Peluang Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas LOGO
Kompetensi menjelaskan mengenai ruang contoh, titik contoh dan kejadian mencacah titik contoh menghitung peluang suatu kejadian menggunakan kaidah penjumlahan dalam menghitung peluang kejadian menghitung peluang bersyarat menggunakan kaidah penggandaan dalam menghitung peluang kejadian
Ruang Sampel&Kejadian Percobaan Setiap aktifitas yang dilakukan untuk membangkitkan data Suatu percobaan memberikan hasil yang tidak pasti Contoh : pelemparan sekeping mata uang pengukuran tinggi badan siswa SMA A Ruang Sampel (Contoh) Notasi : S Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan Contoh : pelemparan sekeping mata uang S = {A,G} pengukuran tinggi badan peserta PKS SMP 2008 S = {x 130 < x < 175}
Ruang Sampel&Kejadian Titik Sampel (Contoh) Anggota dari Ruang Sampel n(s) banyaknya titik sampel S = {A,G} Titik sampel adalah A dan G; n(s) = 2 Kejadian Himpunan Bagian dari Ruang Sampel Kejadian biasanya dilambangkan dengan huruf besar, misal A, B, C, n(a) adalah banyaknya titik sampel yang menyusun kejadian A Contoh : Percobaan Pelemparan sekeping mata uang; S = {A,G} Kejadian A adalah kejadian munculnya sisi Angka; A = {A} n(a) = 1
Ruang Sampel&Kejadian Contoh Misalkan sebuah percobaan acak berupa pelemparan sebuah dadu. Kejadian A adalah kejadian munculnya mata dadu ganjil dan dan kejadian B adalah kejadian munculnya mata dadu yang lebih besar dari 2. S={1, 2, 3, 4, 5, 6} n(s)=6 A={1, 3, 5} B={3, 4, 5, 6}
Sepasang pengantin baru merencanakan akan mempunyai 3 orang anak. Tentukan ruang contoh jika kita tertarik pada 1. urutan anak-anak (L = Laki-laki, P=perempuan) 2. Banyaknya anak perempuan Misalkan Dg S1 Kejadian A adalah kejadian pasangan tersebut memiliki dua anak laki-lakib Kejadian B adalah kejadian anak pertama psgan tersebut adalah laki-laki
Ruang Sampel&Kejadian Pengolahan Kejadian A B A B C A atau A Gabungan Kejadian A dan B Irisan Kejadian A dan B Komplemen KejadianA Tugas : resume Pengolahan Kejadian + contoh (tdk blh sama) (baca : walpole hal 74-78, buku ajar hal 110-111
Ruang Sampel&Kejadian Contoh : S={1, 2, 3, 4, 5, 6} A={1, 3, 5} B={3, 4, 5, 6} A B ={1, 3, 4, 5, 6} A B ={3, 5, 6} A ={2, 4, 6}
Ruang Sampel&Kejadian DALIL DE MORGAN ( ) C A B C = A C B C ( A B) C = A C B
Sebuah percobaan berupa pelemparan dua dadu, dadu hijau dan dadu merah dan dicatat kedua bilangan yang muncul. Tuliskan ruang contoh dari percobaan tersebut Kej A : kej jumlah dua bil lbh besar dari 8 Kej B : kej bil 2 muncul sedikitnya satu kali Kej C : kej bil yg lbh besar dr 4 muncul pd dadu hijau. Daftarkan angg kej A, B, C, A
Peluang Suatu Kejadian DEFINISI : Misalkan suatu ruang sampel S mempunyai N hasil yang mungkin yang banyaknya berhingga dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi. Misalkan A adalah suatu kejadian yang mempunyai k hasil, maka peluang kejadian A adalah: ( A) P = k N atau P ( A) = n( A) n( S) Jadi dalam menentukan peluang suatu kejadian, kita hanya perlu tahu banyaknya anggota ruang sampel yang menyusun kejadian tersebut.
Peluang Suatu Kejadian Sifat-sifat Peluang P P( A) 1 ( ) = 0 ( S) = 1 S 0 Pφ adalah kejadian yang tidak mungkin terjadi adalah kejadian yang pasti terjadi
Metode Pencacahan Pencacahan secara langsung Prinsip penjumlahan dan perkalian Permutasi Kombinasi Pencacahan secara tidak langsung Prinsip Inklusi-Eksklusi
Prinsip Penjumlahan Bila suatu himpunan S terbagi ke dalam himpunan bagian S1, S2,, Sn yang tidak saling tumpang tindih (overlapping), maka jumlah unsur dalam himpunan S akan sama dengan jumlah dari semua unsur yang ada dalam setiap himpunan Si, i=1,2,,n.
Prinsip Penjumlahan Contoh 1 : Seorang guru di SMP Harapan mengajar di kelas 1, 2 dan 3. Jumlah murid kelas 1 adalah 30, di kelas 2 adalah 32 dan kelas 3 adalah 27. Bila satu orang murid akan dipilih dari ketiga kelas tersebut, maka banyaknya pilihan guru tersebut adalah 30 + 32 + 27 = 89. Contoh 2 : Seorang akan membeli sebuah mobil dan dihadapkan pada 3 merek kendaraan yaitu Toyota, Honda, dan Daihatsu. Untuk mobil merek Toyota ada 7 jenis pilihan, Honda ada 4 jenis pilihan, dan Daihatsu ada 2 jenis pilihan. Maka orang tersebut mempunyai pilihan sebanyak 7 + 4 +2 = 13
Kaidah Penggandaan Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara dan untuk setiap cara pada operasi 1, operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, maka secara bersamaan kedua operasi dapat dilakukan dalam n1 n2 cara Contoh : Berapa banyak cara berpakaian yang dapat dilakukan oleh seseorang jika ia memiliki 7 buah kemeja dan 4 buah celana panjang
Kaidah Penggandaan Umum Prinsip ini dapat dikembangkan untuk suatu operasi yang terdiri dari k tahap operasi Bila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara dan untuk setiap cara pada operasi 1, operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, dan bila untuk setiap pasangan dua cara yang pertama, operasi ketiga dapat dilakukan dalam n3 cara, demikian seterusnya, maka k operasi tersebut dapat dilakukan dalam n1 n2 n3 nk cara Contoh : Sebuah rumah makan akan membuat paket menu yang terdiri dari : sup, salad, steak dan es krim. Bila rumah makan tersebut mempunyai 4 jenis sup, 2 jenis salad, 5 jenis steak dan 3 jenis es krim. Berapa paket menu yang dapat dibuat?
Contoh : Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 2, 3, 4 dan 5 jika semua angka boleh berulang? jika angka tidak boleh berulang? jika angka tidak berulang dan merupakan kelipatan 2?
Catatan : Seringkali masalah pencacahan harus diselesai-kan dengan menggunakan kedua prinsip tersebut sekaligus Contoh : Suatu kapal laut dilengkapi hanya satu tiang bendera dan tiga macam bendera, yaitu putih, merah, dan kuning. Dalam berapa cara kapal tersebut dapat mengirimkan isyarat dengan menggunakan bendera-bendera tersebut? Berapa banyak bilangan 4 digit yang dapat dibentuk dari angka 0, 2, 3 dan 5, tidak ada angka berulang serta bilangan tersebut habis dibagi 5?
Soal-soal Setiap pengguna (user) pada sistem komputer memiliki password yang terdiri dari 6 sampai 8 karakter, dimana karakter tersebut terdiri dari huruf besar atau angka. Setiap password harus mengandung paling sedikit satu angka. Berapa banyak password yang dapat dibuat? Berapa banyak barisan angka 0 dan 1 dengan panjang empat dan tidak terdapat dua angka 1 berturutan? Di suatu acara pesta ada 20 orang yang saling bersalaman. Berapa banyak salaman yang terjadi?
Soal-soal Ada banyak bilangan yang terdiri dari 3 angka yang jika dibagi 7 dan 8 tidak bersisa. Hitunglah banyaknya bilangan tersebut Berapakah bilangan terbesar dari bilangan-bilangan 3 angka yang dimaksud pada soal no. 4? Sebuah keluarga mempunyai 3 orang anak. Saudara tahu bahwa satu diantaranya perempuan. Berapakah probabilitas kedua anaknya perempuan?
Permutasi Permutasi adalah susunan-susunan yang dibentuk dari sebagian atau keseluruhan objek Banyaknya permutasi dari n benda yang berbeda adalah n!! Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah npr
Permutasi Permutasi dari pengambilan r benda dari n benda x1, x2,, xn yang berbeda adalah susunan-susunan dari r benda yang diambil dari n benda tersebut dengan r < n. Teorema Untuk r < n, maka banyaknya permutasi r dari n objek yang berbeda adalah : n P r n! = P( n, r) = = n( n 1)( n 2) K( n r+ 1) ( n r)!
Contoh : 1. Misalkan seorang salesman harus mengunjungi 8 kota yang berbeda, dimana dia harus mulai dari sebuah kota dan mengunjungi ke tujuh kota lain dengan urutan sesuai keinginan salesman tersebut. Berapa banyak cara salesman tersebut dapat mengunjungi kota-kota tersebut dengan urutan yang berbeda? 2. Empat pasang suami isteri membeli 8 tiket yang sebaris untuk suatu pertunjukan konser musik. Berapa banyak susunan duduk mereka jika (a) tidak ada pembatasan apa-apa (b) setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan (c) kelompok suami harus duduk disebelah kelompok istri (d) seperti c, tapi suami istri yang duduk berdampingan harus dari pasangan yang sama
Permutasi objek melingkar Banyaknya permutasi dari n benda yang disusun secara melingkar adalah (n-1)!. Contoh : Berapa banyak cara yang berbeda bila 4 orang duduk mengelilingi sebuah meja bundar
Permutasi bila terdapat objek yang sama Banyaknya permutasi dari n benda yang terdiri dari n1 benda jenis-1, n2 benda jenis-2,..., dan nk benda jenis-k (dimana n1 + n2 +... + nk = n) adalah : n n!! n 2! Ln 1 k! Contoh : Misalkan ada 7 buah lampu yang terdiri dari 4 buah berwarna merah, 2 buah berwarna kuning, dan 1 buah berwarna hijau. Berapa banyak cara menyusun bola-bola lampu tersebut dalam satu baris?
Penempetan n objek yang sama dalam r sel Banyaknya cara untuk menempatkan n buh benda yang sama ke dalam r buah sel adalah : ( n+ ( r 1))! n!( r 1)! Contoh : Berapa banyak cara memasukkan 10 buah kelereng yang sama bentuk dan ukurannya ke dalam 5 buah kotak
Contoh : 1. Berapa banyak kata yang dapat dibentuk dari huruf-huruf pada kata matematika 2. Berapa banyak cara memasukkan 10 buah kelereng yang sama bentuk dan ukurannya ke dalam 5 buah kotak 3. Seperti soal 2, tapi setiap kotak harus berisi minimal 1 buah kelereng 4. Berapa banyak kemungkinan solusi dari persamaan : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10 bila x1, x2, x3, x4 dan x5 adalah bilangan cacah 5. Seperti (4), tapi x1,, x5 merupakan bilangan asli
Penyekatan benda Banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke dalam r sel, dengan n 1 unsur dalam sel pertama, n 2 unsur dalam sel kedua,...dan n r unsur dalam sel ke-r (n 1 + n 2 +... + n r = n) adalah : Contoh : n! n! n 2! Ln 1 r! Berapa banyak cara membentuk daftar piket yang berbeda bila dalam suatu kelas terdapat 36 orang siswa (dalam 1 hari piket 6 orang siswa). Berapa banyak cara berbeda yang dapat dilakukan untuk membagi 52 kartu kepada 4 orang, bila masing-masing orang mendapat 5 kartu Berapa banyak cara untuk menempatkan 10 orang ke dalam 3 kamar yang masing-masingnya berkapasitas 3, 4 dan 5
Kombinasi Kombinasi adalah cara pengambilan r benda dari n benda tanpa memperhatikan susunannya r < n Banyaknya kombinasi akibat pengambilan r benda dari n benda adalah berupa koefisien binomial yaitu : n C r = C( n, r) = r! n! ( n r)! Contoh : Berapa banyak cara dapat memilih 5 orang pemain tenis untuk membentuk suatu grup dari 10 orang pemain?
Contoh Bila 4 laki-laki dan 5 perempuan, berapa banyak kemungkinan susunan kepanitian yang terdiri dari 3 orang yang dapat dibentuk : a.bila tidak syarat apa-apa b.dengan 1 laki-laki dan 2 perempuan c.dengan 2 laki-laki dan 1 perempuan, bila seorang laki-laki tertentu harus ada dalam kepanitian tersebut
Peluang Suatu Kejadian Sifat-sifat Peluang P P( A) 1 ( ) = 0 ( S) = 1 S 0 Pφ adalah kejadian yang tidak mungkin terjadi adalah kejadian yang pasti terjadi
Contoh Empat pasang suami isteri membeli 8 tiket yang sebaris untuk suatu pertunjukan konser musik. Berapa banyak susunan duduk mereka jika (a) tidak ada pembatasan apa-apa (b) setiap pasang suami istri harus duduk berdampingan (c) kelompok suami harus duduk disebelah kelompok istri (d) seperti c, tapi suami istri yang duduk berdampingan harus dari pasangan yang sama
Contoh Akan ditentukan solusi dari persamaan : x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10 x1, x2, x3, x4,x5 bilangan cacah Berapa peluang bahwa solusi x1,, x5 merupakan bilangan asli
Peluang Komplemen Suatu Kejadian Definisi Misalkan S adalah ruang sampel dengan n(s) = N, A adalah kejadian pada ruang sampel S dengan n(a) = k, dan A c adalah komplemen pada kejadian A, maka n(a C )=N-k. Akibatnya, peluang dari komplemen kejadian A adalah: N k k P C N N ( A ) = = 1 = 1 P( A) Tentukan P(A c ), P(B c )
Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Definisi Jika A adalah suatu kejadian pada ruang sampel S dengan peluang P(A), maka frekuensi harapan munculnya kejadian A dalam M kali percobaan adalah P(A) x M Contoh : Jika dilakukan 250 kali pelemparan satu keping mata uang, tentukan frekuensi harapan munculnya sisi Gambar
Contoh Dalam PSB SMP, peserta harus menjawab 30 soal pilihan berganda dengan 4 pilihan jawaban. Bila seorang peserta menjawab pertanyaan tersebut secara acak saja, berapa peluang bahwa ia dapat menjawab semua pertanyaan tersebut dengan benar
Peluang Gabungan Dua Kejadian Definisi Jika terdapat dua kejadian A dan B, maka : Bukti : ( ) ( ) ( ) ( ) B A P B P A P B A P + = Dari sifat himpunan diketahui bahwa : ( ) ( ) ( ) ( ) B A n B n A n B A n + = Dengan demikian : ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( S n B A n S n B n S n A n S n B A n + = ( ) ( ) ( ) ( ) B A P B P A P B A P + =
Peluang Gabungan Dua Kejadian Contoh Misalkan sebuah percobaan acak berupa pelemparan sebuah dadu. Kejadian A adalah munculnya mata dadu ganjil dan kejadian B adalah munculnya mata dadu yang lebih besar dari 2. Tentukan P(AυB) Contoh Dalam suatu kelas yang terdiri dari 50 orang siswa, 25 siswa suka berolahraga 20 orang siswa suka kesenian dan 20 siswa tidak suka keduanya. Bila seorang siswa dipilih dari 50 siswa tersebut, berapa peluang akan terpilih siswa yang menyenangi olahraga dan kesenian
Definisi A B = Kejadian Saling Lepas Jika,maka peluang gabungan dua kejadian adalah: ( A B) = P( A) P( B) P + Dalam keadaan ini, A dan B disebut dua kejadian yang saling lepas. Contoh : Misalkan sebuah percobaan acak berupa pelemparan sebuah dadu. Kejadian A adalah munculnya mata dadu ganjil dan kejadian B adalah munculnya mata dadu genap. Buktikan bahwa kedua kejadian tersebut saling lepas
Peluang Bersyarat Perempuan Laki-laki Total Olahraga 20 40 60 Kesenian 45 15 60 Sains 35 45 80 Total 100 100 200 Tentukan P(P), P(L), P(O), P(K), P(S), P(P dan O), P(P atau O)
Peluang Bersyarat Definisi Peluang bersyarat dari kejadian B jika diketahui kejadian A telah terjadi adalah: P ( B A) P ( A B) P( A) = ; P( A) > 0 Jika A dan B adalah dua kejadian dalam ruang sampel S maka peluang kejadian A dan B dapat ditentukan bahwa: ( A B) = P( A) P( B A) P atau ( A B) = P( B) P( A B) P
Peluang Bersyarat Contoh Tiga bola lampu yang sudah rusak secara tidak sengaja tercampur dengan 8 bola lampu yang masih baik. Bila dua bola lampu diambil secara acak dan tanpa pengembalian, hitunglah: peluang bahwa kedua bola lampu masih baik peluang bahwa kedua bola lampu rusak peluang bahwa terambil satu bola lampu rusak dan satu yang masih baik (Bagaimana jika pengambilan bola tersebut dilakukan tanpa pengembalian)
Kejadian Saling Bebas Definisi Dua kejadian A dan B dikatakan saling bebas (independent) jika : P ( A B) = P( A) atau P ( B A) = P( B) Sehingga dengan demikian : P ( A B ) = P ( A ) P ( B )
Hukum Peluang Total B 1 B 2 A S = B1 B2. A = (A B1) (A B2) (mengapa??) P(A) = P[(A B1)] + P[(A B2)] = P(B1) P(A B1) + P(B2) P(A B2) (rumus peluang bersyarat) Hukum ini dinamakan sebagai Hukum Peluang total.
Hukum Peluang Total Bila suatu ruang sampel S dapat disekat menjadi B1, B2,..., Bk, Bi Ø, B1 B2 Bk = S, maka untuk sembarang kejadian A yang merupakan himpunan bagian S, maka : P(A) = P(B1) P(A B1) + P(B2) P(A B2) + + P(Bk) P(A Bk) Contoh : Terdapat 2 kotak, kotak I dan kotak II. Kotak I berisi 2 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Kotak II berisi 4 kelereng merah dan 3 kelereng biru. Satu kotak diambil secara acak. Kemudian dari kotak yang terambil diambil satu kelereng secara acak. Berapa peluang terambil kelereng merah?
Hukum Peluang Total CONTOH : Dalam pemilu yang akan datang akan maju 3 partai, A, B, dan C. Peluang partai A menang adalah 0.3. Peluang Partai B menang adalah 0.5 dan peluang partai C menang adalah 0.2. Seandainya partai A menang, peluang harga BBM akan turun adalah 0.2. Bila partai B menang, peluang harga BBM akan turun adalah 0.9 dan bila partai C yang memang, peluang harga BBM akan turun adalah 0.8. Berapa peluang terjadinya kenaikan harga BBM
Hukum Bayes Bila suatu ruang sampel S dapat disekat menjadi B1 dan B2, P(Bi) 0, B1 B2= S, maka untuk sembarang kejadian A yang bersifat P(A) 0, berlaku P( B 1 A) = P( B 1 A) P( A) = P( B 1 P( B ) P( A B 1 1 ) P( A B ) + P( B 1 2 ) ) P( A B 2 ) CONTOH : Pada contoh sebelumnya, misalkan diketahui bahwa yang terambil adalah kelereng merah, berapa pelaung bahwa kelereng tersebut berasal dari kotak I Bila diketahui, setelah pemilu terjadi penurunan harga BBM, tentukan peluang bahwa partai B yang terpilih
Contoh Dalam PSB SMP, peserta harus menjawab 30 soal pilihan berganda dengan 4 pilihan jawaban. Bila seorang peserta menjawab pertanyaan tersebut secara acak saja, berapa peluang bahwa ia dapat menjawab semua pertanyaan tersebut dengan benar
LOGO