PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN Kompetensi: mengpliksikn konsep persmn dn pertidksmn. Sub Kompetensi: menentukn himpunn penyelesin persmn dn pertidksmn liner, menerpkn persmn dn pertidksmn kudrt, menyelesikn sistem persmn. Kriteri Kinerj: Persmn dn pertidksmn liner ditentukn penyelesinny Persmn dn pertidksmn kudrt ditentukn penyelesinny Persmn kudrt disusun berdsrkn kr-kr yng dikethui Persmn kudrt disusun berdsrkn kr-kr persmn kudrt lin Sistem persmn ditentukn penyelesinny. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINEAR Sebelum memhmi konsep persmn liner, sebelumny perlu kit kethui terlebih dhulu beberp istilh berikut ini. Klimt terbuk dlh klimt yng belum dikethui nili kebenrnny (benr tu slh), kren msih mengndung unsur vribel (peubh). Vribel dlh sesutu yng belum dikethui dlm klimt terbuk. Vribel bisny dinytkn dengn huruf kecil, b, c,, y, dsb. Penyelesin dlh penggnti vribel yng membut sutu klimt terbuk menjdi klimt yng bernili benr. Himpunn Penyelesin (HP) dlh himpunn dri semu penyelesin. Kesmn dlh pernytn yng memut hubungn sm dengn.. 5 7 (pernytn yng benr) b. 8 (pernytn yng slh) Persmn dlh klimt terbuk yng memut hubungn sm dengn.. n 5 b. 5 8 c. yy A. Persmn Liner Persmn Liner dlh persmn yng vribelny berpngkt stu (liner). Persmn liner memiliki bentuk umum: b ;,, b R. Keterngn: koefisien vribel b konstnt. 5 (persmn liner dengn stu vribel) b. y 6 (persmn liner dengn du vribel) Untuk memhmi bgimn menyelesikn sebuh persmn liner, perhtiknlh beberp contoh berikut ini. () 6 6 (kedu rus dikli 6) 8 8 (kedu rus dikurngi dn ditmbh 8)
{ R} HP, tu cukup ditulis HP { } () y y y y (kedu rus dikli ) 6y y 6 y y (kedu rus ditmbh y dn ) y y (kedu rus dikli ) y HP y y, y R () Hrg sebuh celn tig kli hrg sebuh bju. celn dn bju hrgny Rp. 65.,. berpkh hrg stu celn dn stu bju? Misl: hrg bju B, mk hrg celn C Dri sol dikethui, Hrg C B 65. () 65. 9 65. 65. 5. C C (5.) 5. Jdi, hrg celn Rp. 5., dn hrg bju Rp. 5.,. B. Sistem Persmn Liner Bentuk persmn liner seperti yng telh kit peljri di ts dlh bentuk persmn liner stu vribel. Dn sekrng kit kn liht bgimn bentuk jug cr menyelesikn persmn liner du vribel. Persmn liner du vribel dpt diselesikn dn dikethui niliny jik berd dlm stu Sistem Persmn Liner (SPL). Untuk memhmi bgimn menyelesikn sebuh sistem persmn liner, kit liht contoh-contoh berikut. ) Tentukn himpunn penyelesin dri SPL berikut. y y Cr I (eliminsi) y y 8y 88 y 6 5y 5 y 5 (menghilngkn )
y y Jdi HP {(,5)} Cr II (substitusi) y... ( ) ( ) y... Dri () diperoleh: y y y 8 y 5 (menghilngkn y ) y...() Msukkn () ke () diperoleh: y 8 5... ( ) Msukkn () msuk ke () y y 6 y y 5 Jdi, HP {(,5)} C. Pertidksmn Liner Klu pd persmn kit berhubungn dengn tnd sm dengn, mk pd bentuk pertidksmn kit kn berhubungn dengn tnd-tnd ketidksmn <, >,,. Pertidksmn dlh klimt terbuk yng mengndung tnd ketidksmn.. 5 > 8 (Pertidksmn liner. Ap tndny?) b. 6y 5 y (Bukn pertidksmn liner. Kenp?) Pertidksmn liner dlh pertidksmn yng vribelny berpngkt stu. Bgimn cr menyelesikn tu mencri HP sebuh pertidksmn liner? Ad beberp sift yng perlu kit perhtikn dlm menyelesikn sebuh pertidksmn secr umum, termsuk pertidksmn liner. Sift-sift itu dlh:. Jik kedu rus ditmbh tu dikurngi dengn bilngn yng sm mk tnd ketidksmnny tetp (tidk berubh)
b. Jik kedu rus diklikn tu dibgi dengn bilngn positif yng sm mk tnd ketidksmnny tetp (tidk berubh) c. Jik kedu rus diklikn tu dibgi dengn bilngn negtif yng sm mk tnd ketidksmnny berubh (diblik). Untuk memhmi cr menyelesikn pertidksmn liner, dengn menggunkn sift di ts kit liht beberp contoh berikut. () 5 6 9, Q 5 9 6 (kedu rus dikurngi dn 6, tnd tetp) 5 5 (kedu rus dikli, tnd tetp) 5 HP 5, Q { } () < 6, R < 6 (kedu rus dikurngi dn ditmbh, tnd tetp) ( ) > ( ) (kedu rus dikli -, tnd berubh, diblik) > HP >, R { } PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT A. Persmn Kudrt Kit telh mengenl persmn kudrt (disingkt PK) dn cr menyelesiknny (cob liht kembli mteri persmn kudrt di buku mtemtik SMP kels!) dn sekrng kit kn peljri kembli mteri tersebut berikut beberp perlusnny.. Ap itu persmn kudrt? Sutu mlm slh seorng sisw kels di SMKN Cidun bermimpi bertemu dengn Isc Newton. Ahli fisik dn mtemtik yng sngt terkenl itu mengjkny ke sebuh punck gedung dengn ketinggin m dri tnh. Di hdpnny, i mendemonstrsikn sutu prinsip fisik yng ditemuknny lebih dri thun yng llu. I melemprkn bol hmpir vertikl ke udr dengn keljun vertikl wl v 5 m/s. Jik perceptn grvitsi g m/s, ketinggin bol di ts tnh, h sebgi fungsi wktu t, menurut fisik dinytkn oleh h gt vt, dengn h dlm meter, dn t dlm detik.. Berp nili h ketik bol menumbuk tnh?. Tulis persmn yng hrus diselesikn untuk menentukn kpn bol menumbuk tnh!. Selesikn persmn yng diperoleh untuk menentukn kpn bol menumbuk tnh! Permslhn di ts dlh slh stu contoh pemodeln mtemtik yng dpt diselesikn menggunkn konsep persmn kudrt.
Llu p itu persmn kudrt? Sekrng perhtikn beberp contoh persmn berikut! 5 6 8 (Persmn kudrt. Perhtikn p tndny?) 5 (Bukn persmn kudrt. Kenp?) Dri bentuk di ts kit turunkn definisi berikut: Persmn kudrt dlh persmn yng vribelny mempunyi pngkt tertinggi sm dengn du. Sehingg kit bis merumuskn bentuk umum sebuh persmn kudrt sebgi berikut. Bentuk umum: b c ; dengn, b, c R,, b dn c boleh nol. keterngn: dlh vribel dlh koefisien dri b dlh koefisien dri c dlh konstnt Cttn:. disebut persmn kudrt murni. b. b disebut persmn kudrt tk lengkp.. Menyelesikn persmn kudrt Ketik kit menemui sebuh persmn kudrt, pekerjn kit slnjutny dlh menyelesikn persmn kudrt tersebut, ykni mencri kr-kr persmn kudrt tu kit kenl dengn himpunn penyelesin (HP). Mencri HP dlh menentukn nili-nili vribel yng memenuhi persmn tersebut. Kit sudh mengenl d tig cr yng dpt dilkukn untuk menentukn HP, yitu: memfktorkn (fktorissi), melengkpkn bentuk kudrt, dn menggunkn rumus (rumus bc). () Fktorissi Perhtikn contoh-contoh yng bervrisi berikut ini gr nntiny kit cektn dlm mencri kr-kr persmn kudrt dengn cr memfktorkn (fktorissi). Berikut dlh prinsip yng perlu diphmi untuk selnjutny tidk lup kit hplkn gr kelk kit bis menyelesikn sebuh persmn kudrt. Prinsip pemfktorn: p q b c hsil kliny (pq) c jumlhny (pq) b ) 5 6 ( )( ) {- (-) 6 dn - (-) -5} tu 5
) 5 6 ( )( 6) { (-6) -6 dn (-6) -5} tu 6 ) 8 6 {6 (-) - dn 6 (-) } 6 tu ) { (-) - dn (-) -} tu 5) 5 5 5 { 5 (- 5 ) -5 dn 5 (- 5 ) } ( )( ) 5 tu 5 (b) Melengkpkn bentuk kudrt Prinsipny dlh: p ± p (contoh: ± ) ( ) b ± b ) ( ) ( ) ( ) ± ) tu ( ) ( ) 6 ( ) ± 6 ± tu 6 Secr umum: b c b c b c b b b c b c c 6
b b c ± ± b c b b c b b c tu b b c b b c dn Rumus ini dikenl dengn nm rumus bc tu rumus kudrt. (c) Rumus bc b c, b± b c tu b b c dn b b c ), ( ) ± ( ) () ()( ) ± ± tu ) 9, ± ()( 9) () ± 9 7 ± 9 9 6 9 tu ) 6, ( 6) ± ( 6) () ()( ) 6 ± 6 6± 6 6 tu. Diskriminn Diskriminsi rtiny meliht tu membut perbedn-perbedn. Diskriminn rtiny sutu yng mmpu membedkn. 7
Perhtikn penggunn rumus bc pd penyelesin persmn kudrt berikut ini: ), ( ) ± ( ) () ()( ) ± ± 6 tu (kr-krny, dn berlinn) ) 6 9, ( 6) ± ( 6) () ()(9) 6 ± 6 6 6± 6 6 6 6 tu (kr-krny, dn kembr) ), ( ) ± ( ) () ()() ± ± 8 (tidk memiliki, sebb tidk terdpt hrg kr bilngn negtif; perhtikn bilngn di bwh tnd kr!) Dri contoh di ts, terliht bhw d tig hl yng mungkin terjdi berkenn dengn kr-kr persmn kudrt itu. Akr-krny itu bis berlinn, sm tu bhkn tidk d kr rel yng memenuhi. Dn ternyt ketig kemungkinn ini bis diidentifiksi dengn meliht bilngn yng d di bwh tnd kr pd rumus bc. Dri rumus bc sebuh persmn kudrt; b c, b± b c ; D b c disebut Diskriminn. Berikut diidentifiksi beberp kemungkinn nili Diskriminn: jik D > kn didpt kr yng berlinn jik D kn didpt kr sm tu kembr jik D < krny khyl/imjiner (tidk didpt kr rel) ) Tentukn hrg m gr persmn kudrt 8 m 6 mempunyi kr yng sm! 8 m 6 8 ( m 6)...(*) persmn (*) memiliki koefisien-koefisien, b 8, dn c m6. Agr persmn kudrt mempunyi kr yng sm mk nili D. D b -c 6 - (m6) 6 - (m6) 8
m Jdi, gr persmn 8 m 6 memiliki du kr kembr, mk nili m. k ) Tunjukkn bhw persmn ( k) mempunyi du kr rel untuk semu hrg k R! k k ( k) memiliki koefisien-koefisien, b 5, dn c. k D b c ( k) ( ) ( k k ) k D k D > (k sellu berhrg positif tu nol sehingg D k sellu positif) Oleh kren nili diskriminn sellu positif, mk persmn kudrt sellu memiliki du kr rel untuk semu hrg k R. ) Tunjukkn bts nili c gr persmn 5c memiliki penyelesin! 5c memiliki koefisien-koefisien, b 5, dn c -c. D b c (5) () (-c) 5 8c Agr persmn kudrt tersebut memiliki penyelesin mk: D 5 8c 5 8c 5 c 8 Jdi, gr persmn 5c memiliki penyelesin mk hruslh 5 dipenuhi c. 8. Sift Akr dn Bentuk Simetris () Sift Akr b± b c Dri PK b c, b b c... (*) b b c... (**) Dri (*) dn (**) diperoleh: b b c b b c b b c b b b b Jdi, b c 9
b b c b ( ) ( ) b b c b b c c Jdi, ( ) c c b c Tnp meneyelesikn persmn, hitunglh jumlh, dn hsil kli dri kr-kr persmn kudrt berikut! ) ), ) Dri PK diperoleh, b, dn c -. mk: b Jumlh kr-kr; c Hsil kli kr-kr; ), Kren, klikn kedu rus dengn sehingg diperoleh (bentuk bku persmn kudrt), b -, dn c - (koefisien-koefisien PK ) b ( ) (sift jumlh kr-kr) c (sift perklin kr-kr) (b) Bentuk Simetris Untuk mengitung besr hrg bentuk-bentuk simetris, semuny dikemblikn ke bentuk sift kr dn.. ( ) ( ) ( ) Coblh klin turunkn kesmn-kesmn bentuk simetris di ts! Jik dn dlh kr-kr persmn, tnp menyelesikn PK tersebut, tentukn nili dri
) ) ) ) 5) ( ) Dri PK, diperoleh, b -, dn c. mk ( ) b c ) ( ) ) ) ( ) ( ) ) ( ) 5) ( ) ( ) (ingt ( ) ) ( ) ( ) 7 ksus ini jug bis diselesikn dengn menggunkn rumus kudrt selisih krkr ( ) ( ) ( )( ) ( ) 7 c b D Vrisi Sol Bentuk Simetris (Pengyn) Jik α dn β dlh kr-kr dri persmn q dn β α, tentukn nili q! Koefisien-koefisien PK q ;, b, c (q - ). ( ) β α β α b...(*) ( rumus jumlh kr-kr) Substitusi β α ke persmn (*), diperoleh
β β β β c α β ( rumus hsil kli kr-kr) q β β β q (-) q ( substitusi β ) q 7 5. Menyusun Persmn Kudrt Bru Dlm hl ini lngsung dijelskn mellui contoh. ) Susunlh persmn kudrt yng kr-krny. dn 5 b. dn. Penyelesinny dpt dilkukn dengn cr: Cr I PK itu: ( )( ) 5 Cr II ( )( ) 7 PK itu: ( ) ( 5) 5 7 Jdi, PK yng kr-krny dn 5 dlh 7 b. Diselesikn dengn Cr I, PK itu: ( )( ) ( ( ) )( ) ( )( ) Jdi, PK yng kr-krny dn dlh ) Jik dn dlh kr-kr persmn PK, susunlh PK yng kr-krny ( ) dn ( )! Dri PK Misl kr yng bru y dn y, mk: y y ( ) ( ) ( ) 6 y ( )( ) y
Sehingg persmnny dlh: ( ) y y y y y y y y ( ) ( ) ( ) 6 Atu jik ditulis dlm vribel, Persmnny dlh 6 B. Pertidksmn Kudrt Sutu pertidksmn kudrt bis diselesikn dengn lngkh-lngkh sebgi berikut: Cri kr kr bentuk persmn kudrtny Gmbr gris bilngn, lengkpi titik-titik pembut nol kemudin periks tndny Trik kesimpuln sesui pertidksmn yng dimint. ) Selesikn > 7! > 7 7 > ( )( 5)> Mk diperoleh ; 5 sebgi pembut nol fungsi. But gris bilngn dengn titik nol dn tndny. Jdi, HP { < \ tu > 5} ) Selesikn <! < 7 ; 7 6 < HP 7 < <
) Tentukn syrt p gr ( p) ( p 5) Syrt gr slh stu krny positif: D > < D > ( p) ( p 5) ( p p ) p p > ( )( p 7) > slh stu krny positif. > 8 p > p... (*) < p 5< 5 p <... (**) Dri (*) dn (**) cri derh yng memenuhi keduny mellui gris bilngn. Berdsrkn gmbr di ts dpt disimpulkn p < Nh sekrng, cob dn ltihlh pemhmn tentng semu mteri yng telh kit peljri di ts dengn sol-sol berikut ini. Selmt berltih! LATIHAN. Selesikn persmn berikut!. 5 d. b. 6 8 e. c. ( 6 9) ( ) 5. Crilh hr dn y dri SPL berikut dengn menggunkn metode eliminsi tu substitusi tu kombinsi keduny yng kmu nggp pling mudh! 5 y7 5y7. b. y y
5 y c. 7 y 5 y e. y 8 5 5 d. y y. Suneo membeli selusin buku tulis. Di membyrny dengn ung ribun sebnyk tig lembr dn mendpt ung kemblin Rp. 6,. berpkh hrg sebuh buku tulis itu?. Enm kemej dn empt T-Shirt hrgny Rp. 86.,. du kemej dn du T- Shirt hrgny Rp. 68.,. berp hrg msing-msing? 5. Selesikn PK berikut dengn cr memfktorkn, melengkpkn bentuk kudrt, tu dengn rumus yng menurut kmu pling mudh!. d. b. 5 7 e. c. 6. Dengn meninju hrg D tentukn bnykny kr persmn berikut!. d. b. c. 7. Persmn berikut mempunyi kr kembr, hitunglh m.. m m b. m m 8. Jik A dn B dlh kr-kr persmn 5, tentukn:. A b. A B B 9. Susunlh PK dlm yng kr-krny:. -5 dn 8 c. dn b. dn. Jik dn dlh kr-kr persmn 5, susunlh persmn kudrt bru yng kr-krny:. dn c. b. dn dn. Tentuknlh HP dri pertidksmn berikut!. b. 5 < c. 5. Sebuh pbrik menjul produkny unit per minggu dengn hrg p rupih per unit, dengn p 5 -. Berp unit hrus dijul tip minggu untuk memperoleh penerimn pling sedikit Rp.., per minggu?. Sebuh brng dijul dengn hrg p rupih (dlm ribun) terjul kilogrm, dengn - p. Berp hrg yng hrus dikenkn gr memperoleh penerimn pling sedikit Rp. 5.,? 5
. Dikethui rumus investsi dlh ( ) A P r dengn A Rp. 6..,. jik P Rp...,, tentukn suku bung r? 5. selesikn sistem persmn-persmn berikut ini! y y 6 5. c. y y y 9 b. y ********************************************************************* Tek-Teki Mtemtik Bilbo seorng hobbit petulng memelihr jnggut selm petulngnny bersm ketig bels kurcci dlm perburun hrt leluhur pr kurcci yng telh dicuri oleh Smug, si ng jht yng berprilku buruk. Pd khir perjlnnny, Bilbo menydri bhw tig kli pnjng jnggutny ditmbh dengn kudrt pnjngny ditmbh sm dengn lm petulngnny. Jik Bilbo mengukur pnjng jnggutny dlm sentimeter dn i bertulng selm hri, berpkh pnjng jnggutny pd khir petulngnny? Aku sellu berusi 5 thun lebih tu dri yhmu, kt Nenek kepd Trickle mud. Trickle mengir Nenekny gk rendh kecerdsn otkny.tetpi kini, di berpikirn lin tentng Nenekny itu. Tetpi kini kn kuberithukn p yng neh mengeni umur kmi sekrng lnjutny. Du digit dlm umurku merupkn keblikn dri digit umur yhmu. Trickle tk dpt mempercyi telingny. I kini sedng melkukn pengmtn mtemtik. Trickle mers mlu, kren seringkli membut lelucon tentng otk nenekny di belkngny. Mmm, mungkin di situlh i telh menyembunyikn usiny selm ini. Berpkh usi Si Nenek? Ayso ********************************************************************* 6