BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Amrhdi BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR Stndr Kompetensi. Memehkn mslh ng erkitn dengn sistem persmn liner dn pertidksmn stu vriel Kompetensi Dsr. Menelesikn sistem persmn liner dn sistem persmn mpurn liner dn kudrt dlm du vriel. Mernng model mtemtik dri mslh ng erkitn dengn sistem persmn liner. Menelesikn model mtemtik dri mslh ng erkitn dengn sistem persmn liner dn penfsirnn Sistem Persmn Liner Pge

Amrhdi A. Sistem Persmn Liner dengn Du Vriel Sistem persmn liner dlh sutu sistem persmn ng vrielvriel dri persmn terseut erpngkt stu. Sistem persmn liner vriel dn vriel dpt diselesikn dengn : sustitusi, eliminsi, gungn sliminsi-sustitusi dn determinn mtriks.. Persmn Liner dengn du vriel Bentuk umum persmn liner dengn, dn nggot ilngn rel dn,. Psngn (, ) ng mememnuhi persnn liner di ts, sehingg, diseut penelesin dri persmn lier terseut. Penelesin persmn dpt di peroleh dengn memsukn nili semrng terhdp slh stu vrieln kemudin menentukn nili vriel ng linn. Himpunn semu ilngn (, ) ng memenuhi persmn, diseut himpunn penlesin dri persmn, dn selnjutn ditulis HP. Contoh : Tentukn himpun penelesin persmn 4 + = 4 Penelesin: But tel terleih dhulu 4 + = 4 Y (, ) 4 (,4) (,) -4 (,-4) -8 (,-8) 4 - (4,-) HP = {...(, 4), (, ), (, -4), (, -8), (4, )... } Sistem Persmn Liner Pge

Amrhdi. Sistem Persmn Liner Du Vriel. Bentuk umum sistem persmn liner dlh :, dengn,,,, dn merupkn konstnt. Jik, mk sstem persmn diseut persmn homogen,, tetpi pil mk sistem persmn diseut persmn nonhomogen. Contoh : 6 Homogen : 5 8 Non-homogen : 5 4 Untuk menesikn sistem persmn liner du vriel dpt dilkukn dengn eerp r segi erikut:. Metode Grfik Untuk memhmi r menentukn HP SPLDV dengn metode grfik simk ontoh erikut: But tel untuk msing persmn + = X Y (, ) (,) (,) - (,-) - (,-) 4 - (4,-) ` - = Y (, ) - (,-) - (,-) - (,-) (,) 4 (4,) Terliht hw du gris erpotongn di titik (, -). Jdi, Hp = {(, -)} Sistem Persmn Liner Pge

Amrhdi Agr leih jels, lkukn kegitn erikut! Eksplorsi Dengn menggunkn metode grfik, rilh himpunn penelesin dri tip SPLDV erikut ini.. Lengkpi tel! + = - = (, ) (, )................................................ Grfik Grfik persmn + = dn - = diperlihtkn oleh gmr di smping. Kedu gris erpotongn di titik (...,...). Jdi HP dri SPLDV terseut dlh {(...,...)}. Lengkpi tel! + = + = Y (, ) (, )................................................ Sistem Persmn Liner Pge 4

Amrhdi Grfik Grfik persmn + = dn + = diperlihtkn oleh gmr di smping. Kedu gris itu sejjr. Jdi HP dri SPLDV terseut dlh.... Lengkpi tel! + = + = Y (, ) (, )................................................ Grfik Grfik persmn + = dn + = diperlihtkn oleh gmr di smping. Kedu gris itu erhimpit. Jdi HP dri SPLDV terseut dlh... Sistem Persmn Liner Pge 5

Amrhdi Sistem Persmn Liner Pge 6 Dengn mengunkn sift-sift du gris erpotongn, du gris sejjr dn du gris erhimpit, nkn nggot dri himpunn penelesin SPLDV Dpt ditetpkn segi erikut (i) Jik dengn, mk SPLDV mempuni tept stu psng nggot dlm himpunn penelesinn. Dlm hl ini grfik + = erpotongn dengn grfik + =. Sistem persmn liner ini diktkn Konsisiten (ergntung liner). (ii) Jik dengn,, mk SPLDV ini tidk mempuni nggot dlm himpunn penelesinn. Sering diktkn himpunn penelesin sistem persmn ini dlh himpunn kosong ng ditulis { }. Dlm hl ini grfik + = sejjr dengn grfik + = dn sisitem persmn liner ini diktkn tidk konsisiten. (iii) Jik dengn,, mk SPLDV ini mempuni tk hinggg nkn penelesin. Dlm hl ini grfik + = erhimpit dengn grfik + = dn sisitem persmn liner ini diktkn sngt konsisiten (ergntung liner). Ltihn Kompetensi. Crilh himpunn penelesin tip SPLDV erikut dengn metode grfik.. g. 6. h.. i. 4 d. 5 j. e. 8 6 k. f. 7 l. 4. Untuk tip SPLDV di wh ini, rilh nkn nggot dlm himpunn penelesinn (tept stu nggot, tidk memiliki nggot, tu memiliki nggot tk hingg nkn). d. g.. 6 e. 4 h.. f. 4 i. 6 6

Amrhdi. Metode Sustitusi Penelesin sstem persmn dengn metode sustitusi dlh dengn menggnti vriel persmn ng stu dengn vriel dri persmn ng linn. Contoh : Tentukn himpunn Penelesin dri sistem persmn erikut dengn metode Sutitusi: Penelesin Mislkn () () Pilih slh stu psngn, mil persmn () untuk dintkn seegi fungsi = = -...() sustitusi () ke () : + = + ( - ) = + - = 5 = 5 = Sustitusi = 5 ke (): = = Jdi, Hp = {, }. Metode Eliminsi Eliminsi rtin menghilngkn slh stu vriel dri sstem persmn liner, dengn r menmkn konstnt vriel ng dihilngkn sert menggunkn opersi penjumlhn tu pengurngn. Contoh : Tentukn himpunn Penelesin dri sistem persmn erikut dengn metode eleminsi: 8 5 Penelesin: 8...() Mislkn 5...() Kit eleminsi vriel untuk menentukn. + = 8 + = 8 + = 5 9 + = 5 - -7 = -7 = Sistem Persmn Liner Pge 7

Amrhdi Untuk menentukn elelminsi. + = 8 6 + 9 = 4 + = 5 6 + = - 7 = 4 = Jdi, Hp = {, } d. Metode Gungn Eliminsi-Sustitusi Selin r sustitusi dn eleminsi, d pul gungn ntr kedu r ini itu r elminsi-sustitusi. Cr ini diterpkn ser ersmn, mul-mul kit terpkn r eleminsi setelh mendptkn nili vriel pertm, untuk mendptkn nili vriel kedu kit gunkn metode sustitusi. Contoh 4: Tentukn himpunn Penelesin dri sistem persmn erikut dengn metode eleminsi-sutitusi: 4 5 85 7 4 Penelesin 4 5 85...() Mislkn 7 4...() Proses eleminsi Untuk menentukn nili kit eleminsi. -4 + 5 = 85 4-6 + = 4 7-4 = - 5 5 - = -5-9 = 9 9 9 Proses sustitusi Sutitusi = ke (): -4 + 5 = 85-4 () + 5 = 85-4 + 5 = 85 5 = 85 + 4 5 = 5 5 Jdi Hp = {, 5} Sistem Persmn Liner Pge 8

Amrhdi Ltihn Kompetensi. Selesikn sistem persmn erikut ini dengn metode sustitusi llu tuliskn HP-n. 7 f.. 4 6 5,5,6.,5,8 g. m 4p 7 d. m p 6 t k 5 e. k t 5 h. 9. Selesikn sistem persmn erikut ini dengn metode eleminsi llu tuliskn HP-n... 5 4 5,5,6,5,8 7 d. e. 6 4 4 6 4 6. Selesikn sistem persmn erikut ini dengn metode eleminsisustitusi llu tuliskn HP-n 5 5 4. 7 5 d. 4 7 6 4. 6 4 6 8 8. 4 e. 4 4 4. Persmn gris + = 5 mellui titik (, ) dn (, -). Tentukn persmn gris terseut. 5. Usi Buung tig kli usi Vion. Jik kelhirn merek erselng thun, tentukn usi kedun. 6. Ler persegi pnjng dlh setengn pnjngn. Jik persegi pnjng terseut 8 m. Tentukn lusn. 7. Du ilngn jik dijumlhkn menghsilkn. Jik lim kli ilngn ng stu dikurngkn du kli ilngn ng lin hsiln slh -8. Tentukn kedu ilngn itu. 8. Seuh truk tipe tertentu ermss stu ton leih ert dri rt-rt moil sedn. Du truk dn tig sen ermss delpn setegn ton. Tentukn mss kedu tipe kendrn terseut. Sistem Persmn Liner Pge 9

Amrhdi Sistem Persmn Liner Pge 9. Seuh toko usn menggelsr pekn diskon. Semu jenis septu dijul dengnn hrg sm, egitu jug semu jenis ju. Erlin memli psng septu dn 5 ju dn memr Rp 8.,. Din memeli psng septu dn 7 ju dn memr Rp 59.,. Tentukn SPLDV pd sol ini, llu tentukn hrg sepsng septu dn seuh ju.. Jik sutu persegi pnjng tip sisin diperpnjng dm mk lusn menjdi 4 m leih esr, kn tetpi jik lern dikurngi dm dn pnjngn ditmh dm mk lusn erkurng m. Berpkh pjng dn ler persegi pnjng terseut? Tugs! Perhtikn SPLDV dlm entuk umum: dengn dn,,,, dlh ilngn rel. ) Dri persmn, ntkn segi fungsi ) Dri hsil ), sustitusikn vriel ke persmn kemudin tunjukn hw: ) Dri hsil ), sustitusikn nili ke dlm persmn ng diperoleh pd ) kemudin tunjukkn hw: Dri sol ini dpt disimpulkn hw penelesin SPLDV: dlh,

Amrhdi B. Sistem Persmn Liner Tig Vriel (SPLTV) Bentuk Umum : z d z d dimn,,,,,,,,, d,d, d, R z d Menelesikn SPLTV errti menenmukn nili vriel,, dn z ng mememnuhi ketig persmn liner terseut. Penelesin dri SPLTV dlh HP = {(,, )}. Untuk dpt menelesikn sistem persmn liner vriel menggunkn metode :. Metode Sustitusi Contoh 5: Tentukn himpunn penelesin dri + - 5z = - 5 + z = - z = Penelesin Mislkn : + - 5z =...() - 5 + z = -...() z =...() dri (): z = z = 4... (4) sustitusi (4) ke (): -5 + z = - -5 + 4 = - -5 = -5 =... (5) sustitusi (4) dn (5) ke (): + 5z = + () 5(4) = + = = = 5 Jdi, Hp = {(5,, 4)} Sistem Persmn Liner Pge

Amrhdi. Metode eleminsi + sustitusi Contoh 6: Tentukn himpunn penelesin dri 4 + 8 + z = + 7 z = - 4 + z = Penelesin Mislkn: 4 + 8 + z =... () + 7 z = - 4... () + z =... () Dri () dn () dieliminsi untuk vriel z 4 + 8 + z = + 4 + = 6 + 7 z = - 4 + 7 z = - 4 + + = - 8 (4) Dri () dn () dieliminsi untuk vriel z 4 + 8 + z = 8 + 6 + z = 4 + z = + z = - 6 + 9 = (5) Dri (4) dn (5) dieliminsi + = - 8 6 78 + 86 = - 48 6 + 9 = 78 + 47 = - - 6 = - 6 = = disustitusikn ke (4) + = - 8 + () = - 8 = - 9 = - = dn = - disustitusikn ke () 4 + 8 + z = 4 (-) + 8 () + z = - + 8 + z = z = 8 + z = 6 Jdi, Hp = {(-,, 6)} Ltihn Kompetensi. Crilh himpunn penelesin dri tip SPLTV erikut ini. z 4 z. z d. z z z 4 z 5 4z 8. z 4 e. 4z 6 z z 6 8z 5 z. z f. 4 z z z Sistem Persmn Liner Pge

Amrhdi. Crilh himpunn penelesin dri tip SPLTV erikut ini.. 4,5,,z 46 z 4 4,,5,4z.,,8,6z 6 z 8 6 z. 4 z 5 z 4 z 4 d. 5 z z 8 4 5 z. Stu unit pekerjn dpt diselesikn oleh Wildn, Tridin dn Yt ersm-sm dlm wktu 6 jm. Jik diselesikn oleh Wildn dn Tridin ersm-sm pekerjn terseut dpt diselesikn dlm wktu 8 jm. Sedngkn jik diselesikn oleh Tridin dn Yt ser ersmsm dpt selesi dlm wktu jm. Berp lm wktu ng diutuhkn oleh msing-msing orng jik pekerjn itu diselesikn ser individu? 4. Pd sutu segitig, esr sudut teresr 6 leih dri sudut terkeiln dn sudut teresr ditmh sudut menengh sm dengn lim kli sudut terkeil. Berpkh jumlh sudut terkeil dengn sudut menengh? 5. Sutu hri Vion, Silvi, dn Tih pergi ke psr Vion memeli kg pel, kg mngg, dn kg jeruk dengn hrg Rp5.,, Silvi memeli 4 kg Apel, kg mngg dn 5 kg jeruk dengn hrg Rp7.,, sedngkn Tih memeli kg pel, kg mngg dn kg Jeruk dengn hrg Rp 46.,. Tentukn hrg msing-msing tip kilogrmn. C. Sistem Persmn Stu Liner dn Stu Kudrt (SPLK). Sistem persmn liner kudrtmempuni entuk umum: p q r gin liner gin kudrt,,, d, e, f, p, q, r ilngn rel. dn p Ser geometrik SPLK digmrkn segi gris dn prol, ngotnggot dri himpunn penelesin SPLK dpt ditfsirkn segi koordint titik potong ntr gris = + dengn prol = p + q + r. Bnkn nggot himpunn penelesin dri SPLK ditentukn oleh nili diskriminn D = (q ) 4p(r ) persmn kudrt hsil sustitusi, itu p + (q ) + (r ) =. Untuk leih jelsn perhtikn gmr erikut: Sistem Persmn Liner Pge

Amrhdi ) Jik D >, mk SPLK mempuni du nggot dlm himpunn penelesinn ) Jik D =, mk SPLK tept mempuni stu nggot dlm himpunn penelesinn ) Jik D <, mk SPLK tidk mempuni himpunn penelesin. Diktkn Hp = { } Ser geometris nggot-nggot himpunn penelesin ditfsirkn segi koordint titik potong ntr gris = + dengn prol = p + q + r. Kedududkn gris prol ditentukn oleh diskriminn persmn kudrt p + (q ) + (r ) = hsil sustitusi gris dn prol. ) Jik D >, mk gris memotong prol di du titik erlinn ) D =, mk gris memotong prol tept diseuh titik. Dlm hl demikin diktkn meninggung prol ) D <, mk gris tidk memotong mupun meninggung prol. Contoh 6: Tentukn himpunn penelesin sistem persmn erikut, kemudin utlh skets tfsirn geometrisn. Penelesin. Mislkn...(i)...(ii) Sustitusikn (i) ke (ii): -... = +... - +... = 4 +... = Jenis penelesinn selidiki dengn nili diskriminn D = 4 = (...) 4 () (...) =... =... D > mk sistem persmn mempuni du penelesin. Sistem Persmn Liner Pge 4

Amrhdi 4 +... = ( -...)( -...) = =... tu =... Untuk =... diperoleh =... =... (...,...) Untuk =... diperoleh =... =... (...,...) Jdi, Hp = {(...,...), (...,...)} Tfsirn geometerisn gris = memotong prol = di du titik, itu (...,...) dn (...,...). perhtikn gmr. Ltihn Kompetensi 4. Crilh himpunn penelesin dri tip SPLK erikut ini, kemdin gmrlh skets grfik dri tfsirn geometrisn.. e... d. 6 f. 4 g. 4 h. 5 4 Sistem Persmn Liner Pge 5

Amrhdi. Dikethui SPLK 4 ) Tentukn hw sisitem persm liner dn kudrt itu tept memiliki stu nggot dlm himpunn penelesinn. ) Crilh himpunn penelesinn itu.. Crilh nili, gr SPLK erikut ini tept mempuni stu nggot dlm himpunn penelesinn.... d. 4. Crilh ts-ts nili n, gr SPLK erikut ini sekurng-kurngn memiliki stu nggot dlm himpunn penelesinn. n.. 4 5 n Sistem Persmn Liner Pge 6

Amrhdi Sistem Persmn Liner Pge 7