Konsep Primal - Dual

Konsep Primal - Dual

Teori Dualitas Persoalan Primal dan Dual Persoalan Primal (asli) Persoalan Dual (kebalikan dari primal) PRIMAL DUAL A. Fungsi Tujuan A. Fungsi Tujuan 1. Maksimisasi Laba 1. Minimisasi Biaya PL gunakan Metode PL gunakan Metode Simpleks (variabel Simpleks Big-M (var. Slack atau +S) buatan atau +A)

Model program linier memiliki 2 bentuk, yaitu: Model primal adalah bentuk asli dari suatu model program linier Model dual adalah bentuk alternatif yang dikembangkan dari model primal

Latar Belakang Setiap permasalahan programa linier mempunyai problem yang kedua yang berhubungan dengannya. Satu problem disebut sebagai primal dan yang lainnya disebut dual. Kedua problem sangat dekat berhubungan, sehingga solusi optimal disatu problem menghasilkan informasi yang lengkap untuk solusi optimal yang lainnya.

Kegunaan bagi pengambil keputusan adalah: Model Primal akan menghasilkan solusi dalam bentuk jumlah laba yang diperoleh dari memproduksi barang ataupun biaya yang dibutuhkan untuk memproduksi barang. Model Dual akan menghasilkan informasi mengenai nilai (harga) dari sumber-sumber yang membatasi tercapainya laba tersebut.

Hubungan khusus antara primal dan dual adalah : Variabel dual Y 1, Y 2, Y 3 berhubungan dengan batasan model primal. Dimana untuk setia batasan dalam primal terdapat satu variabel dual. Misal, dalam kasus di atas model primal mempunyai 3 batasan, maka dualnya akan mempunyai 3 variabel keputusan. Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variabel keputusan dual. Koefisien fungsi tujuan primal, merupakan nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan pada model dual. Pada bentuk standar, model maksimisasi primal memiliki batasan-batasan <, sedangkan model minimisasi dual memiliki batasan-batasan >.

Tabel Primal-Dual PL PRIMAL Koefisien X 1 X 2...... X n NK DUAL Y 1 Y 2 Y 3. Y n a 11 a 12...... a 1n b 1 a 21 a 22...... a 2n b 2 a 31 a 32...... a 3n b 3.......... a m1 a m2...... a mn b m KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN MINIMISASI NK C 1 C 2...... C n KOEFISIEN FUNGSI TUJUAN MAKSIMISASI

PRIMAL DUAL F/t Max : Z = 2X1 + 3X2 F/k : 5X1 + 7X2 < 35 8X1 + 4X2 < 40 F/s : X1 ; X2 > 0 F/t Min : Z* = 35X1 + 40X2 F/k : 5X1 + 8X2 > 2 7X1 + 4X2 > 3 F/s : X1 ; X2 > 0 F/t Max : Z = 2X1 + 3X2 + 0S1 + 0S2 F/k : 5X1 + 7X2 + S1 < 35 8X1 + 4X2 + S2 < 40 F/s : X1 ; X2 ; S1 ; S2 > 0

PRIMAL 2. Minimisasi Biaya : PL gunakan Simpleks Big-M (var.surplus S dan var. buatan +A) DUAL 2. Maksimisasi Laba : PL gunakan Simpleks (variabel slek +S) F/t Min : Z = 2X1 + 5X2 F/k : 3X1 + 4X2 > 24 5X1 + 6X2 > 30 F/s : X1 ; X2 > 0 F/t Max : Z = 24X1 + 30X2 F/k : 3X1 + 5X2 < 2 4X1 + 6X2 < 5 F/s : X1 ; X2 > 0

Keterkaitan Konsep Primal - Dual Pada Analisa Sensitivitas Analisa Sensitivitas mencakup investigasi pengaruh solusi optimal dalam melakukan perubahan nilai pada parameter model. Perubahan nilai parameter pada problem primal juga berhubungan dengan nilai pada problem dual nya. Dalam banyak hal akan lebih baik menganalisa problem dual secara langsung untuk menentukan pengaruh komplemennya pada problem primal.

Definisi Dari Dual Problem Maksimasi : n X 0 j1 c j x j Pembatas : j1 x n j a ij x 0 j b i i = 1, 2,, m j = 1, 2,, n

Dual Problem Dalam Bentuk Kanonik Jika permasalahan mengacu sebagai Primal, hubungan dalam dualnya adalah sebagai berikut : Minimasi : m y 0 i1 b i y i Pembatas : m i1 y j a ij x 0 i c j i = 1, 2,, m j = 1, 2,, n y 1, y 2,, y m : merupakan variabel dual

Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk Standard Maksimasi Pembatas Maksimasi Pembatas n x 0 j1 n j1 n y 0 i1 m i1 a ij c j x j y a ij x b i y i i j x j c j b i 0 i = 1, 2,, m j = 1, 2,, n j = 1, 2,, n y i tidak dibatasi tanda untuk semua i Primal Problem Dual Problem

Problem Dual Bila Primal Dalam Bentuk Standard Maksimasi Pembatas Maksimasi Pembatas n x 0 j1 n j1 n y 0 i1 m i1 a c j x j a ij y ij x b i y i i y i j c j 0 b i i = 1, 2,, m x i tidak dibatasi tanda untuk semua i j = 1, 2,, n i = 1, 2,, m Primal Problem Dual Problem

Membentuk Dual Problem dari Primal Problem atau Sebaliknya Langkahnya sebagai berikut : 1. Tiap batasan di suatu problem berhubungan dengan variabel pada variabel lainnya. 2. Elemen pada RHS pembatas pada suatu problem sama dengan koefisien fungsi obyektif yang sesuai pada problem lainnya. 3. Satu problem empunyai tujuan maksimasi lainnya minimasi. 4. Problem maksimasi mempunyai pembatas ( ) dan minimasi mempunyai pembatas ( ). 5. Variabel untuk kedua problem adalah non-negatif.

Contoh : Maksimasi : X 0 = 5 X 1 + 6 X 2 Pembatas : X 1 + 9 X 2 60 y 1 2X 1 + 3 X 2 45 y 2 5X 1-2 X 2 20 y 3 X 2 30 y 4 X 1, X 2 0 Primal Problem Minimasi : y 0 = 60y 1 + 45y 2 + 20y 3 + 30y 4 Pembatas : y 1 + 2 y 2 + 5y 3 60 9y 1 + 3 y 2 2y3 + y 4 45 y 1,y 2,y 3,y 4 0 Dual Problem

Penyelesaian Dual Simplex Maksimasi : X 0 = 2 X 1 + X 2 Pembatas : 3 X 1 + X 2 3 4 X 1 + 3 X 2 6 X 1 +2 X 2 3 X 1, X 2 0 Minimasi : X 0 = 2 X 1 + X 2 Pembatas : -3 X 1 - X 2 3-4 X 1-3 X 2 6 X 1 +2 X 2 3 X 1, X 2 0 Dengan mengubah fungsi obyektif Maksimasi menjadi Minimasi dan fungsi pembatasnya menjadi bertanda, kemudian dibentuk tabel simpleksnya adalah sbb :

Penyelesaian Dual Simplex Metoda Simpleks yang biasa, memberikan hasil didasarkan pada kondisi optimalitas dan layak (feasibility), sebagai berikut : Kondisi Layak : Leaving Variabel adalah variabel basis yang mempunyai nilai paling negatif. Kondisi Optimalitas : Entering Variabel dipilih diantara non-variabel basis dengan cara Rasio dari koefisien fungsi obyektif dengan koefisien pembatas yang terpilih sebagai leaving var. Entering Var. adalah salah satu yang mempunyai rasio terkecil untuk problem minimasi, atau nilai terkecil absolut untuk problem maksimasi.

Penyelesaian Dual Simplex Merubah fungsi pembatas dari Ketidaksamaan kedalam bentuk Persamaan Minimasi : X 0 = 2 X 1 + X 2 Pembatas : -3 X 1 - X 2 + S1 = - 3-4 X 1-3 X 2 + S2 = - 6 X 1 +2 X 2 + S3 = 3 X 1, X 2 0

Penyelesaian Dual Simplex Var Basis S 1 S 2 S 3 X 0 0 0 0 b j -3-6 3 Koefisien dari X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 2 1 0 0 0-3 -1 1 0 0-4 -3 0 1 0 1 2 0 0 0 0-2 -1 0 0 0 RHS Ratio Leaving Variabel Menentukan Rasio

Untuk Mendapatkan Entering Variabel Dengan Memilih Nilai Rasio Variabel X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 X 0 equation -2-1 0 0 0 S 2 equation -4-3 0 1 0 (leaving var) Rasio 1/2 1/3 X2 terpilih sebagai entering variabel karena merupakan nilai terkecil (minimasi problem)

Penyelesaian Dual Simplex Var Basis S 1 X 2 S 3 X 0 0 1 0 b j -1 2-1 Koefisien dari X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 2 1 0 0 0-5/3 0 1-1/3 0 4/3 1 0-1/3 0-5/3 0 0 2/3 1 RHS Ratio Leaving Variabel 2-2/3 0 0-1/3 0 Hasil optimal tapi belum feasibel maka dengan cara yang sama seperti iterasi sebelumnya dilakukan perhitungan untuk mendapatkan hasil yang optimal dan feasibel.

Penyelesaian Dual Simplex Var Basis X 1 X 2 S 3 X 0 2 1 0 b j 3/5 6/5 0 Koefisien dari X 1 X 2 S 1 S 2 S 3-2 -1 0 0 0 1 0-3/5 1/5 0 0 1 4/5-3/5 0 0 0-1 1 1 RHS Ratio 12/5 0 0-2/5-1/5 0 Nilai Optimal dan Feasible untuk permasalahan ini adalah : Maks X 0 = Min X 0 = 12/5, X 2 = 3/5, X 2 = 6/5