Kuis Selamat Datang MA4183 Model Risiko Tanggal 22 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi berikut: 0, x < 0 1 + x, 0 x < 1 3 5 F (x) = 3, 1 x < 2 5 9, 2 x < 3 10 1, x 3 (a) Gambarkan grafik fungsi distribusi F (x) (b) Tentukan fungsi peluang dari X. 1
Kuis 1 MA4183 Model Risiko Tanggal 29 Agustus 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Misalkan X peubah acak dengan fungsi laju kegagalan h(x) = (K +exp(2x)) untuk x 0. Diketahui nilai fungsi kesintasan 0.5 di x = 0.4 atau S X (0.4) = 0.5. Tentukan K. 2. Untuk suatu perubah acak X, diketahui nilai parameter sebagai berikut: µ = 2; σ/µ = 2; µ 3 = 136. Hitung kemencengan (skewness) γ 1. 3. Diketahui: F (400) = 0.2; F (800) = 0.7; F (1600) = 0.1. Hitung kemencengan empirisnya. 4. Misalkan X memiliki fungsi distribusi (fd) F (x) = (1 1/x 2 ) untuk x 1. Tentukan mean, median, dan modus. 2
Bocoran Ujian 1 MA4183 Model Risiko Tanggal 9 September 2016, Waktu: 100 menit 1. Sebuah studi dilakukan untuk memonitor kesehatan dua kelompok yang independen (berisi masing-masing 10 pemegang polis) selama periode waktu satu tahun. Setiap individu atau partisipan akan keluar (mengundurkan diri) dari studi tersebut dengan peluang 0.2, saling bebas antar individu. Hitung peluang bahwa setidaknya 9 partisipan, pada satu kelompok dan bukan kedua kelompok, ikut dalam studi tersebut hingga akhir. 2. Di suatu kantor, 40% pegawainya tidak memiliki mobil dan tidak mengendarai mobil. Pada (pegawai) yang lainnya, banyaknya kecelakaan yang dialami mengikuti distribusi Poisson dengan λ = 0.07. Misalkan T menyatakan total banyaknya kecelakaan dari 100 pegawai yang dipilih secara acak. Hitung V ar(t ). 3. Banyak klaim untuk setiap risiko dalam suatu kelompok risiko mengikuti distribusi Poisson. Banyak risiko (yang diharapkan) di kelompok risiko tersebut yang tidak mengajukan klaim adalah 96. Banyak risiko (yang diharapkan) di kelompok risiko tersebut yang mengajukan dua klaim adalah 3. Tentukan banyaknya risiko di kelompok tersebut yang memiliki 4 klaim. 4. Misalkan X i, i = 1, 2 peubah acak-peubah acak geometrik dengan parameter α. Tentukan distribusi X 1, diberikan X 1 + X 2 = k. Hitung E(X 1 X 1 + X 2 = k). 5. Misalkan N menyatakan banyak klaim yang masuk. Data yang tersedia adalah: n 0 1 2 3 4 P (N = n) 0.35 0.25 0.20 0.15 0.05 Tentukan fungsi pembangkit peluang G N (s). 6. Pada peubah acak berdistribusi modifikasi-nol Poisson (zero-modified Poisson), diketahui: f mod (2) = 0.273, f mod (3) = 0.127. Hitung f mod (0). 3
Ujian 1 MA4183 Model Risiko Tanggal 9 September 2016, Waktu: 100 menit Pilih dan kerjakan HANYA 5 soal dari 8 soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah 5. 1. Kegagalan bisnis dapat terjadi karena risiko pasar, risiko kredit, dan risiko operasional; kontribusinya berturut-turut, adalah 30%, 20% dan 50%. Misalkan banyak kegagalan bisnis yang terjadi setiap tahun adalah peubah acak Poisson dengan mean 4.2. Tentukan peluang satu kegagalan bisnis terjadi karena risiko pasar, diberikan terdapat empat kegagalan bisnis pada suatu tahun. 2. Tentukan hubungan antara fungsi pembangkit peluang peubah acak berdistribusi modifikasinol (zero-modified distribution) dan tak-bernilai-nol (zero-truncated distribution). 3. Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang P (X = x) = (1 θ) x θ, x = 0, 1, 2,.... Misalkan N peubah acak modifikasi nol dari ditribusi untuk peubah acak X. Diketahui E(N) = 3, V ar(n) = 54. Hitung P (N = 0). 4. Diketahui N P OI(1.3). Hitung E(N j) + untuk j = 1, 2. Petunjuk: (N j) + = n j, untuk n j dan nol untuk n yang lain. 5. Banyaknya klaim mengikuti zero-modififed Poisson distribution with λ and f mod (0). Kerugian-kerugian kecil (small losses) memiliki proporsi 70% dari seluruh kerugian. Hitung peluang zero small losses. 6. Diketahui kerugian acak N memiliki fungsi peluang P (N = n) = 1, n = 0, 1, 2,..., b. b+1 Jika E(min(N, 10)) = 0.875 E(N), tentukan b. 7. Gambarkan plot fungsi kesintasan dan hitung momen kedua untuk kerugian acak dengan fungsi distribusi F (x) = 1 ( x+2000), x 0. 8. Misalkan N 1, N 2 sampel acak geometrik dengan parameter α. Hitung E(N 2 N 1 +N 2 = k). 4
Solusi Ujian 1 MA4183 Model Risiko Tanggal 9 September 2016, Waktu: 100 menit Pilih dan kerjakan HANYA 5 soal dari 8 soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah 5. 1. Kegagalan bisnis dapat terjadi karena risiko pasar, risiko kredit, dan risiko operasional; kontribusinya berturut-turut, adalah 30%, 20% dan 50%. Misalkan banyak kegagalan bisnis yang terjadi setiap tahun adalah peubah acak Poisson dengan mean 4.2. Tentukan peluang satu kegagalan bisnis terjadi karena risiko pasar, diberikan terdapat empat kegagalan bisnis pada suatu tahun. Misalkan N peubah acak yang menyatakan banyaknya kegagalan bisnis; N P OI(4.2). Diberikan 4 kegagalan bisnis pada suatu tahun, peluang 1 kegagalan tersebut karena risiko pasar adalah e 4.2 0.3 (4.2 0.3) 1 e 4.2 0.2 (4.2 0.2) 1 e 4.2 0.5 (4.2 0.5) 2 P (N = 1) = 1! 1! 2! e 4.2 0.3 (4.2 0.3) 1 e 4.2 0.2 (4.2 0.2) 2 e 4.2 0.5 (4.2 0.5) 1 + 1! 2! 1! + e 4.2 0.3 (4.2 0.3) 1 1! + e 4.2 0.3 (4.2 0.3) 1 1! e 4.2 0.2 (4.2 0.2) 0 e 4.2 0.5 (4.2 0.5) 3 0! 3! e 4.2 0.2 (4.2 0.2) 3 e 4.2 0.5 (4.2 0.5) 0 = a 3! 0! P (N = 4) = e 4.2 (4.2) 4 4! = b. Jadi, P (N = 1 N = 4) = P (N=1,N=4) P (N=4) = P (N=1) P (N=4) = a/b. 2. Tentukan hubungan antara fungsi pembangkit peluang peubah acak berdistribusi modifikasinol (zero-modified distribution) dan tak-bernilai-nol (zero-truncated distribution). Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang f(x). Misalkan X mod peubah acak yang merupakan zero-modified distribution dari X; fungsi peluang f mod (x). Fungsi pembangkit 5
peluang dari X mod adalah P X mod(s) = E(s Xmod ) = yang sama dengan f mod (0) + c x mod =1 x mod =0 s xmod f mod (x) = s 0 f mod (0) + ( ) s xmod f(x) = f mod (0) + c P X (s) f(0), x mod =1 s xm c f(x) dengan c = 1 f mod (0) 1 f(0). Misalkan X tr zero-truncated distribution dari X. Fungsi pembangkit peluang dari X tr adalah P X tr(s) = E(s Xtr ) = s xtr f tr (x) = s xtr c tr f(x) = c tr s xtr f(x) x tr =1 x tr =1 x tr =1 yang sama dengan c tr ( x tr =0 s xtr f(x) s 0 f(0) ) ) = c (P tr X (s) f(0). dengan c tr = 1. Dari kedua fungsi pembangkit peluang diatas, diperoleh hubungan 1 f(0) ( ) P X mod(s) = f mod (0) + c P X (s) f(0) = f mod (0) + ( 1 f mod (0) ) ( ) c mod P X (s) f(0) atau P X mod(s) = f mod (0) + ( 1 f mod (0) ) P X tr(s). 3. Misalkan X kerugian acak dengan fungsi peluang P (X = x) = (1 θ) x θ, x = 0, 1, 2,.... Misalkan N peubah acak modifikasi nol dari ditribusi untuk peubah acak X. Diketahui E(N) = 3, V ar(n) = 54. Hitung P (N = 0). E(N) = 1 f mod (0) 1 f(0) V ar(n) = = 54. E(X) = 1 f mod (0) 1 θ 1 f(0) θ = 3; f mod (0) = 1 3θ. Diperoleh θ = 1/11. Jadi, f mod (0) = 8/11 = P (N = 0). 4. Diketahui N P OI(1.3). Hitung E(N j) + untuk j = 1, 2. Petunjuk: (N j) + = n j, untuk n j dan nol untuk n yang lain. 6
E(N 1) + = E(N 1 N 1)P (N 1) + (0)P (N = 0) = E(N N 1)P (N 1) P (N 1) + (0)P (N = 0) = λ (1 e λ ) = 1.3 + e 1.3 1 = 0.5725 5. Banyaknya klaim mengikuti zero-modififed Poisson distribution with λ and f mod (0). Kerugian-kerugian kecil (small losses) memiliki proporsi 70% dari seluruh kerugian. Hitung peluang zero small losses. f mod (0) e λ + e 0.7λ f mod (0) e λ 1 e λ. 6. Diketahui kerugian acak N memiliki fungsi peluang P (N = n) = 1, n = 0, 1, 2,..., b. b+1 Jika E(min(N, 10)) = 0.875 E(N), tentukan b. E(N) = (0 + 1 + + b)/(b + 1) = (b(b + 1)/2)/(b + 1) = b/2 E(min(N, 10)) = (0 + 1 + + 9 + (b 9)10)/(b + 1) = (45 + 10b 90)(b + 1). Diperoleh b = 15 atau b = 6.857. Pilih b = 15. 7. Gambarkan plot fungsi kesintasan dan hitung momen kedua untuk kerugian acak dengan fungsi distribusi F (x) = 1 ( x+2000), x 0. 8. Misalkan N 1, N 2 sampel acak geometrik dengan parameter α. Hitung E(N 2 N 1 +N 2 = k). P (N 2 = l N 1 + N 2 = k) = P (N 2 = m, N 1 = k m) P (N 1 + N 2 = k) = P (N 2 = m)p (N 1 = k m) P (N 1 + N 2 = k) = (1 α)m 1 α (1 α) k m 1 α (k 1) (1 α) k 2 α 2 Jadi, E(N 2 N 1 + N 2 = k) = k/2. = 1, l = 1, 2,..., k 1. k 1 7
Ujian 1 (lagi) MA4183 Model Risiko Tanggal 19 September 2016, Waktu: 100 menit Kerjakan semua soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah 5. 1. Sebuah perusahaan membeli produk asuransi yang menjamin saat ada kegagalan bisnis. Ketentuan polis adalah sebagai berikut: (i) Polis tidak membayar kegagalan bisnis yang pertama pada suatu tahun, (ii) Polis membayar 10 (juta) untuk kegagalan bisnis yang kedua dst. Diketahui banyak kegagalan bisnis mengikuti distribusi Poisson dengan mean 1.5. Hitung pembayaran (yang diharapkan) yang diterima oleh perusahaan. 2. Misalkan p(k) menyatakan peluang banyak kerugian sama dengan k untuk k = 0, 1, 2,.... Jika p(n) p(m) = (2.4n m ) m! n! untuk m 0, n 0, tentukan p mod (3). Diketahui: p mod (0) = 0.31. 3. Saya memiliki pegawai 5 orang. Setiap pegawai memiliki peluang 0.8, saling bebas dengan yang lain, untuk tidak sakit (lalu berobat ke rumah sakit). Jika seorang pegawai harus ke rumah sakit, maka banyak kedatangan pegawai tersebut ke rumah sakit adalah peubah acak geometrik dengan mean 2/3 (setiap pegawai yang sakit dapat lebih dari satu kali ke rumah sakit). Banyak kedatangan antar pegawai saling bebas. Biaya sekali datang ke rumah sakit adalah 2 (juta). Hitung peluang bahwa biaya rumah sakit yang harus saya keluarkan kurang dari 5. 4. Misalkan a n = P (X > n). Definisikan: A(z) = n=0 a n z n. Tunjukkan bahwa A(z) = 1 P (z) 1 z, dengan P (z) = 1 (1 z) r, 1 < r < 0. 5. Misalkan N adalah mixture distribution dari P OI(λ), dengan koefisien mixture adalah λ 1 B(2, 0.2). Tentukan fungsi pembangkit peluang N. 8
Solusi Ujian 1 (lagi) MA4183 Model Risiko Tanggal 19 September 2016, Waktu: 100 menit Kerjakan semua soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah 5. 1. Sebuah perusahaan membeli produk asuransi yang menjamin saat ada kegagalan bisnis. Ketentuan polis adalah sebagai berikut: (i) Polis tidak membayar kegagalan bisnis yang pertama pada suatu tahun, (ii) Polis membayar 10 (juta) untuk kegagalan bisnis yang kedua dst. Diketahui banyak kegagalan bisnis mengikuti distribusi Poisson dengan mean 1.5. Hitung pembayaran (yang diharapkan) yang diterima oleh perusahaan. Misalkan N banyak kegagalan bisnis; N P OI(1.5). Pembayaran yang diharapkan 10 (E(N 1) + f(0) ) ( ) = 10 (n 1) f(n) + f(0) = 10 (1.5 1 + e 1.5 ). n=0 2. Misalkan p(k) menyatakan peluang banyak kerugian sama dengan k untuk k = 0, 1, 2,.... Jika p(n) p(m) = (2.4n m ) m! n! untuk m 0, n 0, tentukan p mod (3). Diketahui: p mod (0) = 0.31. Untuk peubah acak Poisson dengan parameter 2.4: p(n) p(m) = e 2.4 2.4 n /n! e 2.4 2.4 m /m! = (2.4n m ) m! n!. Untuk peubah acak Poisson modifikasi nol: p mod (k) = 1 0.31 p(k). 1 e 2.4 Jadi, p mod (3) = 3. Saya memiliki pegawai 5 orang. Setiap pegawai memiliki peluang 0.8, saling bebas dengan yang lain, untuk tidak sakit (lalu berobat ke rumah sakit). Jika seorang pegawai harus ke 9
rumah sakit, maka banyak kedatangan pegawai tersebut ke rumah sakit adalah peubah acak geometrik dengan mean 2/3 (setiap pegawai yang sakit dapat lebih dari satu kali ke rumah sakit). Banyak kedatangan antar pegawai saling bebas. Biaya sekali datang ke rumah sakit adalah 2 (juta). Hitung peluang bahwa biaya rumah sakit yang harus saya keluarkan kurang dari 5. Misalkan N banyak pegawai sakit; N B(5, 0.2). Misalkan X banyak kedatangan ke RS; X Geo(3/2). Tidak ada pegawai yang sakit: p 1 = 0.8 5 Satu pegawai sakit, 1 kali ke RS: p 2 = f B (1) f G (1) Satu pegawai sakit, 2 kali ke ke RS: p 3 = f B (1) f G (2) Dua pegawai sakit, 1 kali ke ke RS: p 4 = f B (2) 2 f G (1) Jadi: p 1 + p 2 + p 3 + p 4. 4. Misalkan a n = P (X > n). Definisikan: A(z) = n=0 a n z n. Tunjukkan bahwa A(z) = (1 z) A(z) = 1 P (z) 1 z, dengan P (z) = 1 (1 z) r, 1 < r < 0. a n z n n=0 = 1 p 0 a n z n+1 = a 0 n=0 p n z n = 1 P (z) n=1 (a n 1 a n ) z n n=1 Jadi, A(z) = 1 P (z) 1 z. 5. Misalkan N adalah mixture distribution dari P OI(λ), dengan koefisien mixture adalah λ 1 B(2, 0.2). Tentukan fungsi pembangkit peluang N. Pandang: f N (n) = a 1 f N1 + ; (a i = λ 1) B(2, 0.2); a 1 = 0, a 2 = 1, a 3 = 2. Fungsi pembangkit peluang dari peubah acak Poisson dengan parameter λ adalah G(s) = e λ(s 1). Jadi, fungsi pembangkit peluang N adalah G N (s) = 0.64 e (s 1) + 0.32 e 2(s 1) + 0.04 e 3(s 1). 10
Kuis 2 MA4183 Model Risiko Tanggal 26 September 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Misalkan X suatu kerugian polis acak yang memiliki peluang 0.4 saat x = 0; untuk 0 < x 1, fungsi peluangnya proporsional terhadap x 3. Tentukan (i) fungsi kesintasan (survival function) dari X, (ii) x 0.9. 2. Perusahaan asuransi menawarkan polis yang mencakup kerugian dengan deductible 100. Nilai kerugian adalah peubah acak eksponensial dengan mean 300. Hitung persentil ke-90 dari kerugian yang melebihi deductible? 3. Sebuah alat berat, dengan masa hidup (lifetime) berdistribusi eksponensial dengan mean 10 (tahun), diasuransikan atas kerusakan (failure). Pihak asuransi akan membayar sebesar x jika kerusakan terjadi pada tahun pertama, membayar x/2 untuk kerusakan pada tahun kedua atau ketiga. Perusahaan tidak akan membayar untuk kerusakan yang terjadi setelah tiga tahun pertama. Tentukan x jika pembayaran yang diharapkan adalah 1000. 11
Solusi Kuis 2 MA4183 Model Risiko Tanggal 26 September 2016, Waktu: suka-suka menit 1. Misalkan X suatu kerugian polis acak yang memiliki peluang 0.4 saat x = 0; untuk 0 < x 1, fungsi peluangnya proporsional terhadap x 3. Tentukan (i) fungsi kesintasan (survival function) dari X, (ii) x 0.9. P (X = 0) = 0.4; P (X = i) = c x 3, 0 < i 1, dengan c = 2.4. Jadi, 0, x < 0 0.4, x = 0 F (x) = 0.4 + 0.6 x 4, 0 < x 1 atau 1, x > 1 1, x < 0 0.6, x = 0 S(x) = 0.6 + 0.6 x 4, 0 < x 1 0, x > 1 Untuk menentukan x 0.9, kita tentukan k sdh F (k) = 0.9. Diperoleh k = 4 5 6. 2. Perusahaan asuransi menawarkan polis yang mencakup kerugian dengan deductible 100. Nilai kerugian adalah peubah acak eksponensial dengan mean 300. Hitung persentil ke-90 dari kerugian yang melebihi deductible? Misalkan L menyatakan kerugian; L exp(1/300). Kita akan menentukan x 0.9 sehingga P (X x 0.9 X > 100) = 0.9. Diperoleh, P (X > x 0.9 X > 100) = P (X > x 0.9 100) = 0.1, atau e (1/300)(x 0.9 100) = 0.1. Jadi, (1/300)(x 0.9 100) = ln(0.1). Jadi, x 0.9 = 100 300 ln(0.1). 12
3. Sebuah alat berat, dengan masa hidup (lifetime) berdistribusi eksponensial dengan mean 10 (tahun), diasuransikan atas kerusakan (failure). Pihak asuransi akan membayar sebesar x jika kerusakan terjadi pada tahun pertama, membayar x/2 untuk kerusakan pada tahun kedua atau ketiga. Perusahaan tidak akan membayar untuk kerusakan yang terjadi setelah tiga tahun pertama. Tentukan x jika pembayaran yang diharapkan adalah 1000. Misalkan L menyatakan pembayaran, E(L) = 1000. E(L) = E(L 0 < T 1)P (0 < T 1) + E(L 1 < T 3)P (1 < T 3) + E(L T 3)P (0 < T 1) = x (1 e 0.1 ) + (x/2) (e 0.1 e 0.3 ) + 0 e 0.3 = 1000. Diperoleh, x = 13
Latihan Ujian 2 MA4183 Model Risiko Tanggal 30 September 2016, Waktu: 100 menit Kerjakan semua soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah 5. 1. Diketahui kerugian operasional bank dinyatakan dalam peubah acak X dengan fungsi peluang f(x) = αγ α /(x + γ) α+1, untuk x 0. Dilakukan transformasi data melalui Y = ln(1 + X/γ). Tentukan fungsi kesintasan Y. Apa yang dapat anda katakan tentang rasio fungsi kesintasan tersebut dengan fungsi kesintasan eksponensial? 2. Tentukan mean kerugian acak E(L), jika diketahui L Λ berdistribusi eksponensial dengan parameter Λ berdistribusi Uniform pada selang [1, 5]. 3. Diketahui kerugian acak X Λ P OI(Λ), dengan Λ G(α, β). Tentukan distribusi kerugian acak X. 4. Dua nilai klaim X dan Y saling bebas, masing-masing berdistribusi eksponensial dengan parameter 1 dan 2. Misalkan Z = min{x, Y }. Tentukan S Z (z) dan E(Z). 5. Kerugian yang terjadi pada tiga perusahaan dinyatakan dalam peubah acak X i berdistribusi eksponensial dengan parameter θ i. Hitung P (X 1 < X 2 < X 3 ). 14
Ujian 2 MA4183 Model Risiko Tanggal 30 September 2016, Waktu: 100 menit Pilih dan kerjakan HANYA 5 dari 7 soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah 5. 1. Suatu polis memiliki deductible 1 dan membayar maksimum 1. Peubah acak yang menyatakan kerugian berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tentukan pembayaran klaim yang diharapkan (expected claim paid) dari perusahaan asuransi. 2. Misalkan U peubah acak U(0, 1). Misalkan Y = min{x, 0.75}. Tentukan fungsi peluang Y. Hitung E(Y ). 3. Misalkan N menyatakan banyaknya klaim; berdistribusi Poisson dengan parameter θ. Diketahui peluang tidak ada klaim kurang dari 0.45. Distribusi yang tepat untuk Θ adalah... (a) Θ U(0, 2); (b) f(θ) = e θ, θ > 0; (c) P (θ = 1) = 1, P (θ 1) = 0. 4. Misalkan X exp(λ). Misalkan Y = X ; integer terkecil yang lebih besar atau sama dengan X. Hitung V ar(y ). 5. Misalkan kerugian agregat L hanya bernilai integer positif. Diketahui E((L 2) + ) = 1/5, E((L 3) + ) = 0 dan f L (1) = 1/2. Hitung E(L). 6. Tentukan fungsi kesintasan dari (i) (X d) + dan (ii) X d, jika kerugian acak X berdistribusi (i) eksponensial dengan mean 1/θ dan (ii) Uniform pada selang [1, 5]. 7. Perusahaan asuransi milik saya memiliki sebuah alat secara terus menerus mencatat aktivitas gempa. Misalkan T waktu yang menyatakan kerusakan alat, berdistribusi eksponensial dengan mean 3 (tahun). Ternyata, alat tidak akan dicek pada dua tahun pertama setelah dibeli. Dengan demikian, waktu untuk mengetahui kerusakan alat adalah X = maks(t, 2). Hitung E(X). 15
Solusi Ujian 2 MA4183 Model Risiko Tanggal 30 September 2016, Waktu: 100 menit Pilih dan kerjakan HANYA 5 dari 7 soal yang tersedia. Nilai setiap soal adalah 5. 1. Suatu polis memiliki deductible 1 dan membayar maksimum 1. Peubah acak yang menyatakan kerugian berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tentukan pembayaran klaim yang diharapkan (expected claim paid) dari perusahaan asuransi. Diketahui X exp(1) untuk x > 1. Misalkan Y pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi: Y = 0, jika X 1; Y = X 1, jika 1 < X 2; Y = 1, jika X > 2. Jadi, E(Y ) = 2 1 (x 1) e x dx + 1 P (X > 2) = e 1 e 2. 2. Misalkan U peubah acak U(0, 1). Misalkan Y = min{x, 0.75}. Tentukan fungsi peluang Y. Hitung E(Y ). f Y (y) = 1, 0 < y < 0.75; f(0.75) = 0.25 E(Y ) = 0.75 0 y 1 dy + (0.75)(0.25) 3. Misalkan N menyatakan banyaknya klaim; berdistribusi Poisson dengan parameter θ. Diketahui peluang tidak ada klaim kurang dari 0.45. Distribusi yang tepat untuk Θ adalah... (a) Θ U(0, 2); (b) f(θ) = e θ, θ > 0; (c) P (θ = 1) = 1, P (θ 1) = 0. Peluang tidak ada klaim adalah P (N = 0) = P (N = 0 Θ) f(θ) dθ = e θ f(θ) dθ 16
Jadi, (a) f(θ) = 1 2 ; P (N = 0) = 2 0 e θ 1 dθ = 0.432 2 (b) P (N = 0) = 0 e 2θ dθ = 1/2 (c) P (N = 0) = e 1 1 + e θ 0 = 0.368 4. Misalkan X exp(λ). Misalkan Y = X ; integer terkecil yang lebih besar atau sama dengan X. Hitung V ar(y ). Fungsi peluang: f Y (y) = P (y 1 < X y) = (1 e λ )(1 (1 e λ )) y 1, y = 1, 2,.... Dengan kata lain, Y Geo(1 e λ ). Jadi, V ar(y ) =. 5. Misalkan kerugian agregat L hanya bernilai integer positif. Diketahui E((L 2) + ) = 1/5, E((L 3) + ) = 0 dan f L (1) = 1/2. Hitung E(L). E(L 2) + = E(L 3) + = (l 2) f L (l) = (l 3) f L (l) = l=3 l f L (l) 2 f L (l) = 1/5, ( ) l f L (l) 3 f L (l) = 0. ( ) l=3 l=3 Dari (*) dan (**) diperoleh: 1/5 = 2 f L (2) + = 2 f L (2) + 3 ( = 2 f L (2) + 3 f L (2) + = lf(l) 2 f L (l) f L (l) f L (2) = Jadi, l f L (l) = 3/5. l=3 3 3 f(l) 2 f L (l) 3 ) f(l) f L (2) 2 f L (l) f L (l). l=3 17
Kita ketahui f L (1) + f L (l) = 1/2 + f L (l) = 1. Jadi, f L (l) = 1/2; f L (2) = 3/10. Ekspektasi dari kerugian L adalah E(L) = f L (1) + 2 f L (2) + l f L (l) = 1/2 + 6/10 + 3/5 = 17/10. l=3 6. Tentukan fungsi kesintasan dari (i) (X d) + dan (ii) X d, jika kerugian acak X berdistribusi (i) eksponensial dengan mean 1/θ dan (ii) Uniform pada selang [1, 5]. 7. Perusahaan asuransi milik saya memiliki sebuah alat secara terus menerus mencatat aktivitas gempa. Misalkan T waktu yang menyatakan kerusakan alat, berdistribusi eksponensial dengan mean 3 (tahun). Ternyata, alat tidak akan dicek pada dua tahun pertama setelah dibeli. Dengan demikian, waktu untuk mengetahui kerusakan alat adalah X = maks(t, 2). Hitung E(X). Fungsi peluang f T (t) = (1/3)e (1/3)t, t > 0. E(X) = E(maks(T, 2)) = 2 (2/3) e (1/3)t dt + 0 2 = 2 + 3 e (1/3)2. (t/3) e (1/3)t dt+ 18
Kuis Bonus Ujian 2 MA4183 Model Risiko Tanggal 3 Oktober 2016, Waktu: 20 menit 1. Tentukan fungsi kesintasan dari (i) (X d) + dan (ii) X d, jika kerugian acak X berdistribusi (i) eksponensial dengan mean 1/θ dan (ii) Uniform pada selang [1, 5]. 19