BAB IV BILANGAN BERPANGKAT DAN BENTUK AKAR Pet Konsep Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr mempeljri Bilngn berpngkt meliputi Bentuk kr meliputi Sift Opersi Mersionlkn Opersi Sift Kt Kunci. Pngkt 2. Akr 3. Sift 4. Opersi 5. Mersionlkn 6. Akr sekwn Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 5
Sumber: www.tee-z.net Gmbr 4. Regu gerk jln Dlm sutu lomb gerk jln, setip regu terdiri dri 27 orng yng disusun menjdi 9 bris dn tip bris terdiri dri 3 orng. Kemudin 9 bris tersebut dibgi menjdi 3 bgin dn tiptip bgin terdiri dri 3 bris, yitu bgin depn, tengh, dn belkng. Msingmsing bgin diberi jrk bris. Hl ini dilkukn untuk memudhkn dewn juri dlm mengecek jumlh orng tip regu. Jik tip regu terdiri dri 3 bgin dn tip bgin terdiri dri 3 bris, sert tip bris terdiri dri 3 orng mk jumlh pesert dlm regu tersebut tept 27 orng. Untuk menuliskn jumlh tip regu dlm permslhn di ts, sebenrny dpt dilkukn dengn cr yng lebih efektif dn efisien, yitu dengn cr notsi bilngn berpngkt. Agr lebih memhmi bilngn berpngkt dn bentuk kr, peljrilh bb ini sehingg klin dpt mengidentifiksi siftsift bilngn berpngkt dn bentuk kr, melkukn opersi ljbr yng melibtkn bilngn berpngkt dn bentuk kr, sert dpt memechkn mslh sederhn yng berkitn dengn mteri ini. A. Bilngn Berpngkt Bilngn Bult Setip mnusi yng hidup psti di kn membutuhkn sesutu ts diriny seperti mkn, bernfs, pkin, tempt tinggl, dn lin-lin. Kebutuhn-kebutuhn mnusi sebgin besr diperoleh tidk dengn cum-cum. Diperlukn sebuh ush untuk mendptknny bik mencri, membeli, dn ush-ush yng linny. 6 Mtemtik IX SMP/MTs
Untuk membeli sebuh kebutuhn, kdng mnusi hrus mengelurkn ung dlm jumlh besr. Misl untuk membeli rumh mewh mnusi hrus mengelurkn ung sebesr milyr rupih. Jik dlm mtemtik milyr dpt dituliskn dengn.000.000.000. Agkny untuk menuliskn jumlh tersebut terllu pnjng, dpt jug dituliskn dlm bentuk bku yitu 0 9. Nh, bilngn yng dituliskn sebgi 0 9 inilh yng disebut sebgi bilngn berpngkt. Dlm hl ini 0 disebut bilngn pokok, sedngkn 9 disebut bilngn pngkt. Kren pngktny bilngn bult, mk disebut bilngn berpngkt bilngn bult.. Bilngn Berpngkt Sederhn Dlm kehidupn sehri-hri kit sering menemui perklin bilngn-bilngn dengn fktor-fktor yng sm. Mislkn kit temui perklin bilngn-bilngn sebgi berikut. 2 2 2 3 3 3 3 3 6 6 6 6 6 6 Perklin bilngn-bilngn dengn fktor-fktor yng sm seperti di ts, disebut sebgi perklin berulng. Setip perklin berulng dpt dituliskn secr ringks dengn menggunkn notsi bilngn berpngkt. Perklin bilngnbilngn di ts dpt kit tuliskn dengn: 2 2 2 2 3 (dibc 2 pngkt 3) 3 3 3 3 3 3 5 (dibc 3 pngkt 5) 6 6 6 6 6 6 6 6 (dibc 6 pngkt 6) Bilngn 2 3, 3 5, 6 6 disebut bilngn berpngkt sebenrny kren bilngn-bilngn tersebut dpt dinytkn dlm bentuk perklin berulng. Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 7
Bilngn berpngkt n dengn n bilngn bult positif didefinisikn sebgi berikut. Contoh 4.. 4 5 4 4 4 4 4 2. 7 6 7 7 7 7 7 7 7 3. ( 3) 4 ( 3) ( 3) (-3) ( 3) Berdsrkn penjelsn di ts, diperoleh sift-sift berikut ini. Mislkn, b R dn m, n dlh bilngn bult positif.. m n m+n 3. ( m ) n m n m b m n X X... X n fktor 2. m n, m > n 4. ( b) n n b n 2. Bilngn Berpngkt Nol Perhtikn kembli rumus m n pd pembhsn b m sebelumny. Jik dipilih m n mk diperoleh: m m m m m n m n n 0 Jdi, 0, dengn 0. Contoh 4.2. 6 0 2. ( 45) 0 8 Mtemtik IX SMP/MTs
3. Bilngn Berpngkt Negtif Ap yng terjdi jik m 0? Dri pembhsn di ts jik dipilih m 0, mk: m m m o n m n 0 n n Jdi, n tu n, dengn 0. n -n Contoh 4.3. 6 3 6 3 2. 4 3 4 2 Ltihn 4.. Tentukn hsil pemngktn bilngn-bilngn berikut.. 6 3 c. 4 2 b. ( 5) 4 d. ( 3x) 5 2. Nytkn bilngn-bilngn berikut dengn pngkt negtif.. 32 b. c. 0,000 3. Tentukn hsil pemngktn bilngn-bilngn berikut.. 4 3 c. 4 6 b. ( 3x) 4 d. 5y 4 Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 9
4. Sutu unsur rdioktif memiliki wktu pro 80 thun. Tentukn wktu (t) yng dibutuhkn gr ktivitsny (A) 25% dri nili wlny (A 0 ). Petunjuk: B. Bilngn Pechn Berpngkt Untuk menentukn hsil pemngktn bilngn pechn berpngkt dpt di gunkn definisi bilngn berpngkt. Jik, b B, b 0, n dlh bilngn bult positif mk: Jdi,. n fktor Xn+ 2 n fktor Contoh 4.4. 2. 20 Mtemtik IX SMP/MTs
Bilngn dengn bilngn bult dn n 0 didefinisikn sebgi berikut. Bilngn disebut bilngn berpngkt tk sebenrny. Contoh 4.5. 2. Ltihn 4.2. Tentukn hsil perpngktn dri bilngn-bilngn berikut.. c. b. d. 2. Nytkn bilngn-bilngn berikut dlm bentuk kr.. c. b. d. 3. Nytkn bilngn-bilngn berikut dlm bentuk pngkt positif.. c. b. d. Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 2
4. Tentukn hsil perpngktn bilngn berikut ini.. c. b. d. 5. Nytkn bentuk perpngktn berikut menjdi bentuk pngkt positif.. c. b. d. C. Bentuk Akr Dlm mtemtik kit mengenl berbgi jenis bilngn. Beberp contoh jenis bilngn dintrny dlh bilngn rsionl dn irrsionl. Bilngn rsionl dlh bilngn yng m dpt dinytkn dlm bentuk, dengn m, n B dn n 2 6 3 n 0. Contoh bilngn rsionl seperti:,,, 5, 3 dn 3 5 4 seterusny. Sedngkn bilngn irrsionl dlh bilngn m riil yng tidk dpt dinytkn dlm bentuk, dengn n m, n B dn n 0. Bilngn-bilngn seperti termsuk bilngn irrsionl, kren hsil kr dri bilngn tersebut bukn merupkn bilngn rsionl. 22 Mtemtik IX SMP/MTs
Bilngn-bilngn semcm itu disebut bentuk kr. Sehingg dpt disimpulkn bhw bentuk kr dlh kr-kr dri sutu bilngn riil positif, yng hsilny merupkn bilngn irrsionl.. Opersi Hitung Bentuk Akr Du bilngn bentuk kr tu lebih dpt dijumlhkn, dikurngkn, mupun diklikn.. Penjumlhn dn Pengurngn Bentuk Akr Untuk memhmi cr menjumlhkn dn mengurngkn bilngn-bilngn dlm bentuk kr, perhtikn contoh - contoh berikut.. 2. Dri contoh di ts, mk untuk menjumlhkn dn mengurngkn bilngn-bilngn dlm bentuk kr dpt dirumuskn sebgi berikut. Untuk setip, b, dn c bilngn rsionl positif, berlku hubungn: Contoh 4.6. 2. 3. 4. Penyelesin: dn. 2. 3. Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 23
4. b. Perklin Bentuk Akr Untuk sembrng bilngn bult positif dn b berlku sift perklin berikut. Sift di ts sekligus dpt digunkn untuk menyederhnkn bentuk kr. Contoh 4.7. 2. Penyelesin:. 2. 24 Mtemtik IX SMP/MTs
c. Pemngktn Bilngn Bentuk Akr Bentuk kr jug dpt dipngktkn. Adpun pemngtktn bentuk kr kr didpt beberp sift. ) Pemngktn bentuk Jdi,. Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 25
Contoh 4.8. 2. 2) Pemngktn bentuk dengn pngkt negtif Bentuk kr dengn pngkt negtif sm hlny dengn bilngn berpngkt bilngn negtif. Sehingg: Contoh 4.9 3) Pemngktn bentuk dn Jdi,. Dengn cr yng sm, kn diperoleh: Contoh 4.0 26 Mtemtik IX SMP/MTs
4) Pemngktn bentuk dn Pd dsrny penyelesin dri pemngktn bentuk dn sm dengn penyelesin pemngktn bentuk dn. Sehingg: Jdi,. Dengn cr yng sm, mk kn diperoleh: Contoh 4. 2. Hubungn Bentuk Akr dengn Pngkt Pechn Pd pembhsn yng llu telh disebutkn beberp sift dri bilngn berpngkt bult positif. Sift-sift tersebut kn digunkn untuk mencri hubungn ntr bentuk kr Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 27
dengn pngkt pechn. Sift yng dimksud dlh. ( m ) n m x n Selin sift tersebut terdpt sift lin, yitu: Jik p q mk p q dengn > 0,. Hubungn dengn n Perhtikn pembhsn berikut. ) Mislkn p. Jik kedu rus dikudrtkn, mk diperoleh: 2) Mislkn. Jik kedu rus dipngktkn 3, mk diperoleh: (Kren kedu rus sm, mk pngktny jug sm) 3) Mislkn n p. Jik kedu rus dipngktkn n, mk diperoleh: 28 Mtemtik IX SMP/MTs
Dri urin di ts dpt disimpulkn bhw untuk bilngn rel tidk nol dn n bilngn bult positif, mk: b. Hubungn dengn Berdsrkn kesimpuln pngkt pechn n, selnjutny kn diperlus pd pngkt pechn dlm bentuk yng lebih umum. Untuk tujun itu, perhtikn pembhsn berikut., menggunkn sift pngkt bult positif menggunkn pngkt pechn, menggunkn sift pemngktn bentuk Dri urin di ts dpt disimpulkn bhw untuk bilngn rel tidk nol, m bilngn bult, dn n bilngn sli, n > 2, mk:. Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 29
Contoh 4.2 Ubhlh bentuk kr berikut ke dlm bentuk pngkt pechn.. c. 3 4 4 2 3 b. 3 5 3 d. 3 2 6 Penyelesin: 3. 3 2 2 4 c. 2 2 23 3 4 2 3 4 b. 5 3 2 5 3 3 d. 2 6 3 52 2 2 4 Ltihn 4.3. Tentukn hsil penjumlhn dn pengurngn dri bentuk kr berikut.. c. b. d. 2. Hitunglh perklin bentuk kr berikut.. b. 3. Tentukn hsil dri bentuk kr berikut.. c. b. d. 4. Tentukn hsil perhitungn dri opersi berikut.. b. 5. Sederhnkn. 6 23 30 Mtemtik IX SMP/MTs
D. Mersionlkn Bentuk Akr Kudrt Dlm sebuh bilngn pechn penyebutny dpt berup bentuk kr. Pechn dlh beberp contoh pechn yng penyebutny berbentuk kr. Penyebut pechn seperti itu dpt dirsionlkn. Cr mersionlkn penyebut sutu pechn tergntung dri bentuk pechn tersebut.. Mersionlkn Bentuk Untuk menghitung nili d cr yng lebih mudh dripd hrus membgi 6 dengn nili pendektn dri 3, yitu dengn mersionlkn penyebut. Cr ini dpt dilkukn dengn menggunkn sift perklin bentuk kr: dengn memni- Selnjutny pechn diubh bentukny pulsi ljbr. Contoh 4.3 Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 3
Mengubh 6 menjdi 3 6 tu 2 3 disebut 3 3 mersionlkn penyebut pechn. Dri urin di ts, dpt kit mbil kesimpuln bhw pechn 3 ( bilngn rsionl dn b bentuk kr), bgin penyebut dpt dirsionlkn, dengn menglikn pechn tersebut dengn, pechn tersebut menjdi: b b sehingg Contoh 4.4 2. Mersionlkn Bentuk tu Untuk mersionlkn penyebut pechn yng berbentuk, terlebih dhulu perhtikn perklin psngn bilngn dn dengn b dn c bilngn rsionl dn bentuk kr. 32 Mtemtik IX SMP/MTs
Kren b dn c bilngn rsionl, mk hsil kli psngn bilngn dn jug rsionl. Psngn (b + c) (b - c) (b+ c) (b- c) (b+ c) (b- c) bilngn dn disebut bentuk-bentuk kr sekwn tu diktkn sekwn dri dn seblikny. Dengn menggunkn sift perklin bentuk-bentuk kr sekwn mk penyebut bentuk b - c tu b+ c dpt dirsionlkn dengn memnipulsi ljbr.. Pechn Bentuk b+ c Untuk pechn b+ c diubh menjdi: Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 33
b. Pechn Bentuk b - c Untuk pechn b - c disederhnkn menjdi: Contoh 4.5 2. 3 3 3+ 2 3 2 3 2 3+ 2 ( + ) 3 3 2 3 2 3+ 2 3 2 ( 3 2 3) + 34 Mtemtik IX SMP/MTs
3. Mersionlkn Bentuk b + c tu b - Penyebut pechn yng berbentuk b + c dpt dirsionlkn dengn menggunkn mnipulsi ljbr yng hmpir sm dengn mersionlkn penyebut pechn yng berbentuk. b + c. Pechn Bentuk b + c Untuk pechn pembilng dn penyebut diklikn. b - c c b. Pechn Bentuk b - c Untuk pechn pembilng dn penyebut b - c diklikn b - c. ( ) Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 35
Contoh 4.6 Ltihn 4.4 Rsionlkn penyebut bentuk kr berikut. 5 3-5. 5 4. 3-2 2 3 2. 7 5. 3. 5 5-2 6. 5-2 2 2 2-5 6-3 6 3 36 Mtemtik IX SMP/MTs
Rngkumn. Untuk bilngn bult dengn 0, bilngn cch m dn m berlku. e. ( b) n n b n b. m n m+n f. 0 c. g. d. ( m ) n m n h. 2. Opersi hitung bentuk kr. b. c. d. e. f. g. h. i. Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 37
Uji Kompetensi A. Pilihlh stu jwbn yng pling benr dengn cr memberi tnd silng (X) pd huruf, b, c, tu d!. 7 3 rtiny..... 7 3 c. 3 7 b. 3 3 3 3 3 3 3 d. 7 7 7 2. Nili dri ( 6) 3 dlh..... 64 c. 26 b. 2 d. 26 3. Nili dri 5 4 dlh..... 625 c. 325 b. 225 d. 625 4. Bentuk 3 2 bil diubh ke dlm bentuk pngkt bilngn bult positif dlh..... 3 c. b. 34 d. - 2 4 5. Bentuk (3) 4 bil diubh ke dlm bentuk pngkt bilngn positif dlh..... 8 c. - 2 4 b. 3 4 d. - 8 4 3 2 6. Nili dri ( 7) 2 dlh..... 49 c. 49 b. d. 4 7 38 Mtemtik IX SMP/MTs
7. Hsil dri dlh..... c. b. d. 8. Bentuk kr dri n m dlh..... m n c. n b. m d. 5 2 2 5 mn n 9. Bentuk pngkt dri 3 26 2 dlh..... 26 c. 3 26 2 2 b. d. 3 26 0. Nili dri dlh.... 2 2 3 3. 24 c. 4 b. 6 d. 2. Hsil dri 8 2 4 4 dlh..... c. 8 4 2 3 26 b. 4 d. 64 2. Hsil dri [(3n) 2 ] 3 dlh..... 6n 8 c. b. 64m 8 d. Bb IV Bilngn Berpngkt dn Bentuk Akr 39
3...... c. 25 b. d. 0 5 4. Jik b 2, mk nili dri (b ) 6 dlh..... c. 64 64 b. 64 d. 64 5. Dikethui, mk nili x dlh..... 3 c. 4 b. 4 d. 3 B. Jwblh pertnyn-pertnyn di bwh ini dengn benr!. Hsil dri dlh.... 2. Bentuk sederhn dri dlh.... 3. Nili x jik dlh.... 4. Nili dri.... 5. Bentuk rsionl dn sederhn dri dlh.... 40 Mtemtik IX SMP/MTs