Pengembangan Algoritma Sistem Kendali Cerdas Dengan Metode Adaptive PID Untuk Inverted Pendulum

Transkripsi

1 Pengembangan Algoritma Sistem Kendali Cerdas Dengan Metode Adaptive PID Untuk Inverted Pendulum Bagus Arif Rakhman Department of Mechanical Engineering, Faculty of Industrial Technology ITS Surabaya Indonesia 6 b46us@me.its.ac.id Abstrak Sistem pendulum terbalik (inverted pendulum) adalah sistem yang mensimulasikan sebuah mekanisme kontrol untuk mengatur permasalahan kestabilan. Sistem inverted pendulum terdiri atas batang pendulum yang terpasang pada kereta yang bergerak bebas secara horizontal sedangkan batang pendulum bergerak bebas pada area vertikal. Permasalahan utama dalam desain kontroler untuk sistem inverted pendulum adalah menstabilkan batang pendulum di daerah ekuilibrium dengan menggerakkan kereta pada lintasan yang terbatas. Pada penelitian ini, kontroler adaptive PID berdasarkan teori adaptive interaction didesain untuk menstabilkan inverted pendulum. Hasil yang didapatkan dalam penelitian ini adalah improvement dari kontroler sebesar 8% dari dan kemampuan pendulum pada posisi tegak dengan rata-rata error -,9 rad Kata kunci : Inverted pendulum,adaptive, PID, kontroler, stability, optimasi I. PENDAHULUAN. Latar Belakang Dalam dunia kontrol dikenal dua macam teori kontrol, yaitu teori kontrol klasik dan teori kontrol modern. Teori kontrol klasik yang hanya membahas SISO (Single Input Single Output) ternyata tidak dapat diterapkan pada plant modern yang umumnya berupa sistem MIMO (Multiple Input Multiple Output). Untuk mengatasi hal tersebut telah dikembangkan teori kontrol modern yang mampu mengatasi kompleksitas plant modern. Sebagian besar perkembangaan baru dalam teori kontrol modern dapat dikatakan menuju pada kontrol optimal ataupun kontrol adaptif untuk sistem yang kompleks. Persoalan yang mendasar dalam desain sistem kontrol adalah merancang suatu kontroler yang mampu menghasilkan output dari plant sesuai spesifikasi yang diinginkan. Proses desain kontroler ini semakin komplek seiring dengan kompleksitas plant serta proses yang akan diatur didalamnya. Masalah utama dalam teknik kontrol sistem non linier adalah mengatur sistem agar outputnya sesuai dengan referensi yang diinginkan sekaligus menjaga sistem dari gangguan. Beberapa metode yang telah digunakan adalah kontrol PID, Fuzzy Logic Controller, MRAC, kontrol optimal LQR, state observer, Robbust Fuzzy, Genetic Algorithm dan metode kontrol lainnya. Sistem inverted pendulum adalah sistem yang mensimulasikan sebuah mekanisme kontrol untuk mengatur masalah kestabilan. Berbagai jenis kontroler telah diujicobakan untuk mendapatkan teknik kontrol yang paling sesuai dalam menjaga kestabilannya. Inverted pendulum adalah sebuah sistem nonlinear tak stabil sehingga proses pengaturannya menjadi rumit apabila digunakan teknik kontrol yang konvensianal. Selain itu tidak semua state dalam sistem inverted pendulum terukur. Untuk memodelkan sistem inverted pendulum digunakan metode linearisasi. Hal ini dilakukan untuk mempermudah analisa dan desain kontrolernya. Karena proses linearisasi ini, terjadi ketidakpastian parameter (uncertainty parameter) dari plant ini. Untuk mengatasi permasalahan ini digunakan teknik kontrol adaptive dengan menggunakan metode. Kontroler adaptive merupakan kontroler yang mampu mengatasi ketidakpastian parameter dari suatu plant dalam batasan nilai tertentu, gangguan serta noise yang ada dalam sistem tersebut.. Perumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas dalam penelitian ini yaitu cara mengatur posisi pendulum sehingga berada pada titik equilibriumnya dengan toleransi osilasi masih disekitar area stabilisasi yaitu sekitar % (overshoot). Untuk mengatasi permasalahan ini digunakan kontrol. Hasil desain akan disimulasikan pada sebuah plant yaitu inverted pendulum dengan menggunakan software SIMULINK/MATLAB versi 7.9. Tujuan Tujuan dari penelitian ini adalah mendesain controller untuk mengetahui dan menjaga

2 kestabilan sistem inverted pendulum dalam area kestabilannya. Serta mensimulasikan controller pada sistem inverted pendulum dengan menggunakan Simulink MATLAB versi 7.9 tahun 9..4 Batasan Masalah Adapun batasan masalah yang digunakan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :. Model system dari inverted pendulum merupakan system yang linier time invariant.. Gerak pendulum hanya dibatasi dalam dimensi yang bergerak pada dua arah derajat kebebasan yaitu (x,y) dan (x,θ). Besarnya toleransi osilasi maksimum sebesar % overshoot 4. Penentuan model berdasarkan kasus yang memiliki parameter yang sudah ditentukan yaitu untuk massa kereta (M) sebesar,5 kg, massa dari pendulum (m), kg, koefisien gesek (b) sebesar, N/m/sec, panjang pendulum (l) sebesar, meter, momen inersia (i) dari pendulum berbahan baja sebesar,6 kg.m, percepatan gravitasi (g) 9,8 m/s, dengan input gaya impulse sebesar N dan koefisien adaptif (γ) sebesar. 5. Desain system dan algoritma control disimulasikan dengan software Simulink MATLAB versi 7.9 tahun 9b. 6. Gesekan pada pendulum diabaikan 7. Analisa pendulum pada posisi tegak (θ=) sedangkan swing-up controller diabaikan. II. KAJIAN PUSTAKA. Hasil Peneliti Terdahulu Dalam dunia kontrol dikenal dua macam teori kontrol, yaitu teori kontrol klasik dan teori kontrol modern. Teori kontrol klasik yang hanya membahas SISO (Single Input Single Output) ternyata tidak dapat diterapkan pada plant modern yang umumnya berupa sistem MIMO (Multiple Input Multiple Output). Untuk mengatasi hal tersebut telah dikembangkan teori kontrol modern yang mampu mengatasi kompleksitas plant modern. Sebagian besar perkembangaan baru dalam teori kontrol modern dapat dikatakan menuju pada kontrol optimal ataupun kontrol adaptif untuk sistem yang kompleks. Persoalan yang mendasar dalam desain sistem kontrol adalah merancang suatu kontroler yang mampu menghasilkan output dari plant sesuai spesifikasi yang diinginkan. Proses desain kontroler ini semakin komplek seiring dengan kompleksitas plant serta proses yang akan diatur didalamnya. Pada kondisi praktis, selalu ada gangguan yang bekerja pada plant baik yang berasal dari dalam maupun luar. Suatu kontroler harus mampu untuk memperhitungkan setiap gangguan yang akan mempengaruhi variable output dari plant sehingga tetap stabil. Ada dua jenis pendulum yaitu pendulum biasa (direct pendulum) dan pendulum terbalik (inverted pendulum). Dewasa ini pendulum biasa maupun pendulum terbalik merupakan alat yang sangat penting dalam pendidikan dan penelitian di bidang teknik pengendalian (control engineering) Lam, () [] mengemukakan bahwa tujuan utama dari sistem pendulum terbalik adalah menjaga kesetimbangan pendulum dalam posisi tegak atau vertikal dengan mengaplikasikan sebuah gaya dorong (input) pada motor. Selanjutnya sistem pendulum terbalik juga memiliki beberapa karakteristik antara lain (Microrobot 8):. Taklinear dan takstabil.. Dapat dilinearkan di sekitar titik kesetimbangan.. Kompleksitasnya dapat ditingkatkan melalui penambahan pendulum atau modifikasi lainnya. 4. Dapat diterapkan dalam sistem nyata. Pendulum sebetulnya tidak stabil dan mungkin jatuh ke segala arah. Tetapi dalam hal ini untuk penyederhanaan, gerak pendulum hanya dibatasi dalam dua dimensi sehingga pendulum terbalik tersebut bergerak pada dua arah derajat kebebasan. Martin Foltin, (6) [9], menjel askan bahwa pengetahuan dasar mengenai meni rukan pengaturan kontroler oleh operator manusia. Keuntungan dari pendekatan ini adalah tidak memerl ukan model matematik dari proses control. Penyesuaian parameter kontroler PID adalah setelah mengenali prilaku dari closed loop, setelah adanya kerusakan dari transient mode atau kehi langan bagi an darinya. Keuntungan lai n dari metode ini adalah kemungkinan penggunaan desain pengetahuan dasar untuk sistem dengan prilaku dinamik yang serupa. Feng Lin, et al, () [] juga menjel askan di dalam papernya bahwa algoritma untuk tuning PID yang dikemukakan mempunyai banyak keuntungan pada penerapan, khususnya kesederhanaan dan kebebasan dari model plant. Simulasi yang dihasilkan terlihat baik untuk berbagai situasi: linier atau nonlinier, stabil atau tidak stabil dari plant. Sofyan Tan (9) [], dalam penelitiannya mengatakan bahwa suatu sistem kontrol PID dengan koefisien adaptif berhasil dibangun dan dievaluasi. Kontrol adaptif model reference ini dibangun dengan menambahkan algoritma simultaneous perturbation untuk menyesuaikan koefisien P, I, dan D dari sebuah kontrol PID, agar mendapatkan respon yang lebih baik. Secara keseluruhan, evaluasi terhadap respon awal dan

3 akhir dari posisi rotor motor dc menunjukkan bahwa kontrol adaptif ini berhasil mendapatkan respon yang lebih baik dari posisi rotor motor dc, terutama dalam mengatasi masalah steady state error. Penelitian ini menggunakan referensi model respon berupa step function, walaupun merupakan model yang terlalu ideal, namun evaluasi menunjukkan bahwa kontrol adaptif ini masih dapat menyesuaikan respon sistem ke arah yang lebih optimum. Akan tetapi kontrol adaptif ini masih terpengaruh oleh masalah ketika parameter awal terlalu jauh dari optimum Sehingga pada tugas akhir ini, akan diterapkan sebagai pengembangan metode untuk mengatasi permasalahan dinamika dan nonlinieritas dari sistem inverted pendulum. Untuk simulasi metode kontrol disimulasikan dengan menggunakan simulink MATLAB.. Pengertian Adaptive [] Pengertian umum to adapt berarti mengubah tingkah laku atau karakteristik untuk menyesuaikan diri terhadap keadaan yang baru atau yang tidak diketahui. Dalam pengertian teori kontrol, adaptive controller adalah kontroler pintar dengan adjustable parameter dan mekanisme untuk mengatur parameter atau dalam pengertian umumnya berarti mengubah tingkah laku atau karakteristik untuk menyesuaikan diri terhadap keadaan yang baru atau tidak diketahui. sistem kontrol adaptive terdiri dari loop tertutup, loop pertama adalah normal feedback control terhadap plant dan kontroler dan loop yang kedua adalah loop dengan parameter adjustment. Gambar.. blok diagram sistem adaptif [] Suatu sistem dikatakan adaptif apabila sistem pengendalian tersebut dapat menyesuaikan diri terhadap perubahan-perubahan parameter yang berpengaruh pada sistem secara otomatis, atau kontroler tersebut dapat mengkompensasi variasi karakteristik sistem yang dikendalikan selalu berada pada keadaan optimalnya. Pada perkembangannya kontroler jenis ini mampu menangani perubahan parameter proses yang diakibatkan adanya perubahan beban atau daerah kerja tanpa mengubah respon sistem (set point) karena kebutuhan proses. Langkah-langkah untuk mengubah parameter sistem pengendalian adalah dengan memberikan instruksi internal ke dalam kontroler. Konsep kerja yang demikian disebut Adaptive Control Autotuning atau kontroler ini dikenal sebagai pengendali autotuning. Karakteristik Respon Karakteristik respon adalah ciri-ciri khusus perilaku respon dinamik (spesifikasi performansi) output sistem yang muncul akibat diberikannya suatu sinyal masukan tertentu yang khas bentuknya (disebut sebagai sinyal uji). Berdasarkan sinyal bentuk sinyal uji yang digunakan, karakteristik respon sistem dapat diklasifikasikan atas dua macam, yaitu: Karakteristik Respon Waktu (Time Respons), adalah karakteristik respon yang spesifikasi performansinya didasarkan pada pengamatan bentuk respon output sistem terhadap berubahnya waktu. Secara umum spesifikasi performansi respon waktu dapat dibagi atas dua tahapan pengamatan, yaitu; Spesifikasi Respon Transient, adalah spesifikasi respon sistem yang diamati mulai saat terjadinya perubahan sinyal input/gangguan/beban sampai respon masuk dalam keadaan steady state. Tolok ukur yang digunakan untuk mengukur kualitas respon transient ini antara lain; rise time, delay time, peak time, settling time, dan %overshoot. Spesifikasi Respon Steady State, adalah spesifikasi respon sistem yang diamati mulai saat respon masuk dalam keadaan steady state sampai waktu tak terbatas (dalam praktek waktu pengamatan dilakukan saat TS t 5TS). Tolak ukur yang digunakan untuk mengukur kualitas respon steady state ini antara lain; % eror steady state baik untuk eror posisi, eror kecepatan maupun eror percepatan. Karakteristik Respon Frekuensi (Frequency Respons), adalah karakteristik respon yang spesifikasi performansinya didasarkan pengamatan magnitude dan sudut fase dari penguatan/gain (output/input) sistem untuk masukan sinyal sinus (A sin ωt), pada rentang frekuensi ω = s/d ω =. Tolok ukur yang digunakan untuk mengukur kualitas respon frekuensi ini antara lain; Frequency Gain Cross Over, Frequency Phase Cross Over, Frequency Cut-Off (filter), Frequency Band-Width (filter), Gain Margin, Phase Margin, Slew-Rate Gain dan lain-lain.. Model Inverted Pendulum [, 4, 5] Secara umum pendulum selalu bergerak ke posisi setimbangnya. Waktu yang diperlukan untuk mencapai posisi setimbangnya bergantung pada titik tumpu dan titik beratnya. Inverted pendulum adalah sistem pendulum yang titik beratnya berada pada titik tumpunya sehingga pada kesetimbangan yang dapat dicapai adalah kesetimbangan labil.

4 4.. Model Desain Berikut ini pada gambar. adalah skematik kereta pendulum dan gaya yang mendorong kereta pendulum. Gambar. adalah skema gaya yang bekerja pada inverted pendulum. Kereta dapat bergerak sepanjang papan horizontal. Gaya kontrol F (atau bisa disimbolkan dengan u karena merupakan input dari model sistem) bekerja paralel dengan arah papan. Massa kereta adalah M dan massa batang adalah m serta l adalah panjang batang pendulum dan I adalah momen inersia sistem kereta-pendulum. Gambar. Model inverted pendulum Gambar. Diagram benda bebas inverted pendulum Dimana massa kereta (M) sebesar.5 kg, massa dari pendulum (m). kg, koefisien gesek (b) sebesar. N/m/sec, panjang pendulum (l) sebesar. meter, momen inersia (i) dari pendulum berbahan baja sebesar.6 kg.m, percepatan gravitasi (g) 9.8 m/s, dengan input gaya impulse sebesar N... Model Dinamik Dengan menjumlahkan gaya pada arah horizontal maka didapatkan persamaan: F H = M a F N b x = M x M x + N + b x = F () Karena kereta pendulum bergerak pada arah horizontal maka penjumlahan gaya pada arah vertikal diabaikan. Pada gambar., free body diagram dibagi menjadi yaitu free body diagram untuk kereta dan free body diagram untuk pendulum. Dengan menjumlahkan gaya-gaya pada arah horizontal maka didapatkan persamaan untuk N: τ = r F = I θ I θ m l θ F = = = m l θ r l Komponen gaya inersia yang bekerja pada arah N adalah m l θ cosθ. I θ m l θ F = = = m l θ r l Komponen gaya tangensial yang bekerja pada arah N adalah m l θ sinθ. Sehingga didapatkan penjumlahan gaya-gaya pada arah N: F N = m x N = m x + m l θ cosθ m l θ sinθ () dengan mensubtitusi persamaan () pada persamaan () maka didapatkan persamaan gerak: ( M + m) x + b x + m l θ cosθ m l θ sinθ = F () Untuk mendapatkan persamaan gerak selanjutnya, maka pada free body diagram pendulum dengan menjumlahkan gaya-gaya yang tegak lurus dengan batang pendulum didapatkan: FPP = m ( atg + atr ) P sinθ + N cosθ m g sinθ = m l θ + m x cosθ (4) Untuk mencari nilai P dan N pada persamaan di atas, maka dengan menjumlahkan momen di sekitar titik tumpu batang pendulum didapatkan persamaan gerak: τ = I θ pend P l sin θ N l cosθ = I θ (5) Dengan mengkombinasikan persamaan (4) dan (5) maka didapatkan: ( I + m l ) θ + m g l sinθ = m l x cosθ (6) Jadi persamaan dinamik dari inverted pendulum adalah M + m x + b x + m l θ cosθ m l θ sinθ = ( I + m l ) θ + m g l sinθ = m l x cosθ Dengan yang dibutuhkan adalah model linier maka ukan linierisasi persamaan matematis (secara dilak manual) dengan mengasumsikan θ = π + φ ( φ merepresentasikan jarak antara sudut dengan vertical tegak pendulum yang nilainya relative kecil) [5]. Sehingga nilai dari cos θ =, sin θ = φ, dan dθ ( ) =. Dengan adanya asumsi dan linierisasi maka dt didapatkan persamaan gerak (u merepresentasikan input): ( M + m) x + b x m l φ = u (7) ( ) F

5 5 ( I + m l ) φ m g l φ = m l x.. Fungsi Transfer Untuk mendapatkan fungsi tranfer yang terlinierisasi maka terlebih dahulu dilakukan transformasi laplace dari persamaan sistem (7 dan 8). Transformasi Laplace yang didapatkan diantaranya: ( M + m) X ( s) s + b X ( s) s m l Φ( s) s = U ( s) (9) ( I + m l ) Φ( s) s m g l Φ( s) = m l X ( s) s ( ) Dari persamaan () di atas didapatkan persamaan untuk X(s): ( ) ( I + m l ) g X s = Φ( s) m l s () Dengan mensubtitusikan persamaan (9) ke dalam persamaan () maka didapatkan: m l s Φ( s) q = U ( s) b ( I + m l ) ( M + m) m g l b m g l s + s s q q q Dimana: q = M + m I + m l m l [( ) ( ) ( )]..4 State Space Semua sistem di alam semesta ini dapat direpresentasikan ke dalam bentuk model matematika. Model matematika sendiri ada beberapa bentuk. Salah satu bentuk popular yang sering dipakai untuk menganalisa sistem adalah bentuk keadaan ruang (state space). Dalam bentuk state space, persamaan matematika dari sistem dibuat ke dalam bentuk persamaan matriks berikut: x = Ax + Bu y = Cx + Du Dimana A, B, C, dam D adalah matriks atau bisa juga dalam bentuk vektor, sementara x adalah state, y adalah output sistem dan u adalah input sistem. Persamaan yang didapatkan dari hasil linierisasi sebelumnya dapat diubah ke dalam bentuk state space: (8) x ( ) x I + ml b m gl I + ml x ( ) ( ) x I M + m + Mml I M + m + Mml I( M m) Mml + + = + u Φ Φ Φ mlb mgl( M + m) ml Φ I( M + m) + Mml I( M + m) + Mml I( M + m) + Mml x x y = + u Φ Φ Matriks C besarnya kali 4 (baris kali kolom) disebabkan karena posisi dari kereta dan pendulum merupakan bagian dari output sistem..4 kontroler PID Penggunaan kontroler PID pada sistem pengendalian proses sangatlah popular. Hal ini dikarenakan kontroler PID mempunyai struktur yang relatif lebih sederhana dan performansinya cukup baik. Metode Zieger-Niechols adalah salah satu metode penalaan secara offline. PID kontroler merupakan gabungan antara tiga macam kontroler yaitu Proporsional, Integral, dan Derivatif. Tujuan penggabungan kontroler adalah untuk menutupi kekurangan dan menonjolkan kelebihan dari masingmasing kontroler. Misalnya kontroler P, berfungsi mempercepat rise time agar respon sistem lebih cepat mencapai setpoint, namun kontroler ini masih memiliki kekurangan yaitu meninggalkan offset. Kelemahan ini dapat diatasi dengan menggabungkannya dengan kontroler Integral yang mampu menghilangkan offset dan juga mengurangi terjadinya maksimum overshoot yang terlalu luas serta menghilangkan steady state error. Tetapi kontroler Integral menyebabkan lambatnya respon sistem, dan untuk menanggulanginya maka kontroler ini digabungkan lagi dengan kontroler Derivatif. Hubungan sinyal eror dan sinyal kontrol pada kontroller tipe-pid standart dapat dinyatakan sebagai berikut; d u( t) = Kp[ e( t) dt + τ D e( t)] dt dalambentuk transfer function, U ( s) = Kp( + + τ Ds) E( s) τ Is atau U ( s) Kp( τ Iτ Ds + τ Is + ) = E( s) τ Is Dalam bentuk blok diagram, kontroler tipe-pid ini digambarkan sebagai : Gambar.4 blok diagram kontroler PID.4. Metode Tuning Ziegler-Nichols Sudah sejak lama para ahli sistem pengendalian ingin mengusahakan metode-metode tuning yang tidak

6 6 mengandung banyak matematik. Untuk itu, dua orang ahli dari USA, Ziegler dan Nichols, memperkenalkan metode pertama kali pertemuannya yang saya gunakan utuk pengendalian PID. Metode yang diperkenlakan Ziegler dan Nichols terbagi menjadi dua bagian, yaitu metoda osilasi (oscillation method) dan metoda kurva reaksi (reaction curve). Metoda osilasi memanfaatkan hakikat dasar sistem pengendalian yang berosilasi pada natural frequency-nya. Suatu loop akan berosilasi pada natural frequency-nya bilamana padanya hanya ada unit control P dan gain atau PB disetel sampai loop tepat berosilasi dengan amplitudo tetap (sustain oscillation). Pada metoda ini, gain atau sensitivity pada saat itu disebut ultimate gain (Ku) dan ultimate period (Tu). Respon keluaran yang dihasilkan pada kondisi penguatan proporsional ditunjukkan pada Gambar.5 Sistem dapat berosilasi dengan stabil pada saat Kp=Ku. start Literature review Design of research (problem statement background, purpose, methodology) System model (transfer function & state space) N e à t àinf Y Designing PID controller e à t àinf Y Optimizing adaptive N P I D (a) Nilai Kp =. (b) Nilai Kp : < Kp < Ku.(c) Nilai Kp = Ku. Gambar.5 Karakteristik keluaran suatu sistem dengan penambahan Kp. Nilai ultimated period, Tu, diperoleh setelah keluaran sistem mencapai kondisi yang terus menerus berosilasi. Nilai perioda dasar, Tu, dan penguatan dasar, Ku, digunakan untuk menentukan konstanta-konstanta pengendali sesuai dengan tetapan empiri s Zi egl er- Nichols pada Tabel. Tabel. Metode Tuning Ziegler Nichols [7] Pengendali P PI PID Ku Ku/,5 Ku/,45 Ku/,6 τ I - Tu/, Tu/ τ D - - Tu/8 III. METODE PENELITIAN. Diagram Alir Penelitian Pada penelitian tugas akhir ini untuk mengembangkan sistem kendali cerdas dengan metode adaptif PID untuk inverted pendulum berdasarkan pada hasil analisa respon sudut simpangan (θ), posisi kereta (x), dan kecepatan kereta ( x ) dan percepatan kereta ( x ), maka dari itu untuk memenuhi tujuan dari tugas akhir ini dibuat diagram alir penelitian sebagai berikut: N e à t àinf Y plant analysis end Gambar. Diagram alir penelitian. Perancangan Model Sistem dengan Simulink MATLAB Dilihat dari free body diagram pada gambar. terdapat dua bagian yaitu bagian kereta dan bagian pendulum. Masing-masing bagian memiliki satu degree of freedom (dof). Untuk kereta pendulum degree of freedomnya adalah posisi (x) sedangkan pendulum degree of freedomnya adalah simpangan sudut (theta). Kemudian berdasarkan persamaan Newton didapatkan: d y dx = Fx = ( F N b ) dt M cart M dt d θ = τ = ( Nl cos θ + Pl sin θ ) dt I I pend Dengan membagi masing-masing total gaya ke dalam dua koordinat yaitu koordinat x p dan koordinat y p, maka didapatkan:

7 7 d xp m = Fx = N dt pend d xp N = m dt dari sistem inverted pendulum untuk output berupa θ, x, x dan x d xp m = Fy = P mg dt pend d y p P= m + g dt Dengan mengubah x p dan y p ke dalam fungsi theta: x = x lsinθ p dxp dx dθ = l cosθ dt dt dt d xp d x dθ d θ = + lsinθ lcos θ dt dt dt dt y = lcosθ p dy p dθ = l sinθ dt dt d yp dθ d θ = lcosθ lsinθ dt dt dt. Perancangan kontroler PID dengan Simulink MATLAB Sebelum memasukkan kontroler PID dimasukkan terlebih dahulu system loop terbuka dari inverted pendulum. Untuk menghasilkan respons loop terbuka, maka perlu berisi model inverted pendulum di blok subsistem. Setelah itu, diterapkan input impuls gaya, sinyal blok konstanta. Kemudian kontroler PID dimasukkan dan selanjutnya mem-feedback dari output theta ke kontroler PID dan juga memasukkan input referensi. x t (a) (b) Gambar.5 grafik posisi kereta dan pendulum (a) hasil simulasi (b) ideal θ x (a) x Gambar. Pemodelan simulink sistem open-loop t t Gambar.4 Pemodelan simulink sistem closed-loop dengan kontroler PID Setelah parameter-parameter dimasukkan lalu model system dan kontroler disimulasikan dengan simulink MATLAB versi 9b. Berikut adalah hasil simulasi (b) Gambar.6 grafik kecepatan dan percepatan (a) hasil simulasi (b) ideal.4 Perancangan Model Sistem dengan Simulink MATLAB

8 8 [] Ide untuk pengembangan algoritma adaptive pada kontroler PID berdasarkan teori adaptive interaction yaitu dengan cara menyetel parameter proportional, integral dan derivative dari kontroler PID dimana parameter-parameter tersebut tidak lagi sebuah konstanta melainkan sebuah fungsi. Secara umum, algoritma adaptif yang dikembangkan pada teori ini merupakan algoritma yang simpel dan efektif yaitu digunakannya koefisien self-tuning. Dengan pendekatan ini juga dapat dieliminasi beberapa ketergantungan pada model plant. Cara untuk memeriksa algoritma selftuning adalah dengan memandang kontroler PID selftuning sebagai kontroler yang nonlinier karena parameter-parameter Kp, Ki, dan Kd berubah secara kontinyu berdasarkan perubahan dinamik. Dari teori adaptive interaction diperoleh fungsi untuk parameter-parameter Kp, Ki, dan Kd sebagai berikut: K P = γ e y K I = γ e y K D = γ e y Dimana γ = koefisien adaptif Gambar 4. Hasil simulasi sistem open-loop Gambar respon di atas menunjukkan bahwa dengan hasil simulasi open-loop tanpa adanya kontroler posisi sudut pendulum jauh dari titik titik ekuibriliumnya atau dengan kata lain pendulum tidak dapat menemukan titik ekuilibriumnya. Karena posisi sudut pendulum jauh dari yang diinginkan, maka hal inilah yang menjadikan pentingnya penggunaan kontroler pada plant ini untuk memperoleh hasil yang diinginkan. 4. Analisa Simulasi Closed-loop Simulasi pada closed-loop ini dilakukan untuk mengetahui sejauh mana performansi sistem ketika tanpa atau dengan diberi gangguan (disturbance). Dalam hal ini performansi yang dimaksud adalah respon dari posisi sudut pendulum, posisi kereta, kecepatan dan percepatan yang dihasilkan. Gambar.9 blok diagram subsistem [] IV. ANALISA HASIL SIMULASI 4. Analisa Simulasi Open-loop Gambar 4. Skema closed-loop pada simulink MATLAB Gambar 4. Skema Open-loop pada simulink MATLAB 4.. Dengan Classical dan Addaptive PID tanpa Gangguan

9 pada posisi stabil. Hal ini dikarenakan pada kontroler adaptive dirancang untuk bisa mengkompensasi adanya perubahan karakteristik atau nilai yang dihasilkan. Sedangkan pada hanya bisa digunakan untuk keadaan atau sistem yang statis atau tanpa adanya gangguan yang besar Gambar 4.4 Hasil simulasi posisi sudut pendulum tanpa gangguan v (m/s) Gambar 4.4 adalah respon posisi sudut pendulum tanpa gangguan terhadap garis normal kereta dalam satuan radian. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa batang pendulum berhasil distabilkan pada titik nol dengan settling time sekitar,645 detik dan overshoot sekitar,4 rad (%) untuk. Akan tetapi pada kontroler juga dapat distabilkan dengan settling time sekitar 7 detik walaupun nilainya belum pas di nol atau sangat kceil sekali selisihnya yaitu,5rad, sedangkan nilai overshootnya juga lebih kecil dari yaitu sekitar, rad (%). Dari gambar di atas juga dapat dilihat bahwa pada pengujian tanpa gangguan ini, kontroler bisa dikatakan lebih stabil dibandingkan dengan adaptive PID. Hal ini disebabkan karena karakteristik dari kontroler tersebut yang robust. Hal ini juga bisa dilihat dari settling time yang dihasilkan Gambar 4.6 Hasil simulasi kecepatan kereta tanpa gangguan Gambar 4.6 adalah respon kecepatan kereta tanpa gangguan dalam satuan meter per detik. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa kecepatan yang dihasilkan adalah konstan walaupun pada besarnya kecepatan di awal mengalami perubahan. Hal ini terjadi karena pada kontroler adaptive lebih sensitif dan dirancang untuk bisa mengkompensasi adanya perubahan nilai yang dihasilkan sehingga nilainya lebih besar dari kontroler. Sedangkan pada hanya bisa digunakan untuk keadaan atau sistem yang statis atau tanpa adanya gangguan yang besar x (m).6.4 a (m/s) Gambar 4.5 Hasil simulasi posisi kereta tanpa gangguan Gambar 4.5 adalah respon posisi kereta tanpa gangguan dalam satuan meter. Dari grafik di atas dapat dilihat bahwa selisih jarak yang dihasilkan berbeda dari waktu ke waktu walaupun posisi batang pendulum (antara classical dengan adaptive) sama-sama berada Gambar 4.7 Hasil simulasi percepatan kereta tanpa gangguan Gambar 4.7 adalah respon percepatan kereta tanpa gangguan dalam satuan meter per detik kuadrat. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa percepatan yang dihasilkan pada keadaan steady state dari kedua kontroler adalah nol. Hal ini terjadi karena tidak ada

10 perubahan kecepatan pada kedua kontroler. Dan posisi batang pendulum tepat berada di nol. 4.. Dengan Classical dan Addaptive PID dengan Gangguan Pada simulasi dengan gangguan ini terdapat dua kasus yaitu: gangguan dengan rata-rata dan varian sebesar,5 rad dan rad. Untuk kasus pertama yaitu dengan gangguan rata-rata dan varian,5 rad ini dipilih karena merupakan batas maksimal kemampuan kontroler untuk mengkompensasi adanya perubahan nilai output. Selain itu dimensi alat (pendulum) yang relatif kecil sehingga batas maksimal yang diijinkan juga kecil. Sedangkan kasus kedua yaitu dengan gangguan rata-rata dan varian rad ini dipilih karena untuk menguji kehandalan kontroler itu sendiri. Kasus. rata-rata dan varian gangguan adalah,5 rad Gambar 4.8 Hasil simulasi posisi sudut pendulum dengan gangguan,5 rad Gambar 4.8 adalah respon posisi sudut pendulum dengan gangguan terhadap garis normal kereta dalam satuan radian. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa baik pada kontroler atau, posisi sudut pendulum masih berada di sekitar nol atau titik ekuilibrium. Akan tetapi respon yang dihasilkan oleh kontroler lebih baik dibandingkan dengan kontroler. Hal ini disebabkan karena pada kontroler mampu mengkompensasi adanya perubahan karakteristik yang terjadi pada sistem. Selain itu ukuran performansi dari kedua kontroler untuk posisi sudut pendulum bisa dilihat dari tabel 4. antara lain nilai overshoot, settling time, error maks, error min dan standard deviasi yang dihasilkan. Dari data yang diperoleh terlihat bahwa overshoot yang dihasilkan dari dan masingmasing adalah,4 rad dan,5 rad. Keduanya masih dalam range maksimum overshoot yang biasa digunakan dalam analisa respon yaitu sebesar %. Sementara settling time yang terjadi pada classical dan adaptive PID masing-masing adalah,4 detik dan,54 detik. Dari kedua karakteristik tersebut (overshoot dan settling time) diperoleh transient respon yang menunjukkan bahwa respon yang dihasilkan oleh merupakan uncompensated system. Sedangkan respon yang dihasilkan merupakan compensated system. Nilai error maksimum dan minimum dari dan berturut-turut adalah,8; -,;,69; -,9. Dari yang dihasilkan kedua kontroler tersebut, maka rata-rata error yang diperoleh antara dan masingmasing adalah,8 dan -,94. Dari rata-rata error ini diperoleh kesimplan bahwa steady state respon yang dihasilkan dari kedua kontroler masih dalam range toleransi yang diijinkan yaitu 5%. Selisih rata-rata error dari kedua kontroler tersebut adalah sekitar,84. Dari selisih inilah dapat diperoleh improve dari kontroler sebesar 8,4%. Tabel 4. karakteristik respon yang dihasilkan pada kasus Controler Classical PID Adaptive PID Overshoot (rad),4,5 Settling time (sec),4,54 Steady state error,8,88 (5%) Error maks.8.69 Error min Rata-rata error Standard deviasi x (m) Respon Transient Respon Steady state Gambar 4.9 Hasil simulasi posisi kereta dengan gangguan,5 rad

11 Dari gambar 4.9 dapat dilihat bahwa posisi kereta akan bergerak seiring dengan berjalannya waktu. Dengan waktu yang sama yaitu sebesar detik, posisi kereta pada berpindah sejauh,767 m. Sedangkan posisi kereta pada berpindah sejauh,58 m. Hal ini terjadi karena lebih sensitif terhadap perubahan nilai output dan kemampuan untuk mengkompensasi perubahan tersebut lebih besar dari. Sehingga dapat dikatakan bahwa lebih stabil dibandingkan dengan classical PID. a (m/s) v (m/s) Gambar 4. Hasil simulasi kecepatan kereta dengan gangguan,5 rad Dari gambar 4. dapat dilihat bahwa kecepatan kereta akan bergerak seiring dengan berjalannya waktu. Dengan waktu yang sama yaitu sebesar detik, kecepatan kereta pada cenderung meningkat sampai pada,66 m/s. Sedangkan pada, pada saat awal kecepatan kereta pada naik sampai,5 m/s dan melebihi kecepatan. Tetapi ketika plant sudah stabil maka kecepatan menurun dan cenderung konstan sekitar, m/s Hal ini dapat terjadi karena lebih sensitif terhadap perubahan nilai output dan kemampuan untuk mengkompensasi perubahan tersebut lebih besar dari. Sehingga dapat dikatakan bahwa lebih stabil dibandingkan dengan classical PID Gambar 4. Hasil simulasi percepatan kereta dengan gangguan,5 rad Dari gambar 4. dapat dilihat bahwa percepatan yang terjadi pada kedua kontroler cenderung konstan dan berada di sekitar m/s. Pada gambar juga dapat dilihat bahwa pada kondisi awal dan akhir, sesaat terjadi kenaikan yang besar pada kedua kontroler. Ini terjadi pada awal pembangkitan plant dan akhir dari simulasi sistem. Kasus. rata-rata dan varian gangguan adalah rad Adaptive PID Gambar 4. Hasil simulasi posisi sudut pendulum dengan gangguan rad Gambar 4. adalah respon posisi sudut pendulum dengan gangguan terhadap garis normal kereta dalam satuan radian. Dari gambar di atas dapat dilihat bahwa baik pada kontroler atau, posisi sudut pendulum masih berada di sekitar nol atau titik ekuilibrium. akan tetapi respon yang dihasilkan oleh kontroler lebih baik dibandingkan dengan kontroler. Hal ini disebabkan karena pada kontroler mampu mengkompensasi adanya perubahan karakteristik yang terjadi pada sistem. Selain itu ukuran performansi dari kedua kontroler untuk posisi sudut pendulum bisa dilihat dari tabel 4.

12 antara lain nilai overshoot, settling time, error maks, error min dan standard deviasi yang dihasilkan. Dari data yang diperoleh terlihat bahwa overshoot yang dihasilkan dari dan masingmasing adalah,7 rad dan,6 rad. Keduanya masih dalam range maksimum overshoot yang biasa digunakan dalam analisa respon yaitu sebesar %. Sementara settling time yang terjadi pada classical dan adaptive PID masing-masing adalah,65 detik dan,95 detik. Dari kedua karakteristik tersebut (overshoot dan settling time) diperoleh transient respon yang menunjukkan bahwa respon yang dihasilkan oleh merupakan uncompensated system. Sedangkan respon yang dihasilkan merupakan compensated system. Nilai error maksimum dan minimum dari dan berturut-turut adalah,4;,75;,; -,5. Dari yang dihasilkan kedua kontroler tersebut, maka rata-rata error yang diperoleh antara classical dan masingmasing adalah,9 dan -,. Dari rata-rata error ini diperoleh kesimplan bahwa stady state respon yang dihasilkan dari kedua kontroler masih dalam range toleransi yang diijinkan yaitu 5%. Selisih rata-rata error dari kedua kontroler tersebut adalah sekitar,89. Dari selisih inilah dapat diperoleh improve dari kontroler sebesar %. Tabel 4. karakteristik respon yang dihasilkan pada kasus Controler Classical PID Adaptive PID Overshoot (rad),7,6 Settling time (sec),65,95 Steady state error,6,47 (5%) Error maks.4. Error min Rata-rata error.9. Standard deviasi.6.59 Respon Transient Respon Steady state x (m) Gambar 4. Hasil simulasi posisi kereta dengan gangguan rad Dari gambar 4. dapat dilihat bahwa posisi kereta akan bergerak seiring dengan berjalannya waktu. Dengan waktu yang sama yaitu sebesar detik,posisi kereta pada berpindah sejauh 5,8 m. Sedangkan posisi kereta pada berpindah sejauh 5,87 m. Hal ini terjadi karena lebih sensitif terhadap perubahan nilai output dan kemampuan untuk mengkompensasi perubahan tersebut lebih besar dari. Sehingga dapat dikatakan bahwa lebih handal dan mampu mengkompensasi adanya gangguan yang besar dibandingkan dengan. v (m/s) adaptiva PID Gambar 4.4 Hasil simulasi kecepatan kereta dengan gangguan rad Dari gambar 4.4 dapat dilihat bahwa kecepatan kereta akan bergerak seiring dengan berjalannya waktu. Dengan waktu yang sama yaitu sebesar detik, kecepatan kereta pada cenderung meningkat sampai pada,65 m/s. Sedangkan pada, pada saat awal kecepatan kereta pada naik sampai,66 m/s dan ketika plant sudah stabil maka kecepatan cenderung konstan sekitar,66 m/s. Hal ini dapat terjadi karena kemampuan untuk mengkompensasi perubahan tersebut

13 lebih besar dari. Sehingga dapat dikatakan bahwa lebih handal dibandingkan dengan. 5 4 a (m/s) tehta dot (rad/s) Gambar 4.5 Hasil simulasi percepatan kereta dengan gangguan rad Dari gambar 4.5 dapat dilihat bahwa percepatan yang terjadi pada kedua kontroler cenderung konstan dan berada di sekitar m/s dan memiliki amplitudo yang lebih besar dibandingkan pada kasus. Pada gambar juga dapat dilihat bahwa pada kondisi awal dan akhir, sesaat terjadi kenaikan yang besar pada kedua kontroler. Ini terjadi pada awal pembangkitan plant dan akhir dari simulasi sistem. 4. Analisa Grafik Phase Portrait 4.. Dengan Classical dan Addaptive PID tanpa Gangguan theta dot (rad/s) Gambar 4.7 phase portrait tanpa gangguan Gambar 4.6 dan Gambar 4.7 adalah hasil simulasi simpangan sudut pendulum untuk sistem dengan dan tanpa gangguan. Dengan membuat Phase portrait antara variabel yang diamati ( θ ) dan error ( θ ), maka dapat diketahui kestabilan dari sistem tersebut. Dari gambar dapat dilihat bahwa Phase portrait yang dihasilkan terdapat posisi chattering berbentuk lingkaran yang mendekati posisi ekuilibrium atau tegak (θ = ) sehingga sistem inverted pendulum dengan dapat dikatakan stabil. Hal ini disebabkan karena sistem tersebut bisa mempertahankan posisi stabil atau dalam keadaan tegak dalam waktu tertentu. Jika dibandingkan dengan sistem inverted pendulum yang menggunakan tanpa adanya gangguan, maka sistem dengan adaptive PID pada grafik Phase portrait juga mendekati nilai (pusat kartesian), tetapi waktu yang dibutuhkan classical PID lebih cepat dibandingkan dengan. Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem dengan lebih teroptimasi dan stabil dibanding sistem dengan adaptivepid tanpa adanya gangguan. 4.. Dengan Classical dan Addaptive PID dengan Gangguan Gambar 4.6 phase portrait tanpa gangguan theta dot (rad/s) Gambar 4.8 phase portrait dengan gangguan,5 rad

14 theta dot (rad/s) theta dot (rad/s) Gambar 4.9 phase portrait dengan gangguan,5 rad Gambar 4.8 dan Gambar 4.9 adalah hasil simulasi simpangan sudut pendulum untuk sistem dengan dan dengan gangguan rata-rata dan varian sebesar,5 rad. Dengan membuat Phase portrait antara variabel yang diamati (θ ) dan error (θ ), maka dapat diketahui kestabilan dari sistem tersebut. Dari gambar dapat dilihat bahwa Phase portrait yang dihasilkan terdapat posisi chattering berbentuk lingkaran yang mendekati posisi ekuilibrium atau tegak (θ = ) sehingga sistem inverted pendulum dengan dapat dikatakan mendekati stabil. Hal ini terjadi karena kontroler tersebut masih dapat mempertahankan posisi stabil atau dalam keadaan tegak dalam waktu tertentu. Jika dibandingkan dengan sistem inverted pendulum yang menggunakan dengan adanya gangguan, maka sistem dengan adaptive PID pada grafik Phase portrait lebih mendekati nilai (pusat kartesian). Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem dengan lebih teroptimasi dan stabil dibanding sistem dengan. theta dot (rad/s) Gambar 4. phase portrait dengan gangguan rad Gambar 4. phase portrait dengan gangguan rad Gambar 4. dan Gambar 4. adalah hasil simulasi simpangan sudut pendulum untuk sistem dengan dan dengan gangguan rata-rata dan varian sebesar rad. Dengan membuat Phase portrait antara variabel yang diamati (θ ) dan error (θ ), maka dapat diketahui kestabilan dari sistem tersebut. Dari gambar dapat dilihat bahwa Phase portrait yang dihasilkan terdapat posisi chattering berbentuk lingkaran yang mendekati posisi ekuilibrium atau tegak (θ = ) sehingga sistem inverted pendulum dengan dapat dikatakan mendekati stabil. Hal ini terjadi karena kontroler tersebut masih dapat mempertahankan posisi stabil atau dalam keadaan tegak dalam waktu tertentu. Jika dibandingkan dengan sistem inverted pendulum yang menggunakan dengan adanya gangguan, maka sistem dengan adaptive PID pada grafik Phase portrait lebih mendekati nilai (pusat kartesian). Sehingga dapat disimpulkan bahwa sistem dengan lebih handal dan stabil dibanding sistem dengan. V. KESIMPULAN 5. Kesimpulan Dari hasil simulasi model dari sistem kendali inverted pendulum didapatkan kesimpulan sebagai berikut:. Model matematika untuk sistem inverted pendulum terdiri dari dua buah persamaan diferensial linier.. Error steady state yang terjadi masih berada pada toleransi yang diijinkan (5%) yaitu,8 rad (pada ) dan,88 rad (pada ). Kontroler memiliki improvement sebesar 8% dari kontroler. 4. Kontroler yang dirancang mampu mengkompensasi adanya disturbance sehingga pendulum tetap berada pada daerah ekuilibrium. Hal ini terbukti dari standard deviasi yang

15 5 dihasilkan yaitu,86 (pada ) dan,95 ( pada ) 5. Reliability dari kontroler lebih baik dibandingkan dengan sekitar %. 5. Saran Adapun saran dari penelitian ini adalah sebagai berikut:. Dapat dikembangkan lagi metode-metode adaptif lain untuk menyelesaikan permasalahan kestabilan pada inverted pendulum.. Implementasi dari mekanisme inverted pendulum dan optimalisasi konttroler adaptive PID untuk penelitian selanjutnya. VI. DAFTAR PUSTAKA [] Astrom K. J., Van Wittermark B., 995. Adaptive Control. Addison Wesley Publishing Company, New York. [] Landau I. D. 99. System Identification and Control Design Using P.I.M + Software. Prentice Hall Inc, New Jersey. [] Jantzen, J. 4. Pendulum Users Guide, Technical University of Denmark, Denmark. [4] Sultan, Khalil.. Inverted Pendulum: Analysis, Design, and Implementation. Institute of Industrial Electronics Engineering. Karachi. Pakistan. [5] William Messner and Dawn Tilbury,998. Inverted Pendulum Model. www. Engine.umich.edu. download: 9 April. [6] Sastry Shankar., Bodson Mark., Adaptive Control. Prentice Hall, New Jersey. [7] Ogata, K.. Modern Control Engineering Fifth Edition, Prentice Hall, New Jersey. [8] Lewis F. L.,Syrmos V. L., 995. Optimal Control, John Wiley & Sons. Inc, New York. [9] Fortin, Martin. A new Adaptive PID Control Approach Based on Closed-Loop Response Recognition. Proceedings of the 7th WSEAS International Conference on Automation & Information. Croatia. 6. [] Tan,Sofyan. Kontrol Motor PID dengan Koefisien Adaptif Menggunakan Algoritma Simultaneous Pertubation. Konferensi Nasional Sistem dan Informatika. Bali. 9. [] Lam J. Control of an Inverted Pendulum. am_report_8. download: 9 April. BIODATA PENULIS Penulis, Bagus AR, lahir di Gresik, Jawa Timur, pada tanggal Maret 987. Penulis adalah putra kedua dari pasangan Kacung Syafik dan Sri Mulyani. Penulis menyelesaikan pendidikan Sekolah Dasar sampai dengan Sekolah Menengah Atas di Gresik, Jawa Timur. Selanjutnya, pertengahan tahun 5 penulis memulai pendidikan S- Teknik Mesin di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya. Selama berada di dunia akademi kampus, penulis aktif di bidang desain grafis. Penulis juga aktif dalam komunitas beastudi ETOS dimana dalam komunitas tersebut penulis mendapat banyak pengalaman mengenai pengembangan diri. Selain itu juga penulis aktif dalam kegiatan sosial baik yang diselenggarakan di dalam kampus maupun di luar kampus. Selain sebagai mahasiswa penulis juga adalah seorang pengusaha. Ketertarikan penulis pada dunia mekanika meliputi bidang otomotif dan kontrol.