Junal Matematika Integatif ISSN 1412-6184 Volume 11 No 2, Oktobe 2015, pp 85-96 Teoema Bebasis Aksioma Sepaasi dalam Ruang Topologi Albet Ch. Soewongsono, Aiyanto, Jafauddin Juusan Matematika Fakultas Sains dan Teknik Undana Kupang Jalan Adisuipto Kampus Penfui Kupang NTT Email: albet_soewongsono@yahoo.o.id ABSTRAK Pada atikel ini dikaji kaakteistik dan hubungan antaa aksioma-aksioma sepaasi dalam uang-uang topologi yaitu, uang T1, uang T2 (Ruang Hausdoff), uang T3, uang T4, dan uang metik. Aksioma sepaasi adalah suatu aksioma yang digunakan untuk mengklasifikasikan uang-uang topologi bedasakan distibusi himpunan tebukanya. Metode yang digunakan dalam kajian ini adalah dengan menggabungkan pemis-pemis dai aksioma sepaasi dalam uang-uang topologi sehingga dapat dipeoleh teoema yang menghubungkan uang-uang topologi. Pada kajian ini, dipeoleh hubungan antaa uang-uang topologi tesebut yakni, setiap uang T4 adalah uang T3, setiap uang T3 adalah uang T2, setiap uang T2 adalah uang T1 tetapi tidak belaku untuk penyataan sebaliknya. Dipeoleh juga bahwa, setiap uang metik memenuhi semua aksioma sepaasi dalam uang T1, T2, T3, dan T4. Diskusi tentang aksioma sepaasi dalam uang topologi masih tebuka dengan membandingkan aksioma sepaasi dai uang-uang topologi yang lebih kompleks sepeti, uang Tyhonoff dan uang Uysohn. Kata kuni : Aksioma sepaasi, uang topologi, uang metik, uang T1, uang T2, uang T3, uang T4. ABSTRACT In this pape, examined haateisti and elationship between sepaation axioms in topologial spaes whih ae, T1 spae, T2 spae (Hausdoff spae), T3 spae, T4 spae, and meti spae. Sepaation axioms ae axioms that use to lassified these topologial spaes based on distibution of the open sets. The method that has been used in this pape is by ombining pemises of sepaation axiom in topologial spaes so able to find theoems that onnet these topologial spaes. The esults show thee ae elations between these topologial spaes suh as, evey T4 spae is T3 spae, evey T3 spae is T2 spae, evey T2 spae is T1 spae but not the evese statement. Also given that, evey meti spae fulfils all sepaation axioms in T1 spae, T2 spae, T3 spae, and T4 spae. The disussion about sepaation axiom in topologial spaes is still open by ompaing sepaation axiom in moe omplex topologial spaes suh as, Tyhonoff spae and Uysohn spae. Keywods : Sepaation axioms, topologial spae, meti spae, T1 spae, T2 spae, T3 spae, T4 spae. 1. Pendahuluan Pada matematika tedapat banyak abang ilmu yang dipelajai. Salah satunya adalah matematika analisis dimana dipelajai konsep tentang sistem bilangan. Matematika analisis tebagi menjadi dua bagian yaitu, analisis eal yang mempelajai konsep pada sistem bilangan eal dan analisis kompleks yang mempelajai konsep pada sistem bilangan kompleks. Pada analisis eal, bebeapa konsep yang dipelajai antaa lain, limit fungsi, deivatif, integal, dan lain-lain. Pada pekembangannnya dikenal analisis moden atau analisis abstak. Topologi dan uang topologi adalah salah satu abang dai analisis ini (Apostol, 1974). Banyak hal menaik yang dapat dipelajai dalam uang topologi, salah satunya adalah tentang aksioma sepaasi dalam uang-uang topologi yang mengklasifikasikan uang-uang topologi bedasakan distibusi himpunan tebuka (Lipshutz, 1983; Roy, 2013). Aksioma sepaasi yang membeikan ii dai masing-masing uang topologi. Bedasakan aksioma sepaasinya, dapat diai hubungan antaa uang-uang topologi yakni, uang T1, uang T2 (Ruang Hausdoff), uang T3, uang T4, dan uang metik. Untuk mendapatkan hubungan tesebut, posedu penelitian yang dilakukan antaa lain, pemapaan 85
Albet Ch. Soewongsono et al/ JMI Vol. 11 No. 2, Oktobe 2015 pp. 85-96 definisi uang topologi dan uang metik, penjelasan aksioma-aksioma sepaasi dai masingmasing uang topologi, dilanjutkan dengan elaboasi pemis dai aksioma-aksioma sepaasi dalam uang T1, uang T2 (Ruang Hausdoff), uang T3, uang T4 sehingga, dapat dipeoleh hubungan antaa uang T1, uang T2 (Ruang Hausdoff), uang T3, uang T4, dan uang metik melalui penuunan teoema-teoema dan setelah dipeoleh hubungan tesebut dapat dibentuk pengelompokkan uang-uang topologi dan uang metik dai yang mempunyai lingkup tesempit hingga yang mempunyai lingkup teluas.. Oganisasi atikel ini pada bagian 2 menjelaskan definisi uang topologi dan uang metik seta teoema-teoema yang dipelukan pada bagian 3 yang membahas hubungan antaa uang T1, uang T2 (Ruang Hausdoff), uang T3, uang T4, dan uang metik. 2. Ruang Topologi dan Ruang Metik Pada bagian ini akan dibeikan definisi pembentukan uang topologi dan uang metik seta bebeapa definisi dan teoema lain yang dipelukan dalam pembahasan pada bagian 3. 2.1 Ruang Topologi Konsep tentang topologi dan uang topologi beawal dai pembahasan mengenai himpunan tebuka dalam dimana, dibahas mengenai titik dalam, titik batas, dan titik limit (Batle, 1992). Bebeapa sifat himpunan tebuka dalam sistem bilangan eal adalah sebagai beikut : Misalkan adalah keluaga semua himpunan tebuka dalam, maka memenuhi sifatsifat, (i),, (ii) A, I dimana I adalah himpunan indeks, dan (iii) I AB, A B (Lipshutz, 1983; Kone, 2014). A Pada pekembangannya, konsep tesebut dapat diabstaksikan menjadi tidak hanya didefinisikan dalam sistem bilangan eal melainkan pada sebaang himpunan tidak kosong X yang memenuhi bebeapa sifat beikut. Misalkan X adalah sebaang himpunan tidak kosong. adalah keluaga himpunan bagian tebuka dai X yang memenuhi sifat-sifat : (i), X A I A (ii), I I adalah himpunan indeks (iii) A, B A B maka, disebut topologi pada X dan pasangan ( X, ) (Lipshutz, 1983; Kone, 2014). disebut sebagai uang topologi Definisi 2.1.1. Titik Dalam (Inteio Point) pada Ruang Topologi Diketahui X, adalah uang topologi dan A X. Titik p disebut titik dalam (inteio point) himpunan A bila ada Gp dan Gp A (Lipshutz, 1983). Definisi 2.1.2. Himpunan Tebuka Himpunan A dikatakan tebuka jika semua anggotanya adalah titik dalam (inteio point) dai A (Soemanti, 2004). Teoema 2.1.3 Setiap pesekitaan adalah himpunan tebuka (Batle, 1992). Bukti. Diambil a dan 0. Akan ditunjukkan, N ( a) x : x a. Diambil 86
Junal Matematika Integatif ISSN 1412-6184 Volume 11 No 2, Oktobe 2015, pp 85-96 sebaang titik y N ( a). Selanjutnya, dibentuk y a dan jelas. Misalkan, maka 0. Dibuat pesekitaan N ( y ) dan diambil sebaang titik z N ( y) maka dipeoleh, z a z y y a ( ) atau za yang beati, z N ( a). Jadi, jika z N ( y) maka z N ( a) ekuivalen dengan N ( y) N ( a). Sehingga, menuut definisi titik dalam (inteio point), y meupakan titik dalam N ( a) Selanjutnya, kaena y diambil sebaang maka tebukti bahwa pesekitaan N ( a) himpunan tebuka.. meupakan Definisi 2.1.4. Topologi Diskit Misalkan X adalah suatu himpunan tidak kosong dan adalah himpunan kuasa dai X maka, disebut topologi diskit pada X (Lipshutz, 1983). 2.2 Ruang Metik Misalkan X adalah sebaang himpunan tidak kosong. yang memenuhi sifat-sifat : (i) Fungsi d : X x X ( M ) d( x, y) 0, x, y X 1 2 d( x, y) 0 x y, ( M ) d( x, y) d( y, x) x, y X, ( M ) d( x, y) d( x, z) d( z, y) 3 x, y, z X. Disebut metik atau jaak pada X. (ii) Himpunan X dilengkapi dengan suatu metik d, dituliskan dengan X, d disebut uang metik. Jika metiknya telah diketahui maka uang metik ukup ditulis X saja. (iii) Anggota uang metik X, d disebut titik dan untuk setiap x, y X, bilangan non negatif d( x, y) disebut jaak titik x dengan titik y (Damawijaya, 1998; Ampang, 2011). 3. Hasil dan Pembahasan Pada bagian ini akan dibahas mengenai aksioma sepaasi dalam uang T1, uang T2 (Ruang Hausdoff), uang T3, dan uang T4 sehingga, dapat dipeoleh teoema yang menghubungkan uang-uang topologi tesebut dan uang metik. Sebelum itu, akan dibeikan definisi yang menghubungkan uang metik dan uang topologi sebagai beikut. Misalkan d adalah sebuah metik pada himpunan tidak kosong X. Suatu topologi pada X yang dihasilkan oleh kelas dai pesekitaan dalam X disebut topologi metik atau topologi yang dihasilkan oleh metik d. Selanjutnya, himpunan X dengan topologi yang dihasilkan oleh metik d dinamakan, uang metik dan dinotasikan oleh X, d (Lipshutz, 1983). Dengan demikian, suatu uang metik adalah uang topologi dimana topologinya dihasilkan oleh sebuah metik. Oleh kaena itu, semua konsep yang didefinisikan dalam uang topologi juga didefinisikan dalam uang metik (Lipshutz, 1983; Damawijaya, 1998). Akibatnya, dapat diai hubungan antaa uang metik dan uang-uang topologi lainnya dengan mengambil suatu topologi yang dihasilkan oleh suatu metik. 87
Albet Ch. Soewongsono et al/ JMI Vol. 11 No. 2, Oktobe 2015 pp. 85-96 3.1 Hubungan Aksioma Sepaasi dalam Ruang T1 dan T2 Definisi 3.1.1. Aksioma Sepaasi dalam Ruang T1 Ruang topologi X, disebut uang T1 jika untuk setiap p, q X dengan p q GH, sedemikian sehingga pg, ph dan qh, qg. tedapat Teoema 3.1.2 Ruang topologi, singleton { x } adalah himpunan tetutup. Bukti. X meupakan uang T1 jika dan hanya jika untuk setiap x X, Diketahui bahwa X, meupakan uang T1. X dan didefinisikan : { } Diambil sebaang p Diambil sebaang uang T1 maka tedapat GH, p adalah singleton. q { p} X maka, p q sebab { p} p. Kaena, dengan pg, ph dan qh, q G. Jadi, H dengan sifat qh, ph dan H { p}. X adalah Menuut Definisi 2.1.1 tentang titik dalam (inteio point) pada himpunan tebuka maka, q titik dalam (inteio point) himpunan { p }. Kaena q diambil sebaang maka { p } himpunan tebuka dan{ p} himpunan tetutup. Jadi, tebukti bahwa apabila X, meupakan uang T1 maka setiap singleton dai X adalah tetutup. ( ) Diketahui bahwa setiap singleton dai X adalah himpunan tetutup. Diambil sebaang p, q X dan p q. Dibentuk{ p} dan{ q} singleton akibatnya, { p } dan { q } tetutup. Selanjutnya didefinisikan : { } G p dan H { q} maka, G dan H tebuka. Jelas bahwa, ph, pg dan qg, q Jadi, p, q X, G, H ph, pg dan qg, q Dai Definisi 3.1.1 tentang uang T1, tebukti bahwa X, meupakan uang T1. Dai bukti syaat pelu dan syaat ukup maka, Teoema 3.1.2 tebukti. Definisi 3.1.3. Aksioma Sepaasi dalam Ruang T2 Ruang topologi, dengan p q, tedapat GH, pg, q H X meupakan uang T2 (Ruang Hausdoff) jika untuk setiap p, q X dan G H =. Teoema 3.1.4 Setiap uang T2 (Ruang Hausdoff) meupakan uang T1. Bukti. Misalkan Ambil sebaang p, q X, adalah uang topologi dan diketahui bahwa, X dengan p q. Kaena, X adalah uang T2. X adalah uang T2 maka, G, H p G dan q H, G H. Kaena, p G, q H dan G H = maka, ph, q G. Jadi, G, H pg, p H dan qh, q G sehingga, menuut Definisi 3.1.1 tebukti bahwa X, adalah uang T1. Akibat 3.1.5 Tidak semua uang T1 adalah uang T2 (Ruang Hausdoff). 88
Junal Matematika Integatif ISSN 1412-6184 Volume 11 No 2, Oktobe 2015, pp 85-96 Bukti. Andaikan penyataan salah maka setiap uang T1 adalah uang T2. Ambil sebaang p, q X dengan p q maka, G, H pg, q H dan G H. Kaena, GH, maka, G dan H adalah himpunan tebuka tidak behingga sebab G dan H adalah himpunan tetutup dan behingga. Kaena, G H maka G H dan G H. Penyataan G H tidak mungkin tejadi sebab, G tidak behingga dan H behingga. Jadi, pengandaian salah dan penyataan bena yakni, tidak semua uang T1 adalah uang T2. 3.2 Hubungan Aksioma Sepaasi dalam Ruang T2 dan T3 Definisi 3.2.1: Aksioma Sepaasi dalam Ruang Regula Ruang topologi, px, p F maka, tedapat GH,,G H F G dan p X adalah uang egula jika untuk setiap himpunan tetutup F X dan Definisi 3.2.2: Aksioma Sepaasi dalam Ruang T3 Ruang topologi, X meupakan uang T3 apabila X, adalah uang egula dan memenuhi aksioma sepaasi dalam uang T1. Selanjutnya, uang T3 disebut juga sebagai uang egula T1. Teoema 3.2.3 Setiap uang T3 adalah uang T2. Bukti. Diketahui X, adalah uang T3. Diambil sebaang p, qx, p q. Dibentuk singleton { p } sedemikian sehingga { p } tetutup. Jelas bahwa, q{ p} sebab, p q. Kaena X, adalah uang T3 maka,, X adalah uang egula sehingga, GH,, G H { p} G dan q H. Jelas bahwa, p G sebab, { p} G dan p { p}. Jadi, GH, pg, q H dan G H. Sehingga, menuut Definisi 3.1.3 tentang uang T2, tebukti bahwa X, meupakan uang T2. Sifat 3.2.4 Tidak semua uang egula meupakan uang T1. Bukti. Akan ditunjukkan bahwa penyataan bena dengan menggunakan sebuah ontoh penyangkal beikut. Pandang suatu uang topologi X, dimana X { a, b, } dan, X,{ a},{ b, } adalah suatu topologi pada X. Akan ditunjukkan bahwa X, adalah uang egula. Kaena, X,{ a},{ b, } X sebab, X tebuka. sebab, X tebuka. {} a sebab, { a} { b, } tebuka. { b, } sebab, { b, } { a} tebuka. maka, himpunan-himpunan tetutup pada X adalah, Dimana, himpunan-himpunan bagian tetutup dai X dan memenuhi aksioma sepaasi dalam uang egula yakni, (i) Untuk X belaku, a X, a maka G { a}, H { b, }, G H H dan a G. b X, b maka G { a}, H { b, }, G H G dan b 89
Albet Ch. Soewongsono et al/ JMI Vol. 11 No. 2, Oktobe 2015 pp. 85-96 X, maka G { a}, H { b, }, G H G dan Jadi, X memenuhi aksioma sepaasi dalam uang egula. (ii) Untuk { a} X belaku, b X, b{ a} maka G { a}, H { b, }, G H { a} G dan b X, { a} maka G { a}, H { b, }, G H { a} G dan Jadi, { a} X memenuhi aksioma sepaasi dalam uang egula. (iii) Untuk { b, } X belaku, a X, a{ b, } maka G { a}, H { b, }, G H H dan ag. Jadi, { b, } X memenuhi aksioma sepaasi dalam uang egula. Dai (i), (ii) dan (iii) tebukti bahwa X, adalah uang egula. Akan tetapi, X, bukan meupakan uang T1 sebab, tedapat sebuah singleton {} b yang tidak tetutup. Tebukti bahwa tidak semua uang egula meupakan uang T1. Akibat 3.2.5. Syaat Cukup Suatu Ruang Regula Meupakan Ruang T1 Jika suatu uang egula X, dengan meupakan uang T1. Bukti. Diketahui X, adalah suatu topologi diskit maka X, adalah suatu egula dengan adalah suatu topologi diskit yakni, x 2, x X. Ambil sebaang p, qx, p q dan dibentuk singleton { p},{ q} X x bahwa, { p } dan { q } adalah himpunan tetutup sebab, { p},{ q} 2. Dipilih, F { p} X dan q X, qf { p} sebab, p q. Kaena, X,. Jelas adalah uang egula maka, G, H, G H F { p} G dan q H. Jelas bahwa, p G sebab, p { p} dan { p} G tetapi, p H sebab, G H. Belaku juga qh, q G sebab, G H. Jadi, G, H p G \ H dan q H \ G. Sehingga, menuut Definisi 3.1.1 tentang uang T1 tebukti bahwa, uang egula X, juga meupakan uang T1. 3.3 Hubungan Aksioma Sepaasi dalam Ruang T3 dan T4 Definisi 3.3.1. Aksioma Sepaasi dalam Ruang Nomal Ruang topologi X, adalah uang nomal jika untuk setiap F1 dan F2 masing-masing adalah himpunan bagian tetutup dai X yang saling lepas maka, G, H, G H F1 G dan F 2 Definisi 3.3.2. Aksioma Sepaasi dalam Ruang T4 Ruang topologi, X adalah uang T4 apabila, X, meupakan uang nomal dan memenuhi aksioma sepaasi dalam uang T1. Selanjutnya, uang T4 dikenal juga sebagai uang nomal T1. Teoema 3.3.3 Setiap uang T4 adalah uang T3. Bukti. Diketahui bahwa X, adalah uang T4. Diambil sebaang F X meupakan himpunan bagian tetutup dan px, p F. Kaena X, adalah uang T4 maka, X, meupakan uang T1. Dibentuk singleton { p } himpunan tetutup. Jelas bahwa, F{ p} sebab, p F. Selanjutnya, kaena X, 90
Junal Matematika Integatif ISSN 1412-6184 Volume 11 No 2, Oktobe 2015, pp 85-96 adalah uang T4 maka, X, adalah uang nomal sehingga, G, H, G H dan { p} Kaena, p { p} dan { p} H maka, p F G Jadi, G, H, G H F G dan p X, adalah uang egula. Kaena, X, adalah uang egula dan uang T1 maka, bedasakan Definisi 3.2.2 tebukti bahwa X, adalah uang T3. Sehingga, menuut Definisi 3.2.1, Sifat 3.3.4 Tidak semua uang nomal adalah uang T1. Bukti. Akan dibuktikan sifat tesebut dengan menggunakan sebuah ontoh penyangkal beikut. Misalkan X { a, b, } dan, X,{ a},{ b},{ a, b} adalah topologi pada X. Akan ditunjukkan bahwa X, meupakan uang nomal. Kaena, X,{ a},{ b},{ a, b} maka, himpunan-himpunan tetutup dai X, adalah: sebab, X himpunan tebuka. X sebab, X himpunan tebuka. { b, } sebab, { b, } { a} himpunan tebuka. { a, } sebab, { a, } { b} himpunan tebuka. {} sebab, { } { a, b} himpunan tebuka. Dai himpunan-himpunan tetutup di atas, dapat dilihat bahwa himpunan-himpunan tetutup yang saling lepas yaitu, F1 dan F2 X atau { b, } atau { a, } atau {} G, H X dimana, G H X dan belaku F1 G dan F2 Jadi, tebukti bahwa X, di atas meupakan suatu uang nomal. Akan tetapi, X, di atas bukan meupakan uang T1 sebab, tedapat sebuah singleton { a} X yang tidak tetutup. Tebukti bahwa tidak semua uang nomal adalah uang T1. Akibat 3.3.5. Syaat Cukup Suatu Ruang Nomal Meupakan Ruang T1 Jika X, meupakan suatu uang nomal dengan adalah suatu topologi diskit maka, X, meupakan uang T1. Bukti. Diketahui X, adalah suatu uang nomal dengan adalah suatu topologi diskit x yakni, 2, x X. Diambil sebaang p, q X dengan p q. Dibentuk singleton F1 { p}, F2 {} q X. x Jelas bahwa, F1 { p} dan F2 {} q himpunan tetutup sebab, { p},{ q} 2 dengan. Kaena,, F1 F2 { p} { q} F1 { p} G dan F2 {} q H. X adalah uang nomal maka, G, H, G H Jelas bahwa, p G sebab, p{ p} F1 dan F1 { p} G tetapi, p H sebab,g H. Belaku juga, q H sebab, q{} q F2 dan F2 {} q H tetapi, q G sebab, G H. Jadi G, H p G \ H dan q H \ G. Sehingga, menuut Definisi 3.1.1 tentang uang T1 tebukti bahwa, uang nomal X, meupakan uang T1. 91
Albet Ch. Soewongsono et al/ JMI Vol. 11 No. 2, Oktobe 2015 pp. 85-96 3.4 Hasil Utama: Teoema Fundamental Sepaasi dalam Ruang Topologi Pada bagian ini, akan dibeikan kumpulan teoema yang menghubungkan uang metik dengan uang-uang topologi yang dinamakan teoema fundamental sepaasi dalam uang topologi. Teoema 3.4.1 Setiap uang metik meupakan uang T1. Bukti. Didefinisikan X, d adalah uang metik. Diambil sebaang p, q X dengan p q. Kaena X, d adalah uang metik maka, d( p, q) 0. Selanjutnya, dibentuk pesekitaan 1 N ( p ) dan N ( q ) dengan d ( p, q ). 2 Akibatnya, dipeoleh N ( p) N ( q). Menuut Teoema 2.1.3 N ( p ) dan N ( q ) adalah himpunan tebuka. Akibatnya, N ( p), N ( q). Jelas bahwa, pn ( p), pn ( q) dan q N ( q), q N ( p) sebab, N ( p) N ( q) =. Jadi, N ( p), N ( q) p N ( p), p N ( q) dan qn ( q), q bahwa X, d adalah uang T1. Teoema 3.4.2. Setiap uang metik meupakan uang T2 (Ruang Hausdoff)., q Kaena, Bukti. Didefinisikan dengan p. N ( p) dan N ( ) Teoema 2.1.3, ( ) N(p). Sehingga, tebukti X d adalah uang metik. Selanjutnya, diambil sebaang p, q X X d adalah uang metik maka, d( p, q) 0. Dibentuk pesekitaan 1 q dengan, d ( p, q ). Akibatnya, dipeoleh N( p) N( q). Dai 2 N p dan N ( q ) adalah himpunan tebuka. Akibatnya, N ( p), N ( q). Selanjutnya dipeoleh, pn ( p), pn ( q) dan qn ( q), qn ( p) sebab N ( p) N ( q). Jadi, N ( p), N ( q) p N ( p), q N ( q) dan N ( p) N ( q). Sehingga, tebukti bahwa X, d meupakan uang T2. Teoema 3.4.3 Setiap uang metik meupakan uang T3. Bukti. Misalkan adalah suatu topologi pada X oleh metik atau jaak d. Ambil sebaang himpunan tetutup F X dan px, pf. Sehingga, 0, x F belaku d( x, p) 0. Dibentuk : G N ( x) dan xf 4 adalah himpunan tebuka. Sehingga, GH, dan G H. 4 H N ( p) dimana, menuut Teoema 2.1.3, G dan H 92
Junal Matematika Integatif ISSN 1412-6184 Volume 11 No 2, Oktobe 2015, pp 85-96 G H F.x.p Gamba 1. Abstaksi pembentukan G dan H Jadi G, H, G H F G dan p H. Menuut definisi uang egula, dapat disimpulkan bahwa X, d meupakan uang egula. Bedasakan Teoema 3.4.1, telah ditunjukkan bahwa X, d meupakan uang T1. Kaena, X, d memenuhi aksioma sepaasi dalam uang egula dan uang T1 maka menuut definisi uang T3 tebukti bahwa X, d meupakan uang T3. Teoema 3.4.4 Setiap uang metik meupakan uang T4. Bukti. Misalkan adalah topologi pada X oleh metik atau jaak d. Diambil sebaang himpunan-himpunan bagian tetutup F1, F2 X dengan, F1 F2. Sehingga, 0, x F, y F dengan, d( x, y) 0. 1 2 Dibentuk : G N ( x) xf1 4 dan H N ( y) yf2 H himpunan tebuka. Sehingga, GH, dan G H. 4 dimana, dai Teoema 2.1.3 dipeoleh, G dan G H F1 F2.x.y Gamba 2. Abstaksi pembentukan G dan H Jadi G, H, G H F 1 G dan F2 H. Menuut definisi uang nomal, dapat disimpulkan bahwa X, d adalah uang nomal. Selanjutnya, bedasakan Teoema 3.4.1, telah ditunjukkan bahwa X, d meupakan uang T1. Kaena X, d memenuhi aksioma sepaasi dalam uang nomal dan uang T1 maka tebukti bahwa X, d meupakan uang T4. Dai Teoema 3.4.1, Teoema 3.4.2, Teoema 3.4.3, dan Teoema 3.4.4 dapat dikatakan bahwa suatu uang metik memenuhi semua aksioma sepaasi dalam uang-uang topologi yakni, uang T1, uang T2, uang T3, dan uang T4. Sehingga, uang metik temuat dalam 93
Albet Ch. Soewongsono et al/ JMI Vol. 11 No. 2, Oktobe 2015 pp. 85-96 setiap uang-uang topologi tesebut sebagaimana ditunjukkan oleh gamba beikut yang menunjukkan hubungan antaa uang-uang topologi dan uang metik. Ruang Topologi Ruang T 1 Ruang T 2 (Ruang Hausdoff) Ruang T 3 (Ruang Regula T 1 ) Ruang T 4 (Ruang Nomal T 1 ) Ruang Metik Dai Gamba 3 telihat bahwa uang metik memiliki lingkup tesempit sebab, temuat di semua uang-uang topologi sedangkan, uang topologi memiliki lingkup teluas sebab, memuat uang-uang topologi lain dan uang metik. 4. Simpulan Dai hasil kajian ini dipeoleh bahwa dengan menggabungkan pemis dai aksiomaaksioma sepaasi dalam masing-masing uang topologi tesebut, dipeoleh bebeapa sifat sebagai beikut. Setiap uang T2 (Ruang Hausdoff) meupakan uang T1. Selanjutnya, setiap uang T3 (Ruang Regula T1) meupakan uang T2 (Ruang Hausdoff) dan setiap uang T4 (Ruang Nomal T1) meupakan uang T3 (Ruang Regula T1) seta, setiap uang metik meupakan uang-uang topologi tesebut. Akan tetapi, sifat-sifat hubungan antaa uanguang topologi tesebut tidak belaku untuk kebalikannya. Dai hasil kajian ini, dipeoleh juga suatu teoema fundamental sepaasi uang topologi yang meupakan gabungan dai bebeapa teoema yang menyimpulkan bahwa uang metik memenuhi semua aksioma sepaasi dalam uang-uang topologi yakni, uang T1, uang T2 (Ruang Hausdoff), uang T3, dan uang T4. Uapan Teima Kasih Penulis utama dalam atikel ini menyampaikan teima kasih kepada yayasan VDMS yang telah membeikan beasiswa sejak tahun 2014 dan juga kepada UNDANA-DIKTI yang telah membeikan beasiswa Peningkatan Pestasi Akademik (PPA) tahun 2014 kepada penulis utama selama menempuh pendidikan stata 1 di UNDANA hingga teselesaikannya penulisan atikel ini. Dafta Pustaka 1. Alhosaini, Asaas M.A. 2008. t - Open Sets and Sepaation Axioms. Jounal of Kebala Univesity. 6(4): 1-7. Gamba 3. Pengelompokkan uang-uang topologi 2. Ampang, Melyta. 2011. Kajian Ruang Koleksi Semua Fungsi Kontinu dai Inteval Tetutup [a,b] ke Himpunan Bilangan Real (Skipsi). FST-UNDANA: Kupang. 3. Apostol, Tom M. 1974. Mathematial Analysis. 2nd ed. Addison-Wesley. ISBN 978-0-201-00288-1. 4. Batle.R.G, Shebet.R.D. 1992. Intodution To Real Analysis. Jhon Wiley and Sons: New Yok. 94
Junal Matematika Integatif ISSN 1412-6184 Volume 11 No 2, Oktobe 2015, pp 85-96 5. Damawijaya, Soepana. 1998. Penganta Analisis. Peetakan UGM: Yogyakata. 6. Kone. T.W. 2014. Meti and Topologial Spae. Univesity of Cambidge: London. 7. Lipshutz, Seymou. 1983. Geneal Topology: MGaw-Hill Book Company: New Yok. 8. Roy.Bishwambha, Sen.Ritu, Noii.Takashi. 2013. Sepaation Axioms On Topologial Spaes- A Unified Vesion. Euopean Jounal Of Pue And Applied Mathematis. 6(1): 44-52. 95
Albet Ch. Soewongsono et al/ JMI Vol. 11 No. 2, Oktobe 2015 pp. 85-96 96