MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM
|
|
- Devi Sumadi
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Materi Publikasi Karya Tulis MGMP Matematika Kabupaten Blitar Tahun 2014 MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM HALAMAN SAMPUL Oleh GUNAWAN SUSILO SMP NEGERI 1 GANDUSARI KABUPATEN BLITAR BLITAR PEBRUARI 2014
2 PENGESAHAN Yang bertanda tangan di bawah ini, mengesahkan karya tulis berjudul MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM Adalah karya tulis yang dibuat oleh Drs. Gunawan Susilo untuk dipublikasikan melalui MGMP Matematika Kabupaten Blitar di SMP Negeri Sanankulon Blitar pada hari Kamis, 27 Pebruari 2014 Blitar, 11 Pebruari 2014 Yang mengesahkan, Kepala SMP Negeri 1 Gandusari Blitar S A M U J I, S.Pd., M.M. NIP (ii)
3 SURAT PERNYATAAN INTEGRITAS AKADEMIS Saya, yang bertanda tangan di bawah ini: N a m a : Drs. Gunawan Susilo NIP : Pangkat/Golongan : Pembina/ IV a Unit Kerja : SMP Negeri 1 Gandusari - Blitar NUPTK : menyatakan dengan sebenarnya bahwa karya tulis yang berjudul: MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM 1. Karya tulis ini asli buatan saya sendiri dan bukan karya orang lain. 2. Ditulis pada tahun Belum pernah dipublikasikan di tingkat MGMP Kabupaten atau tingkat yang lebih tinggi. Apabila terbukti tidak sesuai dengan pernyataan tersebut di atas, saya bersedia menerima sanksi sesuai peraturan dan perundangan yang berlaku. Surat pernyataan ini saya buat secara sadar, sehat jasmani dan rohani. Mengetahui, Blitar, 11 Pebruari 2014 Kepala SMP Negeri 1 Gandusari Blitar Yang membuat pernyataan, Meterai Rp S A M U J I, S.Pd., M.M. Drs. GUNAWAN SUSILO NIP NIP (iii)
4 DAFTAR ISI HALAMAN SAMPUL... i PENGESAHAN... ii SURAT PERNYATAAN... iii DAFTAR ISI... iv ABSTRAK... 1 PENDAHULUAN... 2 BARISAN POLINOM... 3 INSPIRATOR... 3 KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM... 4 ALGORITMA MENENTUKAN RUMUS UMUM BARISAN POLINOM... 5 MENGEMBANGKAN ALGORITMA BARISAN POLINOM... 5 DERET POLINOM... 6 SISI LAIN KEINDAHAN SEGITIGA PASCAL... 7 KESIMPULAN... 8 DAFTAR PUSTAKA... 9 (iv)
5 ABSTRAK JUDUL : MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM BIDANG : MATEMATIKA NAMA : GUNAWAN SUSILO SEKOLAH : SMP NEGERI 1 GANDUSARI BLITAR KATA KUNCI : BARISAN POLINOM Barisan bilangan merupakan salah satu keindahan matematika. Barisan bilangan kadangkadang menyembunyikan keteraturan, sehingga membuat beberapa orang dapat memberikan penafsiran yang berbeda. Banyak ahli matematika lintas zaman telah mengemukakan berbagai alternatif bentuk umum barisan, diantaranya adalah barisan aritmatika, barisan geometri, barisan bilangan pada segitiga Pascal, dan banyak barisan lainnya. Diantara keagungan Tuhan yang telah dibuka untuk kita melalui ahli-ahli matematika, terdapat sebuah barisan yang mampu menawarkan alternatif banyak bentuk umum barisan bilangan yang diketahui beberapa suku awalnya, serta mampu menunjukan sisi lain dari keindahan dan kehebatan barisan bilangan segitiga Pascal. Barisan tersebut adalah barisan polinom. Melalui forum ini, forum publikasi MGMP Matematika Kabupaten Blitar Tahun 2014, penulis berusaha menyampaikan beberapa manfaat keistimewaan barisan polinom. Menurut pengetahuan penulis keberadaan konsep keistimewaan barisan polinom merupakan sesuatu yang baru terungkap dan perlu banyak waktu untuk menguji kebenarannya, maka penulis berharap, penerapan keistimewaan barisan polinom pada berbagai persoalan, termasuk menyingkap sisi lain keindahan segitiga pascal dapat mendorong guru matematika pada khususnya, dan pemerhati matematika umumnya agar ikut mencermati dan meluruskan konsep tersebut. (1)
6 PENDAHULUAN Konsep polinom merupakan konsep yang telah cukup tua berkembang dan telah banyak digunakan zaman untuk memecahkan berbagai persoalan. Dengan membangun barisan yang dibangkitkan dengan fungsi polinom, penulis, telah menyampaikan keistimewaan barisan polinom melalui makalah dengan tajuk Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom, dan dipublikasikan melalui seminar secara parallel di Universitas Negeri Malang bulan Juni tahun Bulan Juli 2009, penulis, menyampaikan makalah dengan tajuk Algoritma Menentukan Rumus Umum Deret Polinom, dan dipublikasikan melalui seminar parallel di Universitas Negeri Surabaya, dalam tulisan tersebut dapat dilihat sisi lain keindahan dan kehebatan segitiga Pascal. Keistimewaan barisan polinom ternyata dapat membantu menyederhanakan beberapa penyelesaian persoalan matematika, sehingga dimungkinkan lebih mudah dimanfaatkan oleh pengguna matematika, termasuk anak didik kita. Keistimewaan barisan polinom ternyata dapat menjadi pelengkap pengetahuan kita agar lebih berhati-hati dalam menentukan rumus umum sebuah barisan, terutama saat-saat memberikan bekal bagi anak didik. Penulis berharap, forum MGMP Matematika di Kabupaten Blitar dapat ikut serta menelaah keberadaan konsep tersebut agar dapat memanfaatkan dengan tepat, khususnya bagi kepentingan anak didik. (2)
7 BARISAN POLINOM Barisan Polinom merupakan barisan yang dibangun menggunakan nilai fungsi polinom dengan domain bilangan asli. Jika f(x) merupakan fungsi polinom dan x berupa bilangan asli maka nilai f dapat membentuk barisan sesuai urutan nilai domainnya sebagai berikut: f(1), f(2),f(3),, f(n),f(n 1), artinya, U 1 = f(1), U 2 = f(2),, U n = f(n), U n+1 = f(n+1). INSPIRATOR Kalkulus merupakan sumber inspirasi penulis mengkaji keberadaan barisan polinom. Berawal dari definisi turunan dalam kalkulus yang dinyatakan dalam bentuk, f '( x) lim x 0 f ( x x) x f ( x) untuk turunan fungsi-fungsi polinom menunjukkan pengurangan derajat fungsi tersebut, misalnya: Jika, f ( x) 5x 3 2x 2 10 maka turunan pertamanya, ' f ( x) 2 15x 4x sedangkan turunan keduanya adalah, f '' ( x) 30x 4 turunan ketiganya adalah, f ''' ( x) 30 untuk turunan keempat dan seterusnya adalah nol. Contoh diatas memberikan beberapa fakta yang menarik untuk kita amati diantaranya adalah: 1. Turunan ketiga memberikan fungsi konstan. Benarkah itu pasti terjadi saat 3 2 turunan ke derajat fungsi induknya ( f ( x) 5x 2x 10)? (3)
8 2. Fungsi konstanta pertama yang dihasilkan pada turunan ketiga yaitu 30 atau 5 dikali 3! ( tiga factorial). Benarkah nilai konstanta turunan ketiga merupakan hasil kali koefisien suku pangkat tertinggi dari fungsi induknya dengan derajat faktorial fungsi induknya? 3. Apakah dapat dipastikan apabila derajat fungsi induk dan koefisien suku pangkat tertinggi fungsi induk diketahui maka posisi fungsi turunannya yang pertama kali berupa fungsi konstan dapat diketahui? Fakta-fakta tersebut membawa penulis untuk mencoba menganalisa barisan yang dibangun dari fungsi polinom, menggunakan prinsip defferensial. Prinsip yang digunakan penulis adalah dengan membentuk barisan selisih suku dengan mengambil konsep turunan, tetapi dalam bentuk, U [1] n Un 1 Un lim, dengan U n f (n) dan U n 1 f ( n 1). x 1 x Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi, [1] Un Un 1 U n dan selanjutnya disebut barisan pengurangan suku generasi pertama dari U n. KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM Dalam makalah Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom, jika diambil U n sebuah fungsi polinom berderajat i dengan bentuk, U n f ( n) i k 0 a n k k maka diperoleh keistimewaan berikut: 1. Barisan pengurangan suku generasi pertama derajatnya satu lebih rendah dari barisan induknya. 2. Koefisien suku pangkat tertinggi dari barisan pengurangan suku generasi pertama sama dengan koefisien suku pangkat tertinggi barisan induknya dikali dengan derajat barisan induknya. (4)
9 ALGORITMA MENENTUKAN RUMUS UMUM BARISAN POLINOM Dengan mengambil, dan memanfaatkan keistimewaan barisan polinom, penulis, dalam makalah Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom telah menyusun algoritma menentukan kemungkinan rumus umum barisan polinom sebagai berikut: 1. Periksa barisan (barisan utama) tersebut, apakah barisan konstanta? a. Jika barisan konstanta lanjutkan ke langkah terakhir. b. Jika bukan, buat barisan selisih suku sampai generasi yang menghasilkan barisan konstanta paling awal. 2. Misal: q merupakan generasi barisan suku paling akhir, dan p salah satu suku pada barisan selisih suku paling akhir. Maka barisan bilangan utama kemungkinan mengandung suku polinom pn q, dengan q! = 1x2x x q q! 3. Hapus elemen suku yang diperoleh pada langkah 2 (kedua) dari barisan utama dengan mengurangi masing-masing suku barisan utama menggunakan nilai suku polinom yang diperoleh. Barisan baru gunakan sebagai barisan utama dan menuju langkah pertama. 4. Rumus umum yang mungkin adalah jumlah semua suku yang diperoleh dari langkah 3 (ketiga) dan salah satu suku barisan baru yang terakhir. MENGEMBANGKAN ALGORITMA BARISAN POLINOM Keistimewaan barisan pengurangan suku diatas ternyata dapat menghilangkan (mengeleminir) nilai-nilai yang dihasilkan oleh suku-suku polinom, sampai tinggal barisan konstanta. Artinya barisan pengurangan suku yang dibentuk berikutnya tidak lagi memuat nilai-nilai yang dihasilkan oleh komponen fungsi polinom yang terkandung dalam barisan tersebut. Dalam makalah Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom, penulis memanfaatkan sifat barisan geometri, sehingga dapat menyusun algoritma sebagai berikut, 1. Jika barisan berupa barisan konstanta menujulah ke langkah Periksa rasio barisan a. Jika sama menujulah ke langkah ke 3. b. Jika tidak sama, carilah buat barisan selisih suku sampai mendapat barisan selisih suku yang memungkinkan mempunyai rasio sama. 3. Jika rasio barisan yang terbentuk r, dan melakukan langkah generasi barisan selisih suku k, dan q sebagai suku pertama barisan selisih suku terakhir maka barisan utama kemungkinan mengandung suku eksponen. 4. Hapus elemen yang diperoleh dari langkah Barisan baru tinggal barisan polinom sehingga dapat digali semua sukunya menggunakan algoritma sebelumnya. (5)
10 DERET POLINOM Jika U n merupakan barisan polinom maka bentuk umum dari deret polinom tersebut dapat dinyatakan dengan bentuk: Sn U1 U 2 U3... U n 1 dengan menggunakan S n dapat dibentuk barisan, U n sehingga, S 1, S 2,, S n-1, S n U n = S n S n-1 Ungkapan terakhir menunjukkan U n sebagai barisan pengurangan suku generasi pertama dari barisan S n. Apabila U n sebagai barisan polinom berderajat i-1 maka S n dimungkinkan juga berupa barisan polinom dengan derajad i. Dalam makalah Algoritma Menentukan Rumus Umum Deret Polinom, penulis berhasil menunjukkan adanya kesesuaian bentuk segitiga pascal yang dimodifikasi untuk mempermudah menentukan rumus umum dari S n. Prosedure modifikasi segitiga pascal dan proses menentukan S n dinyatakan dalam bentuk algoritma sebagai berikut: 1. Jika barisan Polinom dengan rumus umum (Polinom berderajad i-1) dinyatakan dalam bentuk U n = a o + a 1 n + a 2 n a i-2 n i-2 + a i-1 n i-1 maka dimungkinkan rumus umum deret barisan tersebut adalah S n = A 1 n + A 2 n 2 + A 3 n A i-1 n i-1 + A i n i 2. Buat segitiga Pascal sampai pangkat i, hapus dua kolom paling kanan dan tandai bilangan-bilangan pada masing-masing baris dari kanan ke kiri dengan positip (+) diikuti negatif (-) secara bergantian, seperti berikut (-1) i-1 i-1c 0 (-1) i-2 i-1c 1 (-1) i-3 i-1c 2. i-1c i-3 i-1 1 (-1) i ic 0 (-1) i-1 ic 1 (-1) i-2 ic 2. - i C i-3 ic i-2 i 1 3. Berlaku persamaan, i.a i = a i-1 (i-1).a i-1 = a i-2 + A i ( i C i-2 ) (i-2).a i-2 = a i-3 + A i-1 ( i-1 C i-3 ) - i C i A 3 = a 2 + 6A 4 10A A i (-1) i-2 ic 2 2A 2 = a 1 + 3A 3 4A i.a i (-1) i-1 A 1 = a 0 + A 2 A 3 + A A i (-1) i (6)
11 SISI LAIN KEINDAHAN SEGITIGA PASCAL. Algoritma menentukan rumus umum deret polinom yang penulis kemukakan diatas menunjukan bahwa peran barisan segitiga pascal sangatlah besar. Sebagai contoh penulis mencoba menentukan rumus umum deret polinom dengan suku ke-n, U n = 12n 5 16n 3 9n menggunakan bantuan barisan segitiga pascal yang termodifikasi sebagai berikut: U n = 12n 5 16n 3 9n maka nilai a o = 4, a 1 = 0, a 2 = -9, a 3 = -16, a 4 = 0, dan a 5 = 12. U n merupakan polinom berderajad 5 maka rumus umum deret yang dibentuk oleh barisan tersebut merupakan polinom berderajad 6, misal dalam bentuk S n = A 1 n + A 2 n 2 + A 3 n 3 + A 4 n 4 + A 5 n 5 + A 6 n 6. Kita buat segitiga pascal yang termodifikasi sampai pangkat 6 seperti berikut: Berlaku: o 6A 6 = a 5 = 12 A 6 = 2 o 5A 5 = a 4 +(15)A 6 = 0+(15)(2) = 30 A 5 = 6 o 4A 4 = a 3 +(10)A 5 +(-20)A 6 = -16+(10)(6)+(-20)(2) = 4 A 4 = 1 o 3A 3 = a 2 +(6)A 4 +(-10)A 5 +(15)A 6 = -9+(6)(1)+(-10)(6)+(15)(2)=-33 A 3 = -11 o o Jadi, 2A 2 = a 1 +(3)A 3 +(-4)A 4 +(5)A 5 +(-6)A 6 =0+(3)(-11)+(-4)(1)+(5)(6)+(-6)(2) A 2 = 9½ A 1 = a o +(1)A 2 +(-1)A 3 +(1)A 4 +(-1)A 5 +(1)A 6 = 4 9½ = 2½ S n = 2n 6 + 6n 5 + n 4 11n 3 + 9½ n 2 + 2½ n (7)
12 KESIMPULAN Berdasarkan uraian diatas maka penulis menyimpulkan, 1. Barisan polinom mempunyai keistimewaan yang dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan beberapa persoalan matematika dengan cukup sederhana. 2. Kesederhanaan penggunaan sifat keistimewaan barisan polinom kiranya pantas dipertimbangkan untuk dijadikan tambahan pengetahuan bagi masyarakat umumnya, dan anak didik kita khususnya. 3. Keistimewaan barisan polinom dapat menggali lebih lengkap tentang sisi lain kehebatan barisan bilangan segitiga pascal untuk membantu menentukan rumus umum deret polinom yang diketahui rumus umum sukunya. tetapi keistimewaan barisan polinom masih tergolong pengetahuan yang masih muda (mulai dipulikasikan penulis tahun 2009), maka sangatlah perlu diteliti dan dianalisa, bahkan mungkin disempurnakan agar pengetahuan tersebut benar-benar dapat dimanfaatkan dengan tanpa keraguan, (8)
13 DAFTAR PUSTAKA Sudirham, Sudaryanto, Diferensiasi, Bahan Kuliah terbuka format Pdf: Susilo, Gunawan, Algoritma Menentukan Rumus Umum Barisan Polinom, Makalah Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Malang, Juni Susilo, Gunawan, Algoritma Menentukan Rumus Umum Deret Polinom, Makalah Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika Universitas Negeri Surabaya, Juli (9)
14 DAFTAR HADIR PESERTA PUBLIKASI ILMIAH PEMBICARA: Drs. GUNAWAN SUSILO (GURU SMP N 1 GANDUSARI BLITAR) HARI KAMIS, 27 PEBRUARI 2014 DI SMP N SANANKULON BLITAR JUDUL KARYA TULIS: MEMANFAATKAN KEISTIMEWAAN BARISAN POLINOM NO NAMA UNIT KERJA TANDA TANGAN
15 NO NAMA UNIT KERJA TANDA TANGAN Mengetahui, Blitar, 27 Pebruari 2014 Kepala SMP Negeri Sanankulon Blitar Ketua MGMP Matematika Kab. Blitar SUGIANTO, S.Pd., M.M. WARMAN, M.Pd., MA NIP NIP
16
BY : DRS. ABD. SALAM, MM
BY : DRS. ABD. SALAM, MM Page 1 of 26 KOMPETENSI DASAR Pola Barisan dan Deret Bilangan a. Tujuan Setelah mempelajari uraian kompetensi dasar ini, anda dapat: Menunjukkan pola bilangan dari suatu barisan
Lebih terperinciLKS I. Jumlah barsel suku yang terbentuk... yaitu barsel suku ke... Nilai salah satu suku konstanta adalah...
LKS I 1. Buat enam suku pertama dari masing-masing barisan dengan menggunakan rumus umum suku masing-masing. 2. Amati masing-masing barisan, jika barisan bukan barisan bilangan konstanta buatlah barisan
Lebih terperinciAntiremed Kelas 09 Matematika
Antiremed Kelas 09 Matematika Deret Bilangan - Latihan Soal Doc. Name: AR09MAT0613 Version: 2013-10 halaman 1 01a Berapakah nilai deret aritmatika di bawah (A) 1 + 2 + 3 + 4 + + 100 01b Berapakah nilai
Lebih terperinciBILANGAN BERPANGKAT. Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka a n adalah
BILANGAN BERPANGKAT Jika a bilangan real dan n bilangan bulat positif, maka a n adalah perkalian a sebanyak n faktor. Bilangan berpangkat, a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat atau eksponen.
Lebih terperinciPada barisan bilangan 2, 7, 12, 17,., b = 7 2 = 12 7 = = 5. Pada barisan bilangan 3, 7, 11, 15,., b = 7 3 = 11 7 = = 4
Materi : Barisan Bilangan Perhatikan urutan bilangan-bilangan berikut ini a. 1, 5, 9, 13,. b. 15, 1, 9, 6,. c., 6, 18, 54,. d. 3, 16, 8, 4,. Tiap-tiap urutan di atas mempunyai aturan/pola tertentu, misalnya
Lebih terperinciMATEMATIKA SEKOLAH 2. MENENTUKAN POLA BARISAN BILANGAN & SUKU KE-n. Oleh : Novi Diah Wayuni ( ) Riswoto ( )
MATEMATIKA SEKOLAH 2 MENENTUKAN POLA BARISAN BILANGAN & SUKU KE-n Oleh : Novi Diah Wayuni ( 1001060083) Riswoto ( 1001060085 ) A. Menentukan Pola barisan bilangan Sederhana B. Menentukan suku ke-n barisan
Lebih terperinciMATEMATIKA SEKOLAH 2
MATEMATIKA SEKOLAH 2 Menentukan pola barisan bilangan sederhana Menentukan suku ke-n barisan aritmetika dan barisan geometri Disusun oleh : Novi Diah Wahyuni 1001060083 Riswoto 1001060085 PROGRAM STUDI
Lebih terperinciBAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar
BAB 5 Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar Untuk materi ini mempunyai 3 Kompetensi Dasar yaitu: Kompetensi Dasar : 1. Mengidentifikasi sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar 2. Melakukan operasi
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP Pola Barisan Bilangan
BARISAN DAN DERET Drs. CARNOTO, M.Pd. NIP. 19640121 199010 1 001 Pola Barisan Bilangan Beberapa urutan bilangan yang sering kita pergunakan mempunyai pola tertentu. Pola ini Sering digunakan untuk menentukan
Lebih terperinciPROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATIKA Kelas : VIII ( Delapan ) Tahun Pelajaran : 2013 / 2014
PROGRAM TAHUNAN MATA PELAJARAN : MATEMATKA Kelas : V ( Delapan ) Tahun Pelajaran : 2013 / 2014 Semester Standar Kompetensi Aljabar 1. Memahami bentuk aljabar, relasi, fungsi dan persamaan garis lurus 1.1
Lebih terperinciB. POLA BILANGAN 1. Pengertian pola bilangan Pola bilangan adalah aturan terbentuknya sebuah kelompok bilangan.
A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET 1. Pengertian barisan bilangan Barisan bilangan adalah urutan suatu bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Contoh barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8,... 2. Pengertian
Lebih terperinciMemahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan
4 BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA JUMLAH PERTEMUAN : 5 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami definisi barisan tak hingga dan deret tak hingga, dan juga dapat menentukan kekonvergenan
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. A. Pola Bilangan
BARISAN DAN DERET A. Pola Bilangan Perhatikan deretan bilangan-bilangan berikut: a. 1 2 3... b. 4 9 16... c. 31 40 21 30 16... Deretan bilangan di atas mempunyai pola tertentu. Dapatkah anda menentukan
Lebih terperinciCONTOH SOAL UAN BARIS DAN DERET
CONTOH SOAL UAN BARIS DAN DERET 1. Dari suatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Jumlah sepuluh suku pertama deret tersebut adalah. a. 840 b. 660 c. 640
Lebih terperinciDiusulkan oleh: Nama : Pita Suci Rahayu Nim : Kelas/Semester: C/1
Diusulkan oleh: Nama : Pita Suci Rahayu Nim : 1384202092 Kelas/Semester: C/1 BARISAN DAN DERET Barisan bilangan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan/pola tertentu yang dihubungkan
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET Jenis-jenis barisan dan deret yang sering diujikan adalah soal-soal tentang :
BARISAN DAN DERET Jenis-jenis barisan dan deret yang sering diujikan adalah soal-soal tentang : 1. Barisan dan deret aritmatika 2. Barisan dan deret geometri 3. Sisipan SOAL DAN PEMBAHASAN 14.1 Soal dan
Lebih terperinciPola dan Barisan Bilangan
Pola dan Barisan Bilangan Pola dan barisan bilangan meliputi pola bilangan dan barisan bilangan Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola tertentu Misalnya pada kalender terdapat
Lebih terperinciMATEMATIKA BISNIS DERET. Muhammad Kahfi, MSM. Modul ke: Fakultas Ekonomi Bisnis. Program Studi Manajemen
MATEMATIKA BISNIS Modul ke: DERET Fakultas Ekonomi Bisnis Muhammad Kahfi, MSM Program Studi Manajemen http://www.mercubuana.ac.id Konsep Barisan (sequence) adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut
Lebih terperinciDERET TAK HINGGA. Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan. Definisi Deret tak hingga,
DERET TAK HINGGA Contoh deret tak hingga :,,, atau. Barisan jumlah parsial, dengan Definisi Deret tak hingga,, konvergen dan mempunyai jumlah S, apabila barisan jumlah jumlah parsial konvergen menuju S.
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN Mata Pelajaran : Matematika Kelas/ Semester: XI Program IPA/2 Alokasi Waktu: 8 jam Pelajaran (4 Pertemuan) A. Standar Kompetensi Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian
Lebih terperinciHendra Gunawan. 26 Februari 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 26 Februari 2014 9.6 Deret Pangkat Kuliah yang Lalu Menentukan selang kekonvergenan deret pangkat 9.7 Operasi pada Deret Pangkat Mlkk Melakukan
Lebih terperinciUJI KONVERGENSI. Januari Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK
UJI KONVERGENSI Januari 208 Tim Dosen Kalkulus 2 TPB ITK Uji Integral Teorema 3 Jika + k= u k adalah deret dengan suku-suku tak negatif, dan jika ada suatu konstanta M sedemikian hingga s n = u + u 2 +
Lebih terperinciPOLINOM (SUKU BANYAK) Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah.
POLINOM (SUKU BANYAK) Standar Kompetensi: Menggunakan aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Kompetensi Dasar: 1. Menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk menentukan hasil bagi dan sisa
Lebih terperinciMAKALAH BARISAN DAN DERET TAK HINGGA. Diajukan Untuk Memenuhi Tugas. Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika SMA DOSEN PENGAMPU :
MAKALAH BARISAN DAN DERET TAK HINGGA Diajukan Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kapita Selekta Matematika SMA DOSEN PENGAMPU : AMALIA ITSNA YUNITA, S.Si, M.Pd. Disusun Oleh:. Siti Khumaidatuz Zahro (7046309).
Lebih terperinciTim Penulis BUKU SISWA
Tim Penulis BUKU SISWA ii Buku Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK Kelas X Anak-anak kami, Generasi Muda harapan bangsa... Sesungguhnya, kami gurumu punya cita-cita dan harapan dari hasil belajar Kamu. Kami
Lebih terperinciNAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA BARISAN DAN DERET 1. Beda Barisan Aritmatika. b =.. RUMUS SUKU KE N: King s Learning Be Smart Without Limits
NAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA BARISAN DAN DERET 1 A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan bilangan adalah kelompok bilangan yang tersusun menurut aturan (pola) tertentu. Deret bilangan adalah penjumlahan
Lebih terperinci1) Perhatikan bentuk di bawah: U 1 U 2 U 3 U 4 U n 2, 5, 8, 11, dengan: U 3 = suku
NAMA : KELAS : LEMBAR AKTIVITAS SISWA BARISAN DAN DERET 1 A. PENGERTIAN BARISAN DAN DERET Barisan bilangan adalah kelompok bilangan yang tersusun menurut aturan (pola) tertentu. Deret bilangan adalah penjumlahan
Lebih terperinciPERANGKAT PEMBELAJARAN (PBM)
PERANGKAT PEMBELAJARAN (PBM) TAHUN PELAJARAN 01 013 MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS IX GURU MATA PELAJARAN : GUNAWAN SUSILO NIP. : 19640805 199903 1 004 GANDUSARI, JULI 01 Perangkat 01-013 Halaman 1 SILABUS
Lebih terperinciPertemuan ke-10: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR
Pertemuan ke-0: UJI PERBANDINGAN, DERET BERGANTI TANDA, KEKONVERGENAN MUTLAK, UJI RASIO, DAN UJI AKAR Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 205 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus II Bogor, 205
Lebih terperinciMATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri
MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN
Lebih terperinci2. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a -4 dan a x. Jika suku kedelapan adalah a 52, maka berapa nilai x?
1. Jika Un suku ke-n dari sutu deret geometri dengan U 1 = x 1/3 dan U 2 = x 1/2, maka suku ke lima dari deret tersebut adalah r = U 2/U 1 = x 1/2 : x 1/3 = x (1/2-1/3) = x 1/6 U 5 = a. (r)4 U 5 = x 1/3.
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Matematika Dasar
BARISAN DAN DERET 8.1 BARISAN BILANGAN A. Mengenal pengertian barisan suatu bilangan Perhatikan ilustrasi berikut! Seorang karyawan pada awalnya memperoleh gaji sebesar Rp.600.000,00. Selanjutnya, setiap
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG
BARISAN DAN DERET AFLICH YUSNITA F, M.Pd. STKIP SILIWANGI BANDUNG . Pola Bilangan Adalah: susunan bilangan yang memiliki aturan atau pola tertentu Contoh:,,,4,5 mempunyai pola bilangan ditambah satu dari
Lebih terperinciKARTU SOAL URAIAN. KOMPETENSI DASAR (KD): 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmatika dan geometri
. Siswa dapat menentukan suku pertama, beda/rasio, rumus suku ke-n dan suku ke-n, jika diberikan barisan bilangannya NO. SOAL: 31 Tentukan suku pertama, beda atau rasio, rumus suku ke-n, dan suku ke-10
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Deret Tak Terhingga. Ayundyah. Barisan Tak Hingga. Deret Tak Terhingga
Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Akar Barisan a 1, a 2, a 3, a 4,... adalah susunan bilangan-bilangan real yang teratur, satu untuk setiap bilangan bulat positif. adalah fungsi yang
Lebih terperinciSILABUS. 5. Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Sekolah : SILABUS Kelas Mata Pelajaran Semester : IX : Matematika : II(dua) Standar Kompetensi : BILANGAN 5. Memahami sifat-sifat berpangkat dan bentuk serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Lebih terperinciKARTU SOAL PILIHAN GANDA
4. Menggunakan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah 4.1 Menentukan suku ke-n barisan dan jumlah n suku deret aritmetika dan geometri Barisan dan deret aritmatika Siswa dapat menentukan nilai
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN K13 A. PERSAMAAN EKSPONEN BERBASIS KONSTANTA
K1 Kelas X matematika PEMINATAN PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN EKSPONEN TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami bentuk-bentuk persamaan
Lebih terperinciSistem Bilangan Riil. Pendahuluan
Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Lebih terperinciNama:... Kelas/Kelompok :... Tanggal:... Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil
6.1 61 Nama:... Kelas/Kelompok :... Tanggal:... Pola Bilangan Genap dan Bilangan Ganjil 1. Sebelum kita belajar lebih jauh, untuk mendalami pola bilangan lakukan kegiatan berikut ini. Bahan : Satu lembar
Lebih terperinciRangkuman Suku Banyak
Rangkuman Suku Banyak Oleh: Novi Hartini Pengertian Suku banyak Perhatikan bentuk aljabar dibawah ini i. Suku banyak xx 2 + 4xx + 9 berderajat 2, sebab pangkat tertinggi peubah x adalah 2 ii. Suku banyak
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Bab. Pola Bilangan Beda Rasio Suku Jumlah n suku pertama A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Barisan dan Deret A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu:. menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggungjawab,
Lebih terperinciRingkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB 1
Ringkasan Kalkulus 2, Untuk dipakai di ITB Deret Tak Hingga Pada bagian ini akan dibicarakan penjumlahan berbentuk a +a 2 + +a n + dengan a n R Sebelumnya akan dibahas terlebih dahulu pengertian barisan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS
Modul Mata Kuliah MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS WIJAYA PUTRA SURABAYA 014/015 Erik Valentino, S.Pd., M.Pd DAFTAR ISI BAB I Barisan dan Deret... BAB II Fungsi... 10 BAB III
Lebih terperinciSri Purwaningsih. Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS. Program Studi Manajemen dan Akuntansi.
Modul ke: Fakultas EKONOMI BISNIS MATEMATIKA BISNIS Sesi 2 ini akan membahasteori Deret Hiutung dan Deret Ukur pada Matematika Bisnis sehingga Mahasiswa mempunyai dasar yang kuat untuk melakukan pengukuran
Lebih terperinciPOLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN SERTA BUNGA. VENY TRIYANA ANDIKA SARI, M.Pd.
POLA, BARISAN DAN DERET BILANGAN SERTA BUNGA VENY TRIYANA ANDIKA SARI, M.Pd. POLA BILANGAN PENGERTIAN Pola bilangan adalah aturan yang digunakan untuk membentuk kelompok bilangan Contoh : 1, 3, 6, 10,...
Lebih terperinciCatatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I
Catatan Kuliah MA1123 Kalkulus Elementer I Oleh Hendra Gunawan, Ph.D. Departemen Matematika ITB Sasaran Belajar Setelah mempelajari materi Kalkulus Elementer I, mahasiswa diharapkan memiliki (terutama):
Lebih terperinciMATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN
MATRIKS SATUAN ACARA PERKULIAHAN Mata Kuliah Jurusan SKS Kode M. Kuliah : Kalkulus IA : Teknik Elektro : 2 SKS : KD-0420 Minggu ke Pokok Bahasan dan TIU Sub Pokok Bahasan dan Sasaran Belajar Cara Pengajaran
Lebih terperinciMatematika Bahan Ajar & LKS
Matematika Bahan Ajar & LKS Pola Bilangan, Barisan & Deret = + ( 1) Un = ar^(n-1) Nama : NIS : Kelas : Sekolah : Pengantar Bahan ajar ini sekaligus merupakan Lembar Kerja Siswa. Untuk mempelajarinya, Anda
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA INDUKSI MATEMATIKA Latihan 1 1. A. NOTASI SIGMA 1. Pengertian Notasi Sigma Misalkan jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah S n = U 1 + U 2 + U 3 + + U
Lebih terperinciSistem Bilangan Real. Pendahuluan
Sistem Bilangan Real Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan real dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan real adalah himpunan bilangan real yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Lebih terperinciTEKNIK MEMBILANG. b T U V W
TEKNIK MEMBILANG Berikut ini teknik-teknik (cara-cara) membilang atau menghitung banyaknya anggota ruang sampel dari suatu eksperimen tanpa harus mendaftar seluruh anggota ruang sampel tersebut. A. Prinsip
Lebih terperinciSILABUS PEMBELAJARAN
SILABUS PEMBELAJARAN Sekolah :... Kelas : IX (Sembilan) Mata Pelajaran : Matematika Semester : II (dua) BILANGAN Standar :. Memahami sifat-sifat dan bentuk serta penggunaannya dalam pemecahan masalah sederhana
Lebih terperinciBab 6. Barisan dan Deret. Standar Kompetensi
Bab 6 Barisan dan Deret Standar Kompetensi Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana Kompetensi Dasar 6.1 Menentukan pola barisan bilangan
Lebih terperinciMATERI POLA BILANGAN Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMP 1 Dosen Pengampu : Koryna Aviory, S.Si., M.Pd
MATERI POLA BILANGAN Disusun Untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Kajian Matematika SMP 1 Dosen Pengampu : Koryna Aviory, S.Si., M.Pd Disusun Oleh : Kelas III A4 14144100140 Rina Andriyani PROGRAM STUDI PENDIDIKAN
Lebih terperinciBARIS DAN DERET P R O F I L. Pola dan Barisan Bilangan. Barisan Arimatika dan Barisan Geometri. Deret Aritmetika dan Deret Geometri.
BARIS DAN DERET Pola dan Barisan Bilangan P R O F I L Barisan Arimatika dan Barisan Geometri Deret Aritmetika dan Deret Geometri Sifat-sifat Deret POLA DAN BARISAN BILANGAN Pola Bilangan Pola bilangan
Lebih terperinciSILABUS MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS XII - IA SEMESTER 1 (SATU) Oleh TIM MATEMATIKA SMA NEGERI 3 MEDAN
SILABUS MATA PELAJARAN MATEMATIKA KELAS XII - IA SEMESTER 1 (SATU) Oleh TIM MATEMATIKA SMA NEGERI 3 MEDAN DINAS PENDIDIKAN KOTA MEDAN SEKOLAH MENENGAH ATAS NEGERI 3 MEDAN 2010 SILABUS Nama Sekolah : SMA
Lebih terperinciFUNGSI dan LIMIT. 1.1 Fungsi dan Grafiknya
FUNGSI dan LIMIT 1.1 Fungsi dan Grafiknya Fungsi : suatu aturan yang menghubungkan setiap elemen suatu himpunan pertama (daerah asal) tepat kepada satu elemen himpunan kedua (daerah hasil) fungsi Daerah
Lebih terperinciMatematika Dasar : BARISAN DAN DERET
Matematika Dasar : BARISAN DAN DERET. Suku ke-n pada barisan, 6, 0, 4, bisa dinyatakan dengan (A) Un = n (B) Un = 6n 4 (C) Un = 4n + (D) Un = 4n (E) Un = n + 4. Suku ke-5 pada barisan, 0, 7, 4,.. (A) 65
Lebih terperinciSILABUS. 1. Memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah
Sekolah : MTs NEGERI MODEL PANDEGLANG 1 Kelas : IX Mata Pelajaran : Matematika Semester : I(satu) SILABUS Standar : GEOMETRI DAN PENGUKURAN 1. Memahami kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam
Lebih terperinciPEMETAAN STANDAR ISI (SK-KD)
PEMETAAN STANDAR ISI (SK-KD) MATA PELAJARAN : MATEMATIKA KELAS/SEMESTER : XII IPA / 1 SK KD THP INDIKATOR THP MATERI PEMBELAJARAN RUANG LINGKUP *) 1 2 3 4 5 6 ALOKASI WKT 1. Menggunakan konsep integral
Lebih terperinciI. PENDAHULUAN. diujikan. Bahkan, seleksi penerimaan calon pegawai negeri sipil (CPNS) pun,
1 I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang Matematika sebagai ilmu dasar, dewasa ini sangat dirasakan interaksinya dengan bidang ilmu yang lain. Sejak Sekolah Dasar (SD) hingga bangku Sekolah Menengah Atas (SMA),
Lebih terperinciTujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom
BAB 9 RING POLINOM Tujuan Instruksional Umum : Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengenal dan mengaplikasikan sifat-sifat Ring Polinom Tujuan Instruksional Khusus : Setelah diberikan
Lebih terperinciRENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP) Nama Sekolah : SMK Negeri 1 Surabaya Program Keahlian : Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : Standar Kompetensi : Menerapkan konsep barisan dan deret dalam
Lebih terperinciBarisan dan Deret Aritmetika. U 1, U 2, U 3,...,U n-1, U n. 1. Barisan Bilangan
Barisan dan Deret Aritmetika 1 Barisan Bilangan Untuk memahami pengertian suatu barisan bilangan, perhatikan contoh urutan bilangan berikut ini :, 4, 6, 8, 10, Urutan bilangan di atas mempunyai aturan
Lebih terperinciSifat 1 Untuksebarang bilangan rasional a tak nol dan sebarang bilangan bulat m dan n, berlaku a m. a m = a m + n
Bilangan Berpangkat Kita ingat kembali bahwa untuk bilangan-bilangan cacah a, m, dan n dengan a 0, berlaku: 1 a m = a a a a (sebanyak m faktor) a m a n = a m + n a 0 = 1, di mana a 0 Notasi-notasi di atas
Lebih terperinciAntiremed Kelas 09 Matematika
Antiremed Kelas 09 Matematika Latihan Ulangan Barisan dan Deret Bilangan Doc. Name: AR09MAT0698 Version: 03- halaman 0. Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3,, adalah (UAN 003) -69 (B) -7 (C) -73 (D) -75 0a
Lebih terperinciModul ke: Matematika Ekonomi. Deret. Bahan Ajar dan E-learning
Modul ke: 02 Pusat Matematika Ekonomi Deret Bahan Ajar dan E-learning BANJAR / BARISAN Banjar ialah suatu fungsi yang wilayahnya ialah set bilangan alam. Banjar ialah suatu set bilangan bernomor satu,
Lebih terperinciBAB 1 Pola Bilangan, Barisan dan Deret
BAB 1 Pola Bilangan, Barisan dan Deret Amy Arimbi PENDAHULUAN Matematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya
Lebih terperinciSistem Bilangan Ri l
Sistem Bilangan Riil Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π
Lebih terperinciBARISAN ARITMETIKA DAN DERET ARITMETIKA
BARISAN ARITMETIKA DAN DERET ARITMETIKA BARISAN DAN DERET BILANGAN Penyusun: Atmini Dhoruri, MS Kode: Jenjang: SMP T/P: 1/2 A. Kompetensi yang diharapkan 1. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan
Lebih terperinciMetode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian PD Linier Homogen Tak Homogen orde-2 Matematika Teknik I_SIGIT KUSMARYANTO
Metode Koefisien Tak Tentu untuk Penyelesaian Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen orde-2 Solusi PD pada PD Linier Tak Homogen ditentukan dari solusi umum PD Linier Homogen dan PD Linier Tak Homogen.
Lebih terperinciBAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN
BAB V BARISAN DAN DERET BILANGAN Peta Konsep Barisan dan Deret Bilangan mempelajari Pola bilangan Barisan bilangan Deret bilangan jenis jenis Aritmatika Geometri Aritmatika Geometri mempelajari Sifat Rumus
Lebih terperinciBAB II TEORI DASAR. untuk setiap e G. 4. G mengandung balikan. Untuk setiap a G, terdapat b G sehingga a b =
BAB II TEORI DASAR 2.1. Group Misalkan operasi biner didefinisikan untuk elemen-elemen dari himpunan G. Maka G adalah grup dengan operasi * jika kondisi di bawah ini terpenuhi : 1. G tertutup terhadap.
Lebih terperincitanya-tanya.com Barisan dan Deret Aritmetika Barisan dan Deret Geometri
Barisan dan Deret Aritmetika 1. Barisan Aritmetika Barisan aritmetika adalah suatu barisan dengan selisih (beda) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Berlaku: Un - Un - 1 = b atau Un = Un - 1 +
Lebih terperinciBOCORAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2015/2016 UTAMA SMK KELOMPOK TEKNOLOGI, KESEHATAN DAN PERTANIAN. MATEMATIKA Selasa, 5 April 2016 (
BOCORAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 0/06 UTAMA SMK KELOMPOK TEKNOLOGI, KESEHATAN DAN PERTANIAN MATEMATIKA Selasa, April 06 (07.0 09.0) BALITBANG PAK ANANG KEMENTARIAN PAK ANANG DAN KEBUDAYAAN Mata Pelajaran
Lebih terperinciBarisan dan Deret. Bab. Di unduh dari : Bukupaket.com. Pola Bilangan Beda Rasio Suku Jumlah n suku pertama A. KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR
Bab Barisan dan Deret A KOMPETENSI DASAR DAN PENGALAMAN BELAJAR Kompetensi Dasar Setelah mengikuti pembelajaran barisan dan deret, siswa mampu: Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerjasama, konsisten,
Lebih terperinciLIMIT DAN KEKONTINUAN
LIMIT DAN KEKONTINUAN Departemen Matematika FMIPA IPB Bogor, 2012 (Departemen Matematika FMIPA IPB) Kalkulus I Bogor, 2012 1 / 37 Topik Bahasan 1 Limit Fungsi 2 Hukum Limit 3 Kekontinuan Fungsi (Departemen
Lebih terperinciMODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA
KERJASAMA DINAS PENDIDIKAN KOTA SURABAYA DENGAN FAKULTAS MIPA UNIVERSITAS NEGERI SURABAYA MODUL MATA PELAJARAN MATEMATIKA Bilangan dan Aljabar untuk kegiatan PELATIHAN PENINGKATAN MUTU GURU DINAS PENDIDIKAN
Lebih terperinciSOAL PERSIAPAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2016 / 2017
SOAL PERSIAPAN UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 06 / 07 MATA PELAJARAN : Matematika KELOMPOK : TEKNIK (RPL, TKJ). Bentuk sederhana dari p q r 0 0 0 0 p q r 8 0 p q r 8 pqr 6 5 5 p q r p q r p q r 5 adalah....
Lebih terperinciPiramida Besar Khufu
Sumber: Mesir Kuno Piramida Besar Khufu Peradaban bangsa Mesir telah menghasilkan satu peninggalan bersejarah yang diakui dunia sebagai salah satu dari tujuh keajaiban dunia, yaitu piramida. Konstruksi
Lebih terperinciUji Komptensi. 2. Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 100 dan 200 yang habis dibagi 5
Uji Komptensi Barisan dan Deret "Aljabar Linear Elementer". Diketahui barisan 84,80,77,... Suku ke-n akan menjadi 0 bila n =... Tentukan jumlah semua bilangan-bilangan bulat di antara 00 dan 00 yang habis
Lebih terperinciBARISAN DAN DERET. Romli Shodikin, M.Pd. Prepared By : LANJUT
BARISAN DAN DERET Prepared By : Romli Shodikin, M.Pd www.fskromli.blogspot.com fskromli@yahoo.com LANJUT Standar Kompetensi : Menggunakan konsep notasi sigma, barisan dan deret dalam pemecahan masalah
Lebih terperinciLIMIT KED. Perhatikan fungsi di bawah ini:
LIMIT Perhatikan fungsi di bawah ini: f x = x2 1 x 1 Perhatikan gambar di samping, untuk nilai x = 1 nilai f x tidak ada. Tetapi jikakita coba dekati nilai x = 1 dari sebelah kiri dan kanan maka dapat
Lebih terperinciMatematika Bahan Ajar & LKS
Matematika Bahan Ajar & LKS Pola Bilangan, Barisan & Deret = + ( 1) Un = ar^(n-1) Nama : NIS : Kelas : Sekolah : Pengantar Bahan ajar ini sekaligus merupakan Lembar Kerja Siswa. Untuk mempelajarinya, Anda
Lebih terperinciMA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016. Hendra Gunawan
MA5031 Analisis Real Lanjut Semester I, Tahun 2015/2016 Hendra Gunawan 5.3 Kalkulus Turunan Pada bagian ini kita akan membahas sejumlah aturan untuk diferensial dan aturan untuk turunan, yg mempunyai kemiripan
Lebih terperinciAyundyah Kesumawati. April 29, Prodi Statistika FMIPA-UII. Uji Deret Positif. Ayundyah. Uji Integral. Uji Komparasi. Uji Rasio.
Uji Uji Deret Kesumawati Prodi Statistika FMIPA-UII April 29, 2015 Uji Deret Uji Deret yang mempunyai suku-suku positif menjadi bahasan pada uji integral ini. Uji integral ini menggunakan ide dimana suatu
Lebih terperinciUJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2007/2008 PANDUAN MATERI SMA DAN MA M A T E M A T I K A PROGRAM STUDI IPS PUSAT PENILAIAN PENDIDIKAN BALITBANG DEPDIKNAS KATA PENGANTAR Dalam rangka sosialisasi kebijakan
Lebih terperinciMA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Lebih terperinciBab. Faktorisasi Aljabar. A. Operasi Hitung Bentuk Aljabar B. Pemfaktoran Bentuk Aljabar C. Pecahan dalam Bentuk Aljabar
Bab Sumber: Science Encylopedia, 997 Faktorisasi Aljabar Masih ingatkah kamu tentang pelajaran Aljabar? Di Kelas VII, kamu telah mengenal bentuk aljabar dan juga telah mempelajari operasi hitung pada bentuk
Lebih terperinciMatematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK)
Pembahasan Soal SBMPTN 2016 SELEKSI BERSAMA MASUK PERGURUAN TINGGI NEGERI Disertai TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Matematika IPA (MATEMATIKA TKD SAINTEK) Kumpulan SMART SOLUTION dan TRIK SUPERKILAT
Lebih terperinciKHAIRUL MUKMIN LUBIS
Barisan dan Deret Eni Sumarminingsih, SSi, MM Elizal A. Barisan Aritmetika Definisi Barisan aritmetik adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap
Lebih terperinciBAHAN AJAR. Bisnis Manajemen dan Parwisata Mata Pelajaran. Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar
BAHAN AJAR Kelompok : Bisnis Manajemen dan Parwisata Mata Pelajaran : Matematika Kelas / Semester : XI / 3 Standar Kompetensi : 5 Menerapkan konsep barisan dan deret dalam pemecahan masalah Kompetensi
Lebih terperinciPEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 2010 MODUL BILANGAN
PEMBINAAN TAHAP I CALON SISWA INVITATIONAL WORLD YOUTH MATHEMATICS INTERCITY COMPETITION (IWYMIC) 200 MODUL BILANGAN DIREKTORAT JENDERAL MANAJEMEN PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DIREKTORAT PEMBINAAN SMP
Lebih terperinciStrategi Penemuan Pola pada Pemecahan Masalah
Strategi Penemuan Pola pada Pemecahan Masalah I Strategi Penemuan Pola dalam Penyelesaian Masalah Sehari-hari Penemuan pola adalah salah satu strategi dalam problem solving dimana kita dapat mengamati
Lebih terperinciLEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS
Nama Siswa Kelas : : LEMBAR AKTIVITAS SISWA MATRIKS Notasi dan Ordo Matriks Lengkapilah isian berikut! Suatu matriks biasanya dinotasikan dengan huruf kapital, misalnya: A. PENGERTIAN MATRIKS 1) Tabel
Lebih terperinciMODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN SEMSTER GENAP
MODUL MATEMATIKA XI IPA SUKU BANYAK SMA SANTA ANGELA TAHUN PELAJARAN 05 06 SEMSTER GENAP STANDAR KOMPETENSI 4. Menggunakan aturan sukubanyak dalam penyelesaian masalah. KOMPETENSI DASAR 4. Menggunakan
Lebih terperinciTujuan Pembelajaran : Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat
Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika Geometri, Pengertian, Rumus, Sifat-sifat Notasi Sigma, Tak Hingga, Hitung Keuangan, Bunga Tunggal Majemuk Anuitas, Matematika 4:00 PM Pernahkah kalian mengamati
Lebih terperinciSistem Bilangan Riil
Sistem Bilangan Riil Pendahuluan Kalkulus didasarkan pada sistem bilangan riil dan sifat-sifatnya. Sistem bilangan riil adalah himpunan bilangan riil yang disertai operasi penjumlahan dan perkalian sehingga
Lebih terperinciSPMB 2004 Matematika Dasar Kode Soal
SPMB 00 Matematika Dasar Kode Soal Doc. Name: SPMB00MATDAS999 Version : 0- halaman 0. Nilai x yang memenuhi persamaan : 3 x ( ) adalah. 0 - - 0. Dalam bentuk pangkat positif dan bentuk akar, x y x y...
Lebih terperinci