PELABELAN SELIMUT H-AJAIB SUPER PADA GRAF BIPARTIT LENGKAP, GRAF BUKU, GRAF RODA T -LIPAT DAN GRAF BUNGA oleh RACHEL WULAN NIRMALASARI WIJAYA NIM. M0110068 SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA commit 2014 to user
SKRIPSI PELABELAN SELIMUT.FI - AJAIB SUPER PADA GRAF BIPARTIT LENGKAP, GRAF BUKU, GRAF RODA T-LIPAT DAN GRAF BUNGA yang disiapkan dan disusun oleh RACHEL WULAN NIRMALASARI WIJAYA NIM. M0110068 dibimbing oleh Pembimbing I,b Dra. Manih Roswitha, M.Si. -t: Titin _ Sri Martini, S.Si., M.Kom. NIP. 19520628 198303 2 001 NIP. 197501202008t2 2 001 telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada hari Selasa, tanggal 28 Jan.uari2074 dan dinyatakan telah memenuhi syarat. Anggota Tim Penguji Tanda Tangan 1. Prof. Tri Atmojo K., M.Sc., Ph.D. 1. NIP. 19630826 198803 L 002 2. Dr. Sri Subanti, M.Si. 2. NIP. 19581031 198601 2 001 Surakarta, 4 Februari 2014 ika dan Ilmu Pengetahuan Alam Matematika, Ramelan, M.Sc. (Hons)., Ph.D. NIP. 19610223 L9860t 1 001 Irwan Susanto, S.Si., DEA. NIP. 19710511 199512 1 001
ABSTRAK Rachel Wulan Nirmalasari Wijaya. 2014. PELABELAN SELIMUT H - AJAIB SUPER PADA GRAF BIPARTIT LENGKAP, GRAF BUKU, GRAF RODA T -LIPAT DAN GRAF BUNGA. Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Universitas Sebelas Maret. Suatu graf G =(V,E) dikatakan memiliki sebuah selimut H-ajaib, dengan H adalah subgraf dari G, jika setiap sisi dalam E berada dalam sebuah subgraf dari G yang isomorfik terhadap H. GrafG merupakan H-ajaib jika terdapat suatu pelabelan total λ : V (G) E(G) {1, 2,..., V (G) + E(G) }, sedemikian sehingga setiap subgraf H =(V,E )darig akan isomorfik terhadap H dan berlaku λ(h ) def = v V λ(v)+ e E λ(e) =m(λ), dengan m(λ) suatu jumlah ajaib yang konstan, sedangkan G dikatakan memiliki pelabelan selimut H-ajaib super bila label di titik adalah λ(v )={1, 2,..., V } dengan s(λ) adalah jumlahan ajaib super. Tujuan penelitian ini adalah menentukan adanya pelabelan selimut H-ajaib super pada graf bipartit lengkap K m,n dengan H adalah K m,k, graf buku B n dengan H adalah B k,grafrodat-lipat W n dengan H adalah roda k-lipat W n dan pada graf bunga F n dengan H adalah C 3. Selanjutnya diperoleh bahwa K m,n adalah K m,k -ajaib super dengan 3 m<ndan m k<n, B n adalah B k -ajaib super dengan 3 k<n,rodat-lipat W n adalah roda k-lipat W n -ajaib super dengan n 3dan2 k<t,danf n adalah C 3 -ajaib super dengan n 3(mod 4). Metodologi penelitian yang digunakan adalah studi literatur. Hasil dari penelitian ini adalah diperoleh pelabelan selimut K m,k -ajaib super pada graf bipartit lengkap K m,n dengan 3 m<ndan m k<n, B k -ajaib super pada graf buku B n dengan 3 k<n,rodak-lipat W n -ajaib super pada graf roda t-tipat W n dengan n 3dan2 k<t, serta C 3 -ajaib super pada graf bunga F n dengan n 3(mod4). Kata Kunci : pelabelan selimut H-ajaib super, graf bipartit lengkap, graf buku, graf roda t-lipat,grafbunga iii
ABSTRACT Rachel Wulan Nirmalasari Wijaya. 2014. H - SUPERMAGIC COVERING ON COMPLETE BIPARTITE GRAPH, BOOK GRAPH, T -FOLD WHEEL GRAPH AND FLOWER GRAPH. Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. A simple graph G =(V,E) admits a H-covering, where H is subgraph of G, if every edge in E belongs to a subgraph of G isomorphic to H. GraphG is H- magic if there is a total labeling λ : V (G) E(G) {1, 2,..., V (G) + E(G) }, such that each subgraph H =(V,E )ofg isomorphic to H and satisfying λ(h ) def = v V λ(v)+ e E λ(e) =m(λ), where m(λ) is a constant magic sum. Additionaly, G admits H-supermagic if λ(v )={1, 2,..., V } where s(λ) is a constant supermagic sum. This research aims to find H-supermagic covering on a complete bipartite graph K m,n where H is K m,k, a book graph B n where H is B k,at-fold wheel graph W n where H is k-fold wheel W n and a flower graph F n where H is C 3. Here, we find that a complete bipartite K m,n is K m,k -supermagic for 3 m<n and m k<n, a book graph B n is B k -supermagic for 3 k<n,at-fold wheel graph W n is k-fold wheel W n -supermagic for n 3and2 k<t,andaflower graph F n is C 3 -supermagic for n 3 (mod 4). The method of this research is a literary study. The results show that a complete bipartite graph K m,n admits a K m,k - supermagic covering for 3 m<nand m k<n, a book graph B n admts a B k -supermagic covering for 3 k<n,at-fold wheel graph W n admits a k-fold wheel W n -supermagic covering for n 3and2 k<t, and a flower graph F n admits a C 3 -supermagic covering for n 3(mod4). Keywords : H-supermagic covering, complete bipartite graph, book graph, t-fold wheel graph, flower graph iv
PERSEMBAHAN v
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL............................ i PENGESAHAN............................... ii ABSTRAK................................. iii ABSTRACT................................ iv PERSEMBAHAN.............................. v DAFTAR ISI................................ vii DAFTAR GAMBAR............................ viii DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL.................... ix I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah....................... 1 1.2 Perumusan Masalah......................... 3 1.3 Tujuan................................. 3 1.4 Manfaat................................ 3 II LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka........................... 4 2.2 Teori-Teori Penunjang........................ 5 2.2.1 Pengertian Dasar Graf.................... 6 2.2.2 Pemetaan........................... 6 2.2.3 Kelas Graf........................... 7 2.2.4 Graf Isomorfik......................... 9 2.2.5 Pelabelan Graf dan Bobot Graf............... 10 2.2.6 Pelabelan Ajaib.. commit..... to. user................ 11 vi
2.2.7 Pelabelan Selimut Ajaib................... 12 2.3 Kerangka Pemikiran......................... 13 III METODE PENELITIAN 14 IV HASIL DAN PEMBAHASAN 15 4.1 Pelabelan Ajaib Super pada Graf Bipartit Lengkap K m,n dengan Selimut-K m,k............................. 15 4.2 Pelabelan Ajaib Super pada Graf Buku B n dengan Selimut-B k.. 21 4.3 Pelabelan Ajaib Super pada Graf Roda t-lipat W n dengan Selimut Roda k-lipat W n........................... 26 4.4 Pelabelan Ajaib Super pada Graf Bunga F n untuk n 3(mod4) dengan Selimut-C 3.......................... 33 V PENUTUP 38 5.1 Kesimpulan.............................. 38 5.2 Saran.................................. 38 DAFTAR PUSTAKA 40 vii
DAFTAR GAMBAR 2.1 Pelabelan selimut C 4 -ajaib super dari graf bipartit lengkap K 2,5. 5 2.2 Graf bipartit lengkap K 4,n...................... 8 2.3 Graf buku B n............................. 8 2.4 Graf roda W n (kiri) dan graf roda 3-lipat W n (kanan)....... 9 2.5 Graf helm H n (kiri) dan graf bunga F n (kanan).......... 9 2.6 Graf G 1, G 2 dan G 3.......................... 10 2.7 Graf G (kiri) dan graf G yang telah diberi bobot (kanan)..... 11 2.8 Pelabelan selimut C 3 -ajaib super dari graf roda W 4........ 12 4.1 Graf bipartit lengkap K 4,n...................... 16 4.2 Pelabelan selimut K m,k -ajaib super dari graf bipartit lengkap K 4,7 19 4.3 Pelabelan selimut K m,k -ajaib super dari graf bipartit lengkap K 4,8 20 4.4 Graf buku B n............................. 21 4.5 Pelabelan selimut B k -ajaib super dari graf buku B 6........ 24 4.6 Pelabelan selimut B k -ajaib super dari graf buku B 7........ 25 4.7 Graf roda 3-lipat W n......................... 27 4.8 Pelabelan selimut roda k-lipat W 6 ajaib super dari graf roda 5-lipat W 6................................... 31 4.9 Pelabelan selimut roda k-lipat W 6 ajaib super dari graf roda 6-lipat W 6................................... 32 4.10 Graf Bunga F n............................ 34 4.11 Graf Bunga F 7............................ 36 viii
DAFTAR NOTASI DAN SIMBOL G : graf G G =(V,E) : graf G dengan himpunan titik V dan himpunan sisi E V (G) : himpunan titik dari graf G V (G) : order atau banyaknya titik dari graf G E(G) : himpunan sisi dari graf G E(G) : size atau banyaknya sisi pada graf G H : suatu selimut pada pelabelan H : suatu subgraf pada G yang isomorfik dengan H H 1,H 2,...,H k : keluarga dari subgraf-subgraf G yang berbeda m(λ) : jumlah selimut ajaib s(λ) : jumlah selimut ajaib super C n : cycle dengan panjang n K m,n : graf bipartit lengkap K 1,n /S n : graf bintang dengan daun sebanyak n P n : lintasan dengan panjang n B n : graf buku W n : graf roda dengan n + 1 titik H n : graf helm F n : graf bunga G 1 = G2 : graf G 1 isomorfik dengan graf G 2 G 1 G 2 : graf G 1 tidak isomorfik dengan graf G 2 wt : bobot pada suatu graf λ : pelabelan ajaib pada graf G : akhir bukti ix