Ä Ò Ö Ò ÓÑ Ò ØÓÖ Ð ÇÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ö Ö Ã Ð Å Ø Ñ Ø ÒØÖÙÑ Ä ØÙÖ ÁÒØ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò ÁÒØ Ö ÔÖÓ Ö ÑÑ Ò º Ì ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÒÑ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñº Ì ØÖ Ú Ð Ò Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñº ÙØØ Ò ÔÐ Ò Ñ Ø Ó º ÈÙÖ ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ º Å Ü ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ º
ÁÒØ Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Ä Ò Ö ÓÔØ Ñ Þ Ø ÓÒ Û Ö ÓÑ ÓÖ ÐÐ Ú Ö Ð ÓÙÐ ÒØ Ö º Ü ÑÔÐ max z = c T x Ax b x Z m x 0 Ì ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñº Ì ÒÑ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñº Ì ØÖ Ú Ð Ò Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñº Ì Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñº
Ì ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ñ ¹ ØÓÖ Û Ø ÙÔÔÐÝ s 1,...,s m µ Ò ¹ Û Ö ÓÙ Û Ø Ñ Ò d 1,...,d n µ m s i d j c ij ¹ Ó Ø ÓÖ ÔÔ Ò ÓÒ ÙÒ Ø ÖÓÑ ØÓÖÝ i ØÓ Û Ö ÓÙ jº x ij ¹ ÒÙÑ Ö Ó ÙÒ Ø ÔÔ ÖÓÑ ØÓÖÝ i ØÓ Û Ö ÓÙ jº
m min z = m x ij d j, x ij s i, x ij Z x ij 0 c ij x ij i j Ì ÓÖ Ñ ÀÓ Ñ Ò Ó ÃÖ٠е Á ÐÐ Ó ÒØ Ö ÒØ Ö Ò Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ò Ø ÓÔØ ÑÙÑ ÙØÓÑ Ø ÐÐÝ Ø Ò ÒØ Ö ÔÓ Òغ ÓÖ Ø ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Ø Ö Ö ÑÓÖ ÒØ Ñ Ø Ó Ø Ò Ë ÑÔÐ Ü Ô º½ Ò Ø ÓÓ ÓÖ Ð ØÙÖ µ Ò Ð ¾º
Ì ÒÑ ÒØ ÔÖÓ Ð Ñ Ì ØÖ Ò ÔÓÖØ Ø ÓÒ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ò s Ò d Ö ÓÒÐÝ ÓÒ º ËÙÔÔÓ Ú n Ô Ö ÓÒ Ö Ò ÓÒ Ö ÓÖ n Ö ÒØ Ó º ËÙÔÔÓ Ô Ö ÓÒ Ó Ö ÒØ Ó ÒÓØ ÕÙ ÐÐÝ Û Ðк Ê ÔÖ ÒØ Ø Ò Ø Ð c ij ¹ Ø ÔÖÓ Ø Ó Ô Ö ÓÒ i Ô Ö ÓÖÑ Ó jº ÀÓÛ ÓÙÐ Ø Ó Ò ØÓ Ø Ö ÒØ Ô Ö ÓÒ Ì ÓÑ Ò ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ max z = x ij = 1, x ij = 1, x ij Z x ij 0 c ij x ij i j
Ì ØÖ Ú Ð Ò Ð Ñ Ò ÔÖÓ Ð Ñ Ð Ñ Ò ØÓ Ú Ø Ó n Ø C 1,...,C n Ò Ø ÖØ ÖÓÑ ÓÑ ØÝ C 1 Ø Ò Ú Ø Ø ÓØ Ö n 1 Ø Ò Ø Ò Ö ØÙÖÒ ØÓ C 1 Òº Ì ÓÖ Ö Û Ú Ø Ø Ø Ó ÒÓØ Ñ ØØ Öº c ij ¹ Ø Ò ÖÓÑ ØÝ i ØÓ ØÝ jº Ï ÓÖ Ö ÓÙÐ Ú Ø Ø Ø ØÓ Ñ Ò Ñ Þ Ø Ò Ì Ò ÛÖ ØØ Ò Ò ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñº x ij ¹ ½ Ø Ø Ò ØÛ Ò ØÝ i ØÓ j ÒÐÙ Ò Ø ÖÓÙØ ÓØ ÖÛ ¼º
m min z = c ij x ij m x ij = 1, i x ij = 1, j u i u j + nx ij n 1, i, j = 2,...,n Ò i j x ij Z x ij 1 x ij 0 u i Z u i 0
Ì Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñ ÈÙÖ ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ò Ð ÓÒ ØÖ Òغ n ØÝÔ Ó Ó Ø Ö Ú Ð Ð º iø ØÝÔ Û Ø w i Ò Ú ÐÙ c i ÖÓÒÓÖº ÃÒ Ô Û Ø Ô ØÝ Ó w º Ç Ø ÒÒÓØ ÖÓ Òº ÇÒÐÝ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö ÒÓº Ó Ø Ñ Ò ÐÓ ÒØÓ Ò Ô º Ø ÖÑ Ò Û Ù Ø Ó Ó Ø Ò ÓÛ Ñ ÒÝ Ó µ ØÓ ÐÓ ÒØÓ Ò Ô ØÓ Ñ Ü Ñ Þ ØÓØ Ð Ú ÐÙ ÐÓ Ù Ø ØÓ Ø Û Ø Ô Øݺ ÌÛÓ Ú Ö ÓÒ ÒÓÒÒ Ø Ú ÒØ Ö Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñ ¼¹½ Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñº Ë ÑÔÐ Ø ÔÙÖ ÁÈ ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø Ñ ÒÝ ÔÔÐ Ø ÓÒ º
Ì Ò Ô ÔÖÓ Ð Ñ max z = c i x i w i x i w, x i Z x i 0 (x i 1)
Ì ÙØØ Ò ÔÐ Ò Ñ Ø Ó ÈÙÖ ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ê ÐÔ ÓÑÓÖÝ ½ º ½º ËÓÐÚ Ö Ø max z = c T x Ax b x 0 x R m ¾º Á Ø ÓÐÙØ ÓÒ x ÓÒ Ø Ó ÓÒÐÝ ÒØ Ö Û Ö ÓÒ º ÇØ ÖÛ ÒØÖÓ Ù Ø ÓÒ Ð ÓÒ ØÖ ÒØ ÙØØ Ò ÔÐ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ ( g ij )x j + u = ( f i ) Û Ö ÑÓÚ x Û Ø ÓÙØ Ö ÑÓÚ Ò ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ º º Ø ÙØØ Ò ÔÐ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ó ØÓ ½º Æ Ì ÙØØ Ò ÔÐ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ Ö ÑÓÚ x ÙØ ÒÓØ ÒÝ ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒº
Ì ÙØØ Ò ÔÐ Ò Ñ Ø Ó ËÙÔÔÓ ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ø Ø Ð Ù t ij x j = X Bi ½µ Û Ö X Bi Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð iº Ä Ø [a] ÒÓØ Ø Ð Ö Ø ÒØ Ö Û Ñ ÐÐ Ö Ø Ò aº Ë Ò [t ij ] t ij Ò x j 0 Ø ÓÐÐÓÛ [t ij ]x j X Bi ÓÖ ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ø Ð Ø Ò ÙÑ ÙÔ ØÓ Ò ÒØ Öº Ì Ù Ø ÓÐÐÓÛ [t ij ]x j [X Bi ]
Ð Ú Ö Ð u [t ij ]x j + u = [X Bi ] ¾µ ËÙ ØÖ Ø ÒÓÛ ½µ ÖÓÑ ¾µ Ò Û Ó Ø Ò ([t ij ] t ij )x j + u = ([X Bi ] X Bi ) Ü ÑÔÐ Ú Ö ØÓ 1 8 }{{} t 13 x 3 1 x 4 = 17 }{{} 8 }{{} 4 t 14 X B1 1 x 3 7 x 4 + u = 1 }{{} 8 }{{} 8 }{{} 4 [t 13 ] t 13 [t 14 ] t 14 [X B1 ] X B1 Ë Ò Ò Û ÓÒ ØÖ ÒØ Ø Ù Ð ÑÔÐ Ü Ò Ù º
Ð ÓÖ Ø Ñ ½º ËÓÐÚ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Û Ø ÓÙØ ÒØ Ö ÓÒ ØÖ ÒØ º ¾º Á ÓÔØ ÑÙÑ ˆx Ò ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Û Ö ÓÒ º º ÇØ ÖÛ ÓÖÑ ÙØØ Ò ÔÐ Ò ÓÒ ØÖ ÒØ Ò Ø ØÓ Ø ÔÖÓ Ð Ñº Ó ØÓ ½º Æ Ì Ò Û ÓÒ ØÖ ÒØ Ó ÒÓØ Ö ÑÓÚ ÒÝ ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ º Ì Ò Û ÓÒ ØÖ ÒØ Ó Ö ÑÓÚ ˆxº Ü ÑÔÐ º Ö Û ÐÓØ Ó ÓÒ ØÖ ÒØ Ñ Ý Ö ÕÙ Ö ÓÖ Ø ÒØ Ö ÓÔØ ÑÙÑ Ó Ø Ò º ÁØ Ñ Ý Ö ÒÙÑ Ö ÐÐÝ ØÓ Û Ø Ö ÒÙÑ Ö ØÙ ÐÐÝ Ò ÒØ Ö ÓÖ ÒÓغ Ì ÒØ Ö ÓÐÙØ ÓÒ Ó ÒÓØ ÔÔ Ö ÙÒØ Ð Ø Ú ÖÝ Ð Ø Ø Ôº
Ì ÙØØ Ò ÔÐ Ò Ñ Ø Ó Å Ü ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Á ÖØ Ò Ú Ö Ð ÓÙÐ ÒØ Ö Ò ÓØ Ö ÒÓØ Ø Ò ÓÒ Ò Ö Ú Ñ Ð Ö ÓÒ ØÖ Òغ Ä Ø Ø ÕÙ Ø ÓÒ Û Ö Ø Ú Ö Ð Ø Ø ÓÙÐ Ò ÒØ Ö ÙØ ÒÓØ t ij x j = X Bi µ Û Ö X Bi Ø Ú ÐÙ Ó Ú Ö Ð iº ÏÖ Ø X Bi = [X Bi ] + f i Ò t ij = [t ij ] + g ij º Æ Û ÓÒ ØÖ ÒØ nonbasicvariables d j x j + u i = f i
Û Ö d j Ö t ij t ij 0 Ò x j Ò ÒÓØ ÒØ Öº f i f i 1 t ij t ij < 0 Ò x j Ò ÒÓØ ÒØ Öº g ij g ij f i Ò x j ÑÙ Ø ÒØ Öº f i f i 1 (g ij 1) g ij > f i Ò x j ÑÙ Ø ÒØ Öº Û Ø f i = X Bi [X Bi ] Ò g ij = t ij [t ij ]º Ì Ö ÓÒ Ò Ñ Ð Ö ÓÖ ÔÙÖ ÒØ Ö ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÙ Ð ØØÐ ÑÓÖ ÓÑÔÐ Ø º Ë Ô ¾ ¹¾ Ò Ø ÓÓ º