UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS

UJIAN AKHIR SEMESTER STATISTIKA DAN PROBABILITAS Se, 19 Desember 016 100 met [ Boleh membuka buku Tdak boleh memaka komputer ] SOAL 1 [SO A-3, BOBOT NILAI 40%] Hasl pegukura sampel d beberapa sekolah da uverstas terhadap kods fsk sswa/ mahasswa meghaslka data amata sepert dsajka pada tabel d bawah. Nomor data Usa [tahu] Tgg bada [cm] 1 1 155 19 169 3 18 171 4 0 173 5 17 167 6 16 161 7 15 158 8 14 170 9 13 156 (a) Temukalah persamaa hubuga atara kedua varabel dega tekk regres lear, metode kuadrat terkecl. [Bobot 0%] (b) Berapakah koefse korelas hubuga lear kedua varabel tersebut? [Bobot 10%] (c) Apakah yag dapat Saudara smpulka dar hubuga kedua varabel tersebut? [Bobot 10%] PENYELESAIAN (a) Regres lear [bobot la 0%] Jka adalah ukura sampel, usa sswa/mahasswa dyataka sebaga varabel X (x = x 1, x,, x ) da tgg bada sswa dyataka sebaga varabel Y (y = y 1, y, y ), maka hubuga atara kedua varabel, yag dperoleh dar regres lear, dapat dyataka dalam persamaa lear d bawah : Y = a 0 + a 1 X Varabel Y atau serg pula dsmbolka dega Y r adalah tgg bada sswa sebaga fugs usa sswa. Nla a0 da a1 dalam persamaa regres dcar dega persamaa berkut: a 1 = x =1 y =1 x =1 y x =1 ( =1 x ) da a 0 = Y a 1 X Dalam persamaa d atas, adalah jumlah data, Y da X adalah tgg bada rata-rata da usa ratarata. Utuk meghemat peulsa, deks pada operator pejumlaha tdak dtulska, sehgga =1 x dtulska sebaga x. Htuga regres lear dega metode kuadrat terkecl dsajka pada Tabel 1 pada halama setelah halama. Dar Tabel 1, dperoleh formas sebaga berkut: jumlah sswa, = 9; tgg bada rata-rata, Y = y = 1480 9 = 164.4 cm; usa rata-rata, X = x = 144 9 = 16 tahu. Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 016119 hlm 1 dar 7

Koefse a 1 da a 0 pada persamaa kurva regres dhtug sebaga berkut: a 1 = x y x y 9 380 144 1480 x ( x ) = 9 364 144 =.03 cm/tahu. a 0 = Y a 1 X = 164.4.03 16 = 131.9 cm. Perhatka bahwa usa da tgg bada sswa memlk satua. Koefse a0 bersatua [cm] da a1 bersatua [cm/tahu]. Hubuga atara tgg bada da usa sswa yag dperoleh dar regres lear atara kedua varabel adalah: Y = 131.9 +.03 X atau y = 131.9 +.03 x. TABEL 1 HITUNGAN REGRESI LINEAR HUBUNGAN ANTARA TINGGI BADAN DAN USIA SISWA DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL x [tahu] y [cm] x y [tahu.cm] x [tahu ] 1 1 155 1860 144 19 169 311 361 3 18 171 3078 34 4 0 173 3460 400 5 17 167 839 89 6 16 161 576 56 7 15 158 370 5 8 14 170 380 196 9 13 156 08 169 Σ 144 1480 380 364 (b) Koefse korelas [bobot la 10%] Koefse korelas, r, dyataka dalam persamaa berkut: r = S t S r S t = (y Y ) (y y ) atau r = (y Y ) x y ( x )( y ) x ( x ) y ( y ) Dalam persamaa d atas, operator pejumlaha x dbaca =1 x da deks = 1,,,. Htuga utuk medapatka la St da la Sr dlakuka secara tabulas dalam Tabel d bawah. Htuga megacu kepada persamaa r d atas yag d sebelah kr. TABEL HITUNGAN KOEFISIEN KORELASI ANTARA TINGGI BADAN DAN USIA SISWA x [tahu] y [cm] (y Y ) [cm ] y [cm] (y y ) [cm ] 1 1 155 88.36 156.3 1.69 19 169 1.16 170.5.5 3 18 171 43.56 168.5 6.5 4 0 173 73.96 17.5 0.5 5 17 167 6.76 166.4 0.36 6 16 161 11.56 164.4 11.56 7 15 158 40.96 16.4 19.36 8 14 170 31.36 160.3 94.09 9 13 156 70.56 158.3 5.9 S t = 388.4 S r = 141.10 r = S t S r 388.4 141.10 = = 0.80. S t 388.4 Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 016119 hlm dar 7

Tgg bada sswa [cm] Akar kuadrat dapat berla postf atau egatf. Koefse korelas dapat berla postf atau egatf. Karea grade kurva regres, a 1, berla postf, atau dega kata la tgg bada sswa berbadg lurus dega usa sswa, maka koefse korelas berla postf, r = 0.80. Gambar 1 meyajka hubuga atara usa da tgg bada sswa secara grafs. Gambar tdak wajb dbuat karea soal tdak memtaya. Salah satu data tampak berada jauh dar kurva regres lear. S sswa berusa 14 tahu da memlk tgg bada 170 cetmeter. Datum sepert dkeal sebaga outler. Adaya outler dapat dsebabka oleh sfat keragama (varabltas) sampel atau dakbatka oleh kesalaha pegukura. Apabla peyebab outler dketahu, maka perlakua terhadapya dapat dputuska. Jka outler dsebabka oleh kesalaha pegukura, maka outler dkeluarka dar data da tdak dkutka dalam pegolaha data. Sebalkya, jka pegukura sudah bear, maka outler tetap dkutka dalam pegolaha data. 174 17 170 168 166 outler 164 16 160 kurva regres lear tgg bada =.03 (usa) + 131.9 158 156 154 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Usa sswa [tahu] GAMBAR 1 HUBUNGAN LINEAR ANTARA USIA SISWA DALAM SATUAN TAHUN DAN TINGGI BADAN SISWA DALAM SATUAN CENTIMETER (c) Hubuga atara usa da tgg bada [bobot la 10%] Tgg bada da usa sswa meujukka hubuga lear yag erat, walau leartas hubuga atara kedua varabel tdak sepeuhya sempura. Nla koefse korelas 0.80 cukup medukug smpula yag meyataka bahwa tgg bada sswa berbadg lurus dega usa sswa. I tampak jelas pada tampla grafs ttk-ttk data (Gambar 1). Keberadaa sebuah outler (14,170) megurag keerata hubuga lear atara kedua varabel. SOAL [SO B-4, BOBOT NILAI 60%] Agka-agka d bawah adalah sampel kelembaba udara relatf, dalam satua perse, yag dperoleh dar sebuah stasu cuaca. 88 9 79 86 81 77 8 83 87 94 81 90 85 70 84 78 74 85 75 85 75 78 80 8 78 76 90 85 71 83 90 73 87 89 77 81 94 78 84 81 Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 016119 hlm 3 dar 7

Frekues (a) Buatlah tabel frekues dega retag kelas 4%, batas bawah retag kelas pertama adalah 68% (retag kelas pertama 68-7). [Bobot 10%] (b) Htuglah la rata-rata, meda, da modus berdasarka sampel kelembaba udara dega memaka tabel frekues. [Bobot 10%] (c) Htuglah la smpaga baku sampel kelembaba udara dega memaka tabel frekues. [Bobot 10%] (d) Htuglah retag keyaka kelembaba udara rata-rata populas dega tgkat keyaka 95%. [Bobot 15%] (e) Ujlah hpotess yag meyataka bahwa kelembaba udara rata-rata populas adalah 80% dega tgkat keyaka 90%. [Bobot 15%] PENYELESAIAN (a) Tabel frekues [bobot la 10%] Kelembaba udara adalah varabel radom kotu. Data kelembaba udara tersebut adalah data sampel, buka data populas. Tabel frekues dsajka pada Tabel 3 d bawah. Kelembaba udara dsmbolka dega otas X. TABEL 3 KELEMBABAN UDARA RELATIF DI SEBUAH STASIUN CUACA Kelembaba udara, X [%] Frekues Frekues Kelas x f kumulatf f x [%] f x [% ] 1 68-7 70 140 9800 7-76 74 5 7 370 7380 3 76-80 78 8 15 64 4867 4 80-84 8 10 5 80 6740 5 84-88 86 8 33 688 59168 6 88-9 90 5 38 450 40500 7 9-96 94 40 188 1767 Σ = 40 380 7043 Jumlah data dalam sampel kelembaba udara adalah f = 40. Operator pejumlaha f dbaca 7 =1 f. Data kelembaba udara dalam tabel frekues d atas dapat pula dsajka dalam betuk grafk batag atau hstogram sepert dsajka pada Gambar. 1 10 8 6 4 0 68-7 7-76 76-80 80-84 84-88 88-9 9-96 Kelembaba udara relatf [%] GAMBAR KELEMBABAN UDARA RELATIF DI SUATU STASIUN CUACA Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 016119 hlm 4 dar 7

Grafk tdak wajb dbuat karea soal tdak memtaya. Perhatka betuk kurva pada gambar tersebut. Tampak jelas bahwa betuk kurva mrp dega kurva pdf dstrbus ormal. Dega demka, sampel kelembaba udara tersebut berdstrbus ormal. (b) Nla rata-rata, meda, modus [bobot la 10%] Nla rata-rata dhtug dega batua tabel frekues, yatu dega meambahka satu kolom yag bers la frekues dkalka dega la data, f x. Kelembaba udara rata-rata adalah: X = f x f = 380 40 = 8% Nla rata-rata dapat pula dbaca pada hstogram (Gambar ). Karea hstogram data kelembaba udara mrp dega kurva pdf dstrbus ormal, maka kelembaba udara rata-rata berada d tegah, yatu dalam kelasa 80-84 [%]. Jad, kelembaba udara rata-rata adalah 8%. Nla meda adalah la data yag berada d tegah dalam deret data yag durutka dar kecl ke besar atau dar besar ke kecl. Tabel 3 telah megatur data dalam deret dar kecl ke besar. Karea jumlah data adalah 40, maka la meda adalah la yag berada d tegah atara data ke-0 da ke-1. Dar hstogram data (Gambar ) da kolom frekues pada tabel frekues data (Tabel 3), tampak bahwa data berdstrbus secara smetrs dega sumbu smetr kelas 80-84 [%]. Nla meda kelembaba udara, dega demka, adalah 8%. Nla meda dapat pula dhtug dega persamaa berkut: X meda = x l + ( m 1 =1 f ) (x f u x l ) m Dalam persamaa d atas, x l adalah batas bawah kelas yag megadug la meda, x u adalah batas atas kelas yag megadug la meda, m adalah omor urut kelas yag megadug la meda, da f adalah frekues data. 0 15 X meda = 80 + ( ) (84 80) = 80 + 5 10 10 4 = 8%. Nla modus adalah la data yag memlk frekues tertgg, yatu kelas data 80-84 [%]. Meggat dstrbus data adalah smetr, maka modus kelembaba udara adalah 8%. Nla modus dapat pula dhtug dega persamaa berkut: f m f m 1 X modus = x l + { (f m f m 1 ) + (f m f m+1 ) } (x u x l ) Dalam persamaa d atas, x l adalah batas bawah kelas yag megadug la modus, x u adalah batas atas kelas yag megadug la modus, m adalah omor urut kelas yag megadug la modus, da f adalah frekues data. 10 8 X modus = 80 + { } (84 80) = 80 + (10 8) + (10 8) + 4 = 8%. Tampak bahwa la rata-rata, meda, da modus kelembaba udara adalah sama, yatu 8%. Kesamaa ketga la merupaka salah satu sfat data yag berdstrbus ormal. (c) Smpaga baku [bobot la 10%] Smpaga baku kelembaba udara dhtug dega batua tabel frekues, yatu dega meambahka kolom yag bers f x. Nla smpaga baku adalah: Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 016119 hlm 5 dar 7

s X = (x X ) ( f ) 1 = (f x ) ( f )(X ) 7043 40 8 = = 6.1%. ( f ) 1 40 1 (d) Retag keyaka kelembaba udara rata-rata [bobot la 15%] Retag keyaka kelembaba udara rata-rata, dega asums bahwa kelembabab udara tersebut berdstrbus ormal, dyataka dega persamaa berkut: prob(l μ X u) = 1 α Dalam persamaa d atas, l adalah batas bawah retag keyaka, u adalah batas atas retag keyaka, da 1 α adalah tgkat keyaka. Batas bawah da batas atas retag keyaka kelembaba udara rata-rata dyataka dega persamaa berkut: l = X s X t 1 α, 1 da u = X + s X t 1 α, 1 Nla t 1 α, 1 adalah la t pada pdf dstrbus t sedemka hgga prob(t < t) = 1 α pada la derajat kebebasa ν = 1, ukura sampel (jumlah data). Karea tgkat keyaka telah dtetapka, yatu 1 α = 95%, maka 1 α = 97.5%. Nla t 1 α, 1 = t 0.975,39 dbaca pada tabel dstrbus t. Bacaa tabel mejad mudah dlakuka dega cara membuat sketsa pdf dstrbus t. Dar tabel dstrbus t, dperoleh: α = 0.05 t 0.05,39 = t 0.975,39 Jad, retag keyaka 95% kelembaba udara rata-rata adalah: prob(80% μ X 84%) = 0.95. t 0.975,39 =.07 Dega demka, batas bawah da batas atas retag adalah: l = 8.07 6.1 40 = 80%. u = 8 +.07 6.1 40 = 84%. (e) Uj hpotess kelembaba udara rata-rata [bobot la 15%] H 0 : μ 0 = 80% H 1 : μ 0 80% 1 α = 0.95 Karea varas populas tdak dketahu (σ X tdak dketahu), maka statstka uj adalah: T = (X μ s 0 ) = 40 (8 80) =.0736. X 6.1 α = 0.05 t 0.975,39 Batas-batas peermaa atau peolaka statstka uj dega tgkat keyaka 1 α = 90% da jumlah sampel = 40 adalah: t α, 1 = t 0.05,39 da t 1 α, 1 = t 0.95,39. Dar tabel dstrbus t, dperoleh: t 0.95,39 = 1.6849 da α = 0.05 t 0.05,39 = 1.6849 1 α = 0.90 α = 0.05 t 0.95,39 = 1.6849 t 0.05,39 = 1.6849 Dega demka, statstka uj T =.0736 berada d luar retag peermaa hpotess H0 ( T > t 0.95,39 ), Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 016119 hlm 6 dar 7

sehgga hpotess yag meyataka bahwa kelembaba udara rata-rata adalah 80% tdak dterma atau dtolak. -o0o- Peyelesaa Soal UAS Statstka da Probabltas 016119 hlm 7 dar 7