MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan jenis baru. Bilangan jenis baru ini dinamakan bilangan imajiner atau bilangan kompleks.
BILANGAN KOMPLEKS DAN OPERASINYA Definisi Bilangan kompleks adalah bilangan ang berbentuk: a + bi atau a + ib, a dan b bilangan real dan i =. Notasi Bilangan kompleks dinatakan dengan huruf, sedang huruf dan menatakan bilangan real. Jika = + i menatakan sembarang bilangan kompleks, maka dinamakan bagian real dan bagian imajiner dari. Bagian real dan bagian imaginer dari bilangan kompleks biasana dinatakan dengan Re() dan Im(). 3
OPERASI HITUNG PADA BILANGAN KOMPLEKS DEFINISI Bilangan kompleks = +i dan bilangan kompleks = +i dikatakan sama, =, jika dan hana jika = dan =. DEFINISI 3 Untuk bilangan kompleks = +i dan = +i jumlah dan hasilkali mereka berturut-turut didefinisikan sbb: + = ( + ) + i( + ) = ( ) + i( + ) 4
Himpunan semua bilangan kompleks diberi notasi C Jadi C = { = + i, R, R }. Jika Im()=0 maka bilangan kompleks menjadi bilangan real, sehingga bilangan real adalah keadaan khusus dari bilangan kompleks, sehingga R C. Jika Re()=0 dan Im() 0, maka menjadi i dan dinamakan bilangan imajiner murni. Bilangan imajiner murni dengan =0, akni bilanga i, dinamakan satuan imajiner. 5
Sifat-sifat lapangan bilangan kompleks Himpunan semua bilangan kompleks bersama operasi penjumlahan dan perkalian (C,+, ) membentuk sebuah lapangan (field). Adapun sifat-sifat lapangan ang berlaku pada bilangan kompleks, dan 3 adalah sebagai berikut:. + C dan C. (sifat tertutup). + = + dan = (sifat komutatif) 3. ( + )+ 3 = +( + 3 ) dan ( ) 3 = ( 3 ) (sifat assosiatif) 4. ( + 3 )=( )+( 3 ) (sifat distribtif) 5. Ada 0=0+i0 C, sehingga +0= (0 elemen netral penjumlahan) 6
6. Ada =+i0 C, sehingga = (elemen netral perkalian 7. Untuk setiap =+ic, ada = i) sehingga +( )=0 8. Untuk setiap =+ic, ada - =sehingga - =. Tugas: Buktikan sifat-sifat 8 menggunakan definsi ang telah diberikan. 7
Contoh soal:. Jika = +i dan = +i, buktikan bahwa: = ( )+i( ). Diketahui: =+3i dan =5 i. tentukan +,,, dan 8
Kompleks Sekawan Jika = + i bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari ditulis, didefinisikan sebagai = (, ) = i. Contoh: sekawan dari 3 + i adalah 3 i, dan sekawan dari 5i adalah 5i. Operasi aljabar bilangan kompleks sekawan di dalam himpunan bilangan kompleks memenuhi sifat-sifat berikut : 9
Teorema : a. Jika bilangan kompleks, maka :.. 3. 4. Re() Im() Re() Im( ) 0
b. Jika, bilangan kompleks, maka :.. 3. 4., dengan 0.
Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks Karena = + i dapat dinatakan sebagai = (,), merupakan pasangan terurut bilangan real, maka dapat digambarkan secara geometri dalam koordinat Kartesius sebagai sebuah titik (,). Pemberian nama untuk sumbu diubah menjadi sumbu Real dan sumbu diubah menjadi sumbu Imajiner. Bidang kompleks tersebut di beri nama bidang Argand atau bidang. Jika kita hubungkan titik asal (0,0) dengan titik (,), maka terbentuk vektor; sehingga bilangan kompleks = +i = (,) dapat dipandang sebagai vektor. Arti geometris dari penjumlahan dan pengurangan bilangan kompleks dapat dilihat pada gambar berikut.
Im (,) Bidang Argan O Re 3
Im O Re 4
Im O Re 5
Tugas : Diketahui = + 3i dan = 5 i. Gambarkan pada bidang kompleks (bidang argand),,, +, -,,,, 6
Modulus (Nilai Mutlak) dari Bilangan Kompleks Definisi 4 : Jika = +i = (,) bilangan kompleks, maka modulus dari, ditulis = +i = Arti geometri dari modulus adalah merupakan jarak dari titik O(0,0) ke = (,). Akibatna, jarak antara dua bilangan kompleks = +i dan = +i adalah ) ( ) ( 7
Selanjutna apabila = +i dan r real positif, maka = r merupakan lingkaran ang berpusat di titik dengan jari-jari r. Bagaimanakah dengan < r dan > r Gambarkanlah pada bidang. 8
Teorema : A. Jika bilangan kompleks, maka berlaku :.. 3. 4. 5. Re() Im() Re() Re() Im() Im() 9
B. Jika, bilangan kompleks, maka berlaku :.. 3. 4. 5. Tugas : Buktikanlah teorema A di atas dengan memisalkan = +i, kemudian berdasarkan hasil A, buktikan juga teorema B! 0
. Bukti: ( i) ( i) ( ) i( ) ) ( ) ( ( ( ) ( ) ( ) )
. Bukti: i i i i i ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( terbukti.
3. Bukti: ( ) ) ( )( ) ) ( )( ) ( )( ) 0 0 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ( terbukti 3
4. Bukti: 4
Bentuk Kutub (Polar) dan Eksponen dari Bilangan Kompleks Selain dinatakan dalam bentuk = +i = (,), bilangan kompleks dapat dinatakan pula dalam bentuk koordinat kutub atau Polar, aitu = (r,). Im (,) (r, ) r O Re 5
Adapun hubungan antara keduana, adalah : = r cos, = r sin, sehingga = arc tan (,) dan ( r, ) adalah sudut antara sumbu positif dengan o didapat juga r Jadi, bentuk kutub bilangan kompleks adalah = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis. dan sekawan dari adalah = (r, -) = r(cos - i sin ). 6
Definisi 5 : Pada bilangan kompleks = (r, ) = r(cos + i sin ), sudut disebut argument dari, ditulis arg. Sudut dengan 0 < atau - < disebut argument utama dari, ditulis = Arg. Pembatasan untuk sudut tersebut dipakai salah satu saja. Definisi 6 : Dua bilangan kompleks = r (cos + i sin ) dan = r (cos + i sin ) dikatakan sama, jika r = r, dan =. 7
Selain penulisan bilangan kompleks = (, ) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis, maka anda dapat menuliskan dalam rumus Euler (eksponen), aitu = re i, dan sekawanna adalah re -i. Tugas: Buktikan bahwa e i = cos + i sin, dengan menggunakan deret MacLaurin untuk cos, sin dan e t dengan mengganti t = i. 8
Contoh : Natakan bilangan kompleks = + i dalam bentuk polar dan eksponen! 9
Contoh : Natakan bilangan kompleks = + i dalam bentuk polar dan eksponen! Jawab : 4 = + i, r =, tan =, sehingga = 45⁰= 4 4 4 Jadi = (cos + i sin ) = cos = i e 4 30
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah = r(cos + i sin ). Jika = r (cos + i sin ) & = r (cos + i sin ), maka kita peroleh hasil perkalian keduana sebagai berikut : = [r (cos + i sin )][r (cos + i sin )] = r r [(cos cos - sin sin ) + i (sin cos + cos sin )] = r r [cos ( + ) + i sin ( + )] 3
Dari hasil perkalian tersebut diperoleh: arg( ) = + = arg + arg Pertanaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan... n dan = n? 3
Jika diketahui: = r (cos + i sin ) = r (cos + i sin ) n = r n (cos n + i sin n ), untuk n asli, maka secara induksi matematika, diperoleh rumus perkalian n = r r r n [cos ( + + + n ) + i sin ( + + + n )]. Akibatna jika, = r(cos + i sin ) maka n = r n (cos n + i sin n)........... Khusus untuk r =, disebut Dalil De-Moivre (cos + i sin ) n = cos n + i sin n, n asli. 33
Pembagian: Sedangkan pembagian dan adalah sebagai berikut: r (cos r (cos isin isin Setelah pembilang dan penebut dikalikan dengan sekawan penebut, aitu r (cos - i sin ), maka r diperoleh : r [cos ( - ) + i sin ( - )] Dari rumus di atas diperoleh: arg - = arg arg. ) ) 34
Akibat lain jika = r(cos + i sin ), maka: cos( ) isin( ) r Untuk: n n r cosn isinn. Setelah pembilang dan penebut dikalikan sekawan penebut, maka didapat : cos( n) isin( n) n n r....... 35
Dari dan diperoleh: n r n cos(n ) isin(n, ) Dalil De-Moivre berlaku untuk semua n bilangan bulat. 36
Contoh: Hitunglah : 3 i 6 Jawab : Misalkan karena 3di kuadran i cosiv, 30maka isin dipilih 30 jadi r tan 3,i maka 3 3 6 6 o o 3 i cos 80 isin 80 6 6 o ( 0) o o 30 37
Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika n = w, dan ditulis w. Jika = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari n = w diperoleh: n (cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +k, k bulat. Akibatna Jadi... n dan r k n n 38
Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: k k = rn [cos( n ) + i sin ( )], n k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan n = w, ada n buah akar berbeda ang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,,,3,,(n-); 0 k <, sehingga diperoleh,, 3,, n n sebagai akar ke-n dari. 39
Contoh : Hitunglah (-8) /4 Jawab : Misalkan = (-8) /4, berarti harus dicari penelesaian persamaan 4 = -8. Tulis = (cos +i sin) dan 8 = 8(cos80 0 +i sin80 0 ), sehingga 4 (cos4 +i sin4) = 8(cos80 0 +i sin80 0 ), diperoleh 4 = 8, atau = 3 dan. k 4 Jadi = 3[cos( )+i sin( )] k 4 k 4 Keempat akar ang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,,,3 ke persamaan terakhir. 40
Latihan Soal Bab I. Buktikan Teorema dengan memisalkan = (,) = + i.. Diketahui = 6 + 5i dan = 8 i. Tentukan +, -,, dan / 3. Jika = --i, buktikan + + = 0. 4. Cari bilangan kompleks ang memenuhi sifat: a. - = dan b. 5. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks berlaku :. +. = Re(. ) 6. Hitung jarak antara = + 3i dan = 5 i. 4
7.Gambarkan pada diagram argand dan sebutkan nama kurva ang terjadi : a. 5 = 6 dan 5 > 6 b. + i = i c. < i < 3 8.Natakan bilangan kompleks = -i dalam bentuk polar dan eksponen! 9. Hitunglah (-+i) 5 0.Tentukan himpunan penelesaian dari : 3 - i = 0 4