GETARAN STRUKTUR. Didik Nurhadiyanto

Transkripsi

1 GETARAN STRUKTUR Didik Nurhadiyanto Penerbit K-Media Yogyakarta, 2015

2 Getaran Struktur Nurhadiyanto Desain Cover : den_nazz Tata Letak Isi : Nasir Nur H Copyright 2015 by Penerbit K-Media All right reserved Hak Cipta dilindungi Undang-Undang No. 19 Tahun Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari Penerbit K-Media. Cetakan Pertama: Maret 2015 Penerbit K-Media Perum Pondok Indah Banguntapan, Blok B-15 Potorono, Banguntapan, Bantul Yogyakarta kmedia.cv@gmail.com Didik Nurhadiyanto Getaran Struktur, Cet. 1 Yogyakarta: Penerbit K-Media, 2015 vi, 121 hlm; 15,5 x 23 cm ISBN: ii

3 KATA PENGANTAR Syukur Alhamdulillah saya panjatkan ke hadlirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat-nya sehingga buku Getaran Struktur ini dapat terselesaikan. Buku ini dibuat didasarkan karena kurangnya literatur tentang getaran struktur, yang sangat berguna bagi mahasiswa. Buku ini bisa digunakan oleh mahasiswa program diploma maupun strata satu. Bila sekiranya mahasiswa kurang memahami, maka mahasiswa bisa membaca referensi lain. Isi dari buku ini mulai dari dasardasar getaran, baik getaran bebas maupun getaran paksa, baik getaran teredam maupun tidak teredam. Sebelumnya juga banyak membahas tentang massa, konstanta kekakuan pegas, dan konstanta kekakuan redaman ekivalen. Selain hal yang tersebut di atas juga banyak membahas tentang frekuensi diri. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada istri dan anak atas pengertian dan kesabarannya selama penulisan buku ini. Penulis merasa masih banyak kekurangan di sana-sini, oleh karena itu saran dan kritik dari pembaca sangat saya harapkan demi kebaikan buku ini. Mudah-mudahan buku ini bisa bermanfaat bagi kita semua. Amiiin. Yogyakarta, Februari 2015 Penulis iii

4 iv

5 DAFTAR ISI KATA PENGANTAR... iii DAFTAR ISI... v BAB I DASAR-DASAR GETARAN Konsep Dasar Getaran Derajat Kebebasan Sistem Diskrit dan Kontinu Klasifikasi Getaran Prosedur Menganalisa Getaran Elemen Pegas Massa atau Inersia Elemen Elemen Redaman (Damping Element) Gerak Harmonik Gerak Periodik BAB II GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD KEBEBASAN Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman Metoda Energi (Metoda Lagrange) Kondisi Stablilitas Metoda Energi Rayleigh Resume BAB III GETARAN BEBAS TEREDAM Konstanta Redaman Kritis dan Rasio Redaman (Damping Ratio) Pengurangan Logaritmik Sistem Torsional dengan Viscous Damping v

6 3.4 Redaman Coulomb Resume BAB IV GETARAN YANG TEREKSITASI SECARA HARMONIK Sistem tanpa Redaman dengan Gaya Eksitasi Harmonik Sistem Getaran Teredam dengan Gaya Eksitasi Harmonik Resume SOAL-SOAL BAB I BAB II BAB III BAB IV DAFTAR PUSTAKA TENTANG PENULIS vi

7 BAB I DASAR-DASAR GETARAN Getaran adalah gerakan bolak-balik yang berulang dari bagian suatu benda atau mesin dari posisi kesetimbangan statisnya jika keadaan setimbang tersebut terganggu oleh gaya paksa (eksitasi) atau gerakan badan mesin tersebut. Gerakan bolak-balik ini biasa disebut sebagai osilasi. Semua benda yang mempunyai massa dan elastisitas mampu bergetar. Jadi mesin dan struktur rekayasa mengalami getaran sampai derajat tertentu dan rancangannya memerlukan pertimbangan sifat osilasinya. Karakteristik getaran meliputi parameter-parameter utama, yaitu frekuensi, amplitudo dan bentuk gelombang. Pengukuran dasar dengan menggunakan instrumen penting dilakukan untuk memperoleh hubungan waktu dengan perpindahan, kecepatan dan percepatan. Dari analisis dapat diperoleh informasi seperti frekuensi, amplitudo dan bentuk gelombang. 1.1 Konsep Dasar Getaran Pada umumnya sistem yang bergetar mengubah energi potensial menjadi energi kinetik atau kebalikannya mengubah energi kinetik menjadi energi potensial. Jika sistem mempunyai peredam maka beberapa energi diserap setiap siklus getaran dan harus diberi sumber dari luar untuk menjaga getaran yang tetap (steady state). Gerakan pendulum sederhana yang terlihat pada Gambar 1.1 merupakan contoh getaran. Penjelasan gerakan pendulum bisa dijelaskan sebagai berikut. Massa m dilepas setelah diberi simpangan sudut sebesar θ. Pada posisi 1 kecepatan dan energi kinetiknya adalah nol. Tetapi mempunyai energi potensial sebesar mgl(1-cos θ), bila posisi 2 sebagai kondisi setimbang. Gaya gravitasi mg bisa diuraikan menjadi mg sin θ dan mg cos θ, di mana mgl sin θ merupakan torsi terhadap titik O, maka massa m akan bergerak 1

8 ke kiri dari posisi 1. Pada keadaan ini massa m percepatan sudut searah jarum jam, dan dalam waktu tertentu akan mencapai pada kedudukan 2. Pada posisi ini seluruh energi potensial diubah menjadi energi kinetik. Kedudukan massa m terus bergerak dari posisi 2 ke posisi 3 di mana pada posisi 3 seluruh energi kinetik pada posisi 2 diubah menjadi energi potensial. Setelah itu massa m akan bergerak berlawanan arah jarum jam tetapi posisi tertingginya akan lebih rendah dari posisi 1 karena ada redaman dari udara. Gerakan ini akan berulang dari posisi 3 ke posisi 2 dan posisi 1 tetapi posisi 1 dan 3 akan semakin berkurang sampai pendulum akan berhenti. Gambar 1.1 Pendulum sederhana 1.2 Derajat Kebebasan Derajat kebebasan (degree of freedom/dof) adalah jumlah koordinat independen yang dibutuhkan untuk menentukan posisi atau gerakan secara lengkap setiap bagian dari sistem. Suatu partikel bebas yang mengalami gerak umum dalam ruang memiliki tiga derajat kebebasan, yaitu tiga komponen posisi dalam arah sumbu x, y dan z. Benda kaku mempunyai enam derajat kebebasan, yaitu tiga komponen posisi dan tiga sudut yang menyatakan orientasinya. 2

9 Massa m Gambar 1.2 adalah contoh sistem dengan satu derajat kebebasan. Pada Gambar 1.2(a) massa m hanya bergerak dalam arah sumbu x sedangkan pendulum pada Gambar 1.2(b) massa m hanya bergerak dalam arah θ untuk koordinat polar. (a) sistem massa-pegas (b) sistem torsional Gambar 1.2 Sistem satu derajad kebebasan Beberapa contoh untuk sistem dengan dua dan tiga derajat kebebasan terlihat pada gambar 1.3 dan 1.4. Gambar 1.3(a) menunjukkan sistem dua massa dengan dua pegas yang digambarkan dengan dua koordinat, yaitu x 1 dan x 2. Sedangkan untuk gambar 1.3(b) sistem massa m dan pendulum yang dibatasi oleh dua koordinat, yaitu X dan θ atau oleh x, y dan X. Pada kasus berikutnya x dan y diartikan bahwa x 2 + x 2 = l 2, di mana l adalah konstan. (a) sistem dua massa dengan dua pegas (b) sistem massa dengan pendulum Gambar 1.3 Sistem dengan dua derajat kebebasan 3

10 Gambar 1.4(a) dan (c), koordinat x i (i = 1,2,3) dan θ i (i = 1,2,3) dapat digunakan untuk menggambarkan posisi dan gerakan massa m 1, m 2 dan m 3. Pada kasus 1.4(b) posisi dan gerakan massa m i (i = 1,2,3) digambarkan dengan posisi θ i (i = 1,2,3). Gambar 1.4 Sistem dengan tiga derajat kebebasan 1.3 Sistem Diskrit dan Kontinu Di dalam getaran suatu sistem mekanik apabila kita anggap massamassa dari bodi terkonsentrasi pada pusat gravitasinya disebut sistem getaran diskrit (discrete or lumped vibration System). Gambar 1.1 sampai 1.4 merupakan contoh untuk discrete vibration system. Sebagai gambaran kita ambil contoh pada Gambar 1.4(b). Sistem terdiri dari 3 massa, yaitu m 1, m 2 dan m 3. Posisi masing-masing massa berada pada pusat massa m 1, m 2 dan m 3. Dalam sumbu kartesian posisi m 1 dinyatakan dalam (x 1,y 1 ), posisi m 2 dinyatakan dalam (x 2,y 2 ) dan posisi m 3 dinyatakan dalam (x 3,y 3 ). 4

11 Sistem getaran yang kontinu (continous or distributed vibration system) adalah suatu sistem getaran yang terdiri dari molekul-molekul atau partikel-partikel yang berjumlah tak terhingga di mana partikel-partikel tersebut mempunyai pergerakan elastis yang relatif satu sama lain. Continous vibration system mempunyai derajat kebebasan yang tak terhingga. Pada umumnya partikel-partikel terletak pada satu domain yang dianggap tidak berubah banyak. Perubahan bentuk dari domain disebabkan pergerakan elastik relatif dari partikel-partikel tersebut. Perubahan bentuk ini biasa disebut sebagai deformasi domain. Domain ini disebut sebagai continous elastic body. Dalam continous elastic body tidak ada pusat garvitasi yang tetap untuk seluruh bodi karena domain selalu berubah-ubah bentuk geomerinya. Dengan demikian massa untuk continous elastic body merupakan distribusi massa partikel-partikel anggota di seluruh domain. Domain kedudukan partikel-partikel dan deformasi bentuk dapat dilihat pada Gambar 1.5. (a) Domain kedudukan partikel-partikel (b) Deformasi bentuk dari domain Gambar 1.5 continous elastic body Analisis sistem getaran yang kontinu sangat susah dan biasanya dilakukan menggunakan: 1. Metode elemen hingga (finite elemen method) 2. Finite defference method 3. Aproksimasi analitis 4. Analog komputer 5

12 1.4 Klasifikasi Getaran Getaran dapat diklasifikasikan dengan berbagai jalan. Beberapa klasifikasi yang penting adalah seperti uraian ini. a. Getaran bebas dan getaran paksa Getaran bebas terjadi jika setelah diberi gangguan awal sistem akan berosilasi sendiri karena bekerjanya gaya yang ada dalam sistem itu sendiri dan tidak ada gaya dari luar yang bekerja. Karena tidak ada gaya luar yang bekerja maka sistem akan berhenti dalam waktu tertentu. Hal ini disebabkan adanya redaman pada sistem getaran atau dari luar sistem getaran. Getaran paksa terjadi karena rangsangan gaya dari luar atau biasa disebut eksitasi. Jika rangsangan itu berosilasi maka, sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi rangsangan. Jika frekuensi rangsangan sama dengan salah satu frekuensi natural sistem, maka akan didapat keadaan resonansi, dan osilasi yang besar dan berbahaya akan terjadi. Kerusakan pada struktur seperti jembatan, gedung, sayap pesawat terbang dan lainlain merupakan kejadian yang menakutkan yang disebabkan resonansi. Jadi perhitungan frekuensi natural merupakan hal yang sangat penting. b. Linier dan tidak linier Sistem yang berosilasi secara luas dapat digolongkan sebagai linier dan tidak linier. Jika komponen dasar sistem getaran seperti pegas, massa dan peredam linier, maka getaran yang terjadi akan linier, sedangkan bila komponen dasar sistem getaran tidak linier getaran yang terjadi juga tidak linier. Untuk sistem linier prinsip superposisi berlaku dan teknik matematika yang ada untuk melaksanakan hal itu dikembangkan dengan baik. Sebaliknya, teknik untuk menganalisis sistem tidak linier kurang dikenal dan sukar digunakan, serta prinsip superposisi tidak valid. Namun demikian, pengetahuan tentang sistem tidak linier dibutuhkan sebab semua sistem cenderung menjadi tidak linier dengan bertambahnya amplitudo osilasi. 6

13 c. Getaran teredam dan tanpa redaman Jika tidak ada energi yang hilang atau diserap (disipasi) oleh gesekan atau tahanan yang lain selama osilasi, maka getaran yang terjadi dinamakan getaran tanpa redaman atau undumped vibration. Tetapi jika ada energi yang hilang atau diserap maka getaran yang terjadi dinamakan getaran teredam atau damped vibration. Semua sistem yang bergetar mengalami redaman sampai derajat tertentu karena energi didisipasi oleh gesekan dan tahanan lain. Jika redaman itu kecil, maka pengaruhnya sangat kecil pada frekuensi natural sistem dan perhitungan frekuensi natural biasanya dilaksanakan atas dasar tidak ada redaman. Sebaliknya redaman sangat penting untuk membatasi amplitudo osilasi waktu resonansi. (a) eksitasi deterministik (periodik) (b) eksitasi random Gambar 1.6 eksitasi deterministik dan random d. Getaran diterministik dan non-deterministik Getaran deterministik adalah getaran suatu sistem yang bisa diketahui atau diprediksi setiap saat. Getaran non-deterministik adalah getaran suatu sistem yang tidak bisa diketahui atau diprediksi setiap saat. Jika harga atau besaran eksitasi (gaya atau gerakan) yang bekerja pada sistem yang akan digetarkan diketahui setiap saat maka dinamakan eksitasi deterministik. Getaran yang terjadi merupakan getaran deterministik. Contoh getaran deterministik adalah getaran harmonik, getaran sinusoidal dan getaran periodik. Pada kasus lain, jika gaya eksitasi tidak dapat diprediksikan setiap saat, maka dinamakan eksitasi non-deterministik atau 7

14 random. Getaran yang terjadi juga non-deterministik atau random. Contoh eksitasi random adalah kecepatan angin, kekasaran jalan, gempa bumi dan lain-lain. Untuk eksitasi deterministik dan random bisa dilihat pada Gambar Prosedur Menganalisa Getaran Respon getaran pada sistem getaran biasanya tergantung pada kondisi awal sama seperti eksitasi dari luar. Dalam praktiknya sistem getaran sangat komplek, dan tidak mungkin dikerjakan secara detail dengan analisis matematika, tetapi yang mungkin adalah perhitungan analisis untuk memprediksikan kelakuan sistem berdasarkan kondisi input yang spesifik. Untuk menyederhanakan sistem seringkali dibuat modelnya. Sehingga analisa sistem getaran antara lain meliputi model matematika, membuat persamaan matematikanya, penyelesaian persamaan matematika dan interpretasi persamaan getaran. Masing-masing langkah bisa dijelaskan sebagai berikut: Langkah 1: pemodelan matematika. Pemodelan matematika menggambarkan semua bagian penting dari sistem untuk diturunkan persamanan matematika (untuk analisis) sesuai tingkah laku dari sistem. Model matematika harus mendetail supaya bisa menggambarkan sistem dalam rangka pembuatan persamaan matematika tanpa membuat benda secara komplek. Model matematika bisa linier atau non-linier, tergantung keadaan sistem itu sendiri. Contoh pemodelan matematika dapat dilihat pada Gambar 1.7. Gambar 1.7(a) merupakan gambar forging hammer secara detail. Dalam analisis getaran harus dibuat model matematika. Di sini dibuat dalam dua model matematika, yaitu Gambar 1.7(b) menunjukkan perilaku getaran sistem secara keseluruhan di mana frame, anvil, elastic pad dan pondasi dianggap sebagai satu kesatuan, dan Gambar 1.7(c) menggambarkan getaran dari bagian-bagian mesin. 8

15 (a) Forging hammer (b) Model matematika keseluruhan sistem (c) Model matematika bagian sistem Gambar 1.7 Pemodelan untuk forging hammer Langkah 2: Persamaan matematika. Setelah pemodelan matematika dibuat, maka kita buat persamaan matematika dengan menggunakan prisip dinamika. Persamaan gerakan bisa kita buat setelah dibuat diagram benda bebas (free body diagram) massa yang ada. Diagram benda bebas suatu 9

16 massa dengan memisahkan massa tersebut dan mengidentifikasi gaya-gaya yang bekerja, yaitu gaya-gaya luar, gaya reaksi dan gaya inersia. Persamaan perpindahan dari sistem getaran biasanya dalam bentuk persamaan diferensial biasa untuk sistem diskrit dan persamaan diferensial parsial untuk sistem yang kontinu. Beberapa pendekatan yang digunakan untuk menurunkan persamaan matematika, antara lain hukum kedua Newton tentang gerak, prinsip d Alembert dan prinsip konservasi energi. Contoh soal 1.1. Pada Gambar 1.8(a) terlihat motor dan pengendaranya. Berdasarkan kekakuan elastisitas pada ban, elastisitas dan peredam shock (arah vertikal), massa roda, massa motor serta elastisitas peredam dan massa penumpang dan jok (penumpang dan jok jadi satu). Buatlah model matematikanya! Jawab : Pertama kita tentukan sistem yang terdiri dari manusia dan kendaraan dianggap sebagai satu kesatuan sistem. Massa yang digunakan adalah massa total pengendara dan motor disebut sebagai massa ekivalen. Redaman dan pegas yang terjadi juga dinamakan redaman ekivalen dan konstanta pegas ekivalen. Gambar 1.8(b) adalah pemodelan sistem ekivalen. Pegas dan redaman ekivalen merupakan sistem pegas dan redaman yang terdiri dari penumpang dan jok, shock, dan ban. Pemodelan berikutnya kita pisah-pisahkan berdasarkan massa dari setiap bagian. Pemisahan massa ini tergantung kebutuhan yang akan dianalisa dan kondisi redaman dan pegas setiap bagian. Dalam hal ini, kita pisahkan massa menjadi tiga bagian, yaitu massa pengendara, massa motor dan massa roda. Di antara pengendara dan motor terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu jok dan bodi pengendara. Di antara motor dengan roda terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu shock. Di antara motor dan roda terdapat sistem pegas dan redaman, yaitu ban. 10

17 (a) motor dan pengendara (b) pemodelan sistem sebagai satu kesatuan (c) pemodelan per elemen Gambar 1.8 Motor dan pengendara - sistem fisik dan pemodelan Keterangan indeks: ek : ekivalen p : penumpang m : motor s : shock r : roda b : ban 11

18 Langkah 3: Penyelesaian persamaan getaran. Persamaan matematika harus diselesaikan untuk memperoleh respon getaran. Penyelesaian ini tergantung dari permasalahan, tetapi penyelesaian ini bisa dilakukan antara lain dengan penyelesaian persamaan diferensial, metode transformasi laplace, metode matrik dan metode numerik. Langkah 4: Interpretasi respon getaran. Penyelesaian persamaan getaran diperoleh simpangan, kecepatan dan percepatan dari variasi massa sistem. Respon ini harus dikerjakan dengan analisis yang tepat dan penerapan desain yang sesesuai mungkin. 1.6 Elemen Pegas Bila suatu pegas linier dikenai gaya sebesar F di mana pegas mempunyai kekakuan k maka pegas akan terdefleksi. Misalkan defleksi pegas sebesar x, maka akan berlaku hubungan linier seperti pada persamaan (1.1). F = k x (1.1) F x Gambar 1.9 Hubungan gaya dengan defleksi pegas 12

19 Jika kita plot grafik hubungan F dengan x akan terbentuk garis miring yang linier, luasan di bawah garis miring pada x yang tertentu merupakan energi potensial pegas (U), lihat Gambar U kx (1.2) Apabila sistem getaran bukan merupakan pegas dan massa yang diberi gaya luar, tetapi merupakan sistem lain maka bisa dibuat seperti massa ekivalen dan pegas yang mempunyai konstanta ekivalen. Gambar 1.10 dan 1.11 masing-masing batang dan beam yang bisa dianggap sebagai pegas dengan konstanta pegas ekivalen. Pada batang yang mempunyai luas penampang A dan diberi gaya F akan terdefleksi sejauh l. F σ (1.3) A (a) Batang ditarik gaya (b) Pegas ekivalen Gambar 1.10 Batang ditarik gaya sebagai pegas ekivalen σ = ɛ E (1.4) bila persamaan (1.3) dan (1.4) disamakan diperoleh : 13

20 (1.5) di mana : (1.6) di mana : F = k Δl sehingga : AE k (1.7) l Gambar 1.11 menunjukkan kantilever atau beam dengan massa merada di ujung. Elemen elastik seperti ini bisa juga dianggap sebagai pegas. Untuk menyederhanakan masalah massa beam, dianggap nol bila dibandingkan dengan massa m. Dari mata kuliah kekuatan bahan kita tahu bahwa defleksi pada ujung beam sejauh δ st. (1.8) di mana : W = m g, yaitu berat dari massa m E = modulus elastisitas I = momen inersia penampang beam Sedangkan konstanta pegas mempunyai hubungan W 3EI k (1.9) 3 δ l st 14

21 (a) sistem aktual (b) model single degree of freedom Gambar 1.11 Kantilever dengan massa di ujung Dalam aplikasi praktis beberapa pagas linier digunakan dalam kombinasi. Pegas-pegas tersebut bisa diganti menjadi sebuah pegas dengan indikasi yang berbeda-beda, Kasus 1 : Pegas-pegas disusun paralel. Bila dua buah pegas atau lebih yang mempunyai konstanta tertentu disusun secara paralel dan di ujung pegas-pegas tersebut diberi beban dengan berat W, maka pegas-pegas tersebut akan terdefleksi. Defleksi yang terjadi akan sama pada masingmasing pegas, yaitu sebesar st. Susunan pegas paralel bisa dilihat pada gambar 1.12(a) dan 1.12(b), sedangkan diagram benda bebasnya terlihat pada gambar 1.12(c). Kita lihat diagram benda bebas, di sana terjadi kesetimbangan. W = k 1 δ st + k 2 δ st (1.10) Jika k ek adalah konstanta ekivalen pegas dari kombinasi dua pegas, maka untuk defleksi yang sama kita punya seperti persamaan (1.11). W = k ek δ st (1.11) Dengan menyamakan persamaan (1.10) dan (1.11) kita peroleh suatu persamaan seperti persamaan

22 K ek = k 1 + k 2 (1.12) (a) susunan pegas paralel (b) susunan diberi beban (c) diagram benda bebas Gambar 1.12 Susunan pegas paralel Dari uraian di atas, maka kita bisa mengambil suatu kesimpulan bila suatu pegas disusun secara paralel maka konstata pegas ekivalen adalah penjumlahan dari seruruh konstanta pegas penyusun, persamaannya bisa dilihat pada persamaan (1.13). K ek = k 1 + k 2 + k n (1.13) Kasus 2: Pegas-pegas disusun secara seri. Gambar 1.13 menunjukkan dua buah pegas yang mempunyai konstanta pegas tertentu dan disusun secara seri. Beban W diberikan pada ujung pegas, maka susunan pegas akan terdefleksi sejauh st. Defleksi ini merupakan penjumlahan masingmasing defleksi kedua pegas. Total defleksi statik sistem adalah st, yang diberikan oleh persamaan (1.14). δ st = δ 1 +δ 2 (1.14) 16

23 Kedua pegas menerima beban sebesar W, bila kita lihat diagram benda bebas pada gambar 1.12(c) maka W = k 1 δ 1 W = k 2 δ 2 (1.15) (a) susunan pegas seri (b) susunan diberi beban (c) diagram benda bebas Gambar 1.13 Susunan pegas seri yang diberi beban Kita misalkan k ek adalah konstanta pegas ekivalen sistem, untuk jumlah defleksi statik yang sama, maka W = k ek δ st (1.16) Dari persamaan (1.15) dan (1.16) diperoleh W = k 1 δ 1 = k 2 δ 2 = k ek δ st 17

24 k δ ek st δ2 (1.17) k 2 Substitusi persamaan (1.17) ke dalam persamaan (1.14) diperoleh 1 k ek 1 1 (1.18) k k 1 2 Secara umum, apabila beberapa pegas yang mempunyai konstanta kekakuan yang berbeda-beda maka dapat disimpulkan seperti persamaan k ek (1.19) k k k 1 2 n Contoh soal 1.2 Batang AB pada crane terlihat pada gambar 1.14(a) adalah batang seragam yang panjangnya 10 m dan luas penampangnya adalah 2500 mm 2. Kabel CDEBF terbuat dari baja dan mempunyai luas penampang 100 mm 2. Efek kabel CDEB diabaikan. Hitung konstanta kekauan pegas ekivalen dalam arah vertikal. Jawab : Selama landasan Crane kaku, kabel dan batang akan tetap berada pada posisi F dan A. Juga bila efek kabel CDEB diabaikan, maka berat W bekerja di titik B seperti terlihat pada Gambar 1.14(b). Simpangan vertikal x menyebabkan batang dengan kekakuan pegas k 2 akan terdeformasi 18

25 sejauh x 2 = x cos 45 0 dan kabel dengan kekakuan k 1 akan terdeformasi sejauh x 1 = x cos(90 - θ). Panjang kabel FB, l 1 pada Gambar 1.14(b) adalah l 1 2 = (3)(10)cos = , sehingga l 1 = m Sudut θ diberikan oleh hubungan l (l 1 )(3)cos θ = 10 2, sehingga cos θ = , dan θ = (a) Crane (b) pemodelan getaran (c) pegas ekivalen Gambar 1.14 Crane dengan beban 19

26 Energi potensial total (U) disebabkan oleh k 1 dan k 2 seperti diberikan oleh persamaan 1.2 di atas adalah U = ½ k 1 (x cos 45 0 ) 2 + ½ k 2 [x cos (90 - θ)] 2 di mana ( )( ) ( )( ) Bila pegas ekivalen arah vertikal terdeformasi sejauh x, Energi potensal pegas ekivalen (U ek ) diberikan Dengan mengambil U = U ek maka akan diperoleh konstanta pegas ekivalen sistem k ek = x 10 6 N/m 1.7 Massa atau Inersia Elemen Massa atau Inersia Elemen diasumsikan untuk benda kaku (rigid body). Disini energi kinetik akan bertambah atau berkurang dengan berubahnya kecepatan. Dari hukum kedua Newton tentang gerakan, bahwa massa dikalikan dengan percepatannya akan sama dengan gaya yang bekerja padanya. Kerja adalah gaya yang bekerja dikalikan dengan jarak perpindahan yang searah dengan gaya yang bekerja pada massa dan diberikan dalam bentuk energi kinetik dari massa tersebut. 20

27 Dalam banyak kasus, kita harus menggunakan model matematika untuk merepresentasikan sistem getaran yang sesungguhnya dan ada beberapa model yang mungkin. Untuk menganalisa kita harus menentukan mana model matematika yang sesuai. Salah satu model yang dipilih adalah massa atau inersia elemen dari sistem yang dapat diidentifikasi dengan mudah. Sebagai contoh kantilever beam yang mempunyai massa di ujung yang terlihat pada gambar 1.11(a). Untuk menganalisisnya maka beam biasa dimodelkan sebagai sistem pegas seperti pada gambar 1.11(b). Contoh lain bangunan bertingkat seperti gambar 1.15(a) apabila terkena gempa bumi. Massa dari tembok diabaikan dibandingkan massa lantai setiap tingkat. Bangunan dimodelkan sebagai multi DOF seperti terlihat pada Gamabr 1.15(b). Massa setiap lantai dianggap sebagai massa elemen dan elastisitas bagian vertikal dianggap sebagai elemen pegas. m 5 x 5 m 5 k 5 m 4 k 5 x 4 k 4 m 3 m 4 k 4 x 3 k 3 m 2 m 3 k 3 x 2 k 2 m 1 m 2 k 2 x 1 k 1 m 1 k 1 (a) bangunan bertingkat (b) model matematika Gambar 1.15 Idealisasi bangunan bertingkat sebagai multi DOF 21

28 Dalam penerapannya, beberapa massa berada dalam satu kombinasi. Sebagai contoh analisis, kita akan mengganti massa-massa ini sebagai sebuah massa ekivalen. Kasus 1. Beberapa massa dihubungkan oleh suatu batang : Beberapa massa diletakkan pada batang seperti pada Gambar Massa-massa tersebut bisa diganti dengan massa ekivalen yang diletakkan di sembarang titik pada batang. Sebagai contoh spesifik massa ekivalen diletakkan pada m 1 seperti terlihat pada Gambar 1.16(b). Kecepatan massa-massa m 2 dan m 3 bisa dinyatakan dalam kecepatan m 1, dengan asumsi perpindahan sudut batang yang kecil., (1.20) Dan (1.21) (a) tiga massa terletak pada batang (b) massa ekivalen pada batang Gambar 1.16 Beberapa massa translasi dihubungkan oleh batang 22

29 Dengan menyamakan energi kinetik ketiga massa dengan sistem sebuah massa ekivalen, kita peroleh (1.22) dengan mensubstitusi persamaan (2.20) dan (2.21) ke dalam persamaan (2.22) diperoleh ( ) ( ) (1.23) Kasus 2: Massa translasi dan rotasi digabung menjadi satu. Massa m bergerak translasi dengan kecepatan digabung dengan massa lain yang bergerak rotasi yang mempunyai kecepatan sudut dan momen inersia massa J 0, seperti rack dan pinion pada Gambar Kedua massa ini bisa diganti dengan sebuah massa yang bergerak translasi dengan massa m ek atau bergerak rotasi dengan momen inersia massa J ek. x Gambar 1.17 massa translasi dan rotasi pada rack dan pinion. 23

30 1. Massa translasi ekivalen. Energi kinetik kedua massa diberikan oleh. (1.24) energi kinetik massa ekivalen diberikan oleh di mana (1.25) dan dengan menyamakan T = T ek dan mengganti harga-harga di atas, maka ( ) sehingga (1.26) 2. Massa rotasional ekivalen. Di sini dan, dengan menyamakan T dan T ek pada persamaan 1.24 dan 1.25 di atas, maka ( ) sehingga (1.27) 24

31 1.8 Elemen Redaman (Damping Element) Dalam beberapa sistem, energi getaran berangsur-angsur diubah menjadi panas atau sound. Karena adanya reduksi energi, maka respon getaran seperti simpangan berangsur-angsur akan menurun. Sistem mekanik di mana energi getaran berangsur-angsur diserap menjadi panas dan sound dikenal sebagai redaman. Walaupun penyerapan energi ini relatif kecil namun mempertimbangkan redaman tetap penting untuk ketepatan perhitungan respon getaran sistem. Peredam berfungsi sebagai gaya bila ada kecepatan relatif di antara dua ujung peredam. Peredam bisa dimodelkan sebagai salah satu atau lebih dari tipe-tipe berikut: Viscous Damping. Viscous damping adalah yang paling umum digunakan sebagai redaman mekanik dalam analisis getaran. Bila sistem mekanik digetarkan di medium fluida, seperti udara, gas, air dan oli akan terjadi tahanan bodi oleh fluida sebab energi sistem diserap. Dalam hal ini besarnya penyerapan tergantung pada beberapa faktor, seperti ukuran dan bentuk bodi getaran, viskositas fluida, dan kecepatan bodi yang bergetar. Gaya redaman sebanding dengan kecepatan bodi yang bergetar. Contoh tipe viscous damping adalah selaput fluida di antara permukaan yang bergesekan, aliran fluida di sekeliling piston dalam silinder, aliran fluida yang melewati orifis dan selaput fluida di sekitar jurnal bearing. Coulomb atau Redaman Gesekan. Di sini besarnya gaya redaman adalah konstan tetapi arahnya berlawanan dengan bodi yang bergetar. Redaman ini disebabkan oleh gesekan antara bidang gesekan yang kering atau mempunyai pelumas diantaranya. Material atau Solid atau Hysteretic Redaman. Ketika material terdeformasi, energi diserap oleh material. Hal ini disebabkan gesekan antara internal planes, yang slip atau bergeser karena deformasi. Bila bodi mempunyai material redaman, diagram tegangan regangan ditunjukkan oleh hysteretic loop seperti pada Gambar 1.18(a). Luas loop ini merupakan energi yang hilang setiap volume bodi per siklus. 25

32 (a) (b) Gambar 1.18 Hysteretic loop untuk material elastik (1.29) di mana A adalah luas permukaan pelat yang bergerak, dan (1.30) dinamakan konstanta redaman. Gambar 1.19 Plat paralel dengan fluida kental di antaranya 26

33 Kombinasi Peredam Bila beberapa peredam dipasang secara bersama-sama, maka bisa diganti oleh sebuah peredam ekivalen dengan prosedur sama seperti beberapa pegas yang dipasang secara bersama-sama (lihat sub bab 1.6). Contoh soal 1.3 Tentukan konstanta redaman pada dashpot yang terlihat pada Gambar 1.20 di bawah. Diketahui diameter silinder = D + 2d, diameter piston = D, kecepatan piston = v, panjang aksial piston = l dan viskositas fluida = μ. Gambar 1.20 Piston-silinder dashpot Jawab : Seperti pada Gambar 1.20, dashpot terdiri dari piston dengan diameter D, panjang l, bergerak dengan kecepatan v 0 pada silinder dan diberi pelumas dengan viskositasμ. Ruang antara piston dan silinder adalah d. Pada jarak y dari permukaan yang bergerak mempunyai kecepatan dan tegangan geser masing-masing v dan τ, dan pada jarak (y + dy) mempunyai kecepatan (v dv) dan tegangan geser (τ + d τ). Harga negatif untuk kecepatan menunjukkan bahwa kecepatan akan berkurang dengan bertambahnya y. Gaya karena kekentalan fluida dapat ditulis sebagai berikut 27

34 (E.1) tegangan geser diberikan oleh (E.2) di mana tanda negatif menyatakan gradien kecepatan yang berkurang. Dengan memasukkan persamaan (E.2) ke (E.1), diperoleh (E.3) Tekanan piston pada ujung bawah piston diberikan ( ) (E.4) Gaya tekanan di sekitar piston adalah ( ) (E.5) di mana (π D dy) menunjukkan luas annular antara y dan (y + dy). Jika diasumsikan kecepatan rata-rata seragam pada arah gerakan pada fluida, maka gaya pada persamaan (E.3) dan (E.5) harus sama, diperoleh (E.6) 28

35 Dengan mengintegrasikan dua kali dan memberikan kondisi batas v = - v 0 pada y = 0 dan v = 0 pada y = d, kita peroleh ( ) ( ) (E.7) debit rata-rata yang melewati ruang antara piston dan silinder dapat diperoleh dengan mengintegrasikan debit fluida yang dipindahkan karena gerakan piston diantara y = 0 dan y = d. * + (E.8) Volume aliran fluida yang melewati ruang antara per detik harus sama dengan volume per detik yang dipindahkan oleh piston. Sehingga kecepatan piston harus sama debit rata-rata fluida dibagi dengan luas piston. ( ) (E.9) Dengan memasukkan Q pada persamaan (E.9) ke persamaan (E.8) diperoleh 0 ( ) 1 (E.10) Persamaan (E.10) bisa diganti P = c v 0, di mana c adalah konstanta redaman yang besarnya 0 ( ) 1 (E.11) 29

36 Contoh soal 1.4 Mesin milling ditahan oleh empat shock seperti pada Gambar Elastisitas dan redaman shock dapat dimodelkan sebagai pegas dan peredam seperti pada Gambar 1.21(b). Tentukan konstanta pegas ekivalen (k ek ) dan konstanta redaman ekivalen (c ek ). Jawab : (a) 30

37 (b) (c) Gambar 1.21 Mesin miling horisontal Free body diagram untuk keempat pegas dan redaman bisa dilihat pada Gambar 1.21(b). Letak pusat massa G adalah di tengah-tengah keempat pegas dan redaman, semua pegas akan terdefleksi yang sama sejauh x dan semua peredam juga akan mempunyai kecepatan yang sama sebesar. Gaya yang bekerja pada pegas (F si ) dan peredam (F di ) adalah: 31

38 (E.1) Total gaya untuk semua pegas dan semua peredam adalah Fs dan Fd, maka (E.2) Dari persamaan (E.1) dan (E.2) dan harga x serta c setiap sudut sama, maka diperoleh ( ) ( ) (E.3) di mana F s + F d = W, dan W adalah total gaya vertikal (termasuk gaya inersia) yang bekerja pada mesin milling. Pada Gambar 1.21 (c) terlihat (E.4) Dengan menyamakan persamaan (E.3) dan (E.4) dan k i = k serta c i = c maka (E.5) 32

39 1.9 Gerak Harmonik Gerak osilasi dapat berulang secara teratur, misalnya gerak pendulum sederhana. Osilasi bisa juga bergerak tidak beraturan, contoh gerakan tanah saat terjadi gempa bumi. Jika gerakan terulang pada interval yang sama ( ), maka dinamakan gerak periodik. Waktu pengulangan tersebut disebut perioda osilasi, dan kebalikannya, f = 1/, disebut frekuensi. Jika gerak dinyatakan dalam fungsi x(t), maka setiap gerak periodik harus memenuhi hubungan x(t) = x(t + ). Bentuk gerak periodik yang paling sederhana adalah gerak harmonik. Hal ini dapat diperagakan pada sebuah massa yang tergantung pada sebuah pegas ringan pada mekanis yoke Scotch seperti terlihat pada Gambar Pada sistem ini crank mempunyai jari-jari A, dan berpusat di O. Ujung crank yang satunya P bergerak dibatasi slot yang bergerak vertikal dan dibatasi R. Ketika crank berotasi dengan kecepatan sudut, ujung S juga bergerak sesuai slot dan massa m pada sistem massa-pegas dari posisi tengah bergerak sejauh x (fungsi waktu) yang diberikan oleh (1.31) Besaran biasanya diukur dalam radian per detik dan disebut frekuensi lingkaran. Karena gerak berulang dalam 2 radian, maka didapat hubungan (1.32) dengan dan f adalah perioda dan frekuensi gerak harmonik, berturut-turut biasanya diukur dalam detik dan siklus per detik. Gerakan massa merupakan sinusoidal seperti terlihat pada gambar Kecepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh ( ) (1.33) 33

40 dan percepatan getaran massa m setiap saat diberikan oleh ( ) (1.34) Gambar 1.22 Mekanis Yoke Scotch Jadi kecepatan dan percepatan juga harmonik dengan frekuensi osilasi yang sama, tetapi mendahului simpangan, berturut-turut dengan /2 dan radian. Gambar 1.23 menunjukkan baik perubahan terhadap waktu maupun hubungan fasa vektor antara simpangan, kecepatan dan percepatan pada gerak harmonik. 34

41 Gambar 1.23 Dalam gerak harmonik, kecepatan dan percepatan mendahului simpangan dengan dan 2 Peninjauan kembali persamaan (1.31) dan (1.34) menunjukkan bahwa (1.35) sehingga dalam gerak harmonik, percepatan adalah sebanding dengan simpangan dan arahnya menuju titik asal Besaran vektor untuk Merepresentasikan Getaran Harmonik Getaran harmonik dapat direpresentasikan oleh vektor dengan besar A yang bergerak berputar dengan kecepatan konstan, seperti terlihat pada Gambar

42 Proyeksi vektor pada sumbu vertikal diberikan oleh (1.36) dan untuk proyeksi terhadap sumbu horizontal diberikan oleh (1.37) Gambar 1.24 Getaran harmonik sebagai proyeksi suatu titik yang bergerak pada lingkaran 36

43 1.9.2 Bentuk Eksponensial dan Bilangan Kompleks untuk Merepresentasikan Getaran Harmonik Fungsi trigonometrik sinus dan cosinus dihubungkan dengan fungsi eksponensial oleh persamaan Euler (1.38) Suatu vektor dengan amplitudo A yang berputar dengan kecepatan sudut tetap dapat dinyatakan sebagai besaran komplek dalam diagram Argand seperti terlihat dalam Gambar y (imajiner) b A t a x (riil) Gambar 1.25 Diagram Argan (1.39) (1.40) (1.41) dengan ( ), dan ( ) 37

44 Besaran disebut sinusoid komplek dengan a dan b adalah komponen riil dan imajiner. Besaran juga memenuhi persamaan untuk gerak harmonik Gerak Periodik Pada getaran biasanya beberapa frekuensi yang berbeda ada secara bersama-sama. Contoh getaran dawai biola terdiri dari frekuensi dasar f dan semua harmoniknya 2f, 3f dan seterusnya. Getaran semacam ini menghasilkan bentuk gelombang komplek yang diulang secara periodik seperti Gambar Matematikawan Perancis J. Fourier ( ) menunjukkan bahwa tiap gerak periodik dapat dinyatakan oleh deretan sinus dan cosinus yang dihubungkan secara harmonik. Jika x(t) adalah fungsi periodik dengan perioda, maka fungsi ini dinyatakan oleh deret Fourier. ( ) ( ) ( ) (1.42) di mana = 2 / dan a 0, a 1, a 2.a n, b 1, b 2,.b n adalah koefisien konstan. Untuk menghitung koefisien a n dan b n, dengan mengalikan cos n t dan sin n t kedua ruas persamaan (1.42), serta mengintegrasikan dengan satu perioda = 2 /. Dengan mengingat hubungan berikut { } { } (1.43) 38

45 , - maka semua suku kecuali satu pada ruas kanan persamaan adalah nol, dan diperoleh hasil, ( ) ( ) ( ) ( ) (1.44) ( ) ( ) Gambar 1.26 Gerak periodik dengan perioda Contoh soal 1.5 Jika y(t) diketahui seperti Gambar 1.27, maka cari persamaan getaran untuk x(t). 39

46 Jawab : Gambar 1.27 Sistem Cam-follower ( ) ( ) ( ) ( ) (E.1) Dari Gambar 1.27(b) diperoleh y(t) = Y t/ ; 0 t, di mana Y = amplitudo maksimum y. 40

47 Dari dimensi rocker arm, diperoleh hubungan (E.2) dan x(t) = X t/ ; 0 t, di mana X adalah amplitudo maksimum x. dengan menggunakan persamaan (1.44) diperoleh ( ) ( ) (E.3) ( ) Rumus integral * ( ) + (E.4) b n 2 / 2 / 2 / 0 x t dtsin n tdt 0 t X X sin n tdt 0 t sin n tdt ( ) 41

48 Rumus integral * ( ) + (E.5) Jadi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) di mana sehingga ( ) 42

49 BAB II GETARAN BEBAS SISTEM SATU DERAJAD KEBEBASAN Semua sistem yang mempunyai massa dan elastisitas dapat mengalami getaran bebas atau getaran yang terjadi tanpa rangsangan luar. Hal pertama yang menarik untuk sistem semacam itu adalah frekuensi natural getarannya. Sasaran kita di sini adalah belajar menulis persamaan geraknya dan menghitung frekuensi naturalnya yang merupakan fungsi massa dan kekakuan sistem. Redaman dalam jumlah sedang mempunyai pengaruh yang sangat kecil pada frekuensi natural dan dapat diabaikan dalam perhitungannya. Kemudian sistem dapat dianggap sebagai sistem yang konservatif dan prinsip kekekalan energi memberikan pendekatan lain untuk menghitung frekuensi natural. Pengaruh redaman sangat terlihat pada berkurangnya amplitudo getaran terhadap waktu. Walaupun terdapat banyak model redaman namun hanya model yang menghasilkan cara analitik yang mudah dibahas dalam bab ini. 2.1 Persamaan Gerak dan Frekuensi Getaran Translasi Sistem berosilasi yang paling sederhana adalah sistem yang terdiri dari massa dan pegas seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1. Pegas penunjang massa dianggap mempunyai massa yang dapat diabaikan dan kekakuan k (Newton per meter simpangan). Sistem mempunyai satu derajat kebebasan karena geraknya digambarkan oleh koordinat tunggal x. 43

50 Gambar 2.1 Sistem pegas-massa dan diagram benda bebas Bila digerakkan, osilasi akan terjadi pada frekuensi natural f n, yang merupakan milik sistem. Kita sekarang mengamati beberapa konsep dasar yang dihubungkan dengan getaran bebas sistem dengan satu derajat kebebasan. Hukum Newton kedua adalah dasar pertama untuk meneliti gerak sistem. Seperti ditunjukkan pada Gambar 2.1, perubahan bentuk pegas pada posisi kesetimbangan statik adalah dan gaya pegas adalah k adalah sama dengan gaya gravitasi W yang bekerja pada massa m. k = W = mg (2.1) Dengan mengukur simpangan x dari posisi kesetimbangan statik, maka gaya-gaya yang bekerja pada massa m adalah k( +x) atau W. Dengan x yang dipilih positif dalam arah ke bawah. Sekarang hukum Newton kedua untuk gerak diterapkan pada massa m. Fy = 0 ( ) dan karena k = W, diperoleh (2.2) 44

51 Jelaslah bahwa pemilihan posisi kesetimbangan statik sebagai acuan untuk x mengeliminasi W, yaitu gaya yang disebabkan gravitasi. Gaya pegas statik k dari persamaan gerak hingga resultan pada massa m adalah gaya pegas karena simpangan x saja. Dengan mendefinisikan frekuensi lingkaran ωn menggunakan persamaan (2.3) Persamaan (2.2) dapat ditulis sebagai (2.4) Solusi persamaan (2.2) dengan mengasumsikan ( ) dan di mana A dan s adalah konstata, setelah dimasukan ke persamaan (2.2), diperoleh + = 0 ( + ) = 0 + = 0 (2.5) = ( ) di mana = ( ) dan ( ) sehingga 45

52 jadi ( ) + di mana A 1 dan A 2 adalah konstata. Dengan menggunakan = maka ( ) + (2.6) Di mana A dan B adalah konstata yang baru dan dapat dicari dengan menggunakan kondisi awal, yaitu ( ) = ( ) = (2.7) Dengan memasukkan kondisi awal persamaan (2.7) ke dalam persamaan (2.6) termasuk dengan menurunkam dulu persamaan (2.6) maka diperoleh = ( ) + ( ) = ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( ) Jadi (2.8) Periode natural osilasi dibentuk dari, atau (2.9) 46

53 dan frekuensi naturalnya adalah (2.10) Besaran-besaran ini dapat dinyatakan dalam penyimpangan statik dengan melihat persamaan (2.1), = g. Jadi persamaan (2.10) dapat dinyatakan dalam penyimpangan statik sebagai (2.11) Contoh soal 2.1 Sebuah massa ¼ kg digantungkan pada pegas yang mempunyai kekakuan 0,1533 N/mm. Tentukan frekuensi naturalnya dalam siklus per sekon. Tentukan juga penyimpangan statiknya. Jawab : Konstanta kekakuan = N/m Substitusi ke dalam persamaan (2.10), menghasilkan frekuensi natural (E.1) Penyimpangan statik pegas yang digantungi massa kg diperoleh dari mg (E.2) 47

54 Contoh soal 2.2 Tentukan frekuensi natural massa M yang diletakkan pada ujung kantilever beam yang massanya dapat diabaikan seperti ditunjukkan dalam Gambar 2.2. Gambar 2.2 Massa m pada ujung kantilever Jawab: Penyimpangan kantilever beam yang disebabkan gaya yang terkonsentrasi P adalah (E.1) Dengan EI adalah ketegaran lentur. Jadi kekuatan balok adalah k dan frekuensi natural sistem menjadi (E.2) Contoh soal 2.3 Hitung frekuensi natural dari sistem seperti pada Gambar 2.3. Asumsi gesekan dan massa puli diabaikan. 48

55 (a) (b) diagram benda bebas Gambar 2.3 Sistem puli, massa dan pegas Jawab: Pada diagram benda bebas 1 (dbb 1) pada dbb 2 2W = k1 x1 2W = k2 x2 Sehingga gerakan total massa adalah X = 2( ) X = 2( ) = 4W ( ) = 4W (E.2) 49

56 Hukum Newton kedua menyatakan F = = = 4W ( ) (E.3) Persamaan getaran m + k ek x= 0 (E.4) m + ( x = 0 jadi n= ( ) ( ( ) ) (E.5) ( ( ) ) (E.6) Contoh soal 2.4 Massa batang PQ diabaikan, tentukan persamaan diferensial getaran dan frekuensi diri dari sistem pada gambar

57 Jawab : Gambar 2.4 sistem pegas dan batang yang diberi beban pada ujung. Pada kondisi statis terjadi kesetimbangan momen, yaitu mgl 3 cos α = k 2 l 2 sinα l 2 cos α + k 1 l 1 sinα l 1 cosα (E1) sehingga dalam keadaan dinamis sudah tidak perlu diperhitungkan Mp = 0 (E.2) Untuk θ kecil maka sin θ = θ dan cos θ = 1, jadi (E.3) 51

58 ( ) (E.4) dan frekuensi naturalnya adalah (E.5) 2.2 Getaran Bebas untuk Sistem Torsional tanpa Redaman Jika benda kaku diberi simpangan sudut dengan sumbu referensi khusus, maka akan menyebabkan gerak yang disebut getaran torsional. Dalam masalah getaran torsional menggunakan kesetimbangan momen torsional. Gambar 2.5 ditunjukkan piringan dengan massa inersia polar J 0, berada di ujung poros dan ujung poros yang lain ditumpu dengan tumpuan jepit. Simpangan sudut piringan dan poros sebesar θ. kekakuan poros (k t ) Gambar 2.5 Getaran torsional dari piringan Di mana : G = modulus elastisitas J o = momen inersia luas penampang poros l = panjang poros 52

59 J o = Sehingga = Untuk poros maka torsinya ( 2.13 ) Di mana: = kekakuan poros = simpangan sudut poros Hukum Newton yang kedua untuk gerakan sudut + = 0 ( 2.14 ) Di mana: = momen inersia massa disk densitas massa W = berat disk Persamaan (2.14) bisa diselesaikan seperti pada getaran linier seperti pada persamaan (2.2), yaitu ( ) cos t + cos t ( 2.15 ) Dengan A 1 dan A 2 adalah konstanta dan bisa diselesaikan dari kondisi awal. Bila ( )= ( )= = cos ( 0 ) + cos ( 0 ) = = sin (0) + cos (0) 53

60 = = sehingga (t) = cos t+ sin t (2.16) Frekuensi natural dan priode natural bisa dihitung berdasarkan persamaan diferensial getaran pada persamaan (2.14) = ( ) = 2 ( ) = ( ) (2.17) Contoh soal 2.5 Sebuah roda dan ban mobil digantungkan pada batang baja yang diameternya 0.5 cm dan panjangnya 2 m seperti ditunjukkan pada Gambar 2.6. Bila roda diberi simpangan sudut kemudian lepas, maka ia membuat 10 osilasi dalam 30.2 detik. Tentukan momen inersia polar roda dan ban. Gambar 2.6 Ban mobil yang digantung pada baja 54

61 Jawab : Persamaan rotasional untuk gerak sesuai hukum Newton kedua ( E.1 ) Frekuensi natural osilasi = = 2 = rad / s ( E.2 ) = = (0.5 ) = = 80 maka = = = Nm /rad ( E.3 ) ( ) = = = kg 2.3 Metode Energi (Metode Lagrange) Dalam suatu konservatif energi totalnya adalah konstan dan persamaan diferensial gerak juga dapat dibentuk dari prinsip kekekalan energi. Untuk getaran bebas suatu sistem yang tak teredam, energinya sebagian adalah energi kinetik dan sebagian potensial. Energi kinetik T sebagian disimpan dalam massanya karena kecepatannya, sedang energi potensial U disimpan dalam bentuk energi regangan dalam perubahan bentuk elastik atau kerja yang dilakukan dalam suatu medan gaya seperti gravitasi. Karena energi total adalah konstan, maka laju perubahan energi adalah nol seperti oleh persamaan (2.18). 55

62 T + U = konstan ( ) ( 2.18 ) Bila perhatian hanya tertuju pada frekuensi natural sistem, maka frekuensi itu dapat ditentukan dari pertimbangan prinsip kekekalan energi pada persamaan (2.19 ). (2.19) dengan indeks 1 dan 2 menyatakan saat yang berbeda. Ambil indeks 1 saat ketika massa sedang melewati posisi kesetimbangan statik dan pilih U 1 = 0 sebagai acuan untuk energi potensial. Ambil indeks 2 saat yang sesuai dengan simpangan maksimum dari massa. Pada potensial ini, kecepatan massa adalah nol, hingga T 2 = 0, jadi diperoleh T = 0 + U 2 (2.20) Namun, bila sistem mangalami gerak hermorik, maka T 1 dan U 2 merupakan nilai maksimum, jadi T maks = U maks (2.21) Persamaan (2.21) langsung menghasilkan frekuensi natural. Contoh soal 2.6 Tentukan frekuensi natural sistem yang ditunjukkan pada Gambar

63 r 2 r 1 J θ Gambar 2.7 m Jawab: Anggap bahwa sistem secara harmonik dengan amplitudo dari posisi kesetimbangan statik. Energi kinetiknya adalah ( ) (E.1) Energi potensial adalah energi yang disimpan dalam pegas yaitu U = k ( )² (E.2) Sebelumnya diketahui T + U = konstan, atau dt + du = 0 57

64 ( ) ( ) ( ( ) ) + ( ( ) ) = 0 J θ =0 J + m + k θ=0 (J+m ) + k θ=0 (E.3) Dengan melihat persamaan ( ) dan persamaan ( ) maka diperoleh ω n = dalam hal ini dan maka ω n = (E.4) f n = (E.5) Contoh Soal 2.7 Sebuah silinder seberat W dan jari-jari r menggelinding tanpa tergelincir (slip) pada permukaan silindris yang berjari-jari R (lihat Gambar 2.8). Tentukan persamaan diferensial geraknya untuk osilasi kecil pada titik terendah. Untuk keadaan tanpa tergelincir r = R. 58

65 θ R r Gambar 2.8 Jawab: Kecepatan translasi pusat silinder adalah ( ) (E.1) Sedang kecepatan rotasinya adalah ( ) ( ) (E.2) Karena tanpa tergelincir maka ( ) (E.3) Energi kinetiknya adalah T [( ) ] + *( ) + T (R ) (E.4) 59

66 Energi potensialnya adalah ( )( ) (E.5) Perubahan energi akan menjadi energi lain, sehingga (T + U) (E.6) ( (R ) ) + W (R - r)(1- ) ( ) + W( ) ( ) +W( ) (E.7) Untuk sudut θ yang kecil maka sin diperoleh = θ, dan dengan mencoret kedua suku ( ) + ( ) Dengan melihat persamaan ( ) dan persamaan ( ) maka diperoleh ( ) (E.8) 2.4 Kondisi Stablilitas Untuk menentukan kondisi stabililtas diambil contoh batang seragam yang dipegang engsel dan dihubungkan dengan dua buah pegas 60

67 simetri di ujungnya seperti pada Gambar 2.9. Dimisalkan massa batang adalah m dan pegas tidak meregang pada saat batang vertikal. Ketika batang diberi simpangan sejauh pegas akan diberi beban gaya sebesar kl. Karena ada dua buah pegas, maka total gaya adalah 2kl. Gaya berat W = mg bekerja searah vertikal. Gambar 2.9 Batang vertikal dipegang pegas simetri di ujung ( ) ( ) Persamaan momen batang terhadap titik O adalah = 0 ( ) 61

68 ( ) (2.23) Untuk osilasi ( ) kecil maka sin = dan cos sehingga persamaan ( ) menjadi ( ) ( ) (2.24) Solusi persamaan ( ) tergantung pada harga dalam kurung ( ) bisa dibahas sebagai berikut Kasus 1: Bila ( ) Persamaan ( ) merupakan osilasi stabil dan dapat diselesaikan sebagai berikut ( ) (2.25) Di mana A 1 dan A 2 adalah konstanta dan bisa ditulis ( ) (2.26) Kasus 2: Bila ( ) Persamaan ( ) menjadi lebih sederhana (2.27) Solusinya dapat diselesaikan dengan mengintegrasikan dua kali sehingga diperoleh 62

69 ( ) Untuk kondisi awal (t=0) = θ 0 dan (t=0) =, solusinya menjadi (2.28) θ(t)= t + (2.29) Persamaan (2.29) menunjukkan simpangan sudut meningkat secara linier pada kecepatan konstan 0. Jika 0 = 0, persamaan (2.29) merupakan keseimbangan statis dengan = 0. Kasus 3: Bila (12kl²-3Wl)/2ml² < 0, kita definisikan α = ( ) (2.30) Kita lihat persamaan (2.24), maka solusinya adalah ( ) (2.31) di mana B 1 dan B 2 adalah konstanta. Untuk kondisi awal (t=0) = θ 0 dan (t=0) = 0 Persamaan (2.31) menjadi ( ) [( ) ( ) ] (2.32) Persamaan (2.32) menunjukkan bahwa θ(t) meningkat secara eksponensial dengan waktu, dan getaran tidak stabil. Alasan secara fisiknya adalah momen yang disebabkan oleh pegas (2kl²θ), yang membuat sistem pada posisi setimbang lebih kecil momen yang dihasilkan oleh gravitasi (- W(1/2)θ), yang menyebabkan massa berpindah dari posisi kesetimbangan. 63

70 2.5 Metode Energi Rayleigh Metode energi ini digunakan untuk sistem bermassa banyak atau untuk sistem yang massanya terdistribusi, bila gerak tiap titik dalam sistem diketahui. Dalam sistem di mana massa-massa dihubungkan oleh penghubung tegar, truss, atau roda gigi, gerak berbagai massa tadi dapat dinyatakan dalam gerak beberapa titik spesifik x dan sistem hanyalah merupakan sistem dengan satu derajat kebebasan karena hanya diperlukan satu koordinat. Energi kinetik dapat ditulis (2.33) Di mana: m ef = massa efektif atau segumpalan massa ekivalen pada titik spesifik tersebut. Bila kekakuan di titik itu diketahui, maka frekuensi natural dapat dihitung melalui n= (2.34) Rayleigh menunjukkan bahwa dengan asumsi bentuk amplitudo getaran yang masuk akal, maka massa yang tadinya diabaikan dapat ikut diperhitungkan dan diperoleh perkiraan frekuensi dasar yang lebih baik. Contoh soal 2.8 Tentukan pada sistem Gambar 2.10, bila massa pegas ikut diperhitungkan. Jawab: Perpindahan pegas pada titik y adalah dan kecepatan adalah 64

71 Gambar 2.10 Massa m digantung pada sebuah pegas Sehingga energi kinetik pegas adalah ( ) ( ) (E.1) Energi kinetik total adalah T = Energi kinetik massa (T m ) + Energi kinetik pegas (T s ) T = m + (( ) ( )/ T = m + T = m [ ] T = m 65

72 T = ( ) (E.2) Dari persamaan (2.36) diperoleh kesimpulan bahwa massa efektif pegas adalah 1/3 massa pegas ( (eff) = 1/3m s ) Energi potensial sistem adalah U = (E.3) Jumlah perubahan energi kinetik dan energi potensial adalah nol. dt + du = 0 ( )2 + k 2 x = 0 ( ) + kx = 0 (E.4) Persamaan ( 2.38 ) menunjukkan bahwa massa efektif sistem adalah = m + (E.6) Frekuensi natural sistem dengan memperhitungkan massa pegas adalah = (E.7) Contoh soal 2.9 Sebuah batang dengan massa total m yang ditopang di kedua ujungnya, di tengah-tengah batang ada sebuah M (lihat Gambar 2.11). Tentukan frekuensi diri di tengah-tengah sistem. 66