = y di putr mengelilingi sumu-y. 1. Menggmr derh R: AreUnderCurve(y 1/, y, 0,, ) enter. Klik icon gmr. Tuliskn: VOLUME_OF_REVOLUTION(y 1/, y, 0, ) enter. Klik sm dengn, llu proksimsi
5 Metode Cincin. Menentukn volume end yng dientuk oleh derh R yng ditsi kurv y = f() dn y = g() dengn f() g() dintr =, = diputr mengelilingi sumu- dengn metode cincin dlh V = π ( f ( ) g( ) ) d Contoh 7: Tentuknlh volume end putr yng dientuk oleh derh R yng ditsi oleh kurv y = dn y 8 = diputr mengelilingi sumu-.
6 y = y = 8 Jw: 5 8 V = π ( 8 8π ) d = π[ ] 0 = = 0, 16 5 5 0 Penyelesin dengn Derive Menggunkn rumus V= π ( f ( ) g( ) d : 1. Deklrsikn f(): 8 dn g(): =. Tulislh: AreBetweenCurves( 8,,, 0,, y). Klik icon gmr. Deklrsikn: V:= π.int( f ( ) g( ),,0,) enter 5. Klik sm dengn, llu klik proksimsi
7 Jdi volume end putr yng ditsi oleh kurv y = 8 dn y = mengelilingi sumu- dlh V = 8 π /5 = 0,16. Tugs Kelompok: 1. Konstruksilh lngkh-lngkh mencri volume end putr yng dientuk oleh derh R yng ditsi oleh kurv pil R diputr mengelilingi sumu-y. = y, sumu-y, dn gris y =. Konstruksilh lngkh-lngkh mencri volume pd contoh 6, untuk R diputr mengelilingi sumu-y (Metode Kulit Tung). Gunkn:. Rumus V = π. f ( ) d. VOLUMEY_OF_REVOLUTION (y,, 0, )
8. Konstruksilh lngkh-lngkh mencri volume end putr dengn metode kulit tung diputr mengelilingi sumu y = c, c konstn. (Gunkn: rumus V= π (c ) y d ). Konstruksilh lngkh-lngkh mencri volume end putr yng dientuk oleh derh R yng ditsi oleh kurv y = dn y 8 = mengelilingi sumu-y. Sol-Sol Ltihn Dlm sol-sol (1-5) gmrlh derh R yng ditsi oleh grfik persmn, kemudin tentukn volume end putr yng terentuk pil R diputr mengelilingi sumu-. 1. y =, π =, y = 0. 1 y =, =, =, y = 0. y = 9, =, =, y = 0. = y, = 0, y = 1 5. = y + 1, = 0, y =, y = 0 Dlm sol-sol (-6) gmrlh derh R yng ditsi oleh grfik persmn, kemudin tentukn volume end putr yng terentuk pil R diputr mengelilingi sumu-y. 6. = y, = 0, y =
9 7. = y, = 0, y = 8. = y /, = 0, y = 9 1 9. y =, = 1, =, y = 0 10. y =, =, y = 0 Dlm sol-sol (11-1) gmrlh derh R yng ditsi oleh grfik persmn, kemudin tentukn volume end putr yng terentuk pil R diputr mengelilingi gris yng dierikn. 11. y =, = 5, y = 0 mengelilingi gris = 5 1. y = 9 ( 0), = 0, y = 0 mengelilingi gris = 1. = y, = 0, y = mengelilingi gris y = 1. = y + 1, = 0, y = 0, y = mengelilingi gris y =
50 6.. Pnjng Kurv Bidng dn Lus Permukn Bend Putr Pnjng Kurv Kurv idng ditentukn sepsng persmn prmetrik = f(t), y = g(t), t, dengn fungsi f dn g kontinu pd selng terseut. Anggp t menytkn wktu, pil t ertmh dri ke mk (, y) menyelusuri sutu kurv di idng. Rumus pnjng kurv: L = f '( t) + g'( t) dt ; entuk prmetrik = f(t), y = g(t), dn t. Contoh 8: Crilh pnjng kurv = t +, y = t - 1 dengn 1 t Jw: d/dt = 6t, dy/dt = 6t L = f '( t) + g'( t) dt = ( 6t ) + (6t ) dt = 6 + t t dt = 6 t 1+ t dt 1 1 1 Mislkn u = 1 + t mk du = t dt Untuk t = 1 diperoleh u = dn t = diperoleh u =17 Sehingg: 6 t 1+ t dt = 17 1 u du = [ u ] = (17 / - / ) = 1,5 / 17 Jdi pnjng kuv dlh 1,5 stun pnjng
51 PARA_ARC_LENGTH(v, t,, ) dlh menghitung pnjng kurv entuk prmetrik entuk vektor v = [(t), y(t)] dengn t. Cr 1 (menggunkn PARA_ARC_LENGTH(v, t,, ): 1. Tulislh: PARA_ARC_LENGTH([t +, t -1/], t, 1, ) enter.. Klik sm dengn, llu proksimsi Cr (menggunkn rumus): 1. Deklrsikn: f(t):= dif(t +, t) dn g(t):= dif( t 1/, t). Deklrsikn: L:=int( (f(t) + g(t) ), t, 1, ). Klik sm dengn, llu proksimsi
5 Rumus pnjng kurv: L = 1 + f '( ) d ; entuk y = f(), dn. Contoh 9: Crilh pnjng kurv / y = dri titik (1,1) ke titik (,8). Jw: dy/d = 1/ 9 L = 1 + f '( ) d = 1+ ( 1/ ) d = 1+ d Misl u = 1 + 9/ mk du = 9/ d 1 1
5 Untuk = 1 diperoleh u =1/ dn = diperoleh u =10 10 9 1+ d = 1 9 1 / u du = / 10 8 / / 1 [ u ] 1 / = [10 ] = 7,6 9 7 Penyelesin dengn Derive: ARC_LENGTH(f(),,, ) dlh menghitung pnjng kurv entuk y = f() dengn. Cr 1 (menggunkn ARC_LENGTH(f(),,, ): 1. Tulislh: ARC_LENGTH( /. Klik sm dengn, llu proksimsi,, 1, ) enter. Jdi pnjng kurvny dlh 7,6 Cr (menggunkn rumus): 1. Deklrsikn: f():=dif( /, )
5. Deklrsikn: L:=int( (1 + (f()) ),, 1, ). Klik sm dengn, llu proksimsi Tugs Kelompok:: Selesikn contoh 9 dengn menggunkn:. Rumus: L = 1 + f '( y) dy ; entuk = f(y), dn y.. Konstruksi dengn Derive
55 Lus Permukn Bend Putr Rumus lus permukn end putr: A = π g( t) f '( t) + g'( t) dt ; entuk prmetrik = f(t), y = g(t), t diputr mengelilingi sumu-. A = π f ( ) 1+ sumu-. f '( ) d ; entuk y = f(), dn diputr mengelilingi Are_Of_Revolution(f(),,, ) dlh menghitung lus permukn il y = f() ntr = dn = diputr mengelilingi sumu-. Arey_Of_Revolution(f(),,, ) dlh menghitung lus permukn il y = f() ntr = dn = diputr mengelilingi sumu-y. Contoh 10: Crilh lus permukn end putr il kurv mengelilingi sumu-. Jw: dy/d = 1/ y =, 0 diputr 1 A = π f ( ) 1+ f '( ) d = π 1+ ( ) d = π + 1 d 1 / = [ π.. ( + 1) ] 0 = 6, 18 Penyelesin dengn Derive: Cr 1 (menggunkn Are_Of_Revolution(f(),,, ) ): 1. Tulislh: Are_Of_Revolution(,, 0, ) enter. 0 0
56. Klik sm dengn, llu proksimsi Jdi lus permukn end putr dlh 6,18 Cr (menggunkn rumus): 1. Deklrsikn: f():= enter. Deklrsikn: g():=dif(f(), ) enter. Deklrsikn: A(R):= π.int( (1 + (g()) ),, 0, ). Klik sm dengn, llu proksimsi
57 Tugs Kelompok: 1. Konstruksilh lngkh-lngkh mencri pnjng kurv = y ; 0 y dlm du cr.. Konstruksilh lngkh-lngkh mencri lus permukn end putr il kurv / y =, 1 diputr mengelilingi sumu-y dlm du cr.. Konstruksilh lngkh-lngkh mencri lus permukn end putr il kurv = cos( t) y = sin( t), - t diputr mengelilingi sumu-.
58 Sol-sol Ltihn Crilh pnjng kurv-kuv yng dierikn 1. y =, dintr = 1 dn =. y = sin( ), dintr = 0 dn = π. y = +, dintr = 1 dn =. y =, dintr = 1/ dn = 5 5. y = ( / ), dintr = 1 dn = 8 6. y 1 = +, 16 y dintr y = dn y = 7. = sin( y), dintr y = 0 dn y = π 8. t = t, y = ; 0 t 1 9. = sin( t), y = cos( t) 5; 0 t π 10. = sin ( t), y = cos ( t); 0 t π Crilh lus permukn end putr yng terentuk il kurv-kurv: 11. y = 6, 0 1 mengelilingi sumu 1. y = 6, 0 1 mengelilingi sumu y 1. y = /, 1 7 mengelilingi sumu 1. y = /, 1 7 mengelilingi sumu y 15. = t, y = t, 0 1 mengelilingi sumu
59 6.. Momen dn Pust Mss Momen Hsil kli mss m sutu prtikel dengn jrk errhny dri sutu titik (lengn tus) dinmkn momen prtikel terhdp titik terseut. Dengn kt lin Momen = pnjng lengn tus kli mss tu M = m m Gmr 1. Jdi, M m n i= 1 = = n i= 1 m i m i i Titik dinmkn pust mss (titik kesetimngn) Contoh 11: Mss seesr,, 6, dn 7 kilogrm msing-msing diletkkn pd titik-titik 0, 1,, dn sepnjng sumu-. Crilh pust mssny. Jw: (0)() + (1)() + ()(6) + ()(7) = + + 6 + 7 = =,1 19 Distriusi mss yng kontinu sepnjng kwt dengn kepdtn di dlh δ() dlh
60 δ ( ) d M = = m δ ( ) d Contoh 1: Kepdtn δ() sepotong kwt di titik yng terletk sentimeter dri slh stu ujungny dlh δ() = grm/sentimeter. Tentukn pust mss kwt ntr = 0 dn = 10. Jw: =. d d = 7500 1000 = 7,5 cm Tugs: Hitung contoh 1 di ts menggunkn derive Pust Mss (centroid) Are_Centroid(,,, y, f(), g()) dlh untuk menghitung pust mss derh R yng ditsi oleh dengn y = f() dn y = g(). Contoh 1: Tentuknlh pust mss derh R yng ditsi oleh 0 1, y =, dn y =. Penyelesin dengn Derive: 1. Gmr derh R: AreBetweenCurves(,,, 0, 1, y). Gmr pust mss: Are_Centroid(, 0, 1, y, (, ). Klik sm dengn, llu proksimsi
61 Jdi pust mss derh R dlh (0,8; 0,) Tugs: Hitunglh contoh 1 di ts dengn menggunkn rumus: = d g f d g f ) ( ) ( [ )] ( ) ( [ = d g f d g f y ) ( ) ( [ ] ) ( ) ( [
6 Sol-Sol Ltihn 1. Prtikel-prtikel ermss m 1 = 5, m = 7, dn m = 9 terletk di 1 =, = -, dn m = 1 sepnjng sutu gris. Crilh pust mssny.. Feni dn Wti ertny msing-msing 5 dn 15 kilogrm duduk pd ujungujung ppn yng pnjngny meter dengn titik tumpu di tengh-tengh ppn. Dimnkh Ari dengn ert 10 kilogrm hrus duduk gr ppn terseut dlm kedn setimng?. Sepotong kwt lurus pnjngny 7 stun mempunyi kepdtn δ() = pd seuh titik yng juhny -stun dri slh stu ujungny. Tentukn jrk dri ujung ini ke pust mss kwt. Dlm sol-sol -5, Mss-mss dn koordint-koordint sutu sistem prtikel dlm idng koordint dierikn. Tentuknlh momen dn pust mssny.., (1,1);, (7,1);, (-,-5); 6, (-1,0);, (,6) 5. 5, (-,); 6, (-,-);, (,5); 7, (,); 1, (7,-1) Dlm sol-sol 6-8, Crilh centroid derh yng dilingkupi oleh kurv yng dierikn dn utlh grfikny. 6. y =, y = 0 7. y =, y = 0, = 1 8. y =, y =, = 1 9. Untuk setip lmin homogen R1 dn R yng ditunjukkn dlm gmr, crilh m, M, M y,, dn y.
6 10. Untuk lmin homogen R yng ditunjukkn dlm gmr, crilh m, M, M y,, dn y.