KULIAH PERTEMUAN 9 Analisa struktur statis tak tentu dengan metode consistent deformations pada balok dan portal

Transkripsi

1 KULIH PERTEUN 9 naisa struktur statis tak tentu dengan metode consistent deformations pada baok dan porta. Lembar Informasi 1. Kompetensi ahasiswa dapat menghitung reaksi peretakan dan menggambarkan bidang momen dan gaya intang dari baok dan porta statis tak tentu dengan metode consistent deformations. ateri eajar ETODE KONSISTEN DEFORSI Porta P q ( a ) (b) R3 D R R1 d3 D' d1 D d eihat struktur pada Gambar a. maka Σ Reaksi peretakan = 6, persamaan statis = 3 Tingkat kestatis taktentuannya, D e = 3, maka terdapat 3 redundant untuk menjadikan struktur statis tertentu. kibat masing-masing R 1, R & R 3 dapat menimbukan deformasi di D yaitu d 1, d & d 3, bia R 1, R dan R 3 diberi gaya 1 satuan maka : R 1 = 1 satuan d 11, d 1 & d 13 R = 1 satuan d 1, d & d 3 R 3 = 1 satuan d 31, d 3 & d 33 Syarat (kondisi batas) Titik D = jepit defeksi horisonta, vertika dan putaran sudut = R 1.d 11 + R.d 1 + R 3 + d 13 + d 1 = R 1.d 1 + R.d + R 3 + d 3 + d = R 1.d 31 + R.d 3 + R 3 + d 33 + d 3 = Dari persamaan diatas dapat di hitung R 1, R & R 3 (ada 3 persamaan dengan 3 variabe yang beum diketahui) 38

2 Hukum axwe d ij = d ji, maka dapat dituis: R 1.d 11 + R.d 1 + R 3 + d 13 + d 1 = R 1.d 1 + R.d + R 3 + d 3 + d = Penyeesaiannya dengan operasi matrix R 1.d 31 + R.d 3 + R 3 + d 33 + d 3 = ontoh 1. Hitung reaksi peretakan dan gambar bidang momen dari struktur di bawah ini : w L w a) V L V w b) V 1 c) V Lihat gambar a) aok memiiki tiga reaksi peretakan yaitu : V, dan V (jm reaksi peretakan 3), Persamaan statis untuk penyeesaiannya ada (dua), Σ V = dan Σ =, maka D e (Degree externay) = 3- = 1 Sousi : Untuk menjadi struktur statis tertentu maka V dibuat sebagai redundant, sehingga struktur menjadi gambar b. serta gambar c. 1). Hiangkan V, timbu endutan di, ihat Gambar b. ). Struktur hanya diberi redundant V = 1 satuan, ihat Gambar c., sehingga timbu endutan V. 1 Jadi endutan akibat beban w harus sama dengan endutan V 1 akibat beban V, (kondisi batas). Dimana: 1 adaah endutan di akibat gaya V = 1 satuan 39

3 wl 4 dan 8 Pada titik v V. 1 V Untuk reaksi ainnya: V V V 1.L 3 1 (dapat dicari dengan metode conjugate beam) 3 1.L wl V 4 3 wl 1.L / 8 3 L wl. 5 8 wl 3wL wl ontoh : a P P E I konstan L/ L/ L/ L/ Va Vb PL/ diagram / (a) Σ reaksi peretakan = 3 yaitu V a, V b, a, sedang Σ keseimbangan statis = (ΣV = dan Σ = ) aka ada 1 redundant disini yaitu V b, Lihat gambar (b) akibat beban uar timbu Δ 3 P. L L 1 5 5P. L dengan oment area method :. L, L(1/ ) L Lihat gambar (c), akibat beban 1 satuan di titik (b) L/ L/ Vb = 1 sat 1.L diagram / (c) 4

4 3 3 3 L 5PL L V 1 satuan, jadi: V., V / V 5/ 16 P Dengan statika ΣV = V = P V = 11/16 P P. L 11 Σ = = P. L 16 - P. ½ L + V. L = = P. ½ L V. L = - 3/16 P. L = 3/16 PL (Kekiri) 41

5 ontoh 3 : Penerapan pada baok menerus : naisa struktur berikut dan gambarkan bidang omen () dan Lintang (D) 1 t 4 m 3 t/m konstan 1 m 1 m Sousi: Derajat ketidak statistentuannya, maka momen di dan dibuat sebagai redundant Tahap 1. 1 t 4 m 3 t/m konstan Struktur dasar 1 m 1 m 4 tm 37.5 tm konstan idang / sebagai beban pada conjugate beam 1 m 1 m enggunakan onjugate eam ethod L 6 (6 ) ,98 56, ,5 / 3 63,48 4

6 Tahap II, Pasang = 1 satuan di pada struktur dasar b 1 sat konstan 1 m 1 m b 1 sat konstan idang / sebagai beban pada conjugate beam I I I.1 1/. (1) 1 / /. (1) 1 / /. (1).1 1/ Tahap III, Pasang = 1 satuan di pada struktur dasar a 1 sat konstan 1 m 1 m a 1 sat b 1 sat konstan idang / sebagai beban pada conjugate beam " " " " / L 1/. 1/..1.1./3.1 / Persamaan kompaktibiitas : i) putraran sudut (sope) pada peretakan (jepit) harus no ' '' ,...(1) 6 3 ii) pada peretakan tota putaran sudut (sope) yang baok menerus harus no. 43

7 ' '' ' , () Dari persamaan (1) dan () didapat = -3,1 t.m dan = -7,6 t.m Hasi diagram momen entur (ending momen diagram) : 4 tm -7.6 tm 37.5 tm 13.7 tm 3.1 tm 1 m 1 m Hasi diagram gaya geser / intang (Shear forced diagram) : 8.45 t 1.4 t 1.55 t 1 m 1 m t 44

8 ontoh 3. Lihat struktur baok menerus di bawah ini, Gambarkan bid omen (D) dan bid Geser (SFD) : 1 t m gambar (a) D 4 m 4 m 4 m Ra Rb Rc Rd Σ Reaksi peretakan = 4, Σ persamaan statis =, (ΣV =, Σ = ) Jadi derajat ketidak statistentuan (degree of indeterminancy) = 4 = aka R & R D REDUNDNT Tahap (i), kibat beban timbu (gambar b), bidang momen sebagai beban / pada onjugate beam (gambar c) 1 t gambar (b) D m 4 m 4 m 1/ gambar (c) 1 1 D m 4 m 4 m 1=4 D1 1 D1 1 1 gambar (d) 1 = d, Lendutan di akibat beban uar D1 = d D, Lendutan di D akibat beban uar 1 1 V 1 V D Tahap (ii), Pasang beban 1 satuan di D diagram / di buat beban conjugate beam gambar (e) D 4 m 4 m 4 m 45

9 gambar (f) D 4 m.67 4 = D=4.6 9 D.67 d, endutan di akibat beban 1 satuan di D, ' d V 1 4 4, 67 3, V 4 4 5, 34 D 3,67 4 1, 68 (searah jarum jam) ,.4) 69 D (5,34 4) ( 3 (kebaikan arah jarum jam) Jika 1 unit oad di D tadi merupakan niai R D maka momen : 4,69 D R D 1,68 R D D ' D Tahap (iii), Pasang beban 1 satuan di, dengan cara yang sama seperti cara pada tahap (ii) didapat : D 4 m 4 m 4 m 1,68 4,69 D3 R 3 R 46

10 Persamaan kompakbiitas: dmana R & R merupakan reaksi sebenarnya pada baok. Dititik : 1 ( 4 1,68R D 4,69R ) Dititik D R =,75 1 (4 4,69R D 1,68R ) R D =,75 Dengan niai R =.75 maka : =,75 x 4 = 3 t.m (= - D ) Superposisi akibat beban uar dan redundant. 1 idang 3 3 D 4 m 4 m 4 m 5. idang D m 4 m 4 m 47

11 ontoh 4. Penerapan pada porta naisa porta dibawah ini dan gambarkan bidang momen dan bidang intang D. Persamaan kompaktibiitas H dan V pada peretakan sebagai redundant h h h h d H. d 1 1 Vd V v v d H. d 1 1 Vd Dimana : =...(i) =...(ii) d defeksi/endutan Horizonta di akibat beban yang ada h d defeksi/endutan vertika di akibat beban yang ada V d 1 defeksi/endutan Horizonta di akibat beban 1 unit oad horisonta (gambar c) h d 1 defeksi/endutan vertika di akibat beban 1 unit oad horisonta (gambar c) V d defeksi/endutan Horizonta di akibat beban 1 unit oad vertika (gambar d) h d defeksi/endutan vertika di akibat beban 1 unit oad vertika (gambar d) V ia : X = omen pada setiap penampang x (gambar b) X1 = omen di X akibat H = 1 unit beban. (gambar c) X = omen di X akibat V = 1 unit beban. (gambar d) 48

12 d H X X (4 x) dy dx = dx 4 H. d ( m 1) x (1. x) 1 H dx (1.4) h x dx 4 dx H (4 x) dx 8 4 h mx 1mx 4xdx 8(4 x) V. d V dx V dx d V m m 4 4 6x( x 4) dx 4(8 dx dx x1 x ) H V. d 8 4 m m h x1 x 4xdx 8(4 x). d 1 H dx = H dx v V mx 1 dx V 8 4 4xdx 8 dx Seteah di intergakan maka hasi persamaan kompabiitas : ,6 H + 18, V =...(i) , H + 341,3 V =...(ii) Dengan penyeesaian persamaan simutan : V = -3, t (tanda negatif arah ke atas) H =,9 t (tanda positif arah sesuai pemisaan) Hasi bidang momen D dapat diihat pada Gambar e., sedang hasi bidang intang SFD dapat diihat pada Gambar f. (haaman sebeumnya). 49

13 KULIH PERTEUN 1 naisa struktur statis tak tentu dengan metode Sope defection Equation pada baok menerus. Lembar Informasi 1. Kompetensi ahasiswa mampu menghitung momen ujung batang dari baok menerus statis tak tentu dengan metode sope defection equations. ateri eajar SLOPE DEFLETION EQUTION Suatu baok nf dibebani sistim beban p & q (ihat Gambar a) Dari gambar b, momen akibat θn diujung batang n dimana θ f = Δ nf = FE nf = Dari gambar c, momen diujung batang n akibat θ f di ujung batang f Dari gambar d, momen diujung batang n akibat penurunan Δ nf ujung batang f sebesar Δ nf Dari gambar e, momen diujung batang n berupa momen primer akibat beban uar aka : 5

14 4 L L 6 L nf n f atau pada batang ab EK ab( a b 3 ) nf FE FE ab, L nf Dimana FE ab = momen primer akibat beban uar untuk beberapa type pembebanan ihat Tabe berikut : K I L Penerapan Pada aok Lihat struktur dibawah ini : 51

15 Dari struktur diatas : a). aok statis tak tentu tingkat satu b). oundary onditions peretakan a, b & c tidak terjadi penurunan jadi Δ ab = Δ bc = pada ketiga peretakan terjadi putaran sudut θ a, θ b & θ c aka persamaan sope defection pada tiap batang : ab = EK ab ( θ a + θ b ) + FE ab ; Δ ab = ba = EK ab ( θ b + θ a ) + FE ba ; Δ ba = bc = EK bc ( θ b + θ c ) ; Δ bc = & FE bc = cb = EK bc ( θ c + θ b ) ; Δ cb = & FE cb = Persamaan keseimbangan momen pada tiap titik joint Σ a = ab = (no = peretakan sendi) Σ b = ba + bc = (no = peretakan ro) Σ c = bc = (no = peretakan ro) aka persamaan menjadi : 4 EK ab θ a + EK ab θ b = - FE ab EK ab θ a + (4 EK ab + 4 EK bc ) θ b + EK bc θ c = - FE ba Daam bentuk matrix : 4EKab EKab EK bc θ b + 4 EK bc θ c = EKab (4EKab EKbc) EKbc a EKbc b 4EKbc c FEab FEba Sehingga dapat dicari niai θ a, θ b & θ c dan kemudian momen batang ab, ba, bc & cb. dimana niai θ a, θ b & θ c yang teah didapat. 5

16 ontoh 1 : Tentukan momen-momen ujung dan gambar bidang momen & gaya geser dari struktur dibawah ini. Kompatibiitas dan kondisi batas Persamaan momen: Untuk : K ab = K bc = I/1 m = K FE ab 17.8KN. m FE ba 115.KN. m 1 nf nf EK nf{( n f ) 3 } 51 FE bc 416.7KN. m FE cb = KN.m 1 aka : ab = EK ab ( θ a + θ b - ba = EK ab ( θ b + θ a - bc = EK bc ( θ b + θ c cb = EK bc ( θ c + θ b Persamaan kesetimbangan: Pada joint b ba + bc = Pada joint cb = FE ab 3 ) + FE ab = EK (θ b ) 17.8 ba 3 ) + FE ba = EK ( θ b ) bc 3 ) +FE bc = EK (( θ b + θ c ) cb 3 )+ FE cb = EK ( θ c + θ b ) nf 53

17 Subtitusi besar momen ke persamaan kesetimbangan didapat : 8 EK θ b + EK θ c = 31.5 ba + bc = EK θ b + 4 EK θ c = cb = Daam bentuk atrix : 8 Sousi untuk dispacement didapat : omen akhir : EKb EKc EK b 7.8 KN. m EK c 14.6 ab = EK (θ b ) 17.8 = (7.8) = - 7. KN.m ba = EK ( θ b ) = 4 (7.8) = 46.6 KN.m bc = EK ( θ b + θ c ) = 4 (7.8) + (-14.6) = KN.m cb = EK ( θ c + θ b ) = 4 (- 14.6) + (7.8) _ = KN.m Diagram bidang momen dan geser : atatan: 54

18 Rab 1 7. Rba Reaksi akibat beban Reaksi akibat momen Tota R V (gaya intang) ontoh : Tentukan momen ujung batang dan tegangan entur maksimum struktur di bawah ini, bia peretakan turun I dengan Δ =.3 m I 1m 1m Kontan = a c Kompatibiitas dan kondisi batas b b E = 3 x 1 9 Pa = G N/m I = x D =.3 m (tinggi baok) Sousi: Lihat gambar Kompatibiitas dan kondisi batas 55

19 ab ab bc.3.3 bc 1 Persamaan momen: nf EKnf ( n f ) 3Ynf ) FEnf Semua FE pada tiap titik joint = (Karena tidak ada beban)..1 Kab Kbc K 1m 6.1 6N 7 3 EK.1 m 4N. m m n f 7 bisa dituis nf EKnf ( ) 6EK 6 EK Ψ ab = 6 x 4 N.m x.3 = 7 kn.m 6 EK Ψ bc = -7 kn.m aka: ab = EK (θ b ) 7 ba = EK ( θ b ) 7 bc = EK ( θ b + θ c ) + 7 cb = EK ( θ c + θ b ) + 7 Persamaan kesetimbangan: Pada joint b ba + bc = Pada joint cb = Subtitusi 8 EK θ b + EK θ c = EK θ b + 4 EK θ c = -7 Hasinya : EK θ b = 51.4 kn.m ; EK θ c = -5.7 kn.m aka omen akhir: ab = (51.4) 7 = KN.m ba = 4 (51.4) 7 = KN.m bc = 4 (51.4) + (-5.7) + 7 = 514. KN.m cb = 4 (-5.7) + (51.4) + 7 = KN.m aksimum tegangan entur: f. c I 617.KN. m.15m 1 m 46.9N / 6 4 m 3 nf m nf 56

20 .3 b. Lembar Latihan Hitung momen ujung batang dari struktur dibawah ini dengan metode Sope Defection Equation kn/ft a kn 3' 15' 15' b sousi = a b = c Kompaktibiitas dan kondisi batas K ab = K bc = I/3 = k 1 FE ab = q. = 1.3, FE ab = 7 p. a. b FE bc = FE bc = = = Pers. Sope Defection ab = EK (θ a + θ b ) + FE ab = EK (θ b ) 7 ba = EK (θ b ) + 7 bc = EK (θ b ) cb = EK (θ b ) Kesetimbangan: ba + bc = EK ( θ b ) EK ( θ b ) = EK.θ b = EK θ b =

21 .3 omen akhir ab = (-1.31) 7 = , ba = 4 (-1.315) + 7 = 8.75 bc = 4 (-1.315) = -8.75, cb = (-1.315) = a b ab ba cb 3' bc 15' 15' R ' ' Reaksi akibat beban uar Ra. 3' 3.6.3'.15' maka : Ra 54 3' = Reaksi akibat momen : a b b = c Σ b =, Ra. 3 I (ab + ba) =, maka : ab Ra ba ' Tota R ab = = 56.65, maka R ba = , gaya geser V a = 56.65, V ba = Dengan cara yang sama pada bagian baok, maka didapat : akibat beban uar R bc = 5, akibat momen R bc =.65, tota R bc = 7.65, maka R cb =.9375, gaya geser V bc = 7.65, V cb = idang Lintang sbr : x x , x x (3 x) idang momen sbr : ab max = (15.573) 3.6 (15.573) ½ = Dari, pada x = 15 cb = + (.9375 (15) ) =

22 KULIH PERTEUN 11 naisa struktur statis tak tentu dengan metode Sope defection Equation pada porta. Lembar Informasi 1. Kompetensi ahasiswa dapat menghitung reaksi peretakan dan menggambarkan bidang omen dan gaya intang dari porta statis tak tentu dengan metode Sope defection Equation. ateri eajar a) Penerapan Pada Porta (Tanpa pergoyangan) Gambar a. erupakan porta statis tak tentu tingkat satu dan ketidaktentuan kinematis tingkat tiga (Deformasi yang beum diketahui) θ a, θ b, θ c Δ ab = Δ bc = Sousi penyeesaiannya (sama seperti pada baok) Persamaan Sope Defection : ab = EK ab ( θ a + θ b ) + FE ab, Δ ab = ba = EK ab ( θ b + θ a ) + FE ba, Δ ba = bc = Ek bc ( θ b + θ c ), Δ bc = & FE bc = cb = Ek bc ( θ c + θ b ), Δ cb = & FE cb = Kesetimbangan persamaan: 59

23 Dititik : Σ a = ab = Dititik : Σ b = ba + bc = Dititik : Σ c = cb = Penyeesaian untuk dispacement 4EKab EKab EKab (4EKab 4EKbc) EKbc a EKbc b 4EKbc c FEab FEba b) Penerapan Pada Porta (Dengan pergoyangan) kibat beban P terjadi dispacement Horisonta di titik b & c maka Δ ab = Δ, sedang Δ bc =, Karena peretakan tidak turun. Pers. Sope Defection: 6

24 ab = EK ab (θ b - ba = EK ab ( θ b - 3 ) + FE ab θ a = 3 ) + FE ba θ a = bc = EK bc ( θ b + θ c ) FE bc =, Δ bc = cb = EK bc ( θ c + θ b ) FE cb =, Δ cb = Persamaan kesetimbangan : Σ b = ba + bc =....1) Σ c = cb =....) erdasarkan free-body batang ab ; Σ b = ab + ba +V ab. P.b = Dimana V ab = gaya geser koom pada peretakan a dengan V ab = P P. b ab ba aka : V ab = = P ab + ba = P.b P. Hasi subtitusi nf ke persamaan kesetimbangan: Pers. 1 : (4 EK ab + 4 Ek bc ) θ b + EK bc 6 EK ab = -FEba Pers. : EK bc θ b + 4 EK bc θ c = Pers. 3 : 6 EK ab θ b -1 EK ab = - FE ab FE ba + P.b P. Daam atrix: ( 4EKab 4EKbc ) EKbc 6EKab EKbc 4EKbc 6EKab Pa b b c 1EKab Pa ( b ) 3 persamaan matrix diseesaikan sehingga didapat dispacement θ b, θ c, Δ, kemudian niai θ b, θ c, Δ dimasukan ke momen ujung batang ( nf ) masing masing, maka didapat niai momennya : ab =..., ba =..., bc =..., cb =... 61

25 ontoh : Lihat Struktur porta di bawah ini Kompabiitas dan kondisi batas Δ ab = Δ cd = Δ Ψ ab = Ψ ba = Δ/15 I = Ψ Ψ bc = = Δ/ I Persamaan momen: : nf EKnf ( f ) 3Ynf ) FEnf K ab = K cd = I I /15 I = K ; K bc = I / I = 4. I I / I = 3 K 15 FE ab FE ba I K I K FE cb I K 181 FE bc 88 FE cd = FE dc = I K 6

26 Persamaan momen ujung batang (dengan sope defektions eq) ce = -(5 x 5) = -5 I-K (dari statika) ab = EK (θ b - 3Ψ) -. = EKθ b 6EKΨ -. ba = EK (θ b - 3Ψ) bc = E. 3K (θ b + θ c ) 88 cb = E. 3K (θ c + θ b ) + 19 cd = E. K (θ c - 3Ψ) dc = E. K (θ c - 3Ψ) Persamaan kesetimbangan 1. Joint b ba + bc =. Joint c cb + cd 5 = Pada koom ab dan cd b c ba ab H a 15 cd dc H d 15 1 Tetapi secara keseuruhan daam struktur 3. ΣH = H a + H d = k ab + ba + cd + dc = - (EK (θ b - 3Ψ) -.) + ( EK (θ b - 3Ψ) ) + ( EK (θ c - 3Ψ)) + ( EK (θ c - 3Ψ) ) = - 63

27 - asukan persamaan momen ke persamaan kesetimbangan, hasinya 16 EK θ b + 6 EK θ c 6 EK Ψ = EK θ b + 16 EK θ c 6 EK Ψ = EK θ b + 6 EK θ c 4 EK Ψ = -. Daam matrix: EKb EK c EK. EKb.14 - Hasinya : EK c 1.58 ft k EK EK θ b =.14 θ b = EK θ c = 1.58 θ c = EK.14 EK Ingat K = I I /15 I dan E = 3 x 1 3 ksi Fina momen : asukan hasi dispacement ke daam momen ujung batang ab = EKθ b 6EKΨ -. = (.14) - 6 (14.69). = -7.6 I-K ba = 4 (.14) - 6 (14.69) = 36.8 I-K bc = 1 (.14) + 6 (1.58) 88 = I-K cb = 1 (1.58) + 6 (.14) + 19 = I-K cd = 4 (1.58) - 6 (14.69) = I-K dc = (1.58)- 6 (14.69) = I-K ce = - 5 I-K (dari Statika) Secara umum. Diagram momen 64

28 at: Tinjauan koom dari arah kanan 65