Integrl Kompleks (Bgin Kestu) Supm Jurusn Mtemtik, FMIPA UGM Yogykrt 55281, INDONESIA Emil:mspomo@yhoo.com, supm@ugm.c.id (Pertemun Minggu XI)
Outline 1 Fungsi Bernili Kompleks 2 Lintsn tu Kontur 3 Integrl Kontur
Fungsi bernili kompleks Terlebih dhulu kn diperkenlkn derivtif dn integrl tertentu fungsi bernili kompleks yng didefinisikn pd sutu derh definisi di dlm sistem bilngn rel R. Diberikn fungsi bernili kompleks w(t) = u(t) + iv(t) dengn t vribel rel. Turunn w, ditulis w (t) tu dw(t) dt w (t) = u (t) + iv (t) slkn u (t) dn v (t) d untuk setip t. didefinisikn sebgi
Fungsi bernili kompleks Dri definisi tersebut, dpt diturunkn sift-sift derivtif fungsi bernili kompleks. Theorem Jik dw 1(t) dt dn dw 2(t) dt d, mk d(w 1(t)+w 2 (t)) dt d(w 1 (t) + w 2 (t)) dt = dw 1(t) dt dn + dw 2(t) dt
Fungsi bernili kompleks Theorem Diberikn fungsi bernili kompleks w(t) = u(t) + iv(t). Jik w (t) d, mk untuk sebrng z 0 C, d(z 0w(t)) dt d dn d(z 0 w(t)) dt dw(t) = z 0. dt Theorem Untuk sebrng z 0 C, d(ez 0 t ) dt d dn d(e z 0t ) dt = z 0 e z 0t.
Fungsi bernili kompleks Perlu diperhtikn, meskipun turunn fungsi bernili kompleks diturunkn dri definisi fungsi bernili rel, nmun ternyt tidk semu sift yng berlku untuk turunn fungsi bernili rel bis dibw ke fungsi bernili kompleks. Sebgi contoh, diperhtikn fungsi w(t) = e it, 0 t 2π (1) Fungsi tersebut kontinu pd [0, 2π], mempunyi turunn w (t) = ie it pd (0, 2π), dn w(0) = w(2π). Akn tetpi w (t) 0 untuk semu 0 < t < 2π. Jdi, di sini tidk berlku Teorem Nili Rt-rt, khususny Teorem Rolle.
Fungsi bernili kompleks Diberikn w(t) = u(t) + iv(t), t [, b]. Integrl tk tentu dri w(t) pd [, b] dlh fungsi W (t) yng terdefinisi pd [, b] sehingg W (t) = w(t) untuk setip t [, b]. Mudh ditunjukkn bhw pbil W (t) dn H(t) keduny merupkn integrl tk tentu dri w(t) pd [, b], mk W (t) H(t) merupkn fungsi konstn pd [, b]. Jdi, sebgimn berlku pd fungsi bernili rel, jik U(t) dn V (t) msing-msing dlh sutu ntiderivtif (integrl tk tentu) dri u(t) dn v(t) pd [, b], mk inetgrl tk tentu dri w(t) pd [, b] dlh W (t) = w(t) = U(t) + iv (t) + K, (2) dengn K sebrng konstnt kompleks.
Fungsi bernili kompleks Untuk sebrng fungsi w(t), t [b], integrl tertentu w pd [, b] didefinisikn sebgi b w(t)dt = b u(t)dt + i b slkn integrl di rus knn keduny d. Jdi, v(t)dt (3) b Re{ Im{ b w(t)dt} = w(t)dt} = b b Re(w(t))dt dn (4) Im(w(t))dt (5)
Fungsi bernili kompleks Selnjutny mudh ditunjukkn sift-sift integrl tertentu sebgimn diberikn dlm teorem berikut. Theorem Jik b w(t)dt dn b h(t)dt keduny d dn c C sebrng konstnt kompleks, mk (i) b (w(t) + h(t))dt = b w(t)dt + b h(t)dt, (ii) b cw(t)dt = c b w(t)dt, dn (iii) b w(t)dt = c w(t)dt + b c w(t)dt untuk setip < c < b. Seperti hlny di dlm klkulus, untuk integrl fungsi bernili kompleks jug berlku teorem fundmentl integrl.
Contoh Exmple Tentukn 1 0 (2t 3it2 )dt. Penyelesin: Kren (2t 3it 2 )dt = t 2 it 3 + K, mk 1 0 (2t 3it 2 )dt = [t 2 it 3 ] 1 0 = 1 i.
Fungsi bernili kompleks Theorem Jik w(t) terintegrl pd [, b], mk w(t) terintegrl pd [, b] dn b b w(t)dt w(t) dt (6) Integrl tk wjr fungsi bernili kompleks didefinisikn sejln dengn definisi integrl tk wjr fungsi bernili rel sebgimn telh diberikn pd mt kulih klkulus.
Lintsn tu Kontur Seperti telh dikethui, integrl fungsi bernili rel dengn vribel rel didefinisikn pd sutu intervl di mn fungsi tersebut terdefinisi. Hl itu tk bis dilkukn untuk fungsi bernili kompleks dengn vribel kompleks, mengingt di dlm C tidk dikenl dny urutn sebgimn di R. Mengingt hl itu, integrl fungsi kompleks dengn vribel kompleks kn didefinisikn pd sutu kurv di dlm bidng dtr. Pd bgin ini, kn dibicrkn kelurg kurv-kurv di dlm bidng dtr yng nntiny kn digunkn untuk mendefinisikn integrl fungsi bernili kompleks dengn vribel kompleks.
Lintsn tu Kontur Diberikn fungsi-fungsi kontinu g dn h yng terdefinisi pd [, b]. Himpunn semu titik z = (x, y) di dlm bidng kompleks sehingg x = g(t) dn y = h(t), t [, b] disebut rc tu kurv. Secr umum, sutu kurv tu rc C dpt pul dirumuskn sebgi z = z(t) = x(t) + iy(t), t b dengn x dn y msing-msing fungsi kontinu pd [, b].
Lintsn tu Kontur Kurv C disebut kurv sederhn jik C tidk memotong diriny sendiri, yitu pbil z(t 1 ) z(t 2 ) untuk setip t 1 t 2. Jik kurv C sederhn keculi pd kedu ujungny (z() = z(b)), mk C dinmkn kurv tertutup sederhn tu kurv Jordn.
Contoh Exmple Poligonl dlh kurv sederhn. Exmple t, 0 t 1 z = 1 + it, 0 t 1 Lingkrn z = 2e it, 0 θ 2π dlh kurv tertutup sederhn.
Lintsn tu Kontur Diberikn kurv z = x(t) + iy(t), t b dengn x (t) dn y (t) keduny d pd [, b]. Kurv z = x(t) + iy(t), t b sehingg x (t) dn y (t) keduny d pd [, b] disebut kurv diferensibel. Turunn dri z(t) dlh z (t) = x (t) + y (t) Selnjutny, kren x (t) dn y (t) terintegrl pd [, b], mk demikin pul dengn z (t) dn b z (t) dt = b (x (t)) 2 + (y (t)) 2, (7) yitu pnjng kurv z sebgimn diberikn di klkulus.
Lintsn tu Kontur Sutu kurv z = z(t), t b, diktkn mulus (smooth) jik z (t) d untuk setip t [, b] dn bernili tidk nol pd (, b). Sejumlh berhingg kurv mulus sehingg ujung sutu kurv bertutn dengn ujung kurv berikutny disebut kontur (contour). Sutu kontur C disebut kontur tertutup sederhn jik titik wl dn titik khir C sm tu berimpit.
Integrl Kontur Pd bgin ini kn dibicrkn integrl fungsi bernili kompleks yng terdefinisi untuk vribel kompleks. Integrl tersebut didefinisikn di sepnjng sutu kontur C, muli dri z = z 1 smpi z = z 2 di bidng kompleks. Jdi, integrl yng dimksud sesungguhny merupkn integrl gris. Nili integrl tergntung tidk hny pd fungsi f, nmun jug pd kontur C.
Integrl Kontur Diberikn fungsi kompleks f dn kontur C dri z 1 ke z 2 di dlm bidng kompleks. Integrl lintsn f pd C ditulis dengn notsi C f (z)dz. Secr umum, nili integrl ini selin bergntung pd f jug bergntung pd lintsn C. Apbil nili integrl tidk bergntung pd C, mk dituliskn z2 z 1 f (z)dz
Diberikn kontur C dengn representsi z = z(t), t b yng memnjng dri z 1 = z() smpi dengn z 2 = z(b). Untuk sebrng fungsi f (z) yng kontinu sepotong-sepotong pd C, yitu pbil f (z) kontinu pd C keculi di sebnyk berhingg titik pd C, integrl kontur f sepnjng kontur C didefinisikn sebgi b f (z)dz = f (z(t))z (t)dt (8) C Untuk sebrng kontur C dengn representsi z = z(t), t b kontur C didefinisikn sebgi sutu kontur yng memut titik sebgimn titik-titik pd C nmun dengn rh yng berlwnn, dri z 2 smpi z 1.
Integrl Kontur Selnjutny, dpt ditunjukkn beberp teorem berikut. Theorem Diberikn kontur C dengn representsi z = z(t), t b yng memnjng dri z 1 = z() smpi dengn z 2 = z(b). Jik f (z) sebrng fungsi yng kontinu sepotong-sepotong pd C, mk f (z)dz = f (z)dz C C
Integrl Kontur Theorem Diberikn kontur C yng terdiri ts kontur C 1 dri z 1 smpi z 2 dn kontur C 2 dri z 2 smpi z 3. Kontur C yng demikin bis ditulis sebgi C = C 1 + C 2. Jik f kontinu sepotong-sepotong pd C, mk f (z)dz = C f (z)dz + C 1 f (z)dz C 2
Integrl Kontur Theorem Jik f dn g keduny kontinu sepotong-sepotong pd sutu kontur C dn z 0 sebrng konstnt kompleks, mk (f (z) + g(z))dz = f (z)dz + g(z)dz C C C dn z 0 f (z)dz = z 0 C C f (z)dz
Contoh Exmple Jik C dlh kontur yng terdiri ts penggl gris C 1 dri z = 0 smpi z = 1 dn penggl C 2 dri z = 1 smpi z = i, mk hitunglh ((x + 2y) 3ixy)dz C
Integrl Kontur Theorem Diberikn fungsi kompleks f yng kontinu sepotong-sepotong pd sutu kontur C. Jik terdpt M > 0 sehingg f (z) M untuk setip z C, mk f (z)dz ML C dengn L menytkn pnjng kontur tu lintsn C. Bukti: Dengn memperhtikn (7), mk teorem terbukti.
Integrl Kontur Exmple Jik C dlh kontur berbentuk setengh lingkrn z = 4e iθ dri z = 4 smpi z = 4, mk tunjukkn bhw z 16π dz z + 1 3 C Bukti: Mudh dimengerti bhw pnjng kontur C dlh L = 4π. Selnjutny, kren untuk semu z C berlku z z + 1 z z 1 = 4 3, mk z C z + 1 dz (4 16π )(4π) = 3 3.