Rainbow Connection Hasil Operasi Graf Muhlisatul mahmudah, Dafik, CGANT-University of Jember Department of Mathematics FMIPA University of Jember Maxlisa74@gmail.com Department of Mathematics Education FKIP University of Jember, d.dafik@unej.ac.id Abstract Misalkan G adalah graf terhubung yang konektif dan sederhana. Amalgamasi dari graf G yang dinotasikan dengan Amal(G, e, n), adalah kombinasi graf G yang berpusat di satu sisi e sebagai porosnya. Selanjutnya joint graph G = G + G adalah kombinasi dua graf G dan G dimana V (G) = V (G ) V (G ) dan E(G) = E(G ) + E(G ) {uv uǫv (G ), vǫv (G )}. Dan terakhir shackle graf tribun yang dinotasikan G = shack (Tribun, n) yaitu untuk setiap i ǫ [, n] dengan G i isomorfik dengan graf Tribun T n, Shack(G, G,, G n ) dinamakan shackle dari T n. Suatu u v path P di G dikatakan rainbow path jika tidak ada dua sisi di P yang memiliki warna sama. Graf G dikatakan rainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan oleh rainbow path. Pewarnaan sisi yang menyebabkan G bersifat rainbow connected dikatakan rainbow coloring. Rainbow connection number dari graf terhubung G, ditulis rc(g), didefinisikan sebagai banyaknya warna minimal yang diperlukan untuk membuat graf G bersifat rainbow connected. Pada makalah ini akan dikaji tentang berapa bilangan rainbow connection untuk graf Buku Segiempat B n,graf Kipas K n dan graf G = shack(tribun, n). Key Words : Graf Operasi, Rainbow Path, Rainbow Connection Number. Pendahuluan Perkembangan teori graf saat ini tidak hanya secara teoritis, tetapi juga secara aplikatif seperti dalam ilmu jaringan komunikasi, transportasi, ilmu komputer, musik, dan ilmu-ilmu lainnya. Salah satu topik yang dipelajari dalam teori graf adalah pengoperasian graf dan rainbow connection. Graf yang dihasilkan dari pengoperasian graf yaitu gabungan dari dua buah graf atau lebih sehingga menghasilkan sebuah graf. Sedangkan untuk Rainbow connection pada graf pertama kali diperkenalkan pada tahun 006 oleh Chartrand dkk []. Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial dan didefinisikan pewarnaan sisi c : (EG) {,,,k} kǫn. Sedemikian sehingga dua sisi yang bertetangga boleh memiliki warna yang sama. Suatu u v path P di G dikatakan rainbow path jika tidak ada dua sisi di P yang memiliki warna sama. Graf G dikatakan rainbow connected jika setiap dua titik yang berbeda di G dihubungkan oleh rainbow path. Konsep rainbow connection dapat digunakan untuk pengamanan pengiriman informasi rahasia antar pemerintah dan agen. Dalam hal ini, pemerintah
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 75 dan agen tidak diizinkan untuk saling mencek informasi karena berhubungan dengan keamanan nasional, sehingga informasi kepada agen satu dan lainnya harus menggunakan sandi. Dengan demikian, akan terdapat satu atau lebih lintasan informasi untuk setiap dua agen dan harus dipastikan tidak ada sandi yang berulang. Kata sandi setiap lintasan harus berbeda, sehingga harus ditentukan jumlah sandi yang dibutuhkan, agar terdapat satu lintasan yang aman antara dua agen. Situasi inilah yang dimodelkan dalam bilangan rainbow connection. Pengoperasian dilakukan pada graf Cycle C 4, graf Path P n dengan graf komplit K dan graf Tribun T n. Untuk graf Cycle C 4 dilakukan operasi Amalga masi, untuk graf Path P n dengan graf komplit K dilakuan operasi joint, lihat [4] [5]. Sedangkan untuk graf Tribun dilakukan pengoperasian shackle yaitu G = shack (T ribun, n). Amalgamasi pada graf Cycle C 4 yaitu Amal(C 4,e,n) yang dinotasikan B n seperti pada figure. x n y n x y x y x y z z Figure : Graf Amal(C 4,e,n) yang dinotasikan B n Untuk graf Path P n dengan graf komplit K dilakukan operasi Joint. Joint antara graf P n dengan K yang dinotasikan P n +K menjadi seperti figure. P n + K dimana V (K n ) = V (P n ) V (K ) dan E(K n )= E(P n ) + E(K ) uv uǫv (P n ),vǫv (K ) x x 4 x 5 x x 6 x p x n Figure : P n + K disimbolkan dengan K n Untuk pengorasian graf selanjutnya dimisalkan n adalah bilangan bulat
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 76 positif dan graf belenggu (Shackle) dinotasikan dengan Shack(G,G,,G n ) sebagai sebuah graf yang dibentuk dari k graf terhubung taktrivial G,G,,G n sehingga untuk setiap s,t ǫ [,n] dengan s t berlaku G s dan G t tidak mempunyai titik yang sama, dan untuk setiap i ǫ [,n ], G i dan G i+t mempunyai tepat satu titik yang sama, disebut titik penghubung, dan n titik penghubung itu semua berbeda. Dalam kasus ini shackle graf Tribun dinotasikan dengan dari T n =Shack(Tribun,n). Figure merupakan graf G = shack (Tribun,) y 4 x 5 z 6 z 5 y x 6 x z 4 z y x 4 x z z y x Figure : Graf T n = shack (Tribun,) Pada penelitian ini akan dibahas tentang bilangan rainbow connection dari suatu graf G dengan memperhatikan sifat-sifat tertentu dari komplemen graf tersebut. Teorema yang Digunakan Beberapa teorema terkait batas atas dan bawah dari rainbow connection. Theorem [0] Andaikan G adalah graf terhubung dengan order n dan mempunyai degree sekurang-kurangnya d(g) =. Jika G {K,C 4,K 4 e,c 5 }, maka rc(g) n.
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 77 Theorem [0] Andaikan G adalah graf terhubung dengan d(g). Maka (i) jika G adalah interval graph, maka k(g) rc(g) k(g) +, sedangkan yang lainnya jika G unit interval graph, maka k(g) = rc(g) (ii) jika G adalah AT-free, maka k(g) rc(g) k(g) + (iii) jika G adalah sebuah threshold graph, maka k(g) rc(g) (iv) jika G adalah chain graph, maka k(g) rc(g) 4 (v) jika G adalah sebuah sircular arc graph, maka k(g) rc(g) k(g) + 4 Hasil dan Pembahasan Rainbow connention pada graf buku segiempat. Graf buku segiempat dinotasikan dengan B n berasal dari hasil pengoperasian graf yaitu Amalgamasi dari graf cycle C 4 sehingga dapat dituliskan Amal(C 4,e,n). Graf buku segiempat B n merupakan graf yang terdiri dari n buah segiempat n dengan setiap segiempat memiliki sebuah sisi yang dipakai bersama atau dengan kata lain setiap segiempat memiliki titik yang sama. Teorema Untuk n rainbow connection number dari graf buku segiempat B n adalah rc(b n ) =, untuk n =, untuk n = 4, untuk n Bukti. Graf buku segiempat adalah graf yang terdiri dari kumpulan himpunan sisi dan titik dimana himpunan titiknya yaitu V (B n ) = {z,z,x i,y i ; i n} dan himpunan sisinya E( B n )= {z z } {z x i z y i ; i n} {x i y i ; i n }. Jumlah titik pada graf B n yaitu p = V = n+ dan jumlah sisi q = E = n +. Berdasarkan Theorem [0] dinyatakan bahwa k(b n ) rc(b n ) (B n )+. Untuk n =, graf B mempunyai diameter maka rc(b ) Namun demikian terbukti bahwa rc(b ). Warnai B dengan fungsi berikut: f (e) = {, e = z x ; e = z y, e = z z ; e = x y
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 78 Jelas bahwa f : E(B ) {,} dengan rc(b ) jadi rc(b )=. Untuk n =, graf B mempunyai diameter maka rc(b ) 4, Namun demikian terbukti bahwa rc(b ). Warnai B dengan fungsi berikut: f (e) =, e = z x i untuk i n, e = z y i untuk i n, e = z z ; e = x i y i untuk i n Jelas bahwa f : E(B ) {,,} dengan rc(b ) jadi rc(b ) =. Untuk n, graf B mempunyai diameter 4 maka 4 rc(b ) 5. Namun demikian terbukti bahwa rc(b ) 4. Warnai B figure 4 dengan fungsi berikut: xn yn x y x x y y z 4 z Figure 4: B 4 dengan rcb 4 = 4 f (e) =, e = z x i untuk i n, e = z y i untuk i n, e = x i y i untuk i n 4, e = z z Jelas bahwa f : E(B ) {,,, 4} dengan rc(b ) 4 jadi rc(b )=4. adalah Berdasarkan tiga kasus diatas maka nilai rainbow connection numbernya rc(b n ) =, untuk n =, untuk n = 4, untuk n
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 79 Rainbow connention pada graf kipas. Graf kipas berasal dari hasil pengoperasian graf yaitu joint dari graf path P n denga graf komplit K sehingga dapat dituliskan P n + K. Graf kipas K n merupakan graf n buah dengan n. Teorema Untuk n rainbow connection number dari graf kipas K n adalah rc(k n ) =, untuk n =, untuk n =, untuk n Bukti. Graf kipas adalah graf dengan misalkan graf kipas memiliki himpunan titik V (K n )= {x i,p; i n} dan himpunan sisi E(K n )= {x i x i+ ; i n,px i ; i n }. Jumlah titik pada graf kipas yaitu p = V = n + dan jumlah sisinya yaitun q = E n, Berdasarkan Theorem [0] dinyatakan bahwa k(k n )) rc(k n ) k(k n )+. Untuk n =, graf K mempunyai diameter maka rc(k ), namun demikian terbukti bahwa rc(k ). Warnai K dengan fungsi berikut: f 4 (e) =, e = x x ; e = Px,Px Jelas bahwa f 4 : E(K ) {} dengan rc (K ) jadi rc(k )=. Untuk n =, graf (K ) mempunyai diameter maka (K ), Namun demikian terbukti bahwa rc(k ). Warnai (K ) dengan fungsi berikut: f 5 (e) = {, e = x x ; e = Px ; e = Px, e = Px ; e = x x Jelas bahwa f 5 : E(K ) {,} dengan rc(k ) jadi rc(k ) =. Untuk n, graf (K ) mempunyai diameter maka (K ) 4. Namun demikian terbukti bahwa rc(k ). Warnai (K ) figure 5 dengan fungsi berikut: f 6 (e) =, e = x i x i+ untuk i n, e = Px i untuk i ǫ ganjil i n, e = Px i untuk i ǫ genap i n Jelas bahwa f 6 : E(K n ) {,,} dengan rc(k n ) jadi rc(k n )=.
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 80 x 4 x x 5 x x 6 x p xn Figure 5: (K 7 ) dengan rc(k 7 )= Berdasarkan tiga kasus diatas maka nilai rainbow connection, untuk n = rc(k n ) =, untuk n =, untuk n Teorema Nilai rainbow connection number untuk graf T n = shack(tribun,n) adalah rc(t n ) = n. Bukti. Graf T n = shack (Tribun,n) adalah graf hasil shackle (belenggu) sebuah graf tribun sebanyak n kali sehingga memiliki V (T n ) = {x i,z, y j ; i n ; j n+} dan himpunan sisinya E(T n )= {x i z i ; i ǫ ganjil} {y j x j ; j j + } {z i x i ;i ǫ genap; i n } {y j z j ; j n } {z i z i+ ;i ǫ ganjil; i n } {y j x j ; j n } {x i z i ;i ǫ genap; i n } {z i y j+ ;i ǫ ganjil; i n ; j n + } {z i y i+ ;i ǫ genap; i n ; j n + }. Jumlah titik pada graf T n yaitu p = V = 5n + dan jumlah sisi q = E = 9n. Batas atas dan batas bawah dari graf rc(t n ) adalah k(t n ) rc(t n ) k(t n )-. Graf T n memiliki diameter n sehingga berdasarkan Theorem, maka n rc(t n ) n +. Warnai Graf T n dengan fungsi berikut:
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 8 f 6 (e) = i, e = x i z i untuk i n j, e = y j x j untuk j n ; e = y j z j untuk j n + i, e = z i z i+ untuk i ǫ ganjil i n; e = z i x i untuk i ǫ genap i n j, e = y j x j untuk j n ; e = z i y j+ untuk i ǫ ganjil i n; j n + ; e = z i y j+ untuk i ǫ genap i n; j n + Berdasarkan fungsi edge tersebut warna sisi terbesar muncul pada rc(t n ) = i, e = e = z i z i+ i ǫ ganjil i n dan e = z i x i i ǫ genap i n Jika diambil nilai n terbesar maka warna sisi terbesar dari T n adalah n. Jelas bahwa f 6 :E(T n ) {,,,...,n}, dengan demikian rc(t n ) = n. Figure 6 adalah contoh Graf T n = shack(tribun,) dengan rc(t ) = 6. y 4 6 6 x 5 6 z 6 5 5 5 z 5 6 5 y 6 x 6 4 4 4 x z 4 z 4 y 4 x 4 x z z y x Figure 6: Graf T n = shack(tribun,) dengan rc(t ) = 6.
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 8 Kesimpulan Rainbow connection pada sebarang graf yang telah dioperasikan menggunakan Amalgamasi, joint dan shacle didapatkan teorema mengenai Rainbow connection yaitu untuk graf buku segiempat B n :, untuk n = rc(b n ) =, untuk n = 4, untuk n untuk graf kipas K n : rc(k n ) =, untuk n =, untuk n =, untuk n Untuk graf T n ) = shack(tribun,n) didapatkan nilai rainbow connection numbernya adalah rc(t n ) = n. References [] B.Bollobas, External Graph Theory, Academic Pres, London,978. [] Chartrand, G., Kalamazoo, G.L.Johns, S Valley, K.A. McKeon. 006. Rainbow Connection in Graphs. New London :London. [] Chartrand,G.dkk.008. Rainbow Connection in Graph. Math.Bohem. : 85 98. [4] Dafik. 007. Structural P roperties and Labeling of Graph. Tidak dipublikasikan (Tesis) Australia : The University of Ballarat. [5] Dafik, M. Miller, J. Ryan and M. Bača, On super (a,d)-edge antimagic total labeling of disconnected graphs, Discrete Math., 09 (009), 4909-495. [6] J.A. Galian. 009. A Dynamic Survey of Graph Labelling. [serial on line]. http:www.combinatorics.org/surveys/ds6.pdf. [7 Agustus 00].
Muhlisatul. M, et.al: Rainbow Connection Hasil Operasi Graf... 8 [7] Li, X. dan Sun, Y. 0. Rainbow Connections of Graphs. Springer, New York. [8] M. Bača, Y. Lin, M. Miller and R. Simanjuntak, New constructions of magic and antimagic graph labelings, Utilitas Math. 60 (00), 9 9. [9] N.Alon and J.H.Spencer The Probabilistic Method, Second Edition, Wiley, New York,000. [0] X.Li and Y.Sun, Rainbow connection numbers of complementary graphs, arxiv:0.457v [math.co], 00.(008