Pertemuan 1 BILANGAN BULAT

Transkripsi

1 Pertemuan 1 BILANGAN BULAT A. Bilangan Bulat Bilangan, -3, -2, -1, 0, 1, 2, disebut bilangan bulat rasional atau biasa disebut bilangan bulat saja atau integer. Bilangan 0, 1, 2, 3,... disebut bilangan bulat non-negatif, sedangkan 1, 2, 3 disebut bilangan bulat positif. Bilangan bulat positif membentuk masalah dasar dari aritmatika, tetapi penting untuk memandang bilangan-bilangan bulat ini sebagai subkelas dari bilangan bulat itu sendiri atau subkelas dari kelas bilangan yang lebih besar. B. Keterbagian Pada pendidikan dasar dikenal terdapat empat operasi dasar pada bilangan bulat yaitu penjumlahan (+), pengurangan (-), perkalian ( atau. ) dan pembagian ( atau atau c ). Untuk dua integer m dan n, maka hasil dari penjumlahan, selisih, perkalian dua integer tersebut adalah integer. Akan tetapi hasil bagi dua bilangan tersebut belum tentu integer. Definisi Diketahui integer m dan integer taknol n. m dikatakan habis dibagi oleh n atau n membagi m jika terdapat integer k sedemikian sehingga m = kn. Dengan demikian m integer. Ini dinotasikan dengan n m. Jika m habis dibagi oleh n, maka n 1

2 m disebut multiple dari n dan n disebut pembagi(faktor) dari m. Jika m tidak habis dibagi oleh n, dinotasikan n m. Karena 0 = 0. n maka n 0 untuk semua integer n. Proposisi Misalkan x, y, z integer, maka berlaku sifat-sifat berikut: (a) x x (refleksif); (b) Jika x y dan y z, maka x z (transitif); (c) Jika x y dan y 0, maka x y ; (d) Jika x y dan x z, maka x αy + βz untuk integer α dan β; (e) Jika x y dan x y ± z, then x z; (f) Jika x y dan y x, then x = y ; (g) Jika x y dan y 0, then y y; x (h) Untuk z 0, x y jika hanya jika if xz yz. Tentukan apakah 3 7 dan Penyelesaian: 3 7 karena 7 3 bukan integer. Sedangkan 3 12 karena 12 3 = 4integer. 2

3 Definisi Integer positif yang lebih besar dari 1 disebut prima jika hanya jika faktor positif dari p adalah 1 dan p. Integer positif yang lebih besar dari 1 dan tidak prima disebut komposit. 3

4 Pertemuan Ke-2 BILANGAN BULAT A. Teorema Fundamental Aritmatika Setiap integer positif dapat ditulis sebagai hasil ganda dari prima, dimana faktorfaktor prima ditulis dalam urutan naik. : Faktorisasi prima dari : 100, 999 dan 1024 adalah: 100 = = = = = = 2 10 B. Algoritma Pembagian Telah diketahui bahwa integer dapat atau tidak dapat terbagi oleh integer lainnya. Ketika integer dibagi oleh integer positif, selalu menghasilkan hasil bagi dan sisa yang memperlihatkan algoritma pembagian. Teorema Algoritma Pembagian Misalkan a adalah integer dan d adalah integer positif, dan terdapat integer tunggal q dan r dengan 0 r < d. Dengan demikian a = dq + r. 4

5 Definisi Di dalam persamaan yang diberikan di dalam algoritma pembagian, d disebut pembagi, a disebut yang dibagi, q disebut hasil bagi dan r disebut sisa. dibawah ini menggambarkan algoritma pembagian Tentukan hasil bagi dan sisa dari 101 dibagi oleh 11? Penyelesaian: Kita dapatkan 101 = Artinya, hasil bagi ketika 101 dibagi oleh 11 adalah 9 dan sisanya adalah 2. C. Pembagi Persekutuan Terbesar Integer terbesar yang membagi dua integer disebut pembagi persekutuan terbesar dari integer-integer. Definisi Misal a dan b integer, keduanya tidak nol. Integer terbesar d dimana d a dan d b disebut pembagi persekutuan terbesar (great common divisor atau disingkat gcd) dari a dan b. Pembagi persekutuan terbesar dari a dan b ditulis sebagai gcd(a,b). 5

6 : Tentukan pembagi persekutuan terbesar dari 24 dan 36! Penyelesaian: Pembagi persekutuan dari 24 dan 36 adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 sehingga gcd(24,36) = 12. Definisi Integer a dan b disebut prima relatif jika pembagi persekutuan terbesar adalah 1. Integer 17 dan 22 adalah prima relative, artinya gcd(17,22) = 1. Definisi Integer a 1, a 2,, a n adalah prima relatif berpasangan jika gcd(a i, a j )= 1 bilamana 1 i < j n. Apakah integer 10, 17, 21 prima relatif berpasangan dan apakah integer 10, 19, 24 merupakan prima relatif berpasangan? Penyelesaian: gcd(10,17) = 1, gcd(10,21) = 1. Dapat disimpulkan bahwa 10, 17 dan 21 adalah prima relatif berpasangan. 6

7 gcd(10,24) = 2>1 sehingga 10, 19 dan 24 bukan merupakan prima relatif berpasangan. Cara lain untuk menemukan pembagi persekutuan terbesar dari dua integer adalah menggunakan pemfaktoran prima dari integer-integer itu. Perkirakan bahwa pemfaktoran prima dari integer a dan b, juga sama dengan ke nol adalah a a = p 1 a 1 p 2 a 2 p n b n, b = p 1 b 1 p 2 b 2 p n n dimana tiap pangkat adalah integer tidak negatif dan semua prima terjadi didalam faktorisasi prima baik itu a atau b berada di dalam faktorisasi keduany, dengan pangkat nol jika diperlukan. Maka gcd(a,b) diberikan sebagai min (a gcd(a,b) = p 1,b 1 ) min (a 1 p 2,b 2 ) min (a 2 p n,b n ) n dimana min(x, y) menyatakan minimum dari dua bilangan x dan y. Untuk menunjukkan bahwa rumus gcd(a,b) berlaku, kita harus menunjukan bahwa integer diruas kanan membagi a dan b, dan bahwa tidak ada integer yang lebih besar yang berlaku. Integer ini membagi a dan b, kuasa dari tiap prima didalam faktorisasi tidak melampaui kuasa dari prima di dalam faktorisasi dari a ataupun dari b. Selanjutnya, tidak ada integer yang lebih besar yang dapat membagi bersama a dan b, karena pangkat dari prima di dalam faktorisasi ini tidak dapat ditambahkan, dan tidak ada prima yang lain yang dapat diisi. : Faktorisasi prima dari 120 dan 500 adalah 120 = = dan 500 = , pembagi persekutuan terbesarnya adalah 7

8 gcd(120,500) = 2 min (3,2) 3 min (1,0) 5 min (1,3) = = 20 Faktorisasi prima dapat juga digunakan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua integer. 8

9 Pertemuan ke-3 BILANGAN BULAT A. Kelipatan persekutuan terkecil Definisi Kelipatan persekutuan terkecil dari integer positif a dan b adalah integer positif terkecil yang dapat dibagi bersama-sama uleh a dan b. Kelipatan persekutuan terkecil dari a dan b dinotasikan lcm (a,b). Seperti pada pembagi persekutuan terbesar dan mengingat definisinya, maka kelipatan persekutuan terkecil dapat dituliskan max (a lcm(a,b) = p 1,b 1 ) max (a 1 p 2,b 2 ) max (a 2 p n,b n ) n dimana max(x,y) menyatakan maksimum dari dua bilangan x dan y. Tentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dan ? Penyelesaian: Lcm( , ) = 2 max (3,4) 3 max (5,3) 7 max (2,0) = Teorema berikut memberikan hubungan antara pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari dua integer. Bukti dari teorema ini diserahkan kepada mahasiswa. 9

10 Teorema Misal a dan b merupakan integer positif, maka ab = gcd(a,b). lcm(a,b). B. Aritmatika Modular Definisi Misalkan a merupakan integer dan m merupakan integer positif. Kita notasikan dengan a mod m yaitu sisa ketika a dibagi oleh m. Ini didasari dari definisi sisa bahwa a mod m adalah integer r dimana a=qm+rd dan 0 r m. 17 mod 5=2, -133 mod 9 = 2, 2001 mod 101 = 82. Definisi Jika a dan b adalah integer dan m adalah integer positif, maka a adalah kongruen b modulo m jika m membagi a-b. Kita menggunakan notasi a b(mod m) untuk menunjukkan bahwa a kongruen b modulo m. Jika a dan b tidak kongruen modulo m, ditulis a b(mod m). Catat bahwa a b(mod m) jika dan hanya jika a mod m = b mod m. 10

11 Tunjukkan jika 17 kongruen 5 modulo 6 dan apakah 24 dan 14 kongruen modulo 6. Penyelesaian 6 membagi 17-5 = 12, jadi 17 5(mod)6 sedangkan = 10. Ini tidak terbagi oleh 6, jadi 24 14(mod 6). Teorema Misalkan m merupakan integer positif. Integer a dan b adalah kongruen modulo m jika dan hanya jika terdapat integer k sehingga a = b + km. Bukti : Jika a b(mod)m, maka m (a-b). Berarti bahwa terdapat suatu integer k sedemikian sehingga a-b = km, sehingga a = b + km. Sebaliknya jika terdapat integer k sehingga a= b+km, maka km=a-b. Berarti m membagi a-b, sehingga b(mod m). Teorema Misal m merupakan integer positif. Jika a b(mod m) dan d(mod m), maka a + c b + d(mod m) dan ac bd(mod m). Bukti Jika a b(mod m) dan d(mod m), terdapatlah integer s dan t dengan b = a+sm dan d=c+tm, sehingga b+d=(a+sm)+(c+tm) = (a+c) +m(s+t). dan bd=(a+sm)(c+tm)=ac+m(at+cs+stm). Jadi, a + c b + d(mod m) dan ac bd(mod m). 11

12 7 2(mod 5) dan 11 1(mod 5), menurut teorema diatas maka 18 = =3(mod 5) dan bahwa 77 = =2(mod 5). 12

13 Pertemuan Ke-4 BILANGAN BULAT A. Kongruensi Linear Kongruensi dengan bentuk ax b(mod m) dimana m adalah integer positif, a dan b integer dan x adalah variable disebut kongruensi linear. Bagaimana kita dapat menyelesaikan kongruensi linear ax b(mod m) yaitu cari semua integer x yang memenuhi kongruensi ini. Salah satu metode yang akan kita uraikan menggunakan integer a dengan demikian bahwa aa 1(mod m), jika terdapat suatu integer. Integer a tersebut merupakan invers dari a modulo m. Teorema berikut menjamin bahwa invers dari a modulo m ada jika a dan m adalah relative prime. Teorema Jika a dan m adalah integer prima relatif dan m>1, maka invers dari a modulo m ada. Invers ini adalah modulo m yang tunggal. (Terdapat integer positif tunggal a lebih kecil dari m yaitu invers dari a modulo m dan setiap invers yang lain dari a modulo m adalah kongruen ke a modulo m). Bukti: Dari teorema sebelumnya, gcd(a,m) = 1, maka terdapat integer s dan t sehingga: sa+tm = 1. Ini berarti bahwa sa+tm 1(mod m). Jika tm 0(mod m), ini menunjukkan bahwa sa 1(mod m). Sebagai akibatnya, s adalah invers dari a modulo m. Bahwa invers ini adalah modulo m yang tunggal. 13

14 Cari invers dari 3 modulo 7. Penyelesaian Oleh karena gcd(3,7) = 1. Teorema diatas mengatakan bahwa invers dari 3 modulo 7 ada. Dengan algoritama euclidean pembagi persekutuan terbesar dari 3 dan 7 didapatkan 7= Dari persamaan ini kita dapat melihat bahwa = 1. Ini menunjukkan bahwa -2 adalah invers dari 3 modulo 7. Ketika telah dimiliki invers a dari a modulo m, kita dapat menyelesaikan dengan mudah kongruensi ax b(mod m) dengan mengalikan kedua sisi dari kongruensi linear dengan a. Tentukan penyelesaian dari kongruensi linear 3x 4(mod 7) Penyelesaian Dari contoh sebelumnya diketahui bahwa -2 merupakan invers dari 3 modulo 7. Gandakan kedua sissi kongruensi dengan -2, akan dipeoleh -2.3x -2.4(mod 7). Karena -6 1(mod 7) dan -8 6(mod7). Sedemikian sehingga jika x merupakan penyelesaian, maka x -8 6(mod 7), Kita perlu untuk menentukan apakah untuk setiap x dengan x 6(mod 7) merupakan penyelesaian. Asumsikan bahwa x 6(mod 7) maka berdasarkan teorema sebelumnya didapat 3x (mod 7) yang menunjukkan bahwa x memenuhi kongruensi. Kita simpulkan bahwa 14

15 penyelesaian kongruensinya adalah semua integer x sedemikian sehingga x 6(mod 7) yaitu 6, 13, 20, dan -1, -8, -15,. Soal Selesaikanlah kongruensi 4x 5(mod 9)! 15

16 Pertemuan Ke-5 PRINSIP PENCACAHAN Pada bab ini dibicarakan mengenai teknik-teknik penghitungan. A. Prinsip-prinsip dasar penghitungan Prinsip Perkalian Jika sebuah kejadian dapat terjadi dalam m cara dan kejadian lain dalam n cara, maka akan terdapat (m x n) cara kedua kejadian tersebut dapat terjadi. Berapa cara menempel huruf abjad dikursi sejumlah 100 kursi? Penyelesaian: Prosedur menempel kursi terdapat dua kerja yaitu pertama memilih abjad yang berjumlah 26 dan kedua menempel kedalam 100 kursi yang munkin jadi ada = 2600 cara. Berapa cara yang berbeda dalam membentuk string-string bit dengan panjang 7? Penyelesaian: 16

17 Setiap bit-bit yang panjangnya tujuh dapat dipilih dengan dua cara, karena setiap bit terdiri dari angka nol dan satu. Jadi terdapat = 2 7 = 128 cara. Secara umum prinsip ini dapat diperluas menjadi : Jika terdapat kerja(kejadian) T 1, T 2,., T n yang masing-masing dapat diselesaikan dengan n 1, n 2,., n m cara, maka terdapat n 1, n 2,., n m cara pekerjaan tersebut dapat diselesaikan. Prinsip Penjumlahan Jika sebuah pekerjaan dapat dikerjakan dengan n 1, cara dan pekerjaan kedua dengan n 12, cara dan keduanya tidak dapat dikerjakan dalam waktu yang sama, maka terdapat n 1 + n 2 cara pekerjaan tersebut dapat diselesaikan. Seorang guru SD mengajar di kelas 1, 3 dan 5. Dikelas 1 ada 25 anak, kelas 2 ada 30 anak, kelas 5 ada 27 anak maka guru tersebut mengajar = 82 anak. Dalam berapa banyak cara dapat dipilih dua buku dengan bidang yang berbeda diantara 5 buku ilmu computer yang berbeda, tiga buku matematika yang berbeda dan dua buku seni yang berbeda? Penyelesaian: 17

18 Dengan prinsip perkalian dapat dipilih 2 buku dari ilmu computer da$n matematika 5.3 = 1, matematika dan seni 3.2 = 6, ilmu computer dan seni 5.2 = 10 sehingga terdapat = 31 cara pemilihan dua buku dengan bidang yang berbeda. B. Permutasi dan Kombinasi Empat calon A, B, C, D akan menempati jabatan yang sama, sehingga posisi dari nama-nama tersebut pada kotak suara tidak akan mempengaruhi pemilih, perlu untuk menuliskan nama-nama yang terdaftar dalam setiap urutan yang mungkin. Berapa banyak kotak suara berbeda yang akan ada? Dengan prinsip perkalian dapat dihitung, sebuah kotak suara dapat dibentuk dalam empat langkah berurutan, pilih nama petama yang akan didaftar, pilih nama kedua yang akan didaftar, begitu juga dengan ketiga dan keempat. Nama pertama dapat dipilh dengan 4 cara, begitu nama pertama dipilih, nama kedua bisa dipilih dengan 3 cara, begitu nama ketiga dipilh, nama kedua dapat dilih dengan 2 cara, begitu nama ketiga terpilih, nama keempat dapat dipilih dam 1 cara, sehingga ad = 24 cara. Definisi Permutasi adalah susunan yang mungkin dibuat dengan memperhatikan urutan. : Misal S{a,b,c} maka 2 permutasi dari S adalah ab, ba, ac, ca, bc, cb, sedangkan 3 permutasi dari S adalah abc, acb, bca, bac, cba, cab. 18

19 Teorema Untuk n dan r bilangan bulat positif dan r < n, maka P(n,r) = n(n-1)(n-2) (n-r+1). Bukti: Dari n anggota dalam S, maka anggota pertama dapat dipilih ada n cara, anggota kedua dapat dipilih dengan (n-1) cara karena slah satu anggota telah terpilih. Demikian sampai seluruh permutasi r dipilih. Sehingga dengan prinsip perkalian ada n(n-1)(n-2) (n-r+1) cara. Dengan notasi factorial yang didefinisikan sebagai n! = n(n-1)(n-2) 2.1, maka P(n, r) = n! (n r)!. Berapa cara untuk memilih 4 pemain yang berbeda atau diantara 10 pemain dalam sebuah tim tenis, yag mana pertandingan are ordered? Penyelesaian: Penyelesaiannya adalah P(10,4) = = Definisi Kombinasi r dari himpunan S yang terdiri dari n anggota yang berbeda adalah jumlah himpunan bagian dari S yang anggotanya adalah r (tidak terikat oleh urutan). n 19

20 Misal S={a, b, c, d}, maka {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d} dan{b, c, d}adalah keempat kombinasi 3 dari S. Teorema Untuk setiap bilangan bulat r dan n yang memenuhi r n maka P(n, r)= r!.c(n, r). Jadi C(n, r) = P(n,r) r! atau C(n, r) = n! r!(n,r). Dalam berapa cara kita bisa menyeleksi pantia yang terdiri dari dua wanita dan tiga pria dari sekelompok 5 wanita dan enam pria yang berbeda? Penyelesaian: Dua wanita bisa dipilih dengan C(5,2) = 10. Tiga pria bisa dipilih dengan C(6,3) =

21 Pertemuan Ke-6 PRINSIP PENCACAHAN A. Permutasi dan kombinasi himpunan ganda Definisi S himpunan ganda dengan n anggota, maka permtasi r dari S adalah susunan yang terurut dari r anggota dari S. Misal S ={aa, b, ccc} maka acbc, cbcc adalah salah satu anggota permutsi dari S. Teorema Misal S suatu himpunan ganda yang terdiri dari k unsur dan masing-masing unsur mempunyai takhingga faktor pengulangan maka jumlah permutasi r dari S adalah k r. S(0000,1111, 2222} maka jumlah permutasi 4 dari S adalah 3 4 = 81. Teorema 21

22 Misal S suatu himpunan ganda dengan faktor pengulangan n 1 untuk unsur pertama, n 2 untuk unsur kedua,, n x untuk unsure ke k, maka permutasi dari S adalah n! n 1!n 2! n x! dengan n = n 1 + n n x. Untuk menentukan jumlah permutasi yang berbeda yang dapat dibuat oleh sejumlah huruf pada kata MISSISSIPPI adalah 1! 1!4!4!2!. Bila S himpunan ganda, maka kombinasi r dari S adalah suatu cara pemilihan tidak terurut dari r unsur-unsur dari S. Bila S={aa, b, ccc} maka {a,a}, {a,b}, {a, c}, {b,c}, dan {c,c} adalah kombinasi 2 dari S. Teorema Misal S suatu himpunan ganda dengan jumlah n unsur yang berbeda, dimana faktor pengulangan masing-masing unsur tak hingga, maka kombinasi r dari S adalah C(n+r-1,r). 22

23 Misal lembaran uang kertas rupiah yaitu lembaran uang 100, 500, 5000 dan 10000, bila akan diambil 6 lembar dari tumpukan lembaran uang 100, 500, 5000, adalahc(4+6-1,6) = C(9,6). 23

24 Pertemuan Ke-7 PRINSIP PENCACAHAN A. Membentuk permutasi dan kombinasi r dari n unsur Pada bagian in dipelajari metode untuk membentuk permutasi n yang mungkin dibuat dari n buah unsure yang ada dan kombinasi r dari n unsur yang ada. Membentuk kombinasi r dari n unsur Misal kombinasi r dari S dapat ditulis dalam bentuk a 1, a 2,, a r dimana 1 a 1 < a 2 < < a r n, dan kombinasi lainnya b 1, b 2,, b r dimana1 b < b 2 < < b r n, maka kombinasi r dari a 1, a 2,, a r mendahului b 1, b 2,, b r dalam urutan leksikografik, bila ada j sedemikian sehingga a 1 = b 1,, a j 1 = b j 1, dan a j < b j. Misal S = {1, 2, 3,, 8}dan beberapa kombinasi -5 dari S adalah {2, 3, 4, 6, 8} dan {2, 3, 5, 6, 7} maka dikatakan {2, 3, 4, 6, 8} mendahului {2, 3, 5, 6, 7}. Kombinasi S pertama {1, 2, 3, 4, 5} dan terakhir {4, 5, 6, 7, 8}. Misalkan a 1, a 2,, a r adalah kombinasi-r dari S={1, 2,, n}. Bila a 1, a 2,, a r sama dengan n-r+1, n-r+2,, n maka a 1, a 2,, a r adalah kombinasi terakhir untuk uerutan sesuai leksikografik. Bila a 1, a 2,, a r tidak sama dengan n-r+1, n- r+2,, n maka andai j adalah bilangan bulat positif yang terbesar sehingga a j + 1 n dan a j + 1 bukan salah satu dari a 1, a 2,, a r adalah maka kombinasi berikutnya dari a 1, a 2,, a r adalah a 1, a 2,, a j 1, a j+1, a j+2, a j+(r j+1). Uraian diatas dapat disimpulkan dengan langkah-langkah membentuk kombinasi-r dari S={1, 2,, n} dalam urutan leksikografik. 24

25 1. Langkah awal dimulai dengan kombinasi 123 r 2. Langkah umum, misalkan kombinasi-r a 1, a 2,, a r telah dibentuk, bila a 1 = n r + 1, a 2 = n r + 2,, a r maka kombinasi r telah selesai. Bila tidak maka dipilih bilanngan bulat j yang terbesar sehingga a j + 1 n dan a j + 1 bukan salah satu dari a 1, a 2,, a r kombinasi berikutnya a 1, a 2,, a j 1, a j+1, a j+2, a j+(r j+1). Untuk S={1,2,3,4,5,6} pembentukan kombinasi 4 dari S adalah: 1,2,3,4 1,2,5,6 2,3,4,5 1,2,3,5 1,3,4,5 2,3,4,6 1,2,3,6 1,3,4,6 2,3,5,6 1,2,4,5 1,3,5,6 2,4,5,6 1,2,4,6 1,4,5,6 2,4,5,6 Pembentukan permutasi Misal barisan bilangan bulat a 1, a 2,, a n 1 a n permutasi berikutnya dapat diperoleh dengan cara (langkah-langkah): 1. Ambil pasangan bilangan terakhir yang memenuhi a j < a j Pilih bilangan bulat terkecil disebelah kanan a j dan lebih besar dari a j. 3. Letakkan bilangan tersebut pada posisi ke-j selanjutnya bilangan sisa ditempatkan sesuai urutan yang terkecil. 4. Stop bila sudah membentuk a n, a n 1, a n 2,, a 2, a 1. 25

26 Diberikan permutasi permutasi selanjutnya diperoleh : 1. Ambil pasangan bilangan terakhir dengan syarat a j < a j+1, (a 3, a 4 ) yaitu (2,5). 2. Bilangan bulat terkecil sebelah kanan a 3 = 2 dan lebih besar dari 2 yaitu Letakkan bilangan 4 pada posisi ke a 3, kemudian sisanya (2, 5, 1) disusun sesuai urutan 1, 2, 5 sehingga permutasi diperoleh : 1, 2, 3 selanjutnya 132, 213, 231,312, 321. KOEFISIEN BINOMIAL Beberapa sifat yang penting dari koefisien binomial dipelajari pada bagian ini yang pertama adalah identitas Pascal. Tentukan koefisien x 12 y 13 pada ekspansi (x + y) 25. Solusinya C(12, 13). Tentukan koefisien x 12 y 13 pada ekspansi (2x 3y) 25. Solusinya adalah (2x + ( 3y)) 25 = Jadi C(25,13)2 12 ( 3) j=0 C(25, j)(2x) 25 j ( 3y) j. 26

27 Pertemuan Ke-8 PRINSIP PENCACAHAN A. Prinsip Pigeonhole Teorema Prinsip Pigeonhole Jika terdapat k+1 atau lebih obyek ditempatkan pada k kotak maka paling sedikit terdapat satu kotak berisi dua atu lebih obyek. Diantara 367 orang, paling sedikit terdapat dua orang atau lebih yang mempunyai tanggal lahir sama. Dari 102 mahasiswa maka paling sedikit ada dua mahasiswa dengan nilai ujian yang sama bila nilai berupa angka dari Prinsip Umum Pigeonhole Jika terdapat N obyek-obyek ditempatkan pada k kotak-kotak maka terdapat paling sedikit satu kotak berisi N/k obyek-obyek. Diantara 100 orang terdapat paling sedikit [100/12] = 9 orang yang memiliki bulan kelahiran yang sama. 27

28 Teorema Untuk setiap barisan dari n bilangan riil yang berbeda yang memuat sub barisan dengan panjang n+1 yang merupakan barisan tepat naik (strictly increasing) atau tepat turun (strictly dcreasing). Pada barisan 8, 11, 9, 1, 4, 6, 12, 10, 5, 7, yang berisi 10 bilangan (10 = ) terdapat 4 sub barisan naik dengan panjang 4 yaitu 1,4,6,12; 1,4,6,7; 1,4,6,10; 1,4,5,7 juga terdapat sub barisan turun dengan panjang 4 yaitu 11,9,6,5. 28

29 Pertemuan Ke-9 PRINSIP PENCACAHAN A. Prinsip Inklusi dan Eksklusi Diberikan himpunan semesta S dengan himpunan-himpunan A1 dan A2 yang tidak saling asing, maka S = A 1 A 2 + A 1 A 2 = A 1 A 2 + A 1 A..1) 2 A 1 A 2 = S - A 1 A 2, dimana A 1 A 2 = A + A 1 - A 2 1 A 2 2) A 1 A 2 = S - A 1 - A 2 + A 1 A 2 3) Bentuk 2) dan 3) dapat diperluas dengan himpunan semesta S yang memiliki himpunan-himpunan sebanyak n maka: n n i=1 A i = A i 1 i<j n A i A j + + ( 1) n+1 n i=1 A i i=1. n A n i=1 i = S A i 1 i<j n A i A j + + ( 1) n+1 n i=1 A i i=1. Tentukan jumlah bilangan bulat antara yang tidak dapat dibagi 6, maka s=600. A = Himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 6. A = Himpunan bilangan bulat yang tidak habis dibagi 6. Jadi 3 = A + A = 600, sehingga A = =

30 Dalam satu kelas yang berjumlah 1807 orang ada 435 orang mengambil mata kuliah ilmu komputer, 567 orang mengambil mata kuliah matematika dan 299 orang mengambil kedua mata kuliah tersebut. Berapa orang yang tidak mengambil keduanya? S = 1807; A = 435; B = 567; A B = 299, sehingga A B = S - A - B + A B = 1086 orang. 30

31 Pertemuan ke-10 SEGITIGA Diketahui dua segitiga siku-siku sebangun yaitu ABC dan A B C berikut A A c b c b B a C B a C Dari dua segitiga diatas, maka dapat dibuat 6 kemungkinan rasio dari sisi-sisinya yaitu: b = b a a ; b c = b c ; a c = a c ; a b = a b ; c b = c b ; c a = c a. Enam kemungkinan rasio pada segitiga siku-siku diatas disebut rasio trigonometri. Pada segitiga siku-siku ABC dengan sisi siku pada C maka : sin < B = b c ; cos < B = a c ; tan < B = b a ; csc < B = c b ; sec < B = c a ; cot < B = a b Dengan sin menyatakan sinus, cos menyatakan cosines, tan menyatakan cotangent, csc menyatakan cosecan, sec menyatakan secan dan cot menatakan cotangen. 31

32 Teorema Phytagoras Diketahui segitiga siku-siku ABCdengan sisi siku di C, c merupakan sisi miring dan a, b dua sisi lainnya maka berlaku a 2 + b 2 = c 2. Aturan Sinus, Aturan Cosinus dan Aturan Tangen Diketahui DEF segitiga sebarang seperti dibawah ini b C a A c B Maka aturan sinus diformulasikan sebagai berikut: a sin A = b ; a = sin B sina c sinc ; b sin B = c sinc. Maka aturan cosinus diformulasikan sebagai berikut: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A b 2 = a 2 + c 2 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 2ab cos C Maka aturan tangen diformulasikan sebagai berikut: tan 1 2 (A B) a b tan 1 = ; (A+B) a+b 2 1 tan 2 (A C) a c tan 1 = ; (A+C) a+c 2 1 tan 2 (B C) b c tan 1 = ; (B+C) b+c 2 1 tan 2 (B A) b a tan 1 = ; (B+A) b+a 2 tan 1 2 (C A) c a = ; tan 1 (C+A) c+a 2 1 tan 2 (C B) c b =. tan 1 (C+B) c+b 2 32

33 Pertemuan Ke-11 SEGITIGA A. Teorema Ceva Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar) Teorema Ceva menyatakan bahwa Garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik jika dan hanya jika: AF FB. BD DC. CE EA = 1 Sesuai dengan dalil Sinus, Teorema Ceva juga dapat dibentuk sebagai berikut. Bukti: sin < BAD sin < ACF sin < CBE.. sin < CAD sin < BCF sin < ABE = 1 Dengan demikian, untuk membuktikan teorema ini, kita harus membuktikan 2 kondisi berikut: 1. Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik, maka AF. BD. CE = 1. FB DC EA 2. Jika AF. BD. CE = 1, maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik FB DC EA 33

34 Diketahui bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di 1 titik. Lihat gambar segitiga ABC di atas. AOF dan BOF memiliki tinggi yang sama, oleh karena itu : Luas AOF = AF. Luas BOF FB Perhatikan juga bahwa ACF dan BCF juga memiliki tinggi yang sama, oleh karena itu : Luas ACF = AF. Luas ACF FB Dari kedua persamaan di atas, maka kita dapatkan: AF Luas ACF Luas AOF = FB Luas BCF Luas BOF = Luas ACO Luas BCO Dengan cara yang sama, kita akan mendapatkan persamaan untuk sisi segitiga yang lain: dan BD Luas ABO = DC Luas ACO CE Luas BCO = EA Luas ABO Kalikan ketiga persamaan itu, maka akan kita dapatkan AF FB. BD DC. CE EA = 1 (Gunakan gambar segitiga di atas, dengan simbol dan garis yang sama) Terdapat titik F' pada garis AB sehingga memenuhi persamaan berikut. AF F B. BD DC. CE EA = 1 Karena kita masih memakai simbol F dalam gambar kita, maka persamaan ini juga berlaku (sesuai dengan pembuktian yang kondisi pertama): AF FB. BD DC. CE EA = 1 34

35 Dengan membandingkan keduanya, maka kita dapatkan: Tambahkan 1 di kedua ruas, maka: AF F B = AF FB AF F B + 1 = AF FB + 1 AF + F B F B = AB F B = AB FB F B = FB AF + FB FB Persamaan terakhir menunjukkan bahwa titik F dan titik F berhimpit. Artinya garis garis AD, BE, dan CF' berpotongan di 1 titik. B. Bentuk Teorema Ceva dalam trigonometri Untuk segitiga ABC, aturan sinus adalah sbb: a = b = c sina sinb sinc Maka, kita dapatkan ketiga persamaan berikut (lihat gambar paling atas). sin<oab = OB, sin<oca = OA sin<oba OA sin<oac OC Dengan mengalikan ketiga persamaan tersebut, kita dapatkan persamaan berikut. sin < OAB sin < OBA sin < OBC sin < OCA.. sin < OCB sin < OAC = OB OA. OC OB. OA OC 35

36 sin<bad. sin<acf. sin<cbe = 1. sin<cad sin<bcf sin<abe C. Teorema Menealaos Teorema ini merupakan dual dari teorema Ceva. Diberikan sebuah segitiga ABC. Titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis (atau perpanjangan garis) dari AB, BC, dan CA. Teorema Menelaus menyatakan bahwa: Titik D, E, dan F segaris jika dan hanya jika: AD DB. BE EC. CF FA = 1 Tanda negatif disebabkan karena adanya ruas garis yang memiliki arah berlawanan (panjang yang negatif). Logikanya, AD+DB=AB. Dengan demikian, salah satu dari AD atau DB haruslah negatif. D. Dalil Stewart Diketahui segitiga seperti gambar berikut 36

37 C A E D B CD adalah garis sebarang yang membagi AB menjadi AD dan BD. Panjang CD dapat dicari dengan menggunakan rumus Stewart yaitu CD 2 x AB = (BC 2 x AD) + (AC 2 x BD) + (AD x BD x AB) Rumus stewart ini memudahkan kita untuk mencari panjang garis yang membagi di dalam sebuah segitiga. Untuk mencari garis tinggi, garis bagi maupun garis berat, dapat menggunakan rumus stewart tersebut. 37

38 Pertemuan Ke-12 LINGKARAN Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik berjarak sama terhadap titik tertentu. Titik tertentu (P) disebut pusat dan jarak tertentu merupakan panjang jari-jari lingkaran tersebut. Talibusur adalah ruas garis hubung dua titik pada lingkaran. Talibusur yang melalui pusat lingkaran disebut diameter, panjangnya 2r.Dua titik ujung sebuah diameter disebut pasangan titik diametral. Setiap sumbu sebuah talibusur melalui pusat lingkaran. Setiap diameter yang tegaklurus sebuah talibusur merupakan sumbu talibusur tersebut. 38

39 Sudut keliling G T β B A P C α Tembereng F D E Sudut pusat Garis singgung di titik D juring Pada gambar diatas, maka didapatkan:. α = 2β (besar sudut pusat = 2 sudut keliling yang menghadap busur sama). α = talibusur adalah diameter sudut keliling = 90 0 Luas juring = 1 2 αr2 dengan α besar sudut pusat (dalam radian). Perhatikan gambar berikut: 39

40 C B P M D A T S Segi-4 talibusur = segi-4 siklik = segi-4 yang semua titik sudutnya terletak dalam satu lingkaran. 1) sudut-sudut yang berhadapan berjumlah ) Segi-4 ABCD = segi-4 talibusur Besar A + C = B + D = Dua lingkaran Misal diketahui R = jari-jari lingkaran 1 berpusat P1 r = jari-jari lingkaran 2berpusat P2 k = P1P2, merupakan jarak titik pusat lingkaran satu dengan lingkaran dua. 40

41 l = panjang ruas garis singgung persekutuan luar dimana l = k 2 (R r) 2 d = panjang ruas garis singgung persekutuan dalam dimana d = k 2 (R + r) 2 41

42 Pertemuan Ke-13 PERSAMAAN DAN PERTIDAKMAAN A. Persamaan Kuadrat Persamaan kuadrat didefinisikan sebagai kalimat terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan (=) dan pangkat tertinggi dari variabelnya dua. Persamaan kuadrat memiliki bentuk umum: ax 2 + bx + c = 0 dengan a, b, c R dan a 0 dimana R merupakan himpunan bilangan real. Dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, yang dicari adalah akar-akar persamaan kuadrat atau nilai x yang memenuhi persamaan kuadrat tersebut. Menyelesaikan persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan beberapa cara, yaitu memfaktorkan, menyempurnakan, dan dengan rumus abc. Dengan menggunakan rumus abc, persamaan kuadrat mempunyai solusi x 1,2 = b± b2 4ac. 2a Diskriminan D dari persamaan kuadrat didefinisikan dengan b 2 4ac. Untuk D > 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua solusi yang berbeda. Untuk D = 0, maka persamaan kuadrat mempunyai dua solusi yang sama. 42

43 Untuk D < 0, maka persamaan kuadrat mempunyai solusi bilangan komplek. B. Pertidaksamaan Kuadrat Fungsi kuadrat selalu bernilai positif, dimana x R, x 2 > 0. Dengan mensubtitusi nilai x tertentu, maka didapatkan beberapa pertidaksamaan berikut ini. 1. Jika n 1 integer dan x > 1 bilangan real, maka (1 + x) n > 1 + nx. 2. Jika a > 1 atau a < 0 maka untuk x > 1 maka didapatkan pertidaksamaan berikut (1 + x) a 1 + ax 3. Untuk a (0,1) maka untuk x > 1 maka didapatkan pertidaksamaan berikut(1 + x) a 1 + ax. The Mean Inequality Untuk bilangan real positif x 1, x 2,, x n maka QM AM GM HM dimana QM = x 1 2 +x x n 2 n ; AM = x 1 2 +x x n 2 n ; n GM = x 1 x n ; HM = n 1 x x n QM, AM, GM, HM berturut-turut disebut quadratic mean, aritmethic mean, geometric mean dan harmonic mean dari x 1, x 2,, x n. 43

44 44

45 Pertemuan Ke-14 PERSAMAAN LINEAR A. Persamaan linear Persamaan linear adalah suatu persamaan dengan satu variabel (peubah) yang mempunyai pangkat bulat positif dan pangkat tertinggi variabelnya satu. Bentuk umum persamaan linear adalah ax + b = 0 dengan a, b R dan a 0, x disebut variabel; a, b disebut konstanta Sistem persamaan linear adalah suatu sistem persamaan yang peubah-peubahnya berpangkat satu. Sistem persamaan linear dapat terdiri dari dua atau lebih variabel. Bentuk umum dari sistem persamaan linear dua variabel adalah sebagai berikut : a 1 x + b 1 y = c 1 dengan a, b, dan c R. a 2 x + b 2 y = c 2 Dalam menentukan penyelesaian dari SPL, Anda dapat menggunakan beberapa cara berikut ini : 1. grafik; 2. eliminasi; 45

46 3. substitusi; 4. gabungan (eliminasi dan substitusi); 5. Aturan Cramer (determinan) B. Polinomial Suatu persamaan f(x) = a n x n + + a 0 dan g(x) = b m x m + + b 0 dengan a n 0 dan b m 0 disebut polinomial dengan derajat n dan m dimana deg f = n dan deg g = m. Koefisien a i, b i dapat merupakan elemen dari C, R, Q, Z, Z n. Untuk polinomial f dan g terdapat polynomial tunggal q dan r sedemikian sehingga f(x) = g(x)q(x) + r(x) dimana deg r < deg g atau r(x) = 0. q(x) dan r(x) disebut pembagi dan sisa dari pembagian f oleh g. Jika r(x) = 0, maka dikatakan bahwa g(x) membagi f(x) dan ditulis g(x) f(x). 46