Metoda Penyelesaian Pendekatan

Metod Elemen Hingg Dlm Hidrulik Bb 3 Dsr Pertm: Metod Penyelesin Pendektn Ir. Djoko Luknnto, M.Sc., Ph.D. milto:luknnto@ugm.c.id

I. Tig Lngkh Pokok (hl.54). Bentuk sebuh penyelesin pendektn Û. Optimsikn Û 3. Prkirkn ketelitin Û 5/8/04

3. Pembentukn Û (hl.54) Û(;) = Ø 0 () + Ø () + Ø () + + N Ø N () Ø 0 (), Ø (),, Ø N () disebut fungsi tril, fungsi bsis,,, N dlh prmeter yng dicri; sering disebut sebgi derjd bebs (DOF) Û(;) merupkn fungsi dri dn,,, N Ø 0 () tidk diklikn dengn prmeter ; fungsiny untuk memenuhi syrt kondisi bts. 5/8/04

4. Kriteri Optimsi Untuk Û (hl.55) Ad du kriteri yng terkenl dlm MEH A. Metod Residu Berbobot (MWR) dipliksikn pd persmn dsr yng berbentuk persmn differensil B. Metod Vrisi Ritz (RVM) dipliksikn pd persmn dsr yng berbentuk persmn integrl. 5/8/04

5 A. Metod Residu Berbobot (MWR) (hl.55) me-minimum-kn selisih (error) pd persmn dsr [bukn pd fungsi Û() yng kit cri] d 4 metod metod koloksi metod subdomin metod kudrt terkecil metod Glerkin 5/8/04

6 B. Metod Vrisi Ritz (RVM) (hl.55) me-minimum-kn sutu kuntits fisik mislkn energi [bukn pd fungsi Û() yng kit cri] mislkn dlm meknik sttis, bisny yng diminimumkn dlh energi potensil. 5/8/04

7 3. Prkirkn Ketelitin Û (hl.56) diinginkn sutu prkirn seberp dekt ketelitin Û dengn U ketelitin ini disebut dengn error / keslhn E() = U() Û() secr prktis kit tidk pernh dpt menghitung E(), kren didlmny mengndung penyelesin ect U(). oleh kren itu hrus d cr lin untuk memprkirkn E(). 5/8/04

8 Derjd Bebs (DOF) (hl.56) jik kit dpt memprkirkn keslhn E() = U() Û() dn ternyt terllu besr pkh d cr untuk memperkecil? y slh stu cr yitu dengn membut Û() yng bru yng mempunyi derjd bebs lebih tinggi. 5/8/04

9 Teknik Memperoleh Û() (hl.56) sudhkh ketelitinny diterim jik belum; tmbh DOF mislny Û(;) i hrus dicri Kriteri Optimsi untuk menentukn nili i terbik Penyelesin Û() diperoleh Telitikh Û() terhdp U()? 5/8/04

0 Û() dgn Kriteri Berbed (hl.56) Û(;) Û(;) Kriteri Koloksi Kriteri Subdomin Û() diperoleh Û() diperoleh Û(;) Û(;) Kriteri Kudrt Terkecil Kriteri Glerkin Û() diperoleh Û() diperoleh 5/8/04

II. Contoh Ksus (hl.4) Deskripsi: Sebuh kbel yng tergntung pd du perletkn dn mendpt bebn mert kren bert sendiri. Gmbr: posisi tnp bebn W() = 0 W<0 b = L ()g Persmn dsr: d d T dw ( ) d W (0) ( ) g 0, W ( L) 0 0 L 5/8/04

Contoh Ksus (lnjutn) (hl.59) Persmn Dsr: d d du d Domin: < < Kondisi Bts: U() du d 5/8/04

Kondisi Bts: Contoh Ksus (lnjutn) (hl.59) dlm bentuk seperti di bwh ini, kondisi bts mempunyi rti khusus di lpngn, mislkn debit sesui cirn. du( ) ( ) d 3 oleh kren itu kondisi bts ditulis sebgi: bukn: du( ) d du( ) d () 4 5/8/04

4 III. Pembentukn Û (hl.60) Û(;) = + + 3 + + N N- persmn pendektn di ts hrus memenuhi:. Persmn dsr (bik yng differensil mupun vrisionl) pd interior dri dominny. Nili-nili kondisi bts yng telh ditentukn pd derh bts. untuk memenuhi Butir, diperlukn du metod yng berbed; hl ini disebut dengn pplying the boundry conditions. 5/8/04

5 Apliksi Kondisi Bts (hl.60). Cr Teoritis. Kondisi Bts (bik semu tu sebgin) dipliksikn lngsung ke Û pd wl nlisis dengn membentukny ke sutu fungsi yng memenuhi kondisi bts tersebut.. Cr Numeris. Kondisi Bts dipliksikn ke Û yng sudh dioptimsikn pd khir nlisis. Kedu cr ini menghsilkn Û yng sm. 5/8/04

6 Cr Teoritis (hl.6) Dibentuk solusi cob dlm bentuk Û(;) dn dipks memenuhi kondisi bts untuk setip nili i. Û(;) = Ø 0 () + Ø () + Ø () + + N Ø N () hrus memenuhi kondisi bts U() = 5/8/04

7 Cr Teoritis Û (hl.6) Û(;) = Ø 0 () + Ø () + Ø () + + N Ø N () = Agr untuk setip i ini terpenuhi mk:. Ø 0 () =. Ø i () = 0 untuk i =,,, N 5/8/04

5/8/04 8 Cr Teoritis dû/d (hl.6) Hrus dipenuhi: Agr untuk setip i ini terpenuhi mk:... ˆ 0 N N d d d d d d d d d du N i d d d d,,..., untuk 0 0

9 Mengunci (hl.6) Tmpk bhw dpt dibentuk sutu solusi cob yng sellu memenuhi kondisi bts untuk setip i. Artiny ppun jug cr yng digunkn untuk optimsi i, kondisi bts kn sellu terpenuhi. Sift seperti ini disebut mengunci tu constrining solusi cob. 5/8/04

0 Lngkh (hl.6) Kit lkukn pd solusi cob dgn N=4 Û(;) = + + 3 + 4 3 Kondisi bts: Û(;) = + + 3 + 4 = ˆ d d U 3 3 3 4 - -8 3-4 4 = / 5/8/04

Lngkh (hl.63). + + 3 + 4 =. + 4 3 + 4 = - ¼ kedu persmn ini disebut persmn konstrin Pers. dpt ditulis sebgi: = - - 3-4 Pers. dpt ditulis sebgi: = -¼-4 3-4 5/8/04

Lngkh 3 (hl.63) Pers. disubstitusikn, sehingg Û(;) = ( - - 3-4 ) + + 3 + 4 3 Û(;) = + (-) + 3 ( -) + 4 ( 3 -) Pers. disubstitusikn, sehingg Û(;) = + (- ¼ - 4 3-4 )(-) + 3 ( -) + 4 ( 3 -) Û(;) = - ¼ (-) + 3 (-)(-3) + 4 (-) ( + -) 5/8/04

3 Û(;) ketemu (hl.63) Û(;) = - ¼ (-) + 3 (-)(-3) + 4 (-) ( + -) disederhnkn menjdi: Û(;) = Ø 0 () + Ø () + Ø () dengn Ø 0 () = - ¼ (-) Ø () = (-)(-3) Ø () = (-) ( + -) 3 dn 4 diubh menjdi dn 5/8/04

4 menghitung dû/d (hl.63) Untuk debit : ˆ( ; ) dengn duˆ ( ; ) d d0 d d0( ) d d( ) d d( ) d 4 ( 3( ( d d ) ) )( ) d d 5/8/04

5 IV. Empt MWR untuk Û (hl.65). Persmn Dsr d du( ) d d. Persmn Pendektn 0 duˆ( ) d d d 0 5/8/04

6 Definisi Residul (hl.65) R = LHS Pers. Pendektn LHS Pers. dsr R d d duˆ( ) d 0 d d du( ) d 0 diperoleh residul, R dlh: ( ; ) ˆ( ) R d 0 du d d substitusi diperoleh: R(;) = - ¼ + 4(-) + 3 (3-4) / 5/8/04

7 konsep pokok MWR (hl.65) Residul: R(;) = - ¼ + 4(-) + 3 (3-4) / Konsep pokok: mencri nili dn yng menghsilkn nili R(;) pling kecil. Secr intuisi jik R(;) mengecil, mk E() = U() Û() jug mengecil. 5/8/04

8. Metod Koloksi (hl.66) Untuk setip prmeter i yng dibutuhkn, pilih stu titik i dlm domin. Pd setip titik tersebut pks residu R( i ;) = 0 R( ;) = 0, R( ;) = 0,, R( N ;) = 0 Untuk N nili i, kn diperoleh N sistem persmn. Titik-titik i tersebut dlh titik koloksi. 5/8/04

9 Metod Koloksi (hl.66) Pilih titik-titik i mislkn = 4/3, = 5/3 substitusikn kedlm residul R(;) = - ¼ + 4(-) + 3 (3-4) / = 0 diperoleh sistem persmn 4/3 + 04 = /8 8/3 + 3 = 97/00 diperoleh nili: =.0993 dn = -0.3560 5/8/04

30 dengn nili: =.0993 dn = -0.3560 Metod Koloksi (hl.66) mk diperoleh solusi cob : Û K () = - ¼ (-) +.0993 (-)(-3) - 0.3560 (-) ( + -) dn debit/ flu -ny: K () = + ¼ (-) 4.986 (-) +.0680 (-) (+) liht hl. 67 (perhtikn pd st R=0, E0) 5/8/04

3. Metod Subdomin (hl.67) Untuk setip prmeter i yng dibutuhkn, pilih stu intervl i dlm domin. Pd setip intervl tersebut pks residu rert = 0, Rd ( ; ) 0, Rd ( ; ) 0,..., Rd ( ; ) 0 N Untuk N nili i, kn diperoleh N sistem persmn. Intervl-intervl i tersebut dinmi subdomin. N 5/8/04

3 Metod Subdomin (hl.68) Bgi subdomin menjdi: = dn =.5, sehingg diperoleh du persmn..5 4 4( ) 3(3 4) d 0.5 4 4( ) 3(3 4) d 0 5/8/04

33 Metod Subdomin (hl.68) diperoleh sistem persmn / + 09/8 = 9/4 3/ + 63/8 = /4 diperoleh nili: =.547 dn = -0.459 5/8/04

34 Metod Subdomin (hl.68) dengn nili: =.547 dn = -0.459 mk diperoleh solusi cob : Û S () = - ¼ (-) +.547 (-)(-3) - 0.459(-) ( + -) dn debit/ flu -ny: S () = ½ + ¼ (-) 5.0834 (-) +.777 (-) (+) grfik hsil liht hl. 69. 5/8/04

35 3. Metod Kudrt terkecil (hl.68) Minimumkn integrl kudrt residul dlm domin terhdp setip prmeter i, tu secr mtemtis ditulis sbb: Minimumkn R ( ; ) d Agr nili integrl tersebut minimum diperlukn syrt yitu derivsi integrl tersebut untuk setip i mempunyi nili nol. 5/8/04

5/8/04 36 Kudrt terkecil (hl.69) formulsiny: 0 ) ; ( ) ; (..., 0, ) ; ( ) ; ( 0, ) ; ( ) ; ( d R R d R R d R R N disederhnkn menjdi: konstn dieliminsi dri setip integrl di ts. 0 ) ; ( 0,..., ) ; ( 0, ) ; ( d R d R d R N

selnjutny Kudrt terkecil (hl.70) R( ; ) R( ; ) 4( ) dn 3(3 4) substitusi kedlm residul menghsilkn 37 4 4( ) 3(3 4) 4( ) d 0 4 4( ) 3(3 4) 3(3 4) d 0 5/8/04

38 Kudrt terkecil 3 (hl.7) jik integrsi dilkukn diperoleh sistem persmn 6/3 + 07 = 8 ln 7/ 7 + 7/5 = 33/4 diperoleh nili: =.355 dn = -0.386 5/8/04

39 Kudrt terkecil 4 (hl.7) dengn nili: =.355 dn = -0.386 mk diperoleh solusi cob : Û L () = - ¼ (-) +.355 (-)(-3) - 0.386(-) ( + -) dn debit/ flu -ny: L () = ½ + ¼ (-) 4.630 (-) +.448 (-) (+) grfik hsil liht hl. 70. 5/8/04

40 4. Metod Glerkin (hl.7) Untuk setip prmeter i yng dibutuhkn, dihruskn rert berbobot untuk residul = 0 Fungsi yng digunkn sebgi pembobot dlh Ø i () yng terkit dengn i dlm domin. Untuk N nili i, kn diperoleh N sistem persmn R( ; ) ( ) d 0, R( ; ) ( ) d R( ; ) N ( ) d 0 0,..., 5/8/04

4 Glerkin (hl.7) substitusi residul dn fungsi bobot menghsilkn 4 4( ) 3(3 4) ( )( 3) d 0 4 4( ) 3(3 4) ( )( ) d 0 jik integrsi dilkukn diperoleh sistem persmn -05/3-4/5 = 9/6 8 ln -4/5-8/ = /6 4 ln 5/8/04

4 Glerkin (hl.7) dengn nili: =.378 dn = -0.3477 mk diperoleh solusi cob : Û G () = - ¼ (-) +.378 (-)(-3) - 0.3477(-) ( + -) dn debit/ flu -ny: G () = ½ + ¼ (-) 4.756 (-) +.043 (-) (+) grfik hsil liht hl. 73. 5/8/04

43 Resume Residul Berbobot (hl.7) Secr umum metod residul berbobot dpt diformulsikn seperti di bwh. Sedngkn fungsi bobot yng digunkn tip-tip metod berbed (liht hl.7-75). R( ; ) W ( ) d 0, R( ; ) W ( ) d 0,..., R( ; ) W N ( ) d 0 5/8/04

44 V. Metod Vrisi Ritz untuk Û (hl.75) Metod ini tidk dibhs di sini kren membutuhkn mt kulih Klkulus Vrisi Hsil metod ini sm dengn Metod Glerkin. Bhkn beberp hli memberi nm kombinsi yitu Metod Ritz-Glerkin. Silkn liht hl.(75-78) 5/8/04

45 VI. Estimsi Ketelitin untuk Û (hl.78) Semkin tinggi DOF yng digunkn, mk ketelitin penyelesin pendektn -ny mkin tinggi Bhsn rinci silkn liht hl.78-86) 5/8/04

Resume Memperoleh Û() 46 Û(;) i hrus dicri sudhkh ketelitinny diterim jik belum; tmbh DOF ( i ) mislny Û(;) dikunci/ constrined dengn kondisi bts Kriteri Optimsi pd R(;) untuk menentukn nili i terbik Penyelesin Û() diperoleh Telitikh Û() terhdp U()? 5/8/04

Resume Memperoleh Û() 47 Anlisis yng dibutuhkn: Û(;) i hrus dicri Sistem Persmn Linier Û(;) dikunci/ constrined dengn kondisi bts Anlisis Integrsi Kriteri Optimsi pd R(;) untuk menentukn nili i terbik Sistem Persmn Linier Penyelesin Û() diperoleh 5/8/04

48 be winner nd cts like winners.. 5/8/04