PROSIDING

Transkripsi

1 PROSIDING

2 HALAMAN JUDUL ISBN : PROSIDING SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA Kontribusi Pendidikan Matematika dan Matematika dalam Membangun Karakter Guru dan Siswa Yogyakarta, 10 November 2012 Penyelenggara : Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2012

3 PROSIDING SEMINAR NASIONAL Matematika dan Pendidikan Matematika 10 November 2012 FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta Artikel artikel dalam prosiding ini telah dipresentasikan pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika pada tanggal 10 November 2012 di Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Tim Penyunting Artikel Seminar : 1. Prof. Dr. Rusgianto 2. Dr. Sugiman 3. Dr. Jailani 4. Dr. Djamilah Bondan Widjajanti 5. Dr. Agus Maman Abadi Jurusan Pendidikan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta 2012 Yogyakarta, 10 November

4 KATA PENGANTAR Puji Syukur ke Hadirat Tuhan Yang Maha Esa atas segala Karunia dan Rahmat-Nya sehingga prosiding ini dapat diselesaikan. Prosiding ini merupakan kumpulan makalah dari peneliti, guru, mahasiswa, pemerhati dan dosen bidang Pendidikan Matematika berbagai daerah di Indonesia. Makalah yang dipresentasikan meliputi makalah hasil penelitian pada saat melaksanakan PTK/Lesson Study, pemikiran tentang pembelajaran matematika yang inovatif atau kajian teoritis seputar pembelajaran matematika sekolah. Pada kesempatan ini panitia mengucapkan terimakasih kepada semua pihak yang telah membantu dan mendukung penyelenggaraan seminar ini. Khususnya, kepada seluruh peserta seminar diucapkan terima kasih atas partisipasinya dan selamat berseminar, semoga bermanfaat. Panitia Yogyakarta, 10 November

5 DAFTAR ISI MAKALAH UTAMA No Kode Penulis Judul Hal 1 U-1 Lim, Chap Sam 2 U-2 S.B Waluya 3 U-3 Djamilah Bondan Widjajanti MOULDING POSITIVE CHARACTERS VIA INCULCATING VALUES IN MATHEMATICS TEACHING AND LEARNING PERAN MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DALAM MEMBANGUN KARAKTER BANGSA PEMBELAJARAN MATEMATIKA YANG HUMANIS: MEMBANGUN KARAKTER GURU, KARAKTER SISWA, DAN KARAKTER BANGSA MU-1 MU-11 MU-19 MAKALAH BIDANG ANALISIS DAN ALJABAR No Kode Penulis Judul Hal 1 A-1 2 A-2 3 A-3 Burhanudin Arif Nurnugroho RUANG BARISAN DENGAN NILAI PADA RUANG BERNORMA-2 YANG DIBANGUN OLEH FUNGSI ORLICZ MA-1 Dhian Arista Istikomah KARAKTERISASI E-SEMIGRUP MA-9 Dian Ariesta Yuwaningsih BEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA MA-17 4 A-4 Moch. Aruman Imron Dwi Lestari, Muhamad Zaki 5 A-5 Riyanto 6 A-6 Elvina Herawaty 7 A-7 Hendra Listya Kurniawan, Musthofa 8 A-8 M. Andy Rudhito 9 A-9 Moh. Affaf 10 A-10 Mustofa Arifin, Musthofa KONSTRUKSI KLAS BARISAN P-SUPREMUM BOUNDED VARIATION SEQUENCES SUATU ALGORITMA KRIPTOGRAFI STREAM CIPHER BERDASARKAN FUNGSI CHAOS BEBERAPA RELASI INKLUSI PADA RUANG BARISAN BANACH LATTICE APLIKASI SISTEM LINEAR MAX-PLUS INVARIANT PADA SISTEM PRODUKSI TEMPE SUPER DANGSUL DI YOGYAKARTA SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS LUAS DI R2 DENGAN MEMANFAATKAN GARIS SINGGUNG KURVA OPTIMISASI JADWAL PEMESANAN BAKPIA PATHOK "25" DAERAH ISTIMEWA YOGYAKARTA DENGAN SISTEM LINEAR MAX-PLUS WAKTU INVARIANT MA-25 MA-33 MA-41 MA-53 MA-65 MA-71 MA-81

6 11 A-11 Riningsih, Indah Emilia Wijayanti 12 A-12 Siswanto 13 A A-14 Caturiyati, Ch. Rini Indrati, Lina Aryati Caturiyati, Ch. Rini Indrati, Lina Aryati SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA MENGGUNAKAN KODE LINEAR NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL SECOND ORDER CONE (SOC) DAN SIFAT-SIFAT KENDALA SECOND ORDER CONE PROGRAMMING DENGAN NORMA 1 KEKONVEKSKAN DAERAH FISIBEL SECOND ORDER CONE PROGRAMMING DENGAN NORMA 1 MA-91 MA-99 MA-114 MA-119 MAKALAH BIDANG PENDIDIKAN MATEMATIKA No Kode Penulis Halaman 1 P-1 Akhmad Nayazik PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN MENGINTEGRASIKAN HOM (HISTORY OF MATHEMATICS) UNTUK MENINGKATKAN MOTIVASI BELAJAR MP-1 2 P-2 Amir Fatah 3 P-3 Amir Mahmud MODIFIKASI PERSEPSI : HARAPAN BARU MENINGKATKAN MINAT BELAJAR MATEMATIKA TERAPAN (MEKANIKA FLUIDA) MP-9 EKSPERIMENTASI MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD DAN JIGSAW PADA POKOK BAHASAN BENTUK ALJABAR DITINJAU DARI PERHATIAN ORANG TUA SISWA KELAS VII SMP NEGERI DI KABUPATEN CILACAP TAHUN PELAJARAN 2010/ 2011 MP-15 4 P-4 Andri Anugrahana 5 P-5 Andri Suryana 6 P-6 7 P-7 Angelia Padmarini Dharmamurti, Ch. Enny Murwaningtyas Angelina Dwi Marsetyorini, Ch. Enny Murwaningtyas INTEGRASI KECAKAPAN HIDUP SISWA MELALUI PENGALAMAN BELAJAR MATEMATIKA KONTEKS DUNIA NYATA SISWA DI SEKOLAH DASAR KEMAMPUAN BERPIKIR MATEMATIS TINGKAT LANJUT (ADVANCED MATHEMATICAL THINKING) DALAM MATA KULIAH STATISTIKA MATEMATIKA 1 EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN REMEDIAL DENGAN MENGGUNAKAN ALAT PERAGA KOTAK GESER PADA MATERI PERKALIAN DAN FAKTORISASI BENTUK ALJABAR DI KELAS VIII SMPN 2 JETIS BANTUL DIAGNOSIS KESULITAN BELAJAR SISWA DAN PEMBELAJARAN REMEDIAL DALAM MATERI OPERASI PADA PECAHAN BENTUK ALJABAR DI KELAS VIII SMPN 2 JETIS BANTUL MP-27 MP-37 MP-49 MP-59 Yogyakarta, 10 November 2012

7 8 P-8 Angger Rengga Hutama, M. Andy Rudhito EFEKTIFITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM CABRI 3D UNTUK MENINGKATKAN PEMAHAMAN SISWA TENTANG KONSEP SIKU-SIKU DALAM SUB-POKOK BAHASAN PENERAPAN TEOREMA PHYTAGORAS PADA BANGUN RUANG DI KELAS VIII SMP PANGUDI LUHUR GANTIWARNO MP-71 9 P-9 Anggria Septiani PENERAPAN STRATEGI INQUIRY BASED LEARNING DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA SISWA KELAS VII SMP NEGERI 45 PALEMBANG MP P-10 Ani Minarni 11 P-11 Aris Nurkholis PENGARUH PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH TERHADAP KEMAMPUAN PEMECAHAN MASALAH SISWA SMP MP-91 PENILAIAN PORTOFOLIO DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS KONTEKSTUAL PADA SISWA KELAS 1 SD JUARA YOGYAKARTA TAHUN AJARAN 2011/2012 MP P-12 Asep Ikin Sugandi 13 P-13 Aulia Musla Mustika PERANAN MATEMATIKA DALAM MENUMBUHKAN KARAKTER SISWA PENERAPAN PMRI DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI SEKOLAH DASAR UNTUK MENUMBUHKEMBANGKAN PENDIDIKAN KARAKTER MP-111 MP P-14 Awit Widya Lestari 15 P-15 Bernadeta Ayu Setyanta, Ch. Enny Murwaningtyas 16 P-16 Burhan Iskandar Alam 17 P-17 Desti Haryani PENGAPLIKASIAN PROGRAM WINGEOM PADA POKOK BAHASAN KUBUS DAN BALOK PENGARUH PEMBERIAN KUIS TERHADAP MOTIVASI DAN HASIL BELAJAR SISWA SMP KANISIUS KALASAN TAHUN PELAJARAN 2012/2013 PADA MATERI FAKTORISASI SUKU ALJABAR PENINGKATAN KEMAMPUAN PEMAHAMAN DAN KOMUNIKASI MATEMATIKA SISWA SD MELALUI PENDEKATAN REALISTIC MATHEMATICS EDUCATION (RME) PROFIL PROSES BERPIKIR KRITIS SISWA SMA DENGAN GAYA KOGNITIF FIELD INDEPENDEN DAN BERJENIS KALAMIN PEREMPUAN DALAM MEMECAHKAN MASALAH MATEMATIKA MP-131 MP-141 MP-149 MP-165 Yogyakarta, 10 November 2012

8 18 P-18 Desti Haryani MEMBENTUK SISWA BERPIKIR KRITIS MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA MP P-19 Devy Yuliastri Kurnia Putri, Intan Ayu Maharani PENANAMAN SIKAP ANTI KORUPSI DAPAT MELALUI PELAJARAN MATEMATIKA MP P-20 Didi Suhaedi 21 P-21 Edy Bambang Irawan 22 P-22 Endang Setyo Winarni 23 P-23 Sumiyati 24 P-24 Susiana Suryandari 25 P-25 Tumisah 26 P-26 Ary Widayanto PENINGKATAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS SISWA SMP MELALUI PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK THE CHALLENGE OF MATHEMATICS TEACHERS IN DEALING WITH VARIOUS CURRICULUM CHANGES (A THEORETICAL REVIEW) MEMBANGUN KARAKTER SISWA SEKOLAH DASAR (SD) MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN MENGGUNAKAN MEDIA BENDA KONKRET MENUMBUHKAN KARAKTER BEKERJA KERAS DAN PANTANG MENYERAH PADA SISWA KELAS XII IPS SMAN 1 TEMPEL MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA OPTIMALISASI MEMBENTUK KARAKTER MENGGUNAKAN STIMULUS OTAK KANAN DAN OTAK KIRI PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA DALAM PENCAPAIAN TARGET PRESTASI PUNCAK PENINGKATAN PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA DENGAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE THINK-PAIR-SHARE (TPS) DI SMK NEGERI 1 PANDAK KELAS X TPHP 1 PENGARUH MOTIVASI BERPRESTASI, INTELIGENSI QUOTIENT, DAN FASILITAS BELAJAR SISWA TERHADAP PRESTASI OLIMPIADE SAINS DI SMA NEGERI 1 BANTUL TAHUN AJARAN MP-191 MP-201 MP-209 MP-217 MP-227 MP-235 MP P-27 Muniri 28 P-28 Suryo Widodo MODEL PENALARAN INTUITIF SISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA PROFIL KREATIVITAS GURU SMP DALAM MEMBUAT MASALAH MATEMATIKA KONTEKSTUAL BERDASARKAN KUALIFIKASI AKADEMIK MP-251 MP-263 Yogyakarta, 10 November 2012

9 29 P-29 Eka Setyaningsih 30 P-30 Elisabeth Evi Alviah, M. Andy Rudhito KEPEDULIAN GURU DALAM MENANAMKAN KARAKTER PESERTA DIDIK PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM GEOGEBRA DIBANDING PEMBELAJARAN KONVENSIONAL PADA TOPIK GRAFIK FUNGSI KUADRAT KELAS X SMA PANGUDI LUHUR YOGYAKARTA MP-271 MP P-31 Elly Susanti 32 P-32 Epon Nur'Aeni, Dindin Abdul Muiz Lidinillah, Ayi Sakinatussa'Adah 33 P-33 Essy Purwaningtyas 34 P-34 Ety Septiati 35 P-35 Fransiscus Dimas Permadi, M. Andy Rudhito 36 P-36 Gadis Arniyati Athar 37 P-37 Garini Widosari MENINGKATKAN PENALARAN SISWA MELALUI KONEKSI MATEMATIKA MODEL DISAIN DIDAKTIS PEMBAGIAN PECAHAN BERBASIS PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK UNTUK SISWA KELAS V SEKOLAH DASAR EFEKTIVITAS MODEL PEMBELAJARAAN KOOPERATIF TIPE NUMBERED HEADS TOGETHER (NHT) DITINJAU DARI KREATIVITAS DAN KARAKTER SISWA DI SMP NEGERI 15 YOGYAKARTA KEEFEKTIFAN PENDEKATAN KONSTRUKTIVISME TERHADAP KEMAMPUAN KONEKSI MATEMATIS MAHASISWA PADA MATA KULIAH ANALISIS REAL I EFEKTIFITAS PEMBELAJARAN DENGAN PROGRAM GEOGEBRA DIBANDING PEMBELAJARAN KONVENSIONAL PADA MATERI TEOREMA PYTHAGORAS KELAS VIII SMP PANGUDI LUHUR GANTIWARNO KLATEN PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK (PMR) BERBASIS BUDAYA CERITA RAKYAT MELAYU RIAU PADA KELAS 3 SEKOLAH DASAR. PENGGUNAAN SOFTWARE MATLAB UNTUK MENINGKATKAN MINAT BELAJAR MATEMATIKA DI POLITEKNIK NEGERI SAMARINDA MP-289 MP-297 MP-309 MP-319 MP-325 MP-335 MP P-38 Georgina Maria Tinungki SENI MENGAJAR SEORANG GURU MATEMATIKA IDAMAN SISWA MP-351 Yogyakarta, 10 November 2012

10 39 P-39 Pivi Alpia Podomi, Ginanjar Abdurrahman, Yandri Soeyono 40 P-40 Heru Kurniawan 41 P-41 Hery Suharna 42 P-42 Zetriuslita 43 P-43 Huri Suhendri KEYAKINAN GURU TERHADAP MATEMATIKA DAN PROFESI UPAYA PENINGKATAN EFEKTIVITAS PEMBELAJARAN MATEMATIKA MELALUI METODE KOOPERATIF TIPE TEAM ASSISTED INDIVIDUALIZATION (TAI) PADA SISWA KELAS V SD NEGERI SIDOMULYO TAHUN PELAJARAN 2011/2012 BERPIKIR REFLEKTIF (REFLECTIVE THINKING ) SISWA SD BERKEMAMPUAN MATEMATIKA TINGGI DALAM PEMAHAMAN MASALAH PECAHAN PENERAPAN PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE NHT UNTUK MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS X-4 SMAN 1 SIAK HULU PENGARUH KECERDASAN MATEMATIS-LOGIS, RASA PERCAYA DIRI, DAN KEMANDIRIAN BELAJAR TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA MP-361 MP-369 MP-377 MP-387 MP P-44 Ibrahim KEBIASAAN BELAJAR MATEMATIKA SISWA DAN PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS MASALAH MP P-45 Yusuf Suryana, Oyon Haki Pranata, Ika Fitri Apria DESAIN DIDAKTIS PENGENALAN KONSEP PECAHAN SEDERHANA PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI KELAS III SEKOLAH DASAR MP P-46 In Hi Abdullah PENINGKATAN KEMAMPUAN REPRESENTASI MATEMATIS SISWA SMP MELALUI PEMBELAJARAN KONTEKSTUAL YANG TERINTEGRASI DENGAN SOFT SKILL. MP P-47 Isrok'Atun CREATIVE PROBLEM SOLVING (CPS) MATEMATIS MP P-48 Karman La Nani 49 P-49 Ketut Sutame, Harpint KONSTRUKSI SELF-REGULATION SKILL DAN HELP-SEEKING BEHAVIOR DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA MEREDUKSI MATHEMATICS ANXIETY DAN MENYUBURKAN PROBLEM SOLVING ABILITY DENGAN PENDEKATAN PROBLEM POSING MP-449 MP-459 Yogyakarta, 10 November 2012

11 50 P-50 Kholida Agustin, Yulia Linguistika IDENTIFIKASI KESALAHAN SISWA KELAS X PADA EVALUASI MATERI SIFAT-SIFAT BILANGAN BERPANGKAT DENGAN PANGKAT BILANGAN BULAT DI SMA MUHAMMADIYAH 2 YOGYAKARTA MP P P-52 Kikin Windhani, Fajar Hardoyono Kuswati, Nila Kurniasih, Puji Nugrahen ANALYSIS OF STUDENTS' ABILITY IN MATH CONCEPTS AS A TOOL FOR STUDYING ECONOMIC THEORY EKSPERIMENTASI METODE DISCOVERY DAN METODE THINK-PAIR-SHARE (TPS) TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA DITINJAU DARI KEMAMPUAN ANALOGI MATEMATIS SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 26 PURWOREJO TAHUN PELAJARAN 2011/2012 MP-487 MP P-53 La Moma 54 P P P P-57 Laela Sagita, Widi Astuti Leo Agung Noviar Kidung Adi, M. Andy Rudhito Leonardo Errick Pradika, Ch. Enny Murwaningtyas Lina Wulandari, Nurhadi Waryanto MENUMBUHKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIS MELALUI PEMBELAJARAN GENERATIF SISWA SMP UPAYA MENINGKATKAN KARAKTER POSITIF SISWA DAN PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA MELALUI METODE KOOPERATIF DENGAN MENGGUNAKAN MEDIA TRAVEL GAME DI SMP NEGERI 14 YOGYAKARTA PEMANFAATAN PROGRAM CABRI 3D DALAM UPAYA MENGATASI KESULITAN BELAJAR SISWA KELAS 5 SD NEGERI BANYUURIP PURWOREJO PADA POKOK BAHASAN VOLUME KUBUS DAN BALOK ANALISIS KESALAHAN SISWA KELAS VIII I SMP N 1 KARANGANYAR DALAM MENGERJAKAN SOAL PADA POKOK BAHASAN BANGUN RUANG SISI DATAR SERTA UPAYA REMEDIASINYA DENGAN MEDIA BANTU PROGRAM CABRI 3D PEMANFAATAN CABRI 3D DALAM MEDIA INTERAKTIF BERBASIS METODE INKUIRI PADA MATERI BANGUN RUANG SISI DATAR UNTUK MENINGKATKAN CARA BERPIKIR KRITIS SISWA KELAS VIII SMP MP-505 MP-515 MP-527 MP-537 MP P-58 Marhayati 59 P-59 Maria Ulpah PEMAHAMAN SOAL CERITA MELALUI PARAPRASE MENINGKATKAN KEMAMPUAN PENALARAN STATISTIS SISWA MADRASAH ALIYAH MELALUI PENDEKATAN KONTEKSTUAL DI KABUPATEN BANYUMAS MP-555 MP-563 Yogyakarta, 10 November 2012

12 60 P P-61 Maya Kusumaningrum, Abdul Aziz Saefudin Mefa Indriati,Tuti Syafrianti MENGOPTIMALKAN KEMAMPUAN BERPIKIR MATEMATIKA MELALUI PEMECAHAN MASALAH MATEMATIKA PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TEKNIK THINK PAIR SQUARE (TPS) UNTUK MENINGKATKAN HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS VIII1 SMP ISLAM YLPI PEKANBARU MP-571 MP P-62 Muhamad Yasin ANALISIS GAYA KOMUNIKASI GURU MATEMATIKA BERDASARKAN TEORI KOMUNIKASI LOGIKA DESAIN PESAN MP P-63 Muhammad Rijal Wahid Muharram QUANTUM MATHEMATIC, MEMAHAMI NILAI-NILAI MATEMATIKA UNTUK MEMBANGUN KARAKTER BANGSA MP P-64 Niken Wahyu Utami, Jailani 65 P-65 Niluh Sulistyani, S.Pd PERMASALAHAN PENYUSUNAN PERANGKAT PEMBELAJARAN MATEMATIKA IMPLEMENTASI PEMBELAJARAN BERBASIS MASALAH DIPADUKAN DENGAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TAI (TEAM ASSISTED INDIVIDUALIZATION) UNTUK MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KRITIS MATEMATIS PADA SISWA SMP N 2 SENTOLO KELAS IXA MP-611 MP P-66 Maesia Ledua, Ninda Argafani, M. F. Atsnan PARENTS BEHAVIOUR IN STRUGGLING TO MOTIVATE MATHEMATICS LEARNERS MP P-67 Nora Surmilasari PENGEMBANGAN LKS MATEMATIKA BERBASIS KONSTRUKTIVISME UNTUK PEMBELAJARAN MATERI PERKALIAN DUA MATRIKS DI KELAS XII SMA MP P P-69 Novi Komariyatiningsih, Nila Kesumawati Nurina Kurniasari Rahmawati, Teguh Wibowo, Nila Kurniasi KETERKAITAN KEMAMPUAN KOMUNIKASI MATEMATIS DENGAN PENDEKATAN PENDIDIKAN MATEMATIKA REALISTIK INDONESIA (PMRI) PENERAPAN MODEL PEMBELAJARAN E-LEARNING PADA MATERI KUBUS DAN BALOK TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS VIII SMP N SE-KECAMATAN BANYUURIP DITINJAU DARI MOTIVASI BELAJAR SISWA MP-643 MP-651 Yogyakarta, 10 November 2012

13 70 P P P-72 Pasttita Ayu Laksmiwati, Ali Mahmudi Paulina Hani Rusmawati, M. Andy Rudhito Purna Bayu Nugroho, Suparni, Mulin Nu M PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS METODE INQUIRY BERBANTUAN CABRI 3D PADA MATERI RUANG DIMENSI TIGA DESAIN LEMBAR KERJA SISWA DENGAN PEMANFAATAN PROGRAM GEOGEBRA MELALUI DEMONSTRASI UNTUK MENDUKUNG PENYAMPAIAN MATERI KESEBANGUNAN DI KELAS IX SMP NEGERI 2 JETIS-BANTUL EFEKTIVITAS MODEL PEMBELAJARAN MISSOURI MATHEMATICS PROJECT (MMP) DENGAN METODE TALKING STICK DAN PENEMUAN TERBIMBING TERHADAP HASIL BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS X MAN MAGUWOHARJO SLEMAN (PENELITIAN EKSPERIMEN POKOK BAHASAN TRIGONOMETRI) MP-659 MP-671 MP P-73 Qodri Ali Hasan REKONSTRUKSI PEMAHAMAN KONSEP PEMBAGIAN PADA SISWA BERKEMAMPUAN TINGGI MP P-74 Qodri Ali Hasan 75 P-75 Qurotuh Ainia, Nila Kurniasih, Mujiyem Sapti PENGEMBANGAN PEMBELAJARAN OPERASI PEMBAGIAN DENGAN MENEKANKAN ASPEK PEMAHAMAN. MP-699 EKSPERIMENTASI MODEL PEMBELAJARAN AUDITORY INTELLECTUALLY REPETITION (AIR) TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA DITINJAU DARI KARAKTER BELAJAR SISWA KELAS VII SMP NEGERI SE-KECAMATAN KALIGESING TAHUN 2011/2012 MP P-76 Ratu Ilma Indra Putri 77 P P-78 Riawan Yudi Purwoko, Wawan Rima Oktaviani,Mujiyem Sapti,Puji Nugraheni PENDISAINAN HYPOTETICAL LEARNING TRAJECTORY (HLT) CERITA MALIN KUNDANG PADA PEMBELAJARAN MATEMATIKA PEMBELAJARAN MATEMATIKA MENGGUNAKAN SOFTWARE WINPLOT PADA MATERI TURUNAN TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA SISWA KELAS XI-IPS SMA MUHAMMADIYAH SE-KABUPATEN PURWOREJO EKSPERIMENTASI MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE TGT TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA DITINJAU DARI MOTIVASI BELAJAR SISWA KELAS VIII SMP NEGERI 2 BULUSPESANTREN TAHUN PELAJARAN 2011/2012 MP-717 MP-725 MP-735 Yogyakarta, 10 November 2012

14 79 P-79 Risnanosanti 80 P-80 Rudi Santoso Yohanes 81 P-81 Rufina Ni Luh Wiwik Handayani,Ch. Enny Murwaningtyas HYPOTHETICAL LEARNING TRAJECTORY UNTUK MENUMBUHKEMBANGKAN KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF MATEMATIS SISWA SMA DI KOTA BENGKULU STRATEGI SISWA SMP DALAM MENYELESAIKAN MASALAH GEOMETRI DITINJAU DARI DOMINASI OTAK KIRI DAN OTAK KANAN PENGARUH PENGGUNAAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD TERHADAP MOTIVASI DAN HASIL BELAJAR SISWA PADA POKOK BAHASAN PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT DI KELAS VII A SMP KANISIUS KALASAN YOGYAKARTA TAHUN PELAJARAN MP-743 MP-751 MP P-82 Selvi Rajuaty Tandiseru 83 P-83 Setyawati,Ibrahim KEPEDULIAN GURU MATEMATIKA DALAM MENINGKATKAN KEMAMPUAN BERFIKIR KREATIF SISWA EFEKTIVITAS PENGGUNAAN MODEL PEMBELAJARAN RECIPROCAL TEACHING DILENGKAPI DRILL SOAL TERHADAP PENINGKATAN PEMAHAMAN KONSEP DAN MOTIVASI BELAJAR MATEMATIKA SISWA DITINJAU DARI KEMAMPUAN MATEMATIKA UMUM SISWA MP-771 MP P-84 Sri Adi Widodo PROSES BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA BERDASARKAN DIMENSI TEACHER MP P-85 Sri Adi Widodo PROSES BERPIKIR MAHASISWA DALAM MENYELESAIKAN MASALAH MATEMATIKA BERDASARKAN DIMENSI HEALER MP P-86 Sri Hastuti Noer 87 P-87 Subanindro SELF-EFFICACY MAHASISWA TERHADAP MATEMATIKA PENGEMBANGAN PERANGKAT PEMBELAJARAN TRIGONOMETRI BERORIENTASIKAN KEMAMPUAN PENALARAN DAN KOMUNIKASI MATEMATIK SISWA SMA MP-801 MP P-88 Suhas Caryono, Suhartono ANALISIS DESKRIPTIF FAKTOR PENYEBAB KESULITAN BELAJAR MATA PELAJARAN MATEMATIKA DI SMA NEGERI 8 PURWOREJO TAHUN PELAJARAN 2012/2013 MP-819 Yogyakarta, 10 November 2012

15 89 P-89 Syahrir 90 P-90 Syukrul Hamdi 91 P-91 Tantan Sutandi Nugraha PENGARUH PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE JIGSAW DAN TEAMS GAME TURNAMEN (TGT) TERHADAP MOTIVASI BELAJAR DAN KETERAMPILAN MATEMATIKA SISWA SMP (STUDI EKSPERIMEN DI SMP DARUL HIKMAH MATARAM) MEMAHAMI KARAKTERISTIK PSIKOLOGIS SISWA DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERDASARKAN KECERDASAN INTUITIF DAN REFLEKTIF PEMBELAJARAN MATEMATIKA BERBASIS MASALAH YANG BERLANDASKAN NILAI-NILAI KARAKTER DENGAN PENGGUNAAN MEDIA TIK PADA KELAS DWI-BAHASA DALAM KOMPETENSI DASAR MENENTUKAN SLOPE DAN PERSAMAAN GARIS LURUS MP-827 MP-839 MP P-92 Tatan. Zm 93 P-93 Titin Mulyaningsih ANALISIS PROKRASTINASI TUGAS AKHIR/SKRIPSI PERMAINAN MAMUN TEBAL UNTUK MENINGKATKAN KETERAMPILAN HITUNG BILANGAN BULAT SISWA KELAS IV SDN KOTAGEDE III YOGYAKARTA MP-863 MP P P-95 Donny Seftyanto, Mega Apriani, Tony Haryanto Tri Nova Hasti Yunianta, Ani Rusilowati, Rochmad PERAN ALGORITMA CAESAR CIPHER DALAM MEMBANGUN KARAKTER AKAN KESADARAN KEAMANAN INFORMASI KEMAMPUAN BERPIKIR KREATIF SISWA PADA IMPLEMENTASI PROJECT-BASED LEARNING DENGAN PEER AND SELF-ASSESSMENT UNTUK MATERI SEGIEMPAT KELAS VII SMPN RSBI 1 JUWANA DI KABUPATEN PATI MP-883 MP P-96 Urip Tisngati 97 P-97 Veronica Wiwik Dwi Astuty, M. Andy Rudhito MEMBANGUN KARAKTER DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA MELALUI KETERAMPILAN KOMUNIKASI PENGGUNAAN PROGRAM GEOGEBRA DALAM UPAYA MENGATASI KESULITAN BELAJAR SISWA KELAS VIII E SMP N I NANGGULAN KULON PROGO POKOK BAHASAN GRAFIK GARIS LURUS PADA PEMBELAJARAN REMEDIAL MP-903 MP P-98 Watijo Hastoro MENENTUKAN LUAS DAERAH BANGUN DATAR DENGAN PAPAN BERPETAK UNTUK SISWA SMP KELAS VII MP-923 Yogyakarta, 10 November 2012

16 99 P-99 Widi Astuti EKSPERIMENTASI MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF TIPE STAD PADA MATERI PECAHAN TERHADAP PRESTASI BELAJAR MATEMATIKA KELAS IV SD SE-GUGUS SULTAN AGUNG DITINJAU DARI MOTIVASI BELAJAR SISWA MP P-100 Wiryanto 101 P-101 Wulan Fitriyani REPRESENTASI SISWA SEKOLAH DASAR DALAM PEMAHAMAN KONSEP PECAHAN PEMANFAATAN SOFTWARE GEOGEBRA MELALUI STRATEGI IDEAL PADA MATERI SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING LINGKARAN UNTUK MENINGKATKAN KEAKTIFAN DAN HASIL BELAJAR SISWA KELAS VIII F SMP NEGERI 3 PATI TAHUN PELAJARAN 2011/2012 MP-943 MP P P-103 Yohanes Aditya Kurniawan, Ch. Enny Murwanintyas Yulia Tri Widyaningrum, Ch. Enny Murwanintyas PENGARUH PROGRAM BRIDGING COURSE TERHADAP HASIL BELAJAR SISWA KELAS VII CERDAS SMP KANISIUS PAKEM PENGARUH MEDIA PEMBELAJARAN GEOGEBRA TERHADAP MOTIVASI DAN HASIL BELAJAR SISWA PADA MATERI GRAFIK FUNGSI KUADRAT DI KELAS X SMA NEGERI 2 YOGYAKARTA TAHUN PELAJARAN 2012/2013 MP-967 MP P-104 Yulis Jamiah PEMBIASAAN SIKAP POSITIF DALAM MEMBANGUN KARAKTER MAHASISWA MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA MP P-105 Endang Listyani 106 P-106 Elly Arliani IMPLEMENTASI PENDIDIKAN KARAKTER DALAM PERKULIAHAN MENGEMBANGKAN SIKAP SALING MENGHARGARI MELALUI PEMBELAJARAN MATEMATIKA : UPAYA MEMPERBAIKI KARAKTER BANGSA MP-989 MP P-107 Rohana 108 P-108 Friska Anggun Diana Sari, Kuswari Hernawati PERAN PENDIDIKAN MATEMATIKA SEBAGAI WAHANA PEMBANGUN KARAKTER BANGSA PEMANFAATAN PROGRAM CABRI 3D DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA MATERI BANGUN RUANG SISI LENGKUNG KELAS IX SMP DALAM UPAYA MENINGKATKAN HASIL BELAJAR SISWA MP-999 MP-1009 Yogyakarta, 10 November 2012

17 MAKALAH BIDANG STATISTIKA No Kode Penulis Judul Hal 1 S-1 Bertho Tantular 2 S-2 Dessy Gusnita Frangky Masipupu, Adi Setiawan, Bambang 3 S-3 Susanto 4 S-4 Rangga Pradeka, Adi Setiawan, Lilik Linawati PENDEKATAN MODEL MULTILEVEL UNTUK DATA REPEATED MEASURE ANALISA FAKTOR GAS BUANG KENDARAAN BERBAHAN BAKAR SOLAR MENGGUNAKAN RANCANGAN ACAK LENGKAP (SUATU APLIKASI MATEMATIKA DAN STATISTIKA UNTUK PENELITIAN LINGKUNGAN) PENGKONSTRUKSIAN GRAFIK PENGENDALI BERDASAR BOXPLOT BIVARIAT STUDI SIMULASI UJI KOEFISIEN KORELASI SPEARMAN DAN KENDALL DARI SAMPEL YANG DIBANGKITKAN BERDASARKAN ESTIMASI DENSITAS KERNEL MULTIVARIAT MS-1 MS-11 MS-19 MS-33 5 S-5 Sugiyanto, Etik Zukhronah PEMILIHAN UJI NONPARAMETRIK TERBAIK UNTUK DUA SAMPEL BEBAS MELALUI METODE SIMULASI MS-47 6 S-6 Vania Mutiarani, Adi Setiawan, Hanna Arini Parhusip PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL MS-53 7 S-7 8 S-8 Lilik Fauziah, Retno Subekti Esti Nur Kurniawati, Retno Subekti PEMBENTUKAN PORTOFOLIO OPTIMAL MENGGUNAKAN METODE MINIMAX PEMODELAN SISTEM ANTRIAN MULTISERVER DENGAN MULTITASK SERVER MENGGUNAKAN VACATION QUEUEING MS-65 MS-77 MAKALAH BIDANG MATEMATIKA TERAPAN DAN KOMPUTER No Kode Penulis Judul Hal 1 T-1 Allen Marga Retta 2 T-2 Amalia Dikaningtyas, Kus Prihantoso K PENGEMBANGAN MATERI INTEGRAL BERBASIS MODUL DALAM PEMBELAJARAN MATEMATIKA DI PROGRAM STUDI PENDIDIKAN BIOLOGI ANALISIS MODEL MATEMATIKA TENTANG PENGARUH KEMOTERAPI TERHADAP DINAMIK PERTUMBUHAN SEL TUMOR DAN SEL NORMAL MT-1 MT-11 Yogyakarta, 10 November 2012

18 3 T-3 4 T-4 5 T-5 Arga Dhahana Pramudianto,Rino Eko Tulus Budi Cahyanto, Agus Winarno, Mulyadi Farida Cahya Kusuma, Sudradjat PENGGUNAAN POLINOMIAL UNTUK STREAM KEY GENERATOR PADA ALGORITMA STREAM CIPHERS BERBASIS FEEDBACK SHIFT REGISTER POLYNOMIAL FUNCTIONS DAN IMPLEMENTASINYA DALAM ALGORITMA ADVANCED ENCRYPTION STANDARD PADA DATABASE ACCOUNTING RANCANGAN MODEL SIMULASI ANTRIAN UNTUK MENGURANGI KEMACETAN KENDARAAN DI PELABUHAN MERAK BANTEN MT-17 MT-31 MT-45 6 T-6 Farikhin MODEL REDUKSI UNTUK SISTEM MIMO MT-53 7 T-7 Garini Widosari 8 T-8 Hariyanto, Utami Dyah Purwati PERAMALAN CURAH HUJAN DENGAN WAVELET MENGKONSTRUKSI MODEL KONTAK DIANTARA SPECIES PADA TRANSMISI PENYEBARAN PENYAKIT DENGAN MENGGUNAKAN MODEL JARINGAN MT-61 MT-69 9 T-9 Indun Titisariwati MENGHITUNG VOLUME CADANGAN DENGAN CARA NUMERIK MT T-10 Jonner Nainggolan KONTROL OPTIMAL VAKSINASI MODEL EPIDEMIOLOGI TIPE SIR MT T-11 Rivelson Purba 12 T-12 Sekar Sukma Asmara 13 T-13 Sri Andayani PENERAPAN LOGIKA FUZZY PADA PROGRAM LINEAR PENGGUNAAN METODE BAYESIAN SUBYEKTIF DALAM PENGKONSTRUKSIAN GRAFIK PENGENDALI-P MODEL PENILAIAN ASPEK AFEKTIF AKHLAK MULIA BERBASIS DATA LINGUISTIK MT-101 MT-115 MT T-14 Sri Kuntari DIGRAF EKSENTRIK DARI GRAF GEAR MT T-15 Subchan, Mohammad Rifai ANALISA KESTABILAN PERSAMAAN GERAK ROKET TIGA DIMENSI TIPE RKX-LAPAN MT-139 Yogyakarta, 10 November 2012

19 16 T-16 Tahiyatul Asfihani, Subchan PANDUAN DAN KENDALI KAPAL TANPA AWAK DENGAN MENGGUNAKAN METODE MODEL PREDICTIVE CONTROL (MPC) DAN AKAR KUADRAT-UNSCENTED KALMAN FILTER (AK-UKF) MT T-17 Wartono 18 T-18 Alvida Mustikarukmi 19 T-19 Nur Insani 20 T-20 Kuswari Hernawati 21 T-21 Dimas Aryo Prakoso, Kuswari Hernawati 22 T-22 Nikenasih Binatari MODIFIKASI METODE KING DENGAN MENGGUNAKAN INTERPOLASI KUADRATIK DETEKSI OUTLIER BERBASIS KLASTER DENGAN ALGORITMA SHARED NEAREST NEIGHBOR PEMANFAATAN NETWORKX UNTUK MENGEKSPLORASI DAN MENGANALISA JARINGAN BESERTA SIFAT/KARAKTERISTIKNYA PENGENALAN TEKNOLOGI SEJAK DINI DENGAN BELAJAR SAMBIL BERMAIN MELALUI SMARTPHONE PERBANDINGAN RASIO KOMPRESI PADA KOMPRESI CITRA DIGITAL BITMAP MENGGUNAKAN KOMBINASI METODE DISCRETE COSINE TRANSFORM DAN ARITHMETIC CODING DENGAN BERBAGAI DIMENSI CITRA SUMBER PENENTUAN HARGA DAN BATAS EKSEKUSI OPSI TIPE AMERIKA MODEL BLACK-SCHOLES MENGGUNAKAN FINITE ELEMENT METHODS (FEM) MT-163 MT-173 MT-185 MT-193 MT-205 MT-217 Yogyakarta, 10 November 2012

20 PENERAPAN MODEL REGRESI LINIER BAYESIAN UNTUK MENGESTIMASI PARAMETER DAN INTERVAL KREDIBEL Vania Mutiarani 1, Adi Setiawan 2, Hanna Arini Parhusip 3 1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2, 3 Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW S vania.mutiarani@yahoo.com, 2 adi_setia_03@yahoo.com, 3 hannaariniparhusip@yahoo.co.id Abstrak Dalam penelitian statistik, sering diselidiki hubungan antara dua atau lebih variabel, apakah ada hubungan sebab-akibat atau tidak. Pada paper ini, data yang diambil adalah data SUSENAS tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel n = 30 sehingga akan diselidiki hubungan antara pendapatan sebagai variabel Y dengan pengeluaran sebagai variabel X. Hubungan sebab-akibat tersebut dapat membentuk garis regresi berbentuk linier yang tidak dapat ditentukan secara tepat, sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Untuk mengestimasi parameter tersebut digunakan model regresi linier Bayesian yaitu dengan distribusi prior konjugat p β, ς 2 = p ς 2 p β ς 2 dengan p ς 2 ~Inv Gamma(a 0, b 0 ) dan p β ς 2 ~N(μ 0, ς 2 Λ 0 1 ) dan distribusi posterior p(β, ς 2 y, X) p ς 2 y, X p(β ς 2, y, X) dengan p ς 2 y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p(β ς 2, y, X)~N(μ n, ς 2 X T X + Λ 0 1 ). Kemudian dirancang rantai Markov dari distribusi posterior dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan diperoleh taksiran parameter yang merupakan rata-rata dari nilai Gibbs sampler yaitu ς 2 = , β 0 = dan β 1 = Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang telah didapatkan, dihasilkan fungsi densitas untuk masing-masing parameter sehingga interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) 95% untuk taksiran parameter ς 2 adalah ( , ), untuk β 0 yaitu (1.607, 2.601) dan (0.6282, ) untuk parameter β 1. Kata kunci: model regresi linier Bayesian, estimasi parameter, interval kredibel I. PENDAHULUAN I.1. Latar Belakang Dalam penelitian statistik, sering diselidiki hubungan antara dua atau lebih variabel, apakah ada hubungan sebab-akibat atau tidak. Analisis regresi linier adalah salah satu bagian dari statistik yang merupakan suatu analisis terhadap persamaan regresi dimana hubungan variabel independen dan dependen berbentuk garis lurus (Sembiring, 2003). Garis lurus tersebut disebut juga garis regresi yang tidak dapat ditentukan secara tepat, sehingga diperlukan taksiran parameter untuk model regresi linier. Metode yang biasa digunakan untuk mengestimasi parameter adalah metode kuadrat terkecil. Namun ada cara lain, yaitu menggunakan model regresi linier Bayesian. Dalam statistik, regresi linier Bayesian merupakan pendekatan untuk regresi linier dimana analisis statistik yang dilakukan dalam konteks inferensi Bayesian (Web 1). Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema Kontribusi Pendidikan Matematika dan Matematika dalam Membangun Karakter Guru dan Siswa" pada tanggal 10 November 2012 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

21 Untuk mendapatkan taksiran parameter, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior dengan bantuan Gibbs sampling. Interval kepercayaan adalah suatu kisaran nilai yang dianggap mengandung nilai parameter populasi yang sebenarnya (Fauzy, 2008). Interval kepercayaan dapat digunakan sebagai taksiran suatu parameter dan dapat pula dipandang sebagai pengujian hipotesis, yaitu apakah suatu parameter sama dengan suatu nilai tertentu (Sembiring, 2003). Dalam statistik Bayesian, interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) merupakan interval di dalam domain dari distribusi probabilitas posterior yang digunakan untuk penaksiran interval (Web 2). Dalam penelitian ini akan dijelaskan bagaimana penerapan model regresi linier Bayesian untuk mengestimasi parameter dan interval kepercayaan Bayesian (interval kredibel) dengan mengambil data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel n = 30. II. DASAR TEORI II.1. Regresi Linier Bayesian Dalam statistik, regresi linier Bayesian merupakan pendekatan untuk regresi linier dimana analisis statistik yang dilakukan dalam konteks inferensi Bayesian (Web 1). Saat model regresi memiliki error yang berdistribusi normal, dan jika bentuk khusus dari distribusi prior diasumsikan, hasil eksplisit tersedia untuk distribusi probabilitas posterior dari parameter model. II.2. Model Dalam konteks model regresi linier, y disebut sebagai variabel dependen, dan X variabel independen. Dalam notasi matriks, sistem ini dapat ditulis sebagai (Lancaster, 2003) y = Xβ + ε (1) dengan y adalah vektor kolom, untuk pengamatan i = 1,, n dipunyai nilai y; X adalah matriks n k, untuk j = 0,, k; β adalah vektor kolom dari turunan parsial k yaitu β j, dan vektor kolom ε berisi sebanyak n error sehingga y = y i = y 1 y 2 y n, X = β = β j = 1 x 11 x 12 x 1k 1 x 21 x 22 x 2k, 1 x n1 x n2 x nk β 0 β 1 β k, ε = ε i = ε 1 ε 2 ε n. Berdasar pada persamaan (1), model regresi linier dengan intersep dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai y = x i T β + ε i (2) Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 54

22 dengan vektor x T i merupakan tiap baris dari matriks X yang berdimensi n k. Pada 1 x 1 paper ini, k = 1 karena X hanya 1 variabel. Oleh karena itu, x T 1 x i = 1 x i = 2 1 x n untuk i = 1,, n dan vektor β = β 0 β 1 dan ε i saling bebas dan berdistribusi identik, yaitu normal dengan mean nol dan variansi ς 2, dinotasikan dengan ε i ~N 0, ς 2. Persamaan (2) dapat ditulis ulang menjadi : y i = 1 x i β 0 β 1 + ε i y i = β 0 + β 1 x i + ε i. (3) Persamaan (3) merupakan model regresi linier dengan intersep. Untuk memudahkan dalam penulisan, x T i selanjutnya ditulis sebagai X. Galat (error) ε i berdistribusi normal, sehingga y i X, β, ς 2 juga berdistribusi normal (Puspaningrum, 2008) dengan E y i = β 0 + β 1 x i dan V y i = ς 2. Jadi y i X, β, ς 2 ~N β 0 + β 1 x i, ς 2 dengan fungsi kepadatan probabilitas : p y i X, β, ς 2 = 1 2πς exp 1 2 y Xβ 2 2ς2 Kemudian fungsi likelihood didefinisikan sebagai : p y X, β, ς 2 = p y i X, β, ς 2 = n i=1 n i=1 1 2πς exp 1 2 2ς 2 y Xβ T y Xβ = ς 2 n/2 exp 1 2ς 2 y Xβ T y Xβ Jadi, fungsi likelihood : p y X, β, ς 2 ς 2 n/2 exp 1 2ς 2 y Xβ T y Xβ. (4) II.3. Distribusi Prior Konjugat Prior konjugat adalah suatu prior yang jika dikombinasikan dengan fungsi likelihood akan menghasilkan suatu posterior dengan distribusi yang sama dengan distribusi prior (Gelman, 2006). Karena log-likelihood kuadratik dalam β, log-likelihood ditulis ulang sedemikian rupa sehingga likelihood menjadi normal dalam (β β) dengan β = X T X 1 X T y. Ditulis y Χβ T y Χβ = y Χβ T y Χβ + β β T X T X (β β). Likelihood ditulis ulang menjadi p y X, β, ς 2 ς 2 v/2 exp vs2 2ς 2 ς 2 (n v)/2 exp 1 2ς 2 β β T X T X β β (5) Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 55

23 dengan vs 2 = y Χβ T y Χβ, dan v = n k, k merupakan jumlah koefisien regresi. Dilihat dari persamaan (5), hal ini menunjukkan suatu bentuk untuk prior : p β, ς 2 = p ς 2 p β ς 2 (6) dengan ς 2 berdistribusi Inv Gamma(a 0, b 0 ) dengan a 0 = v 0 /2 dan b 0 = v 0 s 0 2 dengan v 0 dan s 0 2 diperoleh dari informasi awal atau ditentukan secara subyektif. Kepadatan prior ditulis sebagai p ς 2 ς 2 v 0/2+1 exp v 0s 0 2 2ς 2. Lebih lanjut, prior bersyarat β ς 2 berdistribusi normal yang dinotasikan sebagai N(μ 0, ς 2 Λ 0 1 ) dengan μ 0 ditentukan secara subyektif, dan memiliki kepadatan prior bersyarat : p(β ς 2 ) ς 2 k/2 exp 1 2ς 2 β μ 0 T Λ 0 β μ 0. II.4. Distribusi Posterior Untuk menyatakan distribusi posterior, digunakan teorema Bayes yaitu dapat dinyatakan sebagai berikut (Lancaster, 2003) Posterior Likelihood Prior sehingga dengan likelihood (persamaan (4)) dan prior yang telah ditentukan pada persamaan (6), distribusi posterior dapat dinyatakan sebagai p(β, ς 2 y, X) p y X, β, ς 2 p ς 2 p(β ς 2 ) (7) ς 2 n/2 exp 1 2ς 2 y Χβ T y Χβ ς 2 a 0+1 exp b 0 2ς 2 ς 2 k/2 exp 1 β μ 2ς 2 0 T Λ 0 β μ 0. Dengan beberapa pengaturan ulang, posterior pada persamaan (7) dapat ditulis ulang sehingga mean posterior μ n dari vektor parameter β dapat dinyatakan dalam estimator kuadrat terkecil β dan mean prior μ 0 dengan kekuatan dari prior ditunjukkan oleh matriks prior presisi Λ 0 = 1/ς 2 μ n = X T X + Λ 1 0 (X T Xβ + Λ 0 μ 0 ). (8) Untuk membenarkan bahwa μ n memang mean posterior, istilah kuadrat dalam eksponensial dapat diatur kembali sebagai bentuk kuadrat dalam β μ n y Χβ T y Χβ + β μ T 0 Λ 0 β μ 0 = β μ T n X T X + Λ 0 β μ n + y T T y μ n X T X + Λ 0 μ n + μ T 0 Λ 0 μ 0. Selanjutnya, posterior dapat dinyatakan sebagai distribusi normal dikalikan dengan distribusi invers-gamma : p(β, ς 2 y, X) ς 2 k/2 exp 1 2ς 2 β μ n T X T X + Λ 0 β μ n ς 2 (n+v 0)/2 1 exp b 0 + y T y μ n T X T X + Λ 0 μ n + μ 0 T Λ 0 μ 0 2ς 2 Oleh karena itu, distribusi posterior dapat diparameterisasi sebagai berikut : p(β, ς 2 y, X) p(β ς 2, y, X)p ς 2 y, X (9) dengan kedua faktor sesuai dengan kepadatan dari distribusi N μ n, ς 2 X T X + Λ 0 1 dan Inv Gamma(a n, b n ) dengan parameternya diberikan oleh Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 56

24 Λ n = X T X + Λ 0, a n = 1 2 (n + v 0), b n = b (yt y + μ 0 T Λ 0 μ 0 μ n T Λ n μ n ). Berdasarkan parameter di atas, persamaan (8) diperbarui sesuai konteks Bayesian menjadi μ n = Λ n 1 X T Xβ + Λ 0 μ 0 = X T X + Λ 0 1 X T y + Λ 0 μ 0. (10) II.5. MCMC (Markov Chain Monte Carlo) Salah satu cara untuk merancang rantai Markov yaitu dari distribusi posterior dengan p ς 2 y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p β ς 2, y, X ~N μ n, ς 2 X T X + Λ 0 1 yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan rantai Markov oleh sampling dari distribusi bersyarat. Sebelumnya, disusun distribusi prior konjugat dengan p ς 2 ~Inv Gamma(a 0, b 0 ) dengan a 0 = v 0 /2 dan b 0 = v 0 s 0 2 dengan v 0 dan s 0 2 ditentukan secara subyektif dan p β ς 2 ~N(μ 0, ς 2 Λ 0 1 ) dengan μ 0 ditentukan secara subyektif dan prior presisi Λ 0 = 1/ς 2 dengan memilih nilai ς 2. Jika ς 2 ~Inv Gamma(a n, b n ), maka : ς 2 y, X~Inv Gamma 1 2 n + v 0, b yt y + μ 0 T Λ 0 μ 0 μ n T Λ n μ n (*) Jika β 0, β 1 ~BVN(μ 1, μ 2, ς 1 2, ς 2 2, ρ), (Bain et al., 1991) maka : 1. Distribusi dari β 0 bersyarat pada β 1 = β 1 0 β 0 β 1 0 ~N μ 1 + ρ ς 1 ς 2 β 1 0 μ 2, ς ρ 2. (**) 2. Distribusi dari β 1 bersyarat pada β 0 = β 0 0 β 1 β 0 0 ~N μ2 + ρ ς 2 ς 1 β 0 0 μ1, ς ρ 2, (***) Diberikan ς 2 dan vektor β yang tidak diketahui : β = (β 0, β 1 ) 1. Dipilih nilai awal ς 2(0), β 0 0, β Sampel ς 2(1) dari p ς 2(1) y, X sehingga ς 2(1) y, X memenuhi (*) Sampel β 0 1 dari p β0 1 ς 2 (1), β 1 0, y, X sehingga β0 1 ς 2 (1), β 1 0 memenuhi (**) Sampel β 1 1 dari p β1 1 ς 2 (1), β 0 1, y, X sehingga β1 1 ς 2 (1), β 0 1 memenuhi (***) 3. Langkah 2 diulangi sebanyak 1000 kali (untuk mendapat hasil yang lebih akurat, dilakukan iterasi sebanyak lebih dari 1000 kali) 4. Akhirnya didapatkan sampel dari p ς 2 y, X dan p(β ς 2, y, X) dalam bentuk rantai Markov. II.6. Interval Kredibel (Interval Kepercayaan Bayesian) Dalam statistik Bayesian, interval kredibel 1 α 100% merupakan interval di dalam domain dari distribusi probabilitas posterior yang digunakan untuk penaksiran interval (Web 2). Salah satu metode untuk mengestimasi interval kredibel yang paling mudah digunakan adalah interval kredibel dua ekor (Johnson, 2009). Interval kredibel dua ekor disusun dengan menemukan kuantil α/2 dan 1 α/2 dengan tingkat signifikansi α. Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 57

25 III. METODE PENELITIAN Data yang diambil dalam penelitian adalah data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel n = 30. Dalam melakukan perhitungan, digunakan alat bantu program WinBUGS Langkah-langkah penyelesaian untuk mengestimasi parameter dan interval kredibel menggunakan model regresi linier Bayesian sebagai berikut : 1. Merancang rantai Markov dari distribusi posterior p(β, ς 2 y, X) p ς 2 y, X p(β ς 2, y, X) dengan p ς 2 y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p(β ς 2, y, X)~N(μ n, ς 2 X T X + Λ 1 0 ) yaitu dengan Gibbs Sampling yang menghasilkan 3 rantai Markov dengan iterasi sebanyak 5000 yaitu untuk taksiran parameter ς 2, β 0 dan β Taksiran parameter ς 2, β 0 dan β 1 diperoleh dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler. 3. Dari nilai-nilai Gibbs sampler tersebut, dihasilkan fungsi densitas untuk ς 2 berdistribusi invers-gamma dan β 0, β 1 berdistribusi normal. 4. Mencari interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran parameter dengan tingkat signifikansi α = 0.05 berdasar pada fungsi densitas. IV. HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Data yang digunakan dalam penelitian merupakan nilai logaritma dari data asli dengan pendapatan sebagai variabel dependen y terhadap pengeluaran sebagai variabel independen X dengan pengamatan n = 30 dinyatakan pada Tabel 1. Tabel 1. Data Pendapatan dan Pengeluaran Y X log(y) log(x) ,6667 6,4322 5, , ,5269 6, ,667 6,7810 6, ,667 6,5254 6, , ,1542 5, ,8845 6, , ,667 6,7984 6, ,667 6,7745 6, ,333 6,7597 6, , ,3333 6,1217 5, , ,6667 6,2176 5, ,3333 6,0218 5, , ,333 6,8936 6, , ,3333 6,1663 5, ,5441 6, ,5378 6, , ,333 6,8039 6, , ,333 6,6685 6, , ,6969 6,5329 Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 58

26 ,8493 6, , ,7075 6, ,0881 5, , ,5207 6, , ,3872 6, ,6667 6,2504 5, , ,6187 6, , ,4854 6, ,333 6,4699 6, , ,6667 6,2078 5, , ,5259 6,1113 Diagram pencar data asli pada Tabel 1 ditampilkan oleh Gambar 1. 8 x Gambar 1. Diagram Pencar Data Asli Sedangkan diagram pencar untuk data logaritma dari data asli ditunjukkan oleh Gambar x Gambar 2. Diagram Pencar Data Logaritma Dari Data Asli Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 59

27 Dari Gambar 2 terlihat sebaran data cenderung berada di sekitar garis lurus maka dapat dikatakan hubungan antara kedua peubah tersebut membentuk pola linier. Karena data-data tersebut menunjukkan hubungan linier maka selanjutnya dapat ditentukan persamaan regresi dugaannya. Untuk mendapatkan taksiran β = (β 0, β 1 ) berdasarkan metode kuadrat terkecil, nilai-nilai log (X) dan log (Y) dimasukkan ke dalam persamaan β = X T X 1 X T y dengan X = [1; log X ] dan y = log (Y) sehingga diperoleh nilai β 0 = dan β 1 = Jadi persamaan garis regresi dugaan adalah y i = x i. Diagram pencar data dan persamaan garis regresi y i ditampilkan pada Gambar Gambar 3. Garis Regresi dengan Metode Kuadrat Terkecil Selanjutnya untuk mendapatkan estimasi parameter ς 2 dan β = (β 0, β 1 ) dengan model regresi linier Bayesian, dirancang rantai Markov dari distribusi posterior p(β, ς 2 y, X) p ς 2 y, X p(β ς 2, y, X) dengan p ς 2 y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p(β ς 2, y, X)~N(μ n, ς 2 X T X + Λ 0 1 ) yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. 1. Taksiran Parameter ς 2 dan Interval Kredibel ς 2 Dilakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi untuk mendapatkan taksiran parameter ς 2 yang berdistribusi Inv Gamma(a n, b n ) dengan memilih nilai awal ς 2 0 = 1. Kemudian dengan memotong 500 iterasi pertama, diperoleh hasil: node mean sd MC error 2.5% median 97.5% start sample sigma E Rantai Markov untuk taksiran parameter ς 2 sebagai berikut: Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 60

28 Gambar 9. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter ς 2 Gambar 9 menunjukkan nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 nilai yang membentuk rantai Markov. Dengan mencari rata-rata dari 4500 nilai Gibbs sampler tersebut, maka diperoleh hasil taksiran parameter ς 2 = berdasarkan nilai-nilai Gibbs sampler tersebut, dihasilkan fungsi densitas pada Gambar 10 sehingga interval kredibel 95% untuk taksiran ς 2 adalah ( , ). Gambar 10. Fungsi Densitas Parameter ς 2 2. Taksiran Parameter β 0 dan Interval Kredibel β 0 Dipilih nilai awal β 0 0 = 0. Dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan memotong 500 iterasi pertama untuk taksiran β 0 yang berdistribusi normal, didapatkan hasil: node mean sd MC error 2.5% median 97.5% start sample beta Rantai Markov untuk taksiran β 0 ditunjukkan pada gambar di bawah ini : Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 61

29 Gambar 4.Rantai Markov untuk Taksiran Parameter β 0 Berdasarkan Gambar 4, taksiran parameter β 0 didapat dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 dan menghasilkan nilai taksiran β 0 = Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang telah dihitung, menghasilkan fungsi densitas pada Gambar 5, sehingga diperoleh interval kredibel 95% yaitu (1.607, 2.601). Gambar 5. Fungsi Densitas Parameter β 0 3. Taksiran Parameter β 1 dan Interval Kredibel β 1 Untuk memperoleh taksiran parameter β 1 yang berdistribusi normal, dipilih nilai awal β 1 0 = 0 kemudian dengan melakukan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi dan memotong 500 iterasi pertama didapatkan hasil : node mean sd MC error 2.5% median 97.5% start sample beta E Rantai Markov untuk taksiran β 1 sebagai berikut: Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 62

30 Gambar 6. Rantai Markov untuk Taksiran Parameter β 1 Dengan mencari rata-rata dari nilai Gibbs sampler sebanyak 4500 iterasi yang ditunjukkan pada Gambar 6, didapat nilai taksiran β 1 = dan menghasilkan fungsi densitas pada Gambar 7. Jadi, interval kredibel 95% untuk parameter β 1 yaitu (0.6282, ). Gambar 7. Fungsi Densitas Parameter β 1 Selanjutnya, dengan estimasi parameter β = (2.101, 0.708) dibentuk persamaan garis regresi dugaan: y i = x i. Diagram pencar data dan persamaan garis regresi ditampilkan pada Gambar Gambar 8. Garis Regresi dengan Metode Bayesian Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 63

31 V. KESIMPULAN Dari hasil penelitian tentang data SUSENAS (Survey Sosial Ekonomi Nasional) tahun 2011 dari BPS Salatiga yaitu data logaritma dari data pendapatan dan pengeluaran masyarakat Salatiga dengan sampel n = 30 yang telah diperoleh pada pembahasan, dapat disimpulkan bahwa : - Untuk mendapatkan estimasi parameter ς 2, β 0, dan β 1 dirancang rantai Markov dari distribusi posterior p(β, ς 2 y, X) p ς 2 y, X p(β ς 2, y, X) dengan p ς 2 y, X ~Inv Gamma(a n, b n ) dan p(β ς 2, y, X)~N(μ n, ς 2 X T X + Λ 0 1 ) yaitu dengan Gibbs sampling sebanyak 5000 iterasi. Diperoleh nilai-nilai Gibbs sampler sebanyak 5000 (untuk masing-masing parameter), dan setelah dirata-rata, didapat nilai taksiran ς 2 = , β 0 = 2.101, dan β 1 = Dengan tingkat signifikansi α = 0.05, interval kredibel 95% untuk masing-masing taksiran ς 2, β 0, dan β 1 merupakan interval dimana terdapat taksiran parameternya. Dari nilai-nilai Gibbs sampler yang ada, dihasilkan fungsi densitas untuk ς 2 yang berdistribusi invers-gamma, sehingga diperoleh interval kredibel 95% yaitu ( , ). Sedangkan fungsi densitas untuk β 0 dan β 1 yang berdistribusi normal, diperoleh interval kredibel 95% yaitu (1.607, 2.601) untuk β 0 dan (0.6282, ) untuk β 1. VI. DAFTAR PUSTAKA Bain, Lee J. dan Engelhardt, Max Introduction To Probability and Mathematical Statistics Second Edition. USA : Duxbury. Fall, Roger Levy Lecture 6: Bayesian Parameter Estimation; Confidence Intervals (Bayesian and Frequentistic). Fauzy, Akhmad Statistik Industri. Jakarta : Erlangga. Gelman, Andrew Bayesian Analysis. Department of Statistics and Department of Political Science : Columbia University. Johnson, Matthew S Introduction to Bayesian Statistics with WinBUGS. New York : Columbia University. Lancaster, Tony An Introduction to Modern Bayesian Econometrics. Puspaningrum, Dessy Penerapan Metode Bayesian Untuk Mengestimasi Parameter Pada Model Regresi Linier Sederhana. UKSW : FSM. Sembiring, R. K Analisis Regresi Edisi Kedua. Bandung : ITB. Web 1 : Bayesian Linear Regression Diunduh pada 28 Agustus 2012 Web 2 : Credible Interval Diunduh pada 5 September 2012 Yogyakarta, 10 November 2012 MS - 64